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5.3　诱导公式
第2课时　公式五和公式六
【学习目标】
课程标准 学科素养
1.了解公式五和公式六的推导方法； 2.能够准确记住公式五和公式六； 3.灵活运用诱导公式进行三角函数式的化简、求值和证明． 1.逻辑推理 2.数学运算
【自主学习】
终边关系 图示 公式 作用
公式五 角与角α的终边关于直线y=x对称 sin ＝ cos ＝ . 将～的角的三角函数转化为0～的角的三角函数，并实现正弦函数和余弦函数的相互转化
公式六 角与角-α关于直线y=x对称，角-α与角α关于x轴对称 略 sin ＝ cos ＝
【小试牛刀】
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)诱导公式五、六中的角α只能是锐角.(　　)
(2)sin(90°＋α)＝－cosα.(　　)
(3)sin＝cosα.(　　)
(4)若α＋β＝90°，则sinα＝cosβ.(　　)
2.sin165°等于(　　)
A．－sin15° B．cos15° C．sin75° D．cos75°
【经典例题】
题型一 利用诱导公式化简求值
例1 化简：·sincos.
【跟踪训练】1 已知cos ＝2sin ，则＝ ．
题型二 利用诱导公式证明恒等式
例2 求证：＝.
【跟踪训练】2 求证：＝.
题型三 给值求值
点拨：对于一些给值(式)求值问题，要注意已知角与未知角的关系，即发现它们之间是否满足互余或互补，若满足，则可以进行整体代换，用诱导公式求解．
1.常见的互余关系有：－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等．
2.常见的互补关系有：＋α与π－α；＋α与π－α等．
例3 已知cos＝，求cos·sin的值．
【跟踪训练】3 (1)已知cos (75°＋α)＝，求cos (105°－α)－sin (15°－α)的值．
(2)已知cosα＝－，且α为第三象限角．求f(α)＝的值．
【当堂达标】
1.下列各式中，不正确的是(　　)
A．sin(180°－α)＝sinα B．cos＝sin
C．cos＝－sinα D．tan(－α)＝－tanα
2.如果cos(π＋A)＝－，那么sin＝(　　)
A．－ B. C．－ D.
3.已知α是第四象限角，且3sin2α＝8cosα，则cos ＝(　　)
A．－ B．－ C． D．
4.（多选）在 中，下列表达式为常数的是( )
A. B.
C. D.
5.已知sin ＝，则sin ＋sin2＝ ．
6.求证：＋＝.
7.已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若α为第三象限角，且cos＝，求f(α)的值；
(3)若α＝－，求f(α)的值．
【课堂小结】
1.诱导公式五、六反映的是角±α与α的三角函数值之间的关系．可借用口诀“函数名改变，符号看象限”来记忆．
2.诱导公式一～六可归纳为k·±α的形式，可概括为“奇变偶不变，符号看象限”
(1)“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的.
(2)“奇”、“偶”是对诱导公式k·±α中的整数k来讲的．
(3)“象限”指k·±α中，将α看成锐角时，k·±α所在的象限，根据“一全正，二正弦，三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号.
【参考答案】
【自主学习】
【小试牛刀】
1.(1) ×　(2)×　(3)×　(4)√
2.D 解析：∵sin165°＝sin(90°＋75°)＝cos75°.∴选D.
【经典例题】
例1 解：原式＝·sin(－sinα)
＝·(－sinα)
＝·(－cosα)(－sinα)＝－cos2α.
【跟踪训练】1 解析：因为cos ＝2sin ，所以sin α＝2cos α.
原式＝＝＝.
例2 证明：右边＝
＝
＝
＝
＝＝＝左边，
所以原等式成立.
【跟踪训练】2证明：左边＝
＝＝＝，
右边＝＝＝，
左边＝右边，所以等式成立．
例3解：cos·sin
＝cos·sin
＝－cos·sin
＝－cos·sin
＝－cos·cos
＝－×＝－.
【跟踪训练】3 解：(1)因为cos (75°＋α)＝，所以cos (105°－α)－sin (15°－α)
＝cos [180°－(75°＋α)]－sin [90°－(75°＋α)]
＝－cos (75°＋α)－cos (75°＋α)＝－.
(2)因为cosα＝－，且α为第三象限角，
所以sinα＝－＝－＝－.
所以f(α)＝＝tanαsinα＝·sinα
＝×＝－.
【当堂达标】
1.B 解析：由诱导公式知A、D正确．
cos＝cos＝－cos＝－sinα，故C正确．
cos＝cos＝－sin，故B不正确．
2.B 解析：∵cos(π＋A)＝－cosA＝－，∴cosA＝，
∴sin＝cosA＝，故选B.
3.C 解析：∵3sin2α＝8cosα，∴sin2α＋＝1，
整理可得9sin4α＋64sin2α－64＝0，解得sin2α＝或sin2α＝－8(舍去).
又∵α是第四象限角，∴sinα＝－，
∴cos ＝cos ＝cos ＝－sin α＝.
4.BC 解析： ，所以 中表达式是常数；
,所以 中表达式是常数；
， ，所以 ， 中表达式不是常数.
5. 解析：∵sin ＝，
∴cos ＝cos ＝sin ＝，
∴sin ＋sin2＝sin＋
＝sin＋＝＋＝.
6.证明：左边＝＋
＝＋＝
＝＝＝右边．
∴原式成立．
7. 解： (1)f(α)＝＝＝－cosα
(2)∵cos＝－sinα＝，∴sinα＝－，
又∵α为第三象限角，
∴cosα＝－＝－，∴f(α)＝.
(3)f＝－cos
＝－cos＝－cos
＝－cos＝－.

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