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5.4 三角函数的图象与性质
5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
【学习目标】
课程标准 学科素养
1.了解正弦函数、余弦函数的图象． 2.会用五点法画正弦函数、余弦函数的图象． 3.能利用正弦函数、余弦函数的图象解决简单问题． 1.直观想象 2.数学运算
【自主学习】
一．正弦函数的图象
正弦函数的图象叫做 ，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线．
五点法：在函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，以下五个点：
，， ，，
在确定图象形状时起关键作用．描出这五个点，函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象形状就基本确定了．因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图．
二．余弦函数图象
1.变换法
将正弦函数的图象向左平移个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图所示．
余弦函数y＝cos x，x∈R的图象叫做余弦曲线．它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线．
2.五点法：y＝cos x，x∈[－π，π]的五个关键点为：
，， ，， ，用光滑曲线连接这五个点可得到x∈[－π，π]的简图．
注意：(1)“五点法”作图中的“五点”是指函数的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交点，这是作正弦函数、余弦函数图象最常用的方法．
(2)“五点法”画正弦函数、余弦函数的图象时要注意图象的对称性和凸凹方向．
【小试牛刀】
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)正、余弦函数的图象形状相同，位置不同．(　　)
(2)正、余弦函数的图象向左、右和上、下无限伸展．(　　)
(3)将正弦曲线向右平移个单位就得到余弦曲线．(　　)
(4)函数y＝sinx，x∈的图象与函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象的形状完全一致．(　　)
(5)函数y＝sinx，x∈[2kπ，2(k＋1)π]k∈Z，且k≠0的图象与y＝sinx，x∈[0,2π]的图象形状完全一致．(　　)
2.用五点法作函数y＝sin 2x，x∈[0，π]的简图的五个点的横坐标为(　　)
A．0，，π，，2π B．0，，，，π
C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，，
【经典例题】
题型一 用“五点法”作三角函数图象
点拨：用“五点法”画函数y＝Asinx＋b(A≠0)在[0,2π]上的简图的步骤
1.列表
x 0 π 2π
sinx 0 1 0 －1 0
y y1 y2 y3 y4 y5
2.描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y1)，，(π，y3)，，(2π，y5)．
3.连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来．
例1 用“五点法”作出下列函数的简图：
(1)y＝－sin x(0≤x≤2π)； (2)y＝1＋cos x(0≤x≤2π)．
【跟踪训练】1 用“五点法”作出函数y＝cos，x∈的图象．
题型二 利用正、余弦函数的图象解简单的三角不等式
点拨：用三角函数图象解三角不等式的步骤
1.作出相应的正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象(也可以是[－π，π]上的图象)；
2.在[0,2π]上或([－π，π]上)写出适合三角不等式的解集；
3.根据公式一写出定义域内的解集．
例2 利用正弦曲线，求满足【跟踪训练】2 求下列函数的定义域．
(1)y＝lg(－cosx)；(2)y＝.
题型三 利用正弦(余弦)函数图象解决图象交点问题
点拨：方程根(或个数)的两种判断方法
1.代数法：直接求出方程的根，得到根的个数．
2.几何法：(1)方程两边直接作差构造一个函数，作出函数的图象，利用对应函数的图象，观察与x轴的交点个数，有几个交点原方程就有几个根．
(2)转化为两个函数，分别作这两个函数的图象，观察交点个数，有几个交点原方程就有几个根．
例3 方程x＋sinx＝0的根有(　　)
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
【跟踪训练】3 方程sin x＝lg x的解的个数是________．
【当堂达标】
1.对于余弦函数y＝cosx的图象，有以下三项描述：
①向左向右无限延伸；
②与x轴有无数多个交点；
③与y＝sinx的图象形状一样，只是位置不同．
其中正确的有(　　)
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2.函数y＝1－sinx，x∈[0,2π]的大致图象是(　　)
3.使不等式－2sinx≥0成立的x的取值集合是(　　)
A. B.
C. D.
4.方程x2－cos x＝0的实数解的个数是________．
5.若方程sinx＝4m＋1在[0，2π]上有解，则实数m的取值范围是________．
6.求下列函数的定义域．
(1)y＝ ＋ ；(2)y＝＋.
7.在[0，2π]内用“五点法”作出y＝－2cosx＋3的简图．
【课堂小结】
函数 y＝sin x(x∈R) y＝cos x (x∈R)
图象
五个 关键点 (0，0)，， (π，0)，， (2π，0) (0，1)， ， (π，－1)， ，(2π，1)
曲线的关系 余弦曲线可以看作是将正弦曲线向左平移个单位长度得到的 或向右平移个单位长度得到的
【参考答案】
【自主学习】
一．正弦曲线 (0,0) (π，0) (2π，0)
二．(－π，－1) (0,1) (π，－1)
【小试牛刀】
1.(1)√　(2)×　(3)× (4)√　(5)√
2.B
【经典例题】
例1 解：利用“五点法”作图．
(1)列表：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
－sin x 0 －1 0 1 0
描点作图，如图．
(2)列表：
x 0 π 2π
cos x 1 0 －1 0 1
1＋cos x 2 1 0 1 2
描点作图，如图．
【跟踪训练】1 解：找出五个关键点，列表如下：
u＝x＋ 0 π 2π
x －
y＝cosu 1 0 －1 0 1
描点并将它们用光滑的曲线连接起来．
例2 解：首先作出y＝sin x在[0,2π]上的图象．如图所示，作直线y＝，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sin x，x∈[0,2π]的交点横坐标为和；
作直线y＝，该直线与y＝sin x，x∈[0,2π]的交点横坐标为和.
观察图象可知，在[0,2π]上，当所以【跟踪训练】2 解：(1)为使函数有意义，则需要满足－cosx>0，即cosx<0.
由余弦函数图象可知满足条件的x为＋2kπ.
(2)为使函数有意义，则需要满足2sinx－≥0，即sinx≥.由正弦函数图象可知满足条件的x为＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.
所以原函数定义域为.
例3 B 解：设f(x)＝－x，g(x)＝sinx，在同一直角坐标系中画出f(x)和g(x)的图象，如图所示．由图知f(x)和g(x)的图象仅有一个交点，则方程x＋sinx＝0仅有一个根．
【跟踪训练】3 3 解：用五点法画出函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，再依次向左、右连续平移2π个单位，得到y＝sin x的图象．
描出点，(1,0)，(10,1)并用光滑曲线连接得到y＝lg x的图象，如图所示．
由图象可知方程sin x＝lg x的解有3个．
【当堂达标】
1.D 解析：如图所示为y＝cosx的图象．
可知三项描述均正确．
2.B 解析：列表
x 0 π 2π
sinx 0 1 0 －1 0
1－sinx 1 0 1 2 1
描点与选项比较，可知选B.
3.C解析：∵－2sinx≥0，∴sinx≤，作出y＝sinx在内的图象，如图所示，则满足条件的x∈.∴使不等式成立的x的取值范围为.
4.2 解析：作函数y＝cos x与y＝x2的图象，如图所示，由图象可知原方程有两个实数解．
5. 解析：由正弦函数的图象，知当x∈[0，2π]时，sinx∈[－1，1]，
要使得方程sinx＝4m＋1在x∈[0，2π]上有解，则－1≤4m＋1≤1，故－≤m≤0.
6.(1)由得
所以2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z，
即函数y＝＋的定义域为(k∈Z)．
(2)根据函数表达式可得
在数轴上表示如图所示．
由图示可得，函数定义域为[－5，－π]∪[0，π]．
7.解：由条件列表如下：
x 0 π 2π
－2cosx －2 0 2 0 －2
－2cosx＋3 1 3 5 3 1
描点、连线得出函数y＝－2cosx＋3(0≤x≤2π)的图象如图所示．

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