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4.4.1 对数函数的概念
4.4.2 第1课时 对数函数的图象和性质
【学习目标】
课程标准 学科素养
1.理解对数函数的概念. 2.掌握掌握对数函数的图象和简单性质． 1.数学运算 2.数形结合
【自主学习】
一．对数函数的概念
一般地，把函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是 .
思考1：函数y＝2log3x，y＝log3(2x)是对数函数吗？
二.对数函数的图象与性质
对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：
定义 y＝logax (a>0，且a≠1)
底数 a>1 0图象
定义域
值域 R
单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
共点性 图象过定点 ，即x＝1时，y＝0
函数值特点 x∈(0,1)时，y∈ ； x∈[1，＋∞)时，y∈ x∈(0,1)时，y∈ ； x∈[1，＋∞)时，y∈
对称性 函数y＝logax与y＝ 的图象关于 对称
思考2：对数函数的“上升”或“下降”与谁有关？
三．反函数
一般地，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数 互为反函数，它们的定义域与值域正好 ．
思考3：函数y＝ax与y＝logax(a>0且a≠1)的图象有何特点？
【小试牛刀】
1.思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对数函数的定义域为R.(　　)
(2)y＝log2x2与logx3都不是对数函数．(　　)
(3)对数函数的图象一定在y轴的右侧．(　　)
(4)函数y＝log2x与y＝x2互为反函数．(　　)
2.函数y＝logax的图象如图所示，则实数a的可能取值为(　　)
A．5　　　 B. C. D．
【经典例题】
题型一 对数函数的概念
点拨：判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a>0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：
(1)系数为1.
(2)底数为大于0且不等于1的常数．
(3)对数的真数仅有自变量x.
例1 指出下列函数中哪些是对数函数？
(1)y＝logax2(a＞0且a≠1)； (2)y＝log2x－1； (3)y＝2log7x；
(4)y＝logxa(x＞0且x≠1)； (5)y＝log5x.
【跟踪训练】1 (1)对数函数的图象过点M(16,4)，则此对数函数的解析式为 .
(2)已知函数f(x)＝(2m2－m)logax＋m－1是对数函数，则m＝ .
题型二　对数型函数的定义域
点拨：求对数型函数的定义域时应遵循的原则
1.分母不能为0；
2.根指数为偶数时，被开方数非负；
3.对数的真数大于0，底数大于0且不为1.
例2　求下列函数的定义域.
(1)y＝loga(3－x)＋loga(3＋x)； (2)y＝log2(16－4x).
【跟踪训练】2 求下列函数的定义域．
(1)y＝； (2)y＝；
(3)y＝； (4)y＝log(x＋1)(2－x)．
题型三 对数函数的图象
点拨：
1.对数函数的底与图象变化的关系：
在第一象限内，底数越大，图象越靠近x轴．
2.对数型函数过定点问题：
求函数y＝m＋loga fxa>0，且a≠1的图象过的定点时，只需令fx＝1求出x，即得定点为（x，m）.
例3 (1)对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx在同一坐标系内的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是________．
(2)函数f(x)＝ax－2＋loga(x－1)＋1(a＞0，a≠1)的图象必经过点________．
【跟踪训练】3 (1)当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为(　　)
A　　　　　B　　　　C　　　　D
(2)函数y＝loga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点________．
【当堂达标】
1.（多选）下列函数为对数函数的是(　　)
A.y＝logax＋1(a＞0且a≠1) B.y＝loga(2x)(a＞0且a≠1)
C.y＝log(a－1)x(a＞1且a≠2) D.y＝logax(a＞0且a≠1)
2.函数f(x)＝＋lg(5－3x)的定义域是(　　)
A.　　 B． C. D．
3.已知函数f(x)＝log3(x＋1)，若f(a)＝1，则a等于(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
4.函数y＝lg(x＋1)的图象大致是(　　)
5.已知函数y＝loga(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．
6.已知f(x)＝loga|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象．
【课堂小结】
1.知识点
(1)对数函数的定义；
(2)对数函数的定义域；
(3)对数函数的图象．
2.易错点
(1)判断一个函数是不是对数函数关键是分析所给函数是否具有y＝logax(a>0且a≠1)这种形式．
(2)在对数函数y＝logax中，底数a对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质．
(3)涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析．
【参考答案】
【自主学习】
一．(0，＋∞)
思考1：不是，其不符合对数函数的形式．
二．(0，＋∞) (1,0) (－∞，0) [0，＋∞) (0，＋∞) (－∞，0] x轴
思考2：底数a与1的关系决定了对数函数的升降．当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0三．y＝logax(a＞0，且a≠1) 互换
思考3：两函数的图象关于直线y＝x对称．
【小试牛刀】
1.(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2.A　解析：由图可知，a>1，故选A.
【经典例题】
例1 解：只有(5)为对数函数．
(1)中真数不是自变量x，∴不是对数函数；
(2)中对数式后减1，∴不是对数函数；
(3)中log7x前的系数是2，而不是1，
∴不是对数函数；
(4)中底数是自变量x，而非常数a，∴不是对数函数.
【跟踪训练】1（1） y＝log2x 解析：设对数函数为y＝logax，则4＝loga16，∴a4＝16，
∴a＝2，∴y＝log2x.
（2）1 解析：因为函数f(x)是对数函数，则解得m＝1.
例2 解：(1)由得－3∴函数的定义域是(－3,3).
(2)由16－4x>0，得4x<16＝42，
由指数函数的单调性得x<2，
∴函数y＝log2(16－4x)的定义域为(－∞，2).
【跟踪训练】2 解：(1)定义域为(0，＋∞)．
(2)由解得(3)由解得(4)由解得－1例3 (1) a>b>c>d 解析：在第一象限内顺时针旋转，底数逐渐增大，故a>b>c>d.
(2) (2,2) 解析：当x＝2时，f(2)＝a0＋loga1＋1＝2，所以图象必经过点(2,2)．
【跟踪训练】3
(1)C解析：∵a>1，∴0<<1，∴y＝a－x是减函数，y＝logax是增函数，故选C.
(2)(0，－2) 解析：因为函数y＝logax (a>0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，则令x＋1＝1得x＝0，此时y＝loga(x＋1)－2＝－2，所以函数y＝loga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0，－2).
【当堂达标】
1.CD 解析：由对数函数定义可知选CD.
2.C 解析：由得即1≤x<.
3.C 解析：∵f(a)＝log3(a＋1)＝1，∴a＋1＝3，∴a＝2.
4.C 解析：由底数大于1可排除A、B，y＝lg(x＋1)可看作是y＝lgx的图象向左平移1个单位．(或令x＝0得y＝0，而且函数为增函数)
5.(4，－1) 解析：y＝logax的图象恒过点(1,0)，令x－3＝1，得x＝4，则y＝－1.
6.解：因为f(－5)＝1，所以loga5＝1，即a＝5，故f(x)＝log5|x|＝
所以函数y＝log5|x|的图象如下图所示．

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