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4.1　指数
第1课时　根式
【学习目标】
课程标准 学科素养
1.理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质．(重点) 2．能利用根式的性质对根式进行化简、运算．(重点、难点) 1.数学抽象 2.数学运算
【自主学习】
n次方根
1.a的n次方根的定义
一般地，如果 ，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
2.a的n次方根的表示
n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围
n为奇数 a∈R
n为偶数 ± [0，＋∞)
注意：负数没有偶次方根．
n次根式
1.根式：式子叫做根式，这里n叫做 ，a叫做被开方数．
2.根式的性质
(1)＝ (n∈N*，且n>1)； (2)( )n＝ (n∈N*，且n>1)；
(3)＝a(n为大于1的奇数)； (4)＝|a|＝(n为大于1的偶数)．
思考：若x4＝3，这样的x有几个，如何表示？
【小试牛刀】
1.思辨解析 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任意实数的奇次方根只有一个．(　　)
(2)正数的偶次方根有两个且互为相反数．(　　)
(3)当n∈N*时，()n＝－2.(　　)
(4) ＝π－4.(　　)
2.m是实数，则下列式子中可能没有意义的是(　　)
A.　　　B．　　　C.　 D．
【经典例题】
题型一 根式的概念
点拨：n(n>1)次方根的个数及符号的确定
(1)正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个．
(2)根式的符号由根指数n的奇偶性及被开方数a的符号共同确定：
①当n为偶数时，为非负实数；
②当n为奇数时，的符号与a的符号一致．
例1 下列说法正确的个数是(　　)
①16的4次方根是2；②的运算结果是±2；③当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义；④当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义．
A．1 B．2 C．3 D．4
【跟踪训练】1 已知a∈R，n∈N*，给出下列4个式子：
①；②；③；④，其中无意义的有(　　)
A．1个　　　　 B．2个　　 C．3个　 D．0个
题型二 利用根式的性质化简求值
点拨：正确区分与()n
1.()n已暗含了有意义，依据n的奇偶性可知a的范围；
2.中的a可以是全体实数，的值取决于n的奇偶性．
例2 化简下列各式：
(1)＋()5；(2)＋()6；(3).
【跟踪训练】2 计算下列各式的值：
(1) ；(2) ；(3) ＋；(4) .
题型三　有条件根式的化简
点拨：
1.有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简.
2.有条件根式的化简经常用到配方的方法.当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负.
例3 设－3＜x＜3，求－的值．
【跟踪训练】3 若＝3a－1，求a的取值范围．
【当堂达标】
1.以下说法正确的是(　　)
A.正数的n次方根是正数 B.负数的n次方根是负数
C.0的n次方根是0(n∈N*) D.a的n次方根是
2.下列各式正确的是(　　)
A.＝－3 B.＝a C.＝2 D.＝2
3.81的4次方根是(　　)
A．2 B．±2 C．3 D．±3
4.已知＝－4a－1，则实数a的取值范围是________．
5.已知＋＝－a－b，求＋的值．
6.已知－1【课堂小结】
1.一个数到底有没有n次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n为奇数或偶数这两种情况．n为奇数时，n次方根只有一个；n为偶数时，正数的n次方根有两个，负数没有偶次方根.
2.掌握两个公式：(1)()n＝a；(2)n为奇数，＝a，n为偶数，＝|a|＝
【参考答案】
【自主学习】
一．xn＝a 根指数 二. 0 a a 思考：有2个，表示为±.
【小试牛刀】
1.(1)√　(2)√　(3)×　(4) ×
2.C 解析：当m<0时，没有意义，其余各式均有意义．
【经典例题】
例1 B 解析：①16的4次方根应是±2；②＝2，所以正确的应为③④.
【跟踪训练】1 A 解析：①中(－3)2n>0，所以有意义；②中根指数为5有意义；③中(－5)2n＋1<0，因此无意义；④中根指数为9，有意义．故选A.
例2 解：(1)原式＝(－2)＋(－2)＝－4.
(2)原式＝|－2|＋2＝2＋2＝4.
(3)原式＝|x＋2|＝
【跟踪训练】2 解：(1) ＝－4.
(2) ＝|3－π|＝π－3.
(3) ＋＝(1＋)＋(－1)＝2.
(4) ＝|2x＋y|＝
例3 解：原式＝－＝|x－1|－|x＋3|.
∵－3＜x＜3，
∴当－3＜x＜1时，
原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2；
当1≤x＜3时，
原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4，
∴原式＝
【跟踪训练】3 解：∵＝＝|3a－1|＝3a－1
∴3a－1≥0，即a≥.
故a的取值范围为.
【当堂达标】
1.C 解析：当n为偶数时，正数的n次方根为一正一负，故A错误；当n为偶数时，负数的n次方根无意义，故B错误；当n∈N*时，0的n次方根为0，故C正确；当n为偶数，a<0时，无意义，故D错误．
2.C解析：由于＝3，＝|a|, ＝－2，故A、B、D错误．
3.D 解析：∵(±3)4＝81，∴81的4次方根为±3.
4. 解析：∵＝|4a＋1|＝－4a－1，∴4a＋1≤0，∴a≤－.
5.解：因为＋＝－a－b.
所以＝－a，＝－b，
所以a≤0，b≤0，所以a＋b≤0，
所以原式＝|a＋b|＋a＋b＝－(a＋b)＋a＋b＝0.
6. 解：原式＝－＝|x－2|－|x＋1|.
因为－1所以x＋1>0，x－2<0，
所以原式＝2－x－x－1＝1－2x.

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