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3.2.1 单调性与最大（小）值
第2课时 函数的最大（小）值
【学习目标】
课程标准 学科素养
1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.（难点） 2.能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值．(重点、难点) 3.掌握求二次函数在闭区间上的最值．（重点） 1、逻辑推理 2、数学运算 3、直观想象
【自主学习】
函数最大值与最小值
最大值 最小值
条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： x∈I，都有
f(x) M f(x) M
x0∈I，使得
结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值
几何意义 f(x)图象上最高点的 f(x)图象上最低点的
思考1：函数f(x)＝－x2≤1总成立吗？ f(x)的最大值是1吗？
思考2：函数的最值与函数的值域有什么关系？
【小试牛刀】
1.思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)
（1）因为f(x)＝x2＋1≥0恒成立，所以f(x)的最小值为0.( )
（2）任何函数都有最大(小)值.( )
（3）函数f(x)取最大值时，对应的x可能有无限多个．( )
（4）如果f(x)的最大值、最小值分别为M，m，则f(x)的值域为[m，M]．( )
2.设函数f(x)＝2x－1(x<0)，则f(x)(　　)
A．有最大值　　　 B．有最小值
C．既有最大值又有最小值 D．既无最大值又无最小值
【经典例题】
题型一　图象法求函数的最值
点拨：图象法求最值的一般步骤
①画出函数图象；
②观察图象，找出图象的最高点和最低点；
③写出最值，最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值.
例1　如图所示为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间．
【跟踪训练】1已知函数f(x)＝则f(x)的最大值为________．
题型二　利用单调性求函数的最大（小）值
点拨：运用函数单调性求最值是求函数最值的常用方法，特别是当函数图象不易作出时，单调性几乎成为首选方法.首先判断函数的单调性，再利用单调性求出最值.
注意：(1)求最值勿忘求定义域．
(2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意．
例2　已知f(x)＝，
(1)判断f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并加以证明．
(2)求f(x)在[2,6]上的最大值和最小值．
【跟踪训练】2已知函数f(x)＝x＋.
(1)判断f(x)在区间[1,2]上的单调性；
(2)根据f(x)的单调性求出f(x)在区间[1,2]上的最值．
题型三　求二次函数的最值
点拨：1.二次函数的最值问题，解题策略一般都是讨论函数的定义域与对称轴的位置关系，往往分三种情况：(1)定义域在对称轴左侧；(2)对称轴在定义域内；(3)定义域在对称轴右侧．
2.设f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，则二次函数f(x)在闭区间[m，n]上的最大值、最小值有如下的分布情况：
对称轴与区间的关系 －＜m＜n， 即－∈(－∞，m) m＜－＜n， 即－∈(m，n) m＜n＜－， 即－∈(n，＋∞)
图象
最值 f(x)最大值＝f(n)， f(x)最小值＝f(m) f(x)最大值＝max{f(n)，f(m)}， f(x)最小值＝ f(x)最大值＝f(m)， f(x)最小值＝f(n)
例3-1（定轴定区间类型）已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[0,2]，求函数f(x)的最值。
例3-2 （定轴动区间类型）已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[t，t＋2]，求函数f(x)的最值。
例3-3（动轴定区间）求二次函数f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值。
【跟踪训练】3 已知函数f(x)＝x－2－3，求函数f(x)的最值．
【当堂达标】
1.函数f(x)＝－x2－4x＋1，x∈[－3,3]的值域是(　 　)
A．(－∞，5] B．[5，＋∞) C．[－20,5] D．[4,5]
2.已知函数f(x)＝，x∈[－8，－4)，则下列说法正确的是(　　)
A．f(x)有最大值，无最小值 B．f(x)有最大值，最小值
C．f(x)有最大值，无最小值 D．f(x)有最大值2，最小值
3.函数f(x)＝的最大值为________．
4.函数f(x)＝在[1，b](b>1)上的最小值是，则b＝________.
5．求函数f(x)＝x2－2ax＋a＋1(a>0)在[－4,4]上的最大值．
6.已知函数f(x)＝，x∈[3,5]．
(1)判断函数在区间[3,5]上的单调性，并给出证明；
(2)求该函数的最大值和最小值．
【课堂小结】
1.函数的最大(小)值，包含两层意义：
一是存在，二是在给定区间上所有函数值中最大(小)的，反映在函数图象上，函数的图象有最高点或最低点．
2.求函数的最值与求函数的值域类似，常用的方法是：
(1)图象法，即画出函数的图象，根据图象的最高点或最低点写出最值；
(2)单调性法，一般需要先确定函数的单调性，然后根据单调性的意义求出最值；
(3)对于二次函数还可以用配方法研究，同时灵活利用数形结合思想和分类讨论思想解题．
【参考答案】
【自主学习】
≤ ≥ f(x0)＝M 纵坐标 纵坐标
思考1：f(x)＝－x2≤1总成立，但是不存在x0使f(x0)＝1，所以f(x)的最大值不是1，而是0.
思考2：函数值域是指函数值的集合，函数最大(小)值一定是值域的元素．如果值域是一个闭区间，那么函数的最大(小)值就是闭区间两端点的值．
【小试牛刀】
1.× × √ ×
2.D 解析：∵f(x)在(－∞，0)上单调递增，∴f(x)【经典例题】
例1解：观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(3,3)，最低的点是(－1.5，－2)，
所以函数y＝f(x)当x＝3时取得最大值，最大值是3.
当x＝－1.5时取得最小值，最小值是－2.
函数的单调递增区间为[－1.5,3)，[5,6)，单调递减区间为[－4，－1.5)，[3,5)，[6,7]．
【跟踪训练】1 解析　f(x)的图象如图：
则f(x)的最大值为f(2)＝2.
例2 解：(1)函数f(x)在(1，＋∞)上是减函数．
证明：任取x2>x1>1，则f(x1)－f(x2)＝－＝，
因为x1－1>0，x2－1>0，x2－x1>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
所以f(x)在(1，＋∞)上是减函数．
(2)由(1)可知f(x)在(1，＋∞)上是减函数，所以f(x)在[2,6]上是减函数，
所以f(x)max＝f(2)＝1，f(x)min＝f(6)＝，即f(x)min＝，f(x)max＝1.
【跟踪训练】2 解：(1)设x1，x2是区间[1,2]上的任意两个实数，且x1则f(x1)－f(x2)＝x1－x2＋－＝(x1－x2)＝..
∵x10,1∴f(x1)>f(x2)，即f(x)在区间[1,2]上是减函数．
(2)由(1)知f(x)的最小值为f(2)，f(2)＝2＋＝4；f(x)的最大值为f(1)，f(1)＝1＋4＝5，
∴f(x)的最小值为4，最大值为5.
例3-1 解：∵函数f(x)＝x2－2x－3开口向上，对称轴x＝1，∴f(x)在[0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，且f(0)＝f(2)．∴f(x)max＝f(0)＝f(2)＝－3，f(x)min＝f(1)＝－4.
例3-2 解：∵对称轴x＝1，
①当1≥t＋2即t≤－1时，f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3，f(x)min＝f(t＋2)＝(t＋2)2－2(t＋2)－3＝t2＋2t－3.
②当≤1③当t≤1<，即0④当11时，f(x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t－3，f(x)min＝f(t)＝t2－2t－3.
设函数f(x)的最大值为g(t)，最小值为φ(t)，则有
g(t)＝φ(t)＝
例3-3 解：∵函数图象的对称轴是x＝a，∴当a<2时，f(x)在[2,4]上是增函数，
∴f(x)min＝f(2)＝6－4a.
当a>4时，f(x)在[2,4]上是减函数，∴f(x)min＝f(4)＝18－8a.
当2≤a≤4时，f(x)min＝f(a)＝2－a2.
∴f(x)min＝
【跟踪训练】3 解：设＝t(t≥0)，则x－2－3=t2－2t－3.由(1)知y＝t2－2t－3(t≥0)在[0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增．
∴当t＝1即x＝1时，f(x)min＝－4，无最大值．
【当堂达标】
1.C 解析：∵f(x)＝－(x＋2)2＋5，∴当x＝－2时，函数有最大值5；当x＝3时，函数有最小值－20，故选C.
2.A 解析：f(x)＝＝2＋，它在[－8，－4)上单调递减，因此有最大值f(－8)＝，无最小值。
3.2 解析：当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x<1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.
4.4 解析：因为f(x)在[1，b]上是减函数，所以f(x)在[1，b]上的最小值为f(b)＝＝，所以b＝5. 解：f(x)＝(x－a)2＋a－a2＋1，
当0又f(－4)＝9a＋17，f(4)＝17－7a，f(－4)>f(4)．
所以f(x)的最大值为f(－4)＝9a＋17.当a≥4时，f(x)在[－4，4]上是减函数，
所以f(x)的最大值为f(－4)＝9a＋17.
综上，在[－4,4]上函数的最大值为9a＋17.
6.解：(1)函数f(x)在[3,5]上是增加的，
证明：设任意x1，x2，满足3≤x1因为f(x1)－f(x2)＝－＝
因为3≤x10，x2＋1>0，x1－x2<0.
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以f(x)＝在[3,5]上是单调递增的．
(2)f(x)min＝f(3)＝＝，f(x)max＝f(5)＝＝.

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