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4.4.3　不同函数增长的差异
【学习目标】
课程标准 学科素养
1.尝试将实际问题转化为函数模型． 2.了解指数函数、对数函数及一次函数等函数模型的增长差异． 3.会根据函数的增长差异选择函数模型． 1.数学建模 2.数学运算 3.直观想象
【自主学习】
一.函数模型
一般地，设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题的已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型.
二. 三种常见函数模型的增长差异
函数类型 指数函数 对数函数 一元一次函数
解析式 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝kx(k>0)
单调性 在(0，＋∞)上单调
图象(随x的增大) 逐渐与y轴平行 逐渐与x轴平行 直线逐渐上升
增长速度 (随x的增大) y的增长速度越来越____ y的增长速度越来越____ y值逐渐增加
增长关系 存在一个x0，当x>x0时，ax>kx>logax
思考：已知函数f(x)＝2x，g(x)＝2x，h(x)＝log2x.
(1)函数f(x)，g(x)，h(x)随着x的增大，函数值有什么共同的变化趋势？
(2)函数f(x)，g(x)，h(x)增长的速度有什么不同？
【经典例题】
题型一 根据函数的图象规律分析函数模型的增长趋势
例1某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示．
以下四种说法：
①前三年产量增长的速度越来越快；
②前三年产量增长的速度越来越慢；
③第三年后这种产品停止生产；
④第三年后产量保持不变．
其中说法正确的序号是________．
【跟踪训练】1 在2 h内将某种药物注射进患者的血液中．在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是(　　)
题型二　函数模型的增长差异
点拨：三种函数模型的增长规律：
1.对于幂函数y＝xn，当x＞0，n＞0时，y＝xn才是增函数，当n越大时，增长速度越快．
2.指数函数与对数函数的递增前提是a＞1，又它们的图象关于y＝x对称，从而可知，当a越大，y＝ax增长越快；当a越小，y＝logax增长越快，一般来说，ax＞logax(x＞0，a＞1)．
3.指数函数与幂函数，当x＞0，n＞0，a＞1时，可能开始时有xn＞ax，但因指数函数是爆炸型函数，当x大于某一个确定值x0后，就一定有ax＞xn.
例2 四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
x 1 5 10 15 20 25 30
y1 2 26 101 226 401 626 901
y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109
y3 2 10 20 30 40 50 60
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907
关于x呈指数函数变化的变量是____.
【跟踪训练】2 (1)下列函数中，增长速度最慢的是(　　)
A．y＝6x B．y＝log6x C．y＝x6 D．y＝6x
(2)有一组数据如下表：
t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12
v 1.5 4.04 7.5 12 18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是(　　)
A．v＝log2t C．v＝ D．v＝2t－2
题型三　函数模型的选取
点拨：不同函数模型的选取标准
1.线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律．
2.指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律．
3.对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律．
4.幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．
例3　某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计两套方案对污水进行处理，并准备实施．
方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30000元；
方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费，问：
(1)工厂每月生产3000件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节约资金的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明；
(2)若工厂每月生产6000件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？
【当堂达标】
1.（多选）已知函数，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（ ）
A.随着的逐渐增大，增长速度越来越快于
B.随着的逐渐增大，增长速度越来越快于
C.当时，增长速度一直快于
D.当时，增长速度有时快于
2.下图反映的是下列哪类函数的增长趋势(　　)
A．一次函数 B．幂函数
C．对数函数 D．指数函数
3.下列函数中随x的增长而增长最快的是(　　)
A.y＝ex B.y＝ln x C.y＝x10 D.y＝2x
4.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是(　　)
5.下列选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是________.(填序号)
①y＝10×1.05x；②y＝20＋x1.5；③y＝30＋lg(x－1)；④y＝50.
6.某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到________只.
【参考答案】
【自主学习】
(a> 1) 递增 快 慢
思考:(1)函数f(x)，g(x)，h(x)随着x的增大，函数值增大
(2)各函数增长的速度不同，其中f(x)＝2x增长得最快，其次是g(x)＝2x，最慢的是h(x)＝log2x.
【经典例题】
例1 ②③ 解析：由t∈[0,3]的图象联想到幂函数y＝xa(0【跟踪训练】1 B 解析：注射时间为2 h，(0,2)内呈直线上升，当t＞2时呈指数衰减．A在(0,2)内不是直线上升．D中t＞2时，为负数，无意义．C衰减部分不是指数变化．故选B.
例2 y2 解析：以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速率不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数函数变化．
【跟踪训练】2（1）B 解析：对数函数的增长速度越来越慢．选B.
(2) C 解析：从表格中看到此函数为单调增函数，排除B，增长速度越来越快，排除A和D，选C.
例3 解：设工厂每月生产x件产品时，选择方案一的利润为y1，选择方案二的利润为y2，由题意知
y1＝(50－25)x－2×0.5x－30000＝24x－30000.
y2＝(50－25)x－14×0.5x＝18x.
(1)当x＝3000时，y1＝42000，y2＝54000，
∵y1(2)当x＝6000时，
y1＝114000, y2＝108000，
∵y1>y2，∴应选择方案一处理污水．
【当堂达标】
1.BD解析：对于，从负无穷开始，大于，然后大于，再然后再次大于，最后大于，再也追不上，故随着的逐渐增大，增长速度越来越快于，A错误，BD正确；由于的增长速度是不变的，当时，大于，当时，大于，再也追不上，增长速度有时快于，C错误．故选：BD．
2. C 解析：从图象可以看出这个函数的增长速率越来越慢，反映的是对数函数的增长趋势．
3. A 解析：指数函数增长最快。
D 解析：设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意，ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，
∴y＝f(x)的图象大致为D中图象．
5.　①
6.　300 解析：当x=1时y=100，可知a=100，当x=7时，y=300.

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