资源简介

第二章　一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
第1课时 不等关系与不等式
【学习目标】
课程目标 学科素养
1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系. 2.初步学会作差法比较两实数的大小. 1、逻辑推理 2、数学运算
【自主学习】
一．基本事实：
两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a依据 a>b ；a＝b ；a结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的 与 的大小.
注意：符号“ ”叫做等价号，读作“等价于”，“p q”的含义是：p可以推出q，q也可以推出p，即p与q可以互推．
思考1：x2＋1与2x两式都随x的变化而变化，其大小关系并不显而易见.你能想个办法，比较x2＋1与2x的大小吗？
思考2：若a>b，且ab>0，则与的大小关系如何？
二．重要不等式
a，b∈R，有a2＋b2 2ab，当且仅当a＝b时，等号成立.
【小试牛刀】
1.思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)实数a不大于－2，用不等式表示为a≥－2.(　　)
(2)不等式x≥2的含义是指x不小于2.(　　)
(3)若a2.某购买甲产品x件，乙产品y件，甲、乙两种产品总量至少需要120个，则x，y应满足的不等关系是(　　)
A．x＋y>120　　　 B．x＋y<120 C．x＋y≥120 D．x＋y≤120
【经典例题】
题型一 用不等式(组)表示不等关系
点拨：将不等关系表示成不等式(组)的思路
①读懂题意，找准不等式所联系的量.
②用适当的不等号连接.
③多个不等关系用不等式组表示.
例1 商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品的售价每提高1元，销售量就可能相应减少10件．若把提价后的商品售价设为x元，怎样用不等式表示每天的利润不低于300元？
点睛：根据“利润＝销售量×单件利润”，把利润用x表示出来，“不低于”即“大于或等于”，可列出不等式．
【跟踪训练】1 如图所示的两种广告牌，其中图1是由两个等腰直角三角形构成的，图2是一个矩形，则这两个广告牌面积的大小关系可用含字母a，b(a≠b)的不等式表示为________．
题型二 数(式)的大小比较
点拨：作差法比较两个数大小的步骤及变形方法
1.作差法比较的步骤：作差―→变形―→定号―→结论．
2.变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化；⑤分类讨论．
例2
例2 比较下列各组中两个代数式的大小：
(1)x2＋3与3x；
(2)已知a，b均为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．
【跟踪训练】2 已知x，y均为正数，设m＝＋，n＝，比较m和n的大小．
【当堂达标】
1.李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机，他现在已存60元．计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元．设x个月后他至少有400元，则可以用于计算所需要的月数x的不等式是(　　)
A．30x－60≥400 B．30x＋60≥400 C．30x－60≤400 D．30x＋40≤400
2.(多选)下列说法正确的是(　　)
A.某人月收入x不高于2 000元可表示为“x<2 000”
B.小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x>y”
C.某变量x至少为a可表示为“x≥a”
D.某变量y不超过a可表示为“y≤a”
3.设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(　　)
A.M>N B.M＝N C.M4.武广铁路上，高速列车跑出了350 km/h的高速度，但这个速度的2倍再加上100 km/h，还超不过波音飞机的最低时速，可这个速度已经超过了普通客车的3倍，设高速列车速度为v1，波音飞机速度为v2，普通客车速度为v3.则三种交通工具速度的不等关系分别为________________．
5.若实数a>b，则a2－ab____ba－b2.(填“>”或“<”)
6.设x＜y＜0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小．
【课堂小结】
1.知识点：
(1)用不等式(组)表示不等关系.
(2)作差法比较大小.
(3)重要不等式.
2.方法归纳：作差法.
3.常见误区：实际问题中变量的实际意义.
【参考答案】
【自主学习】
一． a－b>0 a－b＝0 a－b<0 差 0
思考1：作差 x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，所以x2＋1≥2x.
思考2：因为ab>0，所以a与b同号．而－＝，
又a>b，所以b－a<0. 所以－<0，即<.
二．≥
【小试牛刀】
1. (1)×　(2) √　(3) √　
2.C
【经典例题】
例1 解：若提价后商品的售价为x元，则销售量减少×10件，因此，每天的利润为(x－8)[100－10(x－10)]元，则“每天的利润不低于300元”可以表示为不等式(x－8)[100－10(x－10)]≥300.
【跟踪训练】1 (a2＋b2)>ab
例2 解：(1)(x2＋3)－3x＝x2－3x＋3＝2＋≥>0，
∴x2＋3>3x.
(2)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2
＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)．
∵a>0，b>0且a≠b，
∴(a－b)2>0，a＋b>0.
∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，即a3＋b3>a2b＋ab2.
【跟踪训练】2解：∵m－n＝＋－＝－＝＝.
又x，y均为正数，
∴x>0，y>0，xy>0，x＋y>0，(x－y)2≥0.
∴m－n≥0，即m≥n(当x＝y时，等号成立)．
【当堂达标】
1. B 解析： x月后他至少有400元，可表示成30x＋60≥400.
2.CD 解析：对于A，x应满足x≤2 000，故A错；对于B，x，y应满足xCD正确.
3.A 解析：M－N＝x2＋x＋1＝＋>0. ∴M>N.
4.2v1＋100≤v2，v1>3v3
5. ＞ 解析：因为(a2－ab)－(ba－b2)＝(a－b)2，又a>b，所以(a－b)2>0.
6.解：(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)
＝(x－y)(x2＋y2)－(x－y)(x＋y)2
＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]
＝(x－y)(－2xy)．
由于x＜y＜0，所以x－y＜0，－2xy＜0，
所以(x－y)(－2xy)＞0，
即(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)．

展开更多......

收起↑