资源简介

4.5.2 用二分法求解方程的近似解
【学习目标】
课程标准 学科素养
1.通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件； 2.了解二分法求解方程近似解的步骤； 3.进一步加深对函数零点存在定理的理解。 数学运算 逻辑推理
【自主学习】
一．二分法的定义
对于在区间[a，b]上图象连续不断且 的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在的区间 ，使所得区间的两个端点逐步逼近 ，进而得到零点 的方法叫做二分法．
思考：若函数y＝f(x)在定义域内有零点，该零点是否一定能用二分法求解？
二．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：
(1)确定区间[a，b]，验证 ，给定精确度ε；
(2)求区间(a，b)的中点x1；
(3)计算f(x1)；
①若f(x1)＝0，则 就是函数的零点；
②若f(a)·f(x1)<0(此时零点x0∈ )，则令b＝x1；
③若f(x1)·f(b)<0(此时零点x0∈(x1，b))，则令a＝x1.
(4)判断是否达到精确度ε：即若 ，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．
【小试牛刀】
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)二分法所求出的方程的解都是近似解． (　　)
(2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求零点． (　　)
(3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内．(　　)
(4)由|a－b|<ε，可知区间[a，b]中任意一个值都是零点x0的满足精确度ε的近似值．(　　)
2.下列选项中，每个函数都有零点，但不能用二分法求图中函数零点的是(　　)
【经典例题】
题型一 二分法的概念
点拨：判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点.因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适合.
例1 已知函数f(x)的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为(　　)
A．4,4　　 　B．3,4　　 C．5,4　 D．4,3
【跟踪训练】1 观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是(　　)
题型二 用二分法求函数零点的近似值
点拨：用二分法求函数零点近似值的注意点
1.在第一步中要使：,①区间[a，b]的长度尽量小；②fa，fb的值比较容易计算，且fa·fb<0,
2.二分法仅对函数变号零点即零点两侧某区域内函数值异号适用.
3.利用二分法求函数的零点时，要随时进行精确度的判断，以决定是停止计算还是继续计算.
例2 用二分法求方程x2－5＝0的一个近似正解(精确度0.1)为________．
【跟踪训练】2 用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
f(1.600 0)≈0.200 f(1.587 5)≈0.133 f(1.575 0)≈0.067
f(1.562 5)≈0.003 f(1.556 25)≈－0.029 f(1.550 0)≈－0.060
据此数据，可得f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值(精确度0.01)为________．
【当堂达标】
1.关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是(　　)
A．“二分法”求方程的近似解一定可将y＝f(x)在[a，b]内的所有零点得到
B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到y＝f(x)在[a，b]内的零点
C．应用“二分法”求方程的近似解，y＝f(x)在[a，b]内有可能无零点
D．“二分法”求方程的近似解可能得到f(x)＝0在[a，b]内的精确解
2．若函数f(x)在[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，且同时满足f(a)f(b)<0，f(a)f>0，则(　　)
A．f(x)在上有零点 B．f(x)在上有零点
C．f(x)在上无零点 D．f(x)在上无零点
3.下列函数不能用二分法求零点的是(　　)
A．f(x)＝3x－2
B．f(x)＝log2x＋2x－9
C．f(x)＝(2x－3)2
D．f(x)＝3x－3
4.用二分法求函数y＝f(x)在区间[2,4]上的近似零点(精确度为0.01)，验证f(2)·f(4)<0，取区间[2,4] 的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0所在的区间是________.
5.用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
f(1.6000)＝0.200 f(1.5875)＝0.133 f(1.5750)＝0.067
f(1.5625)＝0.003 f(1.5562)＝－0.029 f(1.5500)＝－0.060
据此数据，求f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值(精确度0.01)．
6.已知函数f(x)＝lnx＋2x－6.
(1)证明f(x)有且只有一个零点；
(2)求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不大于.
【参考答案】
【自主学习】
一．f(a)·f(b)＜0 一分为二 零点 近似值
思考：二分法只适用于函数的变号零点(即函数在零点两侧符号相反)，因此函数在零点两侧同号的零点不能用二分法求解，如f(x)＝(x－1)2的零点就不能用二分法求解．
二．f(a)·f(b)＜0 x1 (a，x1) |a－b|<ε
【小试牛刀】
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.C
【经典例题】
例1 D 解析：图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以用二分法求解的个数为3，故选D.
【跟踪训练】1 A 解析：由图象可得，A中零点左侧与右侧的函数值符号不同，故可用二分法求零点．
例2 2.25 解析：令f(x)＝x2－5，
因为f(2.2)＝－0.16＜0，f(2.4)＝0.76＞0，
所以f(2.2)·f(2.4)＜0，说明这个函数在区间(2.2，2.4)内有零点x0.
取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，f(2.3)＝0.29，
因为f(2.2)·f(2.3)＜0，所以x0∈(2.2,2.3)．
再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，
f(2.25)＝0.062 5，
因为f(2.2)·f(2.25)＜0，所以x0∈(2.2,2.25)．
由于|2.25－2.2|＝0.05＜0.1，
所以原方程的近似正解可取为2.25.
【跟踪训练】2 1.5625 解析：由参考数据知，f(1.562 5)≈0.003>0，f(1.556 25)≈－0.029<0，即f(1.562 5)·f(1.556 25)<0，且1.562 5－1.556 25＝0.006 25<0.01，∴f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值可取为1.5625.
【当堂达标】
1.D 解析：二分法求零点，则一定有且能求出，故B，C不正确；零点左侧与右侧的函数值符号相同的零点不能用二分法得到，故A不正确，故选D.
2.B 解析：由f(a)f(b)<0，f(a)f>0可知f·f(b)<0，根据零点存在定理可知f(x)在上有零点．
3.C 解析：因为f(x)＝(2x－3)2≥0，即含有零点的区间[a，b]不满足f(a)·f(b)<0.
4.(2,3) 解析：∵f(2)·f(4)<0，f(2)·f(3)<0，∴f(3)·f(4)>0，∴x0∈(2,3)．
5. 解：由表中f(1.5625)＝0.003，f(1.5562)＝－0.029.
∴f(1.5625)·f(1.5562)<0.
又|1.5625－1.5562|＝0.0063<0.01，
∴一个零点近似值为1.5625(不唯一)．
6. 解：(1)证明：f(x)＝lnx＋2x－6在(0，＋∞)上是增函数，
∴f(x)至多有一个零点．
由于f(2)＝ln2－2<0，f(3)＝ln3>0，∴f(2)·f(3)<0.
∴f(x)在(2,3)内有一个零点．
∴f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点．
(2)∵f(2)<0，f(3)>0，取x1＝＝，f()＝ln＋5－6＝ln－1<0，
∴f(3)·f()<0.
∴f(x)零点x0∈(，3)．取x2＝＝，则f()＝ln＋2×－6＝ln－>0.
∴f()·f()<0.∴x0∈(，)．
∵|－|＝≤，∴满足题意的区间为(，)．

展开更多......

收起↑