14.2.1 平方差公式(知识梳理+题型归纳+课后训练)

资源下载
  1. 二一教育资源

14.2.1 平方差公式(知识梳理+题型归纳+课后训练)

资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
整式的乘法与因式分解
14.2 乘法公式
14.2.1 平方差公式
一、平方差公式
(1)平方差公式:
即:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差,如右图
(2)常见的平方差公式的变化形式
· 位置变化:(b+a)(-b+a)=(a+b)(a-b)=a2-b2
· 符号变化:(-a-b)(a-b)=-(a+b)(a-b)=-(a2-b2)=b2-a2
· 系数变化:(2a+3b)(2a-3b)=(2a)2-(3b)2=4a2-9b2
· 指数变化:(a2+b2)(a2-b2)=(a2)2-(b2)2=a4-b4
二、应用平方差公式计算时,应注意以下几个问题:
左边是:两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数;
右边是:相同项的平方减去相反项的平方;
公式中的a和b可以是具体数,也可以是单项式或多项式.
[命题角度1] 平方差公式
【类型一】 判断能否应用平方差公式进行计算
【例1】下列运算中,可用平方差公式计算的是(  )
A.(x+y)(x+y) B.(-x+y)(x-y)
C.(-x-y)(y-x) D.(x+y)(-x-y)
解析:A中含x、y的项符号相同,不能用平方差公式计算,错误;B中(-x+y)(x-y)=-(x-y)(x-y),含x、y的项符号相同,不能用平方差公式计算,错误;C中(-x-y)(y-x)=(x+y)(x-y),含x的项符号相同,含y的项符号相反,能用平方差公式计算,正确;D中(x+y)(-x-y)=-(x+y)(x+y),含x、y的项符号相同,不能用平方差公式计算,错误;故选C.
方法总结:对于平方差公式,注意两个多项式均为二项式且两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数.
【类型二】 直接应用平方差公式进行计算
【例2】利用平方差公式计算:
(1)(3x-5)(3x+5);
(2)(-2a-b)(b-2a);
(3)(-7m+8n)(-8n-7m);
(4)(x-2)(x+2)(x2+4).
解析:直接利用平方差公式进行计算即可.
解:(1) (3x-5)(3x+5)=(3x)2-52=9x2-25;
(-2a-b)(b-2a)=(-2a)2-b2=4a2-b2;
(-7m+8n)(-8n-7m)=(-7m)2-(8n)2=49m2-64n2;
(x-2)(x+2)(x2+4)=(x2-4)(x2+4)=x4-16.
方法总结:应用平方差公式计算时,应注意以下几个问题:(1)左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数;(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方;(3)公式中的a和b可以是具体数,也可以是单项式或多项式.
【类型三】 平方差公式的连续使用
【例3】求2(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)的值.
解析:根据平方差公式,可把2看成是(3-1),再根据平方差公式即可算出结果.
解:2(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)=(3-1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)=(32-1)(32+1)(34+1)(38+1)
=(34-1)(34+1)(38+1)=(38-1)(38+1)=316-1.
方法总结:连续使用平方差公式,直到不能使用为止.
【类型四】 应用平方差公式进行简便运算
【例4】 利用平方差公式简算:
20×19; (2) 13.2×12.8.
解析:(1)把20×19写成(20+)×(20-),然后利用平方差公式进行计算;
(2)把13.2×12.8写成(13+0.2)×(13-0.2),然后利用平方差公式进行计算.
解:(1)20×19=(20+)×(20-)
=400-=399;
(2)13.2×12.8=(13+0.2)×(13-0.2)
=169-0.04=168.96.
方法总结:熟记平方差公式的结构并构造出公式结构是解题的关键.
【类型五】 化简求值
【例5】先化简,再求值:(2x-y)(y+2x)-(2y+x)(2y-x),其中x=1,y=2.
解析:利用平方差公式展开并合并同类项,然后把x、y的值代入进行计算即可得解.
解:(2x-y)(y+2x)-(2y+x)(2y-x)=4x2-y2-(4y2-x2)=4x2-y2-4y2+x2=5x2-5y2.
当x=1,y=2时,原式=5×12-5×22=-15.
方法总结:利用平方差公式先化简再求值,切忌代入数值直接计算.
【类型六】 利用平方差公式探究整式的整除性问题
【例6】对于任意的正整数n,整式(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)的值一定是10的倍数吗?
解析:利用平方差公式对代数式化简,再判断是否是10的倍数.
解:原式=9n2-1-(9-n2)=10n2-10=10(n+1)(n-1),∵n为正整数,
∴(n-1)(n+1)为整数,即(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)的值是10的倍数.
方法总结:对于平方差中的a和b可以是具体的数,也可以是单项式或多项式,在探究整除性或倍数问题时,要注意这方面的问题.
【类型七】 平方差公式的实际应用
【例7】王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈.今年王大伯对李大妈说:“我把这块地一边减少4米,另外一边增加4米,继续租给你,你看如何?”李大妈一听,就答应了.你认为李大妈吃亏了吗?为什么?
解析:根据题意先求出原正方形的面积,再求出改变边长后的面积,然后比较二者的大小即可.
解:李大妈吃亏了.理由:原正方形的面积为a2,改变边长后面积为(a+4)(a-4)=a2-16,
∵a2>a2-16,∴李大妈吃亏了.
方法总结:解决实际问题的关键是根据题意列出算式,然后根据公式化简解决问题.
【类型八】 平方差公式的几何背景
【例8】如图①,在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a>b),把剩下部分拼成一个梯形(如图②),利用这两幅图形的面积,可以验证的乘法公式是______________.
解析:∵左图中阴影部分的面积是a2-b2,右图中梯形的面积是(2a+2b)(a-b)=(a+b)(a-b),
∴a2-b2=(a+b)(a-b),即可验证的乘法公式为:(a+b)(a-b)=a2-b2.
方法总结:通过几何图形之间的数量关系可对平方差公式做出几何解释.
1.(1)(3x-5)(3x+5); (2)(-2a-b)(b-2a); (3)(-7m+8n)(-8n-7m).
解:(1)原式=(3x)2-52=9x2-25; (2)原式=(-2a)2-b2=4a2-b2;
(3)原式=(-7m)2-(8n)2=49m2-64n2;
2.计算:
(1) 51×49; (2)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)。
解: (1)原式=(50+1)(50-1)= 502-12=2500 – 1=2499
(2)原式=(3x)2-42-(6x2+5x-6)= 9x2-16-6x2-5x+6= 3x2-5x-10.
3.利用平方差公式计算:
(1) (a-2)(a+2)(a2+4) (2) (x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).
(1)解:原式=(a2-4)(a2+4)=a4-16.
(2)解:原式=(x2-y2)(x2+y2)(x4+y4)=(x4-y4)(x4+y4)=x8-y8.
4.先化简,再求值:(2x-y)(y+2x)-(2y+x)(2y-x),其中x=1,y=2.
解:原式=4x2-y2-(4y2-x2)
=4x2-y2-4y2+x2
=5x2-5y2
当x=1,y=2时,
原式=5x2-5y2=5×12-5×22=-15.
5.对于任意的正整数n,整式(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)的值一定是10的整数倍吗?
解:原式=9n2-1-(9-n2)
=10n2-10.
∵(10n2-10)÷10=n2-1.
n为正整数,
∴n2-1为整数
即(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)的值是10的倍数.
6.已知x≠1,计算:(1+x)(1-x)=1-x2,(1-x)(1+x+x2)=1-x3,(1-x)(1+x+x2+x3)=1-x4
(1)观察以上各式并猜想:(1-x)(1+x+x2+…+xn)=________;(n为正整数)
(2)根据你的猜想计算:
①(1-2)(1+2+22+23+24+25)=________;
②2+22+23+…+2n=________(n为正整数);
③(x-1)(x99+x98+x97+…+x2+x+1)=________;
(3)通过以上规律请你进行下面的探索:
①(a-b)(a+b)=________;
②(a-b)(a2+ab+b2)=________;
③(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)=________.
解:(1)1-xn+1
(2)①-63 ②2n+1-2 ③x100-1
(3)①a2-b2 ②a3-b3 ③a4-b4
1、2、3、
知识清单
能力拓展
课后训练
知识小结
课后反思
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页)
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
整式的乘法与因式分解
14.2 乘法公式
14.2.1 平方差公式
一、平方差公式
(1)平方差公式:
即:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差,如右图
(2)常见的平方差公式的变化形式
· 位置变化:(b+a)(-b+a)=(a+b)(a-b)=a2-b2
· 符号变化:(-a-b)(a-b)=-(a+b)(a-b)=-(a2-b2)=b2-a2
· 系数变化:(2a+3b)(2a-3b)=(2a)2-(3b)2=4a2-9b2
· 指数变化:(a2+b2)(a2-b2)=(a2)2-(b2)2=a4-b4
二、应用平方差公式计算时,应注意以下几个问题:
左边是:两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数;
右边是:相同项的平方减去相反项的平方;
公式中的a和b可以是具体数,也可以是单项式或多项式.
[命题角度1] 平方差公式
【类型一】 判断能否应用平方差公式进行计算
【例1】下列运算中,可用平方差公式计算的是(  )
A.(x+y)(x+y) B.(-x+y)(x-y)
C.(-x-y)(y-x) D.(x+y)(-x-y)
【类型二】 直接应用平方差公式进行计算
【例2】利用平方差公式计算:
(1)(3x-5)(3x+5); (2)(-2a-b)(b-2a);
(3)(-7m+8n)(-8n-7m); (4)(x-2)(x+2)(x2+4).
【类型三】 平方差公式的连续使用
【例3】求2(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)的值.
【类型四】 应用平方差公式进行简便运算
【例4】 利用平方差公式简算:
20×19; (2) 13.2×12.8.
【类型五】 化简求值
【例5】先化简,再求值:(2x-y)(y+2x)-(2y+x)(2y-x),其中x=1,y=2.
【类型六】 利用平方差公式探究整式的整除性问题
【例6】对于任意的正整数n,整式(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)的值一定是10的倍数吗?
【类型七】 平方差公式的实际应用
【例7】王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈.今年王大伯对李大妈说:“我把这块地一边减少4米,另外一边增加4米,继续租给你,你看如何?”李大妈一听,就答应了.你认为李大妈吃亏了吗?为什么?
【类型八】 平方差公式的几何背景
【例8】如图①,在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a>b),把剩下部分拼成一个梯形(如图②),利用这两幅图形的面积,可以验证的乘法公式是______________.
1.(1)(3x-5)(3x+5); (2)(-2a-b)(b-2a); (3)(-7m+8n)(-8n-7m).
2.计算:
(1) 51×49; (2)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)。
3.利用平方差公式计算:
(1) (a-2)(a+2)(a2+4) (2) (x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).
4.先化简,再求值:(2x-y)(y+2x)-(2y+x)(2y-x),其中x=1,y=2.
5.对于任意的正整数n,整式(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)的值一定是10的整数倍吗?
6.已知x≠1,计算:(1+x)(1-x)=1-x2,(1-x)(1+x+x2)=1-x3,(1-x)(1+x+x2+x3)=1-x4
(1)观察以上各式并猜想:(1-x)(1+x+x2+…+xn)=________;(n为正整数)
(2)根据你的猜想计算:
①(1-2)(1+2+22+23+24+25)=________;
②2+22+23+…+2n=________(n为正整数);
③(x-1)(x99+x98+x97+…+x2+x+1)=________;
(3)通过以上规律请你进行下面的探索:
①(a-b)(a+b)=________;
②(a-b)(a2+ab+b2)=________;
③(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)=________.
1、2、3、
知识清单
能力拓展
课后训练
知识小结
课后反思
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页)
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑

资源列表