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整式的乘法与因式分解
14.2 乘法公式
14.2.1 平方差公式
一、平方差公式
(1)平方差公式：
即：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，如右图
(2)常见的平方差公式的变化形式
· 位置变化：(b＋a)(－b＋a)=(a＋b)(a－b)=a2－b2
· 符号变化：(－a－b)(a－b)=－(a＋b)(a－b)=－(a2－b2)=b2－a2
· 系数变化：(2a＋3b)(2a－3b)=(2a)2－(3b)2=4a2－9b2
· 指数变化：(a2＋b2)(a2－b2)=(a2)2－(b2)2=a4－b4
二、应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
左边是：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
右边是：相同项的平方减去相反项的平方；
公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式．
[命题角度1] 平方差公式
【类型一】 判断能否应用平方差公式进行计算
【例1】下列运算中，可用平方差公式计算的是(　　)
A．(x＋y)(x＋y) B．(－x＋y)(x－y)
C．(－x－y)(y－x) D．(x＋y)(－x－y)
解析：A中含x、y的项符号相同，不能用平方差公式计算，错误；B中(－x＋y)(x－y)＝－(x－y)(x－y)，含x、y的项符号相同，不能用平方差公式计算，错误；C中(－x－y)(y－x)＝(x＋y)(x－y)，含x的项符号相同，含y的项符号相反，能用平方差公式计算，正确；D中(x＋y)(－x－y)＝－(x＋y)(x＋y)，含x、y的项符号相同，不能用平方差公式计算，错误；故选C.
方法总结：对于平方差公式，注意两个多项式均为二项式且两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．
【类型二】 直接应用平方差公式进行计算
【例2】利用平方差公式计算：
(1)(3x－5)(3x＋5)；
(2)(－2a－b)(b－2a)；
(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)；
(4)(x－2)(x＋2)(x2＋4)．
解析：直接利用平方差公式进行计算即可．
解：(1) (3x－5)(3x＋5)＝(3x)2－52＝9x2－25；
(－2a－b)(b－2a)＝(－2a)2－b2＝4a2－b2；
(－7m＋8n)(－8n－7m)＝(－7m)2－(8n)2＝49m2－64n2；
(x－2)(x＋2)(x2＋4)＝(x2－4)(x2＋4)＝x4－16.
方法总结：应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式．
【类型三】 平方差公式的连续使用
【例3】求2(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)的值．
解析：根据平方差公式，可把2看成是(3－1)，再根据平方差公式即可算出结果．
解：2(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)＝(3－1)(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)＝(32－1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)
＝(34－1)(34＋1)(38＋1)＝(38－1)(38＋1)＝316－1.
方法总结：连续使用平方差公式，直到不能使用为止．
【类型四】 应用平方差公式进行简便运算
【例4】 利用平方差公式简算：
20×19； (2) 13.2×12.8.
解析：(1)把20×19写成(20＋)×(20－)，然后利用平方差公式进行计算；
(2)把13.2×12.8写成(13＋0.2)×(13－0.2)，然后利用平方差公式进行计算．
解：(1)20×19＝(20＋)×(20－)
＝400－＝399；
(2)13.2×12.8＝(13＋0.2)×(13－0.2)
＝169－0.04＝168.96.
方法总结：熟记平方差公式的结构并构造出公式结构是解题的关键．
【类型五】 化简求值
【例5】先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.
解析：利用平方差公式展开并合并同类项，然后把x、y的值代入进行计算即可得解．
解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)＝4x2－y2－(4y2－x2)＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.
当x＝1，y＝2时，原式＝5×12－5×22＝－15.
方法总结：利用平方差公式先化简再求值，切忌代入数值直接计算．
【类型六】 利用平方差公式探究整式的整除性问题
【例6】对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的倍数吗？
解析：利用平方差公式对代数式化简，再判断是否是10的倍数．
解：原式＝9n2－1－(9－n2)＝10n2－10＝10(n＋1)(n－1)，∵n为正整数，
∴(n－1)(n＋1)为整数，即(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值是10的倍数．
方法总结：对于平方差中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式，在探究整除性或倍数问题时，要注意这方面的问题．
【类型七】 平方差公式的实际应用
【例7】王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
解析：根据题意先求出原正方形的面积，再求出改变边长后的面积，然后比较二者的大小即可．
解：李大妈吃亏了．理由：原正方形的面积为a2，改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16，
∵a2＞a2－16，∴李大妈吃亏了．
方法总结：解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简解决问题．
【类型八】 平方差公式的几何背景
【例8】如图①，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a＞b)，把剩下部分拼成一个梯形(如图②)，利用这两幅图形的面积，可以验证的乘法公式是______________．
解析：∵左图中阴影部分的面积是a2－b2，右图中梯形的面积是(2a＋2b)(a－b)＝(a＋b)(a－b)，
∴a2－b2＝(a＋b)(a－b)，即可验证的乘法公式为：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
方法总结：通过几何图形之间的数量关系可对平方差公式做出几何解释．
1．(1)(3x－5)(3x＋5)； (2)(－2a－b)(b－2a)； (3)(－7m＋8n)(－8n－7m)．
解：(1)原式=(3x)2－52＝9x2－25； (2)原式=(－2a)2－b2＝4a2－b2；
(3)原式=(－7m)2－(8n)2＝49m2－64n2；
2.计算:
(1) 51×49； (2)(3x＋4)(3x－4)－(2x＋3)(3x－2)。
解: (1)原式=(50＋1)(50－1)= 502－12=2500 – 1=2499
(2)原式=(3x)2－42－(6x2＋5x－6)= 9x2－16－6x2－5x＋6= 3x2－5x－10.
3.利用平方差公式计算:
(1) (a－2)(a＋2)(a2＋4) (2) (x－y)(x＋y)(x2＋y2)(x4＋y4).
(1)解：原式=(a2－4)(a2＋4)=a4－16.
(2)解：原式=(x2－y2)(x2＋y2)(x4＋y4)=(x4－y4)(x4＋y4)=x8－y8.
4.先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.
解：原式＝4x2－y2－(4y2－x2)
＝4x2－y2－4y2＋x2
＝5x2－5y2
当x＝1，y＝2时，
原式＝5x2－5y2＝5×12－5×22＝－15.
5.对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的整数倍吗？
解：原式＝9n2－1－(9－n2)
＝10n2－10.
∵(10n2－10)÷10=n2－1.
n为正整数，
∴n2－1为整数
即(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值是10的倍数．
6.已知x≠1，计算：(1＋x)(1－x)＝1－x2，(1－x)(1＋x＋x2)＝1－x3，(1－x)(1＋x＋x2＋x3)＝1－x4
(1)观察以上各式并猜想：(1－x)(1＋x＋x2＋…＋xn)＝________；(n为正整数)
(2)根据你的猜想计算：
①(1－2)(1＋2＋22＋23＋24＋25)＝________；
②2＋22＋23＋…＋2n＝________(n为正整数)；
③(x－1)(x99＋x98＋x97＋…＋x2＋x＋1)＝________；
(3)通过以上规律请你进行下面的探索：
①(a－b)(a＋b)＝________；
②(a－b)(a2＋ab＋b2)＝________；
③(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝________．
解：(1)1－xn＋1
(2)①－63 ②2n＋1－2 ③x100－1
(3)①a2－b2 ②a3－b3 ③a4－b4
1、2、3、
知识清单
能力拓展
课后训练
知识小结
课后反思
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14.2.1 平方差公式
一、平方差公式
(1)平方差公式：
即：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，如右图
(2)常见的平方差公式的变化形式
· 位置变化：(b＋a)(－b＋a)=(a＋b)(a－b)=a2－b2
· 符号变化：(－a－b)(a－b)=－(a＋b)(a－b)=－(a2－b2)=b2－a2
· 系数变化：(2a＋3b)(2a－3b)=(2a)2－(3b)2=4a2－9b2
· 指数变化：(a2＋b2)(a2－b2)=(a2)2－(b2)2=a4－b4
二、应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
左边是：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
右边是：相同项的平方减去相反项的平方；
公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式．
[命题角度1] 平方差公式
【类型一】 判断能否应用平方差公式进行计算
【例1】下列运算中，可用平方差公式计算的是(　　)
A．(x＋y)(x＋y) B．(－x＋y)(x－y)
C．(－x－y)(y－x) D．(x＋y)(－x－y)
【类型二】 直接应用平方差公式进行计算
【例2】利用平方差公式计算：
(1)(3x－5)(3x＋5)； (2)(－2a－b)(b－2a)；
(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)； (4)(x－2)(x＋2)(x2＋4)．
【类型三】 平方差公式的连续使用
【例3】求2(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)的值．
【类型四】 应用平方差公式进行简便运算
【例4】 利用平方差公式简算：
20×19； (2) 13.2×12.8.
【类型五】 化简求值
【例5】先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.
【类型六】 利用平方差公式探究整式的整除性问题
【例6】对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的倍数吗？
【类型七】 平方差公式的实际应用
【例7】王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
【类型八】 平方差公式的几何背景
【例8】如图①，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a＞b)，把剩下部分拼成一个梯形(如图②)，利用这两幅图形的面积，可以验证的乘法公式是______________．
1．(1)(3x－5)(3x＋5)； (2)(－2a－b)(b－2a)； (3)(－7m＋8n)(－8n－7m)．
2.计算:
(1) 51×49； (2)(3x＋4)(3x－4)－(2x＋3)(3x－2)。
3.利用平方差公式计算:
(1) (a－2)(a＋2)(a2＋4) (2) (x－y)(x＋y)(x2＋y2)(x4＋y4).
4.先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.
5.对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的整数倍吗？
6.已知x≠1，计算：(1＋x)(1－x)＝1－x2，(1－x)(1＋x＋x2)＝1－x3，(1－x)(1＋x＋x2＋x3)＝1－x4
(1)观察以上各式并猜想：(1－x)(1＋x＋x2＋…＋xn)＝________；(n为正整数)
(2)根据你的猜想计算：
①(1－2)(1＋2＋22＋23＋24＋25)＝________；
②2＋22＋23＋…＋2n＝________(n为正整数)；
③(x－1)(x99＋x98＋x97＋…＋x2＋x＋1)＝________；
(3)通过以上规律请你进行下面的探索：
①(a－b)(a＋b)＝________；
②(a－b)(a2＋ab＋b2)＝________；
③(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝________．
1、2、3、
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