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4.5.1 函数的零点与方程的解
【学习目标】
课程标准 学科素养
1.理解零点的概念； 2.了解函数的零点与方程根的联系，能利用函数零点与方程根的关系确定方程根的个数； 3.能够利用零点的存在解决含参问题． 1.数形结合 2.数学运算 3.逻辑推理
【自主学习】
函数的零点
对于函数y＝f(x)，把 叫做函数y＝f(x)的零点．
函数y＝f(x)的图象与x轴交点的 就是函数y＝f(x)的零点．
思考1：(1)函数的零点是点吗？
(2)函数的零点个数、函数的图象与x轴的交点个数、方程f(x)＝0根的个数有什么关系？
二．函数的零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条 的曲线，并且有 ，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内 ，即存在c∈(a，b)，使得 ，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
解读：并非函数所有的零点都能用这种方法找到．如y＝x2的零点在x＝0附近就没有这样的区间．只有函数值在零点的左右两侧异号时才能用这种方法．
思考2：(1)函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，f(a)f(b)<0时，能否判断函数在区间(a，b)上的零点个数？
(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，是不是一定有f(a)f(b)<0
【小试牛刀】
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)f(x)＝x2的零点是0.(　　)
(2)若f(a)·f(b)>0，则f(x)在[a，b]内无零点． (　　)
(3)若f(x)在[a，b]上为单调函数，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．(　　)
(4)若f(x)在(a，b)内有且只有一个零点，则f(a)·f(b)<0. (　　)
2.函数f(x)＝2 020x－2 019的零点是(　　)
A．(，0)　　　B．2 020 C．－2 019 D.
【经典例题】
题型一　求函数的零点(方程的根)
点拨: 函数零点的求法
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．
(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．
例1 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
(1)f(x)＝－x2－4x－4；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝4x＋5；
(4)f(x)＝log3(x＋1)．
【跟踪训练】1 已知－1和4是函数f(x)＝ax2＋bx－4的零点，则f(1)＝____.
题型二　判断零点所在的区间
点拨：判断函数零点所在区间的三个步骤：
1.将区间端点代入函数求出函数的值.
2.把所得函数值相乘，并进行符号判断.
3.若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则函数在该区间内无零点，若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少有一个零点.
例2 f(x)＝lnx＋x3－9的零点所在的区间为(　 　)
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
【跟踪训练】2 若方程log3x＋x＝3的解所在的区间是(k，k＋1)且k∈Z，则k＝________.
题型三　函数零点个数的判断
点拨：1.判断零点的个数时 由fx＝gx－hx＝0，得gx＝hx，在同一坐标系中作出y1＝gx和y2＝hx的图象，利用图象判定方程根的个数.
2.已知零点个数求参数时 画出函数图象，将函数零点问题转化为图象交点问题，从而确定参数的范围.
例3求函数f(x)＝log2x－x＋2的零点的个数．
【跟踪训练】3 若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是 。
【当堂达标】
1.（多选）若函数f(x)的图像在R上连续不断，且满足f(x) <0，f(1) >0，f(2) >0，则下列说法错误的是（ ）
A．f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点
B．f(x)在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点
C．f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点
D．f(x)在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点
2.函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
3.函数f(x)＝x－2＋log2x，则f(x)的零点所在区间为(　 　)
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
4.已知函数f(x)的图象是连续不断的曲线，有如下x，f(x)的对应值表：
x 1 2 3 4 5 6
f(x) 15 10 －7 6 －4 －5
则函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有(　　)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5.二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数有________个零点．
6.求方程logax＋2x－6＝0的实数解的个数．
【课堂小结】
1.函数的零点
(1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．
(2)根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是f(x)＝0的解，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实数解，有几个实数解．
(3)函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的实数解，也就是函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象交点的横坐标．
2.判断函数y＝f(x)零点的存在性的两个条件
(1)函数的图象在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线．
(2)由f(a)·f(b)<0就可判断函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点．
【参考答案】
【自主学习】
使f(x)＝0的实数x 横坐标
思考1 (1)不是，是使f(x)＝0的实数x，是方程f(x)＝0的根．
(2) 相等。
连续不断 f(a)·f(b)<0 至少有一个零点 f(c)＝0
思考2 (1)只能判断有无零点，不能判断零点的个数．
(2)不一定，如f(x)＝x2在区间(－1,1)上有零点0，但是f(－1)f(1)＝1×1＝1>0.
【小试牛刀】
(1)√　(2)×　(3) √　(4)×
【经典例题】
例1解：(1)令－x2－4x－4＝0，解得x＝－2，
所以函数f(x)存在零点，且零点为x＝－2.
(2)令＝0，解得x＝1，
所以函数f(x)存在零点，且零点为x＝1.
(3)令4x＋5＝0，显然方程4x＋5＝0无实数根，所以函数f(x)不存在零点．
(4)令log3(x＋1)＝0，解得x＝0，所以函数f(x)存在零点，且零点为x＝0.
【跟踪训练】1 －6 解析： 由条件知f(-1)＝0， f(4)＝0，，∴，∴，
∴f(1)＝a＋b－4＝－6.
例2 C解析：f(1)＝1－9＝－8<0，
f(2)＝ln2＋8－9＝ln2－1<0，
f(3)＝ln3＋27－9＝ln3＋18>0，
∴f(2)·f(3)<0，∴函数f(x)的零点所在的区间为(2,3)．
【跟踪训练】2 2 解析：令f(x)＝log3x＋x－3，则f(2)＝log32－1＜0，f(3)＝1＞0，
由零点存在性定理得f(2)·f(3)＜0，
∴零点所在区间为(2,3)，∴k＝2.
例3 解：令f(x)＝0，即log2x－x＋2＝0，即log2x＝x－2.
令y1＝log2x，y2＝x－2.
画出两个函数的大致图象，如图所示．
有两个不同的交点．
所以函数f(x)＝log2x－x＋2有两个零点．
【跟踪训练】3 (0,2) 解析：令|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b，由题意可知函数y＝|2x－2|与y＝b的图象有两个交点，结合函数图象(如图所示)可知，0【当堂达标】
1.ABD 解析：由题知，所以根据函数零点存在定理可得在区间上一定有零点，又，无法判断在区间上是否有零点，在区间(1，2)上可能有零点．
2.C 解析：∵f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)＝(x－1)(x＋5)(x－2)，
∴由f(x)＝0得x＝－5或x＝1或x＝2.故函数f(x)的零点有3个．选C.
3. B 解析：f(1)＝－1＋log21＝－1，f(2)＝log22＝1，∴f(1)·f(2)<0，故选B．
B 解析：由题表可知f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0，又函数f(x)的图象是连续不断的曲线，故f(x)在区间[1,6]上至少有3个零点．
5. 2 解析：由Δ＝b2－4ac>0得二次函数y＝ax2＋bx＋c有两个零点．
6. 解：由logax＋2x－6＝0得logax＝－2x＋6
当a＞1时，作y＝logax与y＝－2x＋6的图象，
y＝logax为增函数，y＝－2x＋6为减函数，
有一个交点．
当0＜a＜1时，作y＝logax与y＝－2x＋6的图象，
随x的增大，y＝logax的递减逐渐变慢，有两个交点．
故当a＞1时，方程有一个实数解．
当0＜a＜1时，方程有两个实数解．

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