资源简介

5.1.2 弧度制
【学习目标】
课程标准 学科素养
1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换． 2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系． 3.掌握并能应用弧度制下的扇形、弧长公式和面积公式. 1.直观想象 2.数学运算
【自主学习】
一．度量角的两种单位制
1.角度制：
(1)定义：用 作为单位来度量角的单位制．
(2)1度的角：周角的 .
2.弧度制：
(1)定义：以 作为单位来度量角的单位制．
(2)1弧度的角：长度等于 的圆弧所对的圆心角．
3.弧度数
　一般地，正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个 ，零角的弧度数是 .
如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝ .
这里，α的正负由角α的终边的旋转方向决定．
思考1：比值与所取的圆的半径大小是否有关？
4.弧度制与角度制的换算公式
角度化弧度 弧度化角度
360°＝ rad 2π rad＝
180°＝ rad π rad＝
1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝()°≈57.30°
5.一些特殊角与弧度数的对应关系
度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧 度 0 π 2π
6.角的集合与实数集R的关系
角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起 的关系：每一个角都有 的一个实数(等于这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有 的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应，如图．
二．扇形的弧长和面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则
1.弧长公式：l＝ .
2.扇形面积公式：S＝ ＝ .
注意：(1)α为弧度制．
(2)在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形运用：
①l＝|α|·r，|α|＝，r＝；②S＝|α|r2，|α|＝.
思考2：扇形的面积公式与哪个平面图形的面积公式类似？对应的图形是否也类似？
【小试牛刀】
1.思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)1弧度的角大于1度的角. (　　)
(2)不管是以弧度还是以度为单位的角的大小，都是一个与半径的大小无关的定值．(　　)
(3)1弧度的角是周角的. (　　)
(4)与45°终边相同的角可以写成α＝2kπ＋45°，k∈Z.(　　)
2.2 rad的角的终边在(　　)
A．第一象限　　B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.半径为2，圆心角为的扇形的面积是________．
【经典例题】
题型一 角度制与弧度制的互化
点拨：角度制与弧度制互化的关键与方法
1.关键：抓住互化公式π rad＝180°是关键；
2.方法：度数×＝弧度数；弧度数×°＝度数；
3.角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度.
例1 将下列角度与弧度进行互化．
(1)20°；(2)－15°；(3)；(4)－.
【跟踪训练】1 (1)已知α＝15°，β＝，γ＝1，θ＝105°，φ＝π，试比较它们的大小．
(2)把－1 480°写成2kπ＋α(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π，并判断它是第几象限角？
题型二 用弧度制表示终边相同的角
点拨：1.弧度制下与角α终边相同的角的表示
在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍．
2.根据已知图形写出区域角的集合的步骤
(1)仔细观察图形．
(2)写出区域边界作为终边时角的表示．
(3)用不等式表示区域范围内的角．
例2　将－1125°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π.并判断它是第几象限角？
【跟踪训练】2 用弧度制表示终边落在如图（右）所示阴影部分内的角θ的集合.
题型三 弧长公式与扇形面积公式的应用
点拨：弧度制下解决扇形相关问题的步骤
1.明确弧长公式和扇形的面积公式：l＝|α|r，S＝αr2和S＝lr.(这里α必须是弧度制下的角)
2.分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式．
3.根据条件列方程(组)或建立目标函数求解．
注意：看清角的度量制，恰当选用公式．
例3 (1)求半径为2，圆心角为的圆弧的长度．
(2)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数．
【跟踪训练】3 已知扇形AOB的周长为10 cm，求该扇形的面积的最大值及取得最大值时圆心角的大小及弧长．
【当堂达标】
1.圆的半径为r，该圆上长为r的弧所对的圆心角是(　　)
A. rad　 B． rad C. rad D． rad
2.(多选)下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是( )
A.2kπ＋45°(k∈Z) B.k·360°＋(k∈Z) C.k·360°－315°(k∈Z) D.2kπ＋(k∈Z)
3.－135°化为弧度为______，化为角度为________.
4.已知扇形的周长为8 cm，圆心角为2，则扇形的面积为________ cm2.
5.用弧度表示终边落在如图(1)(2)所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合．
6.已知扇形OAB的周长是60 cm，求扇形OAB的最大面积及此时弧长AB.
【参考答案】
【自主学习】
一．1.度 2.弧度 半径长 3.正数 负数 0
思考1：一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关．
4. 2π π 360° 180° 6. 一一对应 唯一 唯一
二．αR lR αR2
思考2：扇形的面积公式与三角形的面积公式类似．实际上，扇形可看作是一个曲边三角形，弧是底，半径是底上的高
【小试牛刀】
1. (1) √　(2)√　(3)×　(4)×
2.B
3.　解析：由已知得S扇＝××22＝.
【经典例题】
例1 解：(1)20°＝＝.
(2)－15°＝－＝－.
(3)＝×180°＝105°.
(4)－＝－×180°＝－396°.
【跟踪训练】1 解析：(1)法一：(化为弧度)：
α＝15°＝15×＝，
θ＝105°＝105×＝，
显然＜＜1＜.故α＜β＜γ＜θ＝φ.
法二：(化为角度)：
β＝＝×()°＝18°，γ＝1≈57.30°，
φ＝×()°＝105°.
显然，15°＜18°＜57.30°＜105°.故α＜β＜γ＜θ＝φ.
(2)－1 480°＝－1 480×＝－＝－10π＋，其中0≤<2π，因为是第四象限角，所以－1 480°是第四象限角．
例2 解：－1 125°＝－1 125×＝－＝－8π＋.
其中<<2π，因为是第四象限角，所以－1 125°是第四象限角.
【跟踪训练】2 解：终边落在射线OA上的角为θ＝135°＋k·360°，k∈Z，
即θ＝＋2kπ，k∈Z.
终边落在射线OB上的角为θ＝－30°＋k·360°，k∈Z，即θ＝－＋2kπ，k∈Z，
故终边落在阴影部分的角θ的集合为
例3 解：(1)∵半径R＝2，圆心角α＝，
∴弧长l＝|α|·R＝.
(2)设扇形的半径为r，弧长为l，所对圆心角为α(0<α<2π)．
则解得或
当r＝1时，l＝8，此时α＝＝8(rad)>2π，不符合，舍去；
当r＝4时，l＝2，此时α＝＝＝(rad)．
∴所求圆心角的弧度数为rad.
【跟踪训练】3 解：设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为r，面积为S，
由l＋2r＝10得l＝10－2r，
S＝lr＝(10－2r)·r＝5r－r2＝－2＋，0当r＝时，S取得最大值，
这时l＝10－2×＝5，∴θ＝＝＝2.
故该扇形的面积的最大值为cm2，取得最大值时圆心角为2 rad，弧长为5 cm.
【当堂达标】
1.B 解析：由弧度数公式α＝，得α＝＝，因此圆弧所对的圆心角是 rad.
2.CD 解析：A、B中弧度与角度混用，不正确；＝2π＋，所以与终边相同.
－315°＝－360°＋45°，所以－315°也与45°终边相同，即与终边相同.
3. － 660° 解析：－135°＝－135×＝－；＝×180°＝660°.
4. 4 解析：设扇形的半径为r cm，弧长为l cm，由圆心角为2 rad，依据弧长公式可得l＝2r，从而扇形的周长为l＋2r＝4r＝8，解得r＝2，则l＝4.
故扇形的面积S＝lr＝×4×2＝4 cm2.
5. 解：对于题图(1)，225°角的终边可以看作是－135°角的终边，化为弧度，即－，60°角的终边即的终边，
∴所求集合.
对于题图(2)，同理可得，所求集合为
∪
＝.
6. 解：设弧长为l，半径为r，由已知l＋2r＝60，
所以l＝60－2r，|α|＝＝，
从而S＝|α|r2＝··r2＝－r2＋30r＝－(r－15)2＋225，
当r＝15时，S取最大值为225，这时圆心角α＝＝＝2 rad，
可得弧长AB＝αr＝2×15＝30 (cm)．

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