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5.3　诱导公式
第1课时　公式二、公式三和公式四
【学习目标】
课程标准 学科素养
1.了解公式二、公式三和公式四的推导方法． 2.能够准确记忆公式二、公式三和公式四．(重点) 3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．(难点) 1.逻辑推理 2.数学运算
【自主学习】
终边关系 图示 公式 作用
公式二 角π+α与角α的终边关于原点对称 sin(π＋α)＝ cos(π＋α)＝ tan(π＋α)＝ 将π～2π的角的三角函数转化为0～π的角的三角函数
公式三 角－α与角α的终边关于x轴对称 sin(－α)= cos(－α)= tan(－α)= 将负角的三角函数转化为正角的三角函数
公式四 角π－α与角α的终边关于y轴对称 sin(π－α)= cos(π－α)= tan(π－α)= 将～π的角的三角函数转化为0～的角的三角函数
思考1：诱导公式中角α只能是锐角吗？
思考2：诱导公式一～四改变函数的名称吗？
【小试牛刀】
思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)公式二～四对任意角α都成立.(　　)
(2)由公式三知cos[－(α－β)]＝－cos(α－β). (　　)
(3)公式sin(－α)＝－sinα，α是锐角才成立.(　　)
(4)cos ＝－.(　　)
(5)在△ABC中，sin(A＋B)＝sin C． (　　)
【经典例题】
题型一 给角求值
点拨：利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
1.“负化正”——用公式一或三来转化；
2.“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角；
3.“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角；
4.“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值.
例1 利用公式求下列三角函数值： (1)sin(－1200°)；(2)tan945°；(3)cos.
【跟踪训练】1 利用公式求值：(1)cos＋cos＋cos＋cos；
(2)sin (－60°)＋cos 225°＋tan 135°.
题型二 利用诱导公式化简
点拨：三角函数式化简的常用方法
1.合理转化：(1)将角化成2kπ±α，kπ±α，k∈Z的形式.
(2)依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数.
2.切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数.
例2 化简下列各式．
(1)；(2).
【跟踪训练】2 化简(1)；(2).
题型三 给值求值
点拨：
1.解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．
2.可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
例3 已知cos ＝，求下列各式的值．
(1)cos ；(2)sin2.
【跟踪训练】3 (1)已知cos(α－75°)＝－，求cos(255°－α)的值．
(2)已知tan＝，求tan.
【当堂达标】
1.下列式子中正确的是(　　)
A．sin (π－α)＝－sin α B．cos (π＋α)＝cos α　
C．cos α＝sin α　 D．sin (2π＋α)＝sin α
2.已知a＝cos，b＝sin，则a，b的大小关系是(　　)
A．aC．a>b D．不能确定
3.已知sin ＝，则sin ＝(　　)
A． B．－ C．－ D．
4.若sin(π＋α)＋sin(－α)＝－m，则sin(3π＋α)＋2sin(2π－α)等于(　　)
A．－m B．－m C.m D.m
5.已知tan(π＋α)＝－，则＝________.
6.计算下列各式的值：
(1)cos＋cos＋cos＋cos；
(2)sin420°cos330°＋sin(－690°)cos(－660°)．
【参考答案】
【自主学习】
－sinα －cosα tanα －sin α cos α －tan α sin α －cos α －tan α
思考1：诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠kπ＋，k∈Z.
思考2：诱导公式一～四都不改变函数名称．
【小试牛刀】
(1)×　(2)×　(3) × (4)×　(5)√
【经典例题】
例1 解：(1)sin(－1200°)＝－sin1200°＝－sin(3×360°＋120°)＝－sin120°＝－sin(180°－60°)＝－sin60°＝－.
(2)tan945°＝tan(2×360°＋225°)
＝tan225°＝tan(180°＋45°)
＝tan45°＝1.
(3)cos＝cos
＝cos＝cos＝.
【跟踪训练】1 解：(1)原式＝＋
＝＋
＝＋＝0.
(2)原式＝－sin 60°＋cos (180°＋45°)＋tan (180°－45°)
＝－－cos 45°－tan 45°＝－－－1＝－.
例2 解： (1)原式＝＝＝1.
(2)原式＝
＝＝＝.
【跟踪训练】2 解：(1)
＝
＝＝－cos2α.
(2)
＝
＝－cos α.
例3 解：(1)cos＝cos ＝cos ＝.
(2)sin2＝sin2＝sin2＝
1－cos2＝1－＝.
【跟踪训练】3 解：(1)cos(255°－α)＝cos[180°－(α－75°)]＝－cos(α－75°)＝.
(2)因为tan＝tan＝－tan，
所以tan＝－.
【当堂达标】
1.D 根据诱导公式知sin (2π＋α)＝sin α正确．
2.C 解析：∵a＝cos＝cos＝cos＝，
b＝sin＝－sin＝－sin＝－，
∴a>b.
3.D 解析：∵sin ＝，
∴sin ＝sin ＝sin ＝.
4.B 解析：因为sin(π＋α)＋sin(－α)＝－2sinα＝－m，所以sinα＝，则sin(3π＋α)＋2sin(2π－α)
＝－sinα－2sinα＝－3sinα＝－m.故选B.
5.－ 解析：tan(π＋α)＝－，则tanα＝－，
原式＝
＝＝
＝＝－.
6.解：(1)原式＝＋
＝＋
＝＋＝0.
(2)原式＝sin(360°＋60°)cos(360°－30°)＋sin(－2×360°＋30°)cos(－2×360°＋60°)
＝sin60°cos30°＋sin30°cos60°＝×＋×＝1.