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5.2.1 三角函数的概念
【学习目标】
课程标准 学科素养
1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义． 2.掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号． 3.会利用诱导公式一进行有关计算． 1.数学抽象 2.数学运算
【自主学习】
一．利用单位圆定义任意角的三角函数
1.单位圆
在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以 为半径的圆为单位圆．
2.三角函数定义
前提 在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，α∈R， 它的终边与 交于点P(x，y)，那么：
定义 正弦 把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作 ，即y＝
余弦 把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作 ，即x＝
正切 单位圆上点P的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数叫做α的正切函数，记作 ，即＝ (x≠0)
注意：(1)要明确sin α是一个整体，不是sin与α的乘积，它是“正弦函数”的一个记号；
(2)在任意角的三角函数的定义中，应该明确α是一个任意角．
3.三角函数在弧度制下的定义域
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数．
正弦函数y＝sin x，定义域为 ；
余弦函数y＝cos x，定义域为 ；
正切函数y＝tan x，定义域为 .
4.利用角α的终边上任意一点的坐标定义三角函数
推广到一般情况：设α为一个任意角，在α的终边上任取一点P(异于原点)，其坐标为(x，y)，且OP＝r＝ (r＞0)，则sin α＝ ，cos α＝ ，tan α＝ (x≠0).
注意：三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和P(x，y)所在终边上的位置无关，而由角α的终边位置决定．
二．三角函数值在各象限的符号
三角函数值的符号变化规律可概括为“ ”,即第一象限各三角函数值均为正,第二象限只有正弦值为正,第三象限只有正切值为正,第四象限只有余弦值为正.
三.诱导公式一
即终边相同的角的同一三角函数值 ．
四.特殊角的三角函数值
【小试牛刀】
1.思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)sin α表示sin与α的乘积.(　　)
(2)若α＝β＋720°，则cosα＝cosβ.(　　)
(3)若sinα＝sinβ，则α＝β.(　　)
(4)已知α是三角形的内角，则必有sinα>0.(　　)
(5)任意角α的正弦值sinα、余弦值cosα、正切值tanα都有意义．(　　)
2.已知角α的终边与单位圆交于点，则tan α等于(　　)
A．－　　　　 B．－ C．－ D．－
3.已知sin α＞0，cos α＜0，则角α是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
4.sin(－315°)的值是(　　)
A．－　 B．－　　 C.　 D．
【经典例题】
题型一 任意角的三角函数的定义及其应用
点拨：　求任意角的三角函数值的2种方法
方法一：根据定义，寻求角的终边与单位圆的交点P的坐标，然后利用定义得出该角的正弦、余弦、正切值．
方法二：第一步，取点：在角α的终边上任取一点P(x，y)，(P与原点不重合)；
第二步，计算r：r＝|OP|＝；
第三步，求值：由sinα＝，cosα＝，tanα＝(x≠0)求值．
在运用上述方法解题时，要注意分类讨论思想的运用.
例1 (1)若角α的终边经过点P(5，－12)，则sinα＝________，cosα＝________，tanα＝________.
(2)已知角α的终边落在直线x＋y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．
【跟踪训练】1已知角θ的终边上有一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝x，则sin θ＋tan θ的值为 ．
题型二 三角函数在各象限的符号运用
点拨： 判断三角函数值正负的两个步骤
1.定象限：确定角α所在的象限．
2.定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断．
注意：若sinα>0，则α的终边不一定落在第一象限或第二象限内，有可能终边落在y轴的非负半轴上．
例2 (1)确定下列三角函数值的符号：
①sin 156°；②cosπ；③cos(－450°)；④tan；⑤sin；⑥tan 556°.
(2)已知点P(tan α，cos α)在第四象限，则角α终边在(　　)
A．第一象限　　 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【跟踪训练】2已知cos θ·tan θ<0，那么角θ是(　　)
A．第一或第二象限角　　 B．第二或第三象限角
C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角
题型三 诱导公式一的应用
点拨：1.公式一的实质是终边相同的角的同名三角函数值相等．利用它可将大角转化为[0,2π)范围内的角，再借助特殊角的三角函数值达到化简求值的目的．
2.熟记一些特殊角的三角函数值．
例3 求下列各式的值：
(1)cos ＋tan(－)；(2)sin 810°＋tan 765°－cos 360°.
【跟踪训练】3 求值：sin(－1 740°)cos 1 470°＋cos(－660°)sin 750°＋tan 405°.
【当堂达标】
1.已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于(　　)
A. B. C．－ D．－
2.已知角α终边过点P(1，－1)，则tan α的值为(　　)
A．1　　 B．－1　 C.　　 D．－
3.sin的值等于(　　)
A. B．－ C. D．－
4.若sinα<0且tanα>0，则α的终边在(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5.已知角α的终边经过点P(4a，－3a)(a≠0)，则2sin α＋cos α＝________.
6.化简下列各式：
(1)a2sin(－1 350°)＋b2tan 405°－2abcos(－1 080°)；
(2)sin＋cosπ·tan 4π.
【参考答案】
【自主学习】
一．1.单位长度 2. 单位圆 sin α sin α cos α cos α tan α tan α
3. R R 4.
二．一全正、二正弦、三正切、四余弦
三．相等
【小试牛刀】
1. (1)× (2)√　(3)×　(4)√　(5)×
2.D
3.B解析：由正弦、余弦函数值在各象限内的符号知，角α是第二象限角．
4.C 解析：sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin 45°＝.
【经典例题】
例1 (1)∵x＝5，y＝－12，∴r＝＝13，
则sinα＝＝－，cosα＝＝，tanα＝＝－.
(2)直线x＋y＝0，即y＝－x，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，)，则r＝＝2，所以sinα＝，cosα＝－，tanα＝－；在第四象限取直线上的点(1，－)，则r＝＝2，所以sinα＝－，cosα＝，tanα＝－.
【跟踪训练】1或　解析：因为r＝，cos θ＝，所以x＝.
又x≠0，所以x＝±1，所以r＝.
又y＝3＞0，所以θ是第一或第二象限角．
当θ为第一象限角时，sin θ＝，tan θ＝3，则sin θ＋tan θ＝.
当θ为第二象限角时，sin θ＝，tan θ＝－3，
则sin θ＋tan θ＝.
例2 (1)解：①∵156°是第二象限角，∴sin 156°＞0.
②∵π为第三象限角，∴cos π＜0.
③∵－450°＝－720°＋270°是终边落在y轴的非正半轴上的角，∴cos(－450°)＝0.
④∵－π＝－2π－π是第四象限角，∴tan＜0.
⑤∵－＝－2π＋π是第二象限角，∴sin＞0.
⑥∵556°＝360°＋196°是第三象限角，∴tan 556°＞0.
(2)C 解析：因为点P在第四象限，所以有由此可判断角α终边在第三象限．
【跟踪训练】2 C解析：∵cos θ·tan θ<0，∴或
由得角θ为第三象限角．由得角θ为第四象限角．
∴角θ为第三或第四象限角．
例3 解：(1)原式＝cos(8π＋)＋tan(－4π＋)
＝cos ＋tan ＝＋1＝.
(2)原式＝sin(90°＋2×360°)＋tan(45°＋2×360°)－cos 360°
＝sin 90°＋tan 45°－1＝1＋1－1＝1.
【跟踪训练】3解：原式＝sin(60°－5×360°)cos(30°＋4×360°)＋cos(60°－2×360°)sin(30°＋2×360°)＋tan(45°＋360°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 45°
＝×＋×＋1＝2.
【当堂达标】
1.D
2.B 解析：由三角函数定义知tan α＝＝－1.
3.A 解析：∵sin＝sin＝sin＝，∴选A.
4.A 解析：由于sinα<0，则α的终边在第三或第四象限或y轴非正半轴上，又tanα>0，则α的终边在第一或第三象限，所以α的终边在第三象限．
5. ± 解析：由题意知x＝4a，y＝－3a，故r＝＝5|a|.
①当a＞0时，r＝5a，sin α＝＝＝－，cos α＝＝＝，则2sin α＋cos α＝－.
②当a＜0时，r＝－5a，2sin α＋cos α＝2×＋＝.
综上，2sin α＋cos α＝
6.解：(1)原式＝a2sin(－4×360°＋90°)＋b2tan(360°＋45°)－2abcos(－3×360°)
＝a2sin 90°＋b2tan 45°－2abcos 0°
＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2.
(2)sin＋cosπ·tan 4π
＝sin＋cosπ·tan 0
＝sin＋0＝.

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