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4.4.2 第2课时 对数函数的图象和性质
【学习目标】
课程标准 学科素养
1.会进行同底对数和不同底对数大小的比较(重点)． 2.会解简单的对数不等式． 3.掌握对数型复合函数单调区间的求法及单调性的判定方法(重、难点)． 1.数形结合 2.数学运算
【自主学习】
一．对数型复合函数的单调性
复合函数y＝f[g(x)]是由y＝f(x)与y＝g(x)复合而成，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为 ；若f(x)与g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为 .
对于对数型复合函数y＝logaf(x)来说，函数y＝logaf(x)可看成是y＝logau与u＝f(x)两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．
另外，在求复合函数的单调区间时，首先要考虑函数的定义域．
二.对数型复合函数的值域
对于形如y＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：
(1)分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数；
(2)解f(x)>0，求出函数的定义域；
(3)求u的取值范围；
(4)利用y＝logau的单调性求解．
【经典例题】
题型一　比较对数值的大小
点拨：比较对数值大小时常用的4种方法
1.同底的利用对数函数的单调性，如例1(1)．
2.同真的利用对数函数的图象或用换底公式转化，如例1(2)．
3.底数和真数都不同，找中间量，如例1(3)．
4.若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论，如例1(4)．
例1　比较下列各组值的大小：
(1)log5与log5；
(2)log2与log2；
(3)log23与log54.
(4)loga3.1，loga5.2(a>0，且a≠1)．
【跟踪训练】1下列不等式成立的是(其中a>0且a≠1)(　　)
A.loga5.1log2.2 C.log1.1(a＋1)题型二　解对数不等式
点拨：两类对数不等式的解法
(1)形如logaf(x)①当0g(x)>0；②当a>1时，可转化为0(2)形如logaf(x)①当0ab；②当a>1时，可转化为0例2 已知log0.3(3x)A. B. C. D.
【跟踪训练】2 已知函数f(x)＝loga(x－1)，g(x)＝loga(6－2x)(a＞0，且a≠1)．
(1)求函数φ(x)＝f(x)＋g(x)的定义域；
(2)试确定不等式f(x)≤g(x)中x的取值范围．
题型三　对数型复合函数的单调性
点拨：对于函数y＝logaf(x)，如果定义域为D.
y＝logaf(x)的增区间 y＝logaf(x)的减区间
a>1 定义域内f(x)的单调增区间 定义域内f(x)的单调减区间
0例3 求函数y＝log0.3(3－2x)的单调区间。
【跟踪训练】3 函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(　　)
A.(－∞，－2) B.(－∞，1) C.(1，＋∞) D.(4，＋∞)
题型四　对数型复合函数的值域
点拨：
与对数函数有关的复合函数值域：求与对数函数有关的复合函数的值域，一方面，要抓住对数函数的值域；另一方面，要抓住中间变量的取值范围，利用对数函数的单调性来求其值域(多采用换元法)．
例4 求下列函数的值域：
(1)y＝log2(x2＋4)；
(2)y＝(3＋2x－x2)．
【跟踪训练】4 函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为(　 　)
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
【当堂达标】
1.设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则(　　)
A．a>c>b　 B．b>c>a C．c>b>a D．c>a>b
2.已知f(x)＝loga(8－3ax)在[－1,2]上是减函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0,1) B. C. D．(1，＋∞)
3.（多选）设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是(　 )
A．奇函数 B．偶函数
C．在(0,1)上是增函数 D．在(0,1)上是减函数
4.函数f(x)＝ln(3＋2x－x2)的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ．
5.函数y＝log(x2－6x＋11)的值域为________.
6.(1)已知loga>1，求a的取值范围；
(2)已知log0.7(2x)7.求函数f(x)＝loga(2x2－3x－2)的单调区间．
【参考答案】
【自主学习】
增函数 减函数
【经典例题】
例1 (1)法一(单调性法)：对数函数y＝log5x在(0，＋∞)上是增函数，而<，所以log5法二(中间值法)：因为log5<0，log5>0，
所以log5(2)法一(单调性法)：由于log2＝，log2＝，
又因对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，
且>，所以0>log2>log2，
所以<，所以log2法二(图象法)：如图，在同一坐标系中分别画出y＝logx及y＝logx的图象，由图易知：log2(3)取中间值1，因为log23>log22＝1＝log55>log54，所以log23>log54.
(4)当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，又3.1<5.2，所以loga3.1当0loga5.2.
【跟踪训练】1 B解析：对于选项A，因为a和1大小的关系不确定，无法确定指数函数和对数函数的单调性，故A不成立；对于选项B，因为以为底的对数函数是减函数，所以成立；对于选项C，因为以1.1为底的对数函数是增函数，所以不成立；对于选项D，log32.9>0，log0.52.2<0，故不成立，故选B.
例2 A解析：因为函数y＝log0.3x是(0，＋∞)上的减函数，所以原不等式等价于解得x>.
【跟踪训练】2 (1)由解得1＜x＜3，∴函数φ(x)的定义域为{x|1＜x＜3}．
(2)不等式f(x)≤g(x)，即为loga(x－1)≤loga(6－2x)，
①当a＞1时，不等式等价于解得1②当0＜a＜1时，不等式等价于解得≤x<3.
综上可得，当a＞1时，不等式的解集为；当0＜a＜1时，不等式的解集为.
例3解：由3－2x>0，解得x<，设t＝3－2x，x∈，∵函数y＝log0.3t是减函数，且函数t＝3－2x是减函数，∴函数y＝log0.3(3－2x)在上是增函数，即函数y＝log0.3(3－2x)的单调递增区间是，没有单调递减区间.
【跟踪训练】3 D 解析：要使函数有意义，则：x2－2x－8>0，解得：x<－2或x>4，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则，可得函数的单调增区间为(4，＋∞)，故选D.
例4 解：(1)y＝log2(x2＋4)的定义域为R.
∵x2＋4≥4，∴log2(x2＋4)≥log24＝2.∴y＝log2(x2＋4)的值域为{y|y≥2}．
(2)设u＝3＋2x－x2，则u＝－(x－1)2＋4≤4.
∵u>0，∴0∴y＝(3＋2x－x2)的值域为{y|y≥－2}．
【跟踪训练】4 A 解析：∵3x＋1>1，且f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
∴log2(3x＋1)>log21＝0，故该函数的值域为(0，＋∞)．
【当堂达标】
1.D　解析：a＝log32log22＝1，由对数函数的性质可知log522.B 解析：由题意，知8－3ax>0，x∈[－1，2]，∴8＋3a>0,8－6a>0，∴－0，且a≠1，∴01.所以实数a的取值范围为.故选B.
3.AC 解析：由题意可得，函数f(x)的定义域为(－1,1)，且f(x)＝ln＝ln(－1)，易知y＝－1在(0,1)上为增函数，故f(x)在(0,1)上为增函数，又f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数，选AC．
4. (－1,1) (1,3) 解析：∵3＋2x－x2>0，∴x2－2x－3<0.
∴－1令u＝3＋2x－x2＝－(x2－2x－3)＝－(x－1)2＋4，
∴当x∈(－1,1)时，u是x的增函数，y是lnu的增函数，故函数f(x)＝ln(3＋2x－x2)的单调递增区间是(－1,1)．
同理，函数f(x)＝ln(3＋2x－x2)的单调递减区间是(1,3)．
5.(－∞，－1] 解析：∵x2－6x＋11＝(x－3)2＋2≥2，∴log(x2－6x＋11)≤log2＝－1，故所求函数的值域为(－∞，－1].
6.解：(1)由loga>1得loga>logaa.
①当a>1时，有a<，此时无解．②当0所以a的取值范围是.
(2)因为函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，所以由log0.7(2x)解得x>1.即x的取值范围是(1，＋∞)．
7.解：由2x2－3x－2>0得函数f(x)的定义域为.
①a>1时，t＝2x2－3x－2在(2，＋∞)上为增函数，在上为减函数，
∴f(x)在(2，＋∞)上为增函数，在上为减函数．
②0∴f(x)在(2，＋∞)上为减函数，在上为增函数．
综上，由①②可知，当a>1时，f(x)的单调增区间为(2，＋∞)，单调减区间为；当0

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