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5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第1课时 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性
【学习目标】
课程标准 学科素养
1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义． 2.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期． 3.掌握函数y＝sinx，y＝cosx的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性． 1.直观想象 2.逻辑推理
【自主学习】
一．函数的周期性
1.函数的周期性
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个__________________，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且____________，那么函数f(x)就叫做周期函数.
____________叫做这个函数的周期．
2.最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个____________，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期．
解读：
(1)并不是每一个函数都是周期函数.
(2)函数的周期性是函数在定义域上的整体性质．若一个函数为周期函数，则只需研究它在一个周期内的性质，就可以知道它的整体性质．
(3)如果T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z且n≠0)也是f(x)的周期．
二．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数 y＝sinx y＝cosx
周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 2kπ(k∈Z且k≠0)
最小正周期 ____ ____
奇偶性 ________ ________
【小试牛刀】
思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)所有的周期函数都有最小正周期.(　　)
(2)周期函数y＝f(x)的周期可能只有一个.(　　)
(3)若sin＝sin，则是函数y＝sin x的一个周期.(　　)
(4)因为sin＝sin，所以函数y＝sin的周期为4π.(　　)
(5)函数y＝是奇函数.(　　)
(6)函数y＝sin是奇函数.(　　)
【经典例题】
题型一 正、余弦函数的周期性
点拨：求三角函数周期的方法：
1.定义法：即利用周期函数的定义求解．
2.公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的最小正周期T＝；形如y＝|Asin(ωx＋φ)|或y＝|Acos(ωx＋φ)| (A≠0，ω≠0)的最小正周期T＝.
3.图象法：即通过观察函数图象求其周期．
例1 求下列函数的最小正周期．
(1)f(x)＝cos；(2)f(x)＝|sinx|.
【跟踪训练】1 利用周期函数的定义求下列函数的周期．
(1)y＝cos 2x，x∈R； (2)y＝sin，x∈R.
题型二 正、余弦函数的奇偶性
点拨：1.判断函数奇偶性应把握好的两个方面：
一看函数的定义域是否关于原点对称；
二看f(x)与f(－x)的关系．
2.对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．
例2 判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝sinxcosx；(2)f(x)＝.
【跟踪训练】2 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝cos＋x2sin ; (2)f(x)＝sin|x|.
题型三 正、余弦函数周期性与奇偶性的应用
点拨：1.三角函数周期性与奇偶性的解题策略
探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，再利用公式求解．
2.与三角函数奇偶性有关的结论
(1)要使y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)；
(2)要使y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；
(3)要使y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；
(4)要使y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)．
例3 (1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是(　　)
A．y＝cos|2x|　 B．y＝|sin 2x|
C．y＝sin D．y＝cos
(2)若函数f(x)＝sin是偶函数，则φ的一个取值为(　　)
A．2010π B．－
C．－ D．－
【跟踪训练】3定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sinx，求f的值．
【当堂达标】
1.如图所示的是定义在R上的四个函数的图象，其中不是周期函数的图象的是(　　)
2.设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x), f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的图象是(　　)
3．函数f(x)＝3sin是(　　)
A．周期为3π的偶函数 B．周期为2π的偶函数
C．周期为3π的奇函数 D．周期为的偶函数
4.函数f(x)＝sin，x∈R的最小正周期为 ．
5.函数y＝cos(k>0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是________．
6.判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝sin＋2；
(2)f(x)＝x·cosx；
(3)f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x) .
【参考答案】
【自主学习】
一．非零常数T　f(x＋T)＝f(x)　非零常数T 最小的正数
二．2π　2π　奇函数　偶函数
【小试牛刀】
(1)× (2)×　(3)×　 (4)×　 (5)×　 (6)√
【经典例题】
例1 解：(1)解法一：定义法
∵f(x)＝cos＝cos＝＝f(x＋π)，
即f(x＋π)＝f(x)，
∴函数f(x)＝cos的最小正周期为π.
解法二：公式法
∵y＝cos，∴ω＝2.又T＝＝＝π.
∴函数f(x)＝cos的最小正周期为π.
(2)解法一：定义法
∵f(x)＝|sinx|，
∴f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|sinx|＝f(x)，
∴f(x)的最小正周期为π.
解法二：图象法
函数y＝|sinx|的图象如图所示，
由图象可知最小正周期为π.
【跟踪训练】1 解：(1)因为cos 2(x＋π)＝cos(2x＋2π)＝cos 2x，
由周期函数的定义知，y＝cos 2x的周期为π.
(2)因为＝sin＝sin，
由周期函数的定义知，y＝sin的周期为6π.
例2　解：(1)函数的定义域为R，关于原点对称．
∵f(－x)＝sin (－x)cos (－x)＝－sinxcosx＝－f(x)，
∴f(x)＝sinxcosx为奇函数．
(2)由得cosx＝1，
∴函数的定义域为{x|x＝2kπ，k∈Z}，定义域关于原点对称．
当cosx＝1时，f(－x)＝0，f(x)＝±f(－x)．
∴f(x)＝既是奇函数又是偶函数．
【跟踪训练】2 解： (1)f(x)＝sin 2x＋x2sin x，
又∵x∈R，f(－x)＝sin(－2x)＋(－x)2sin(－x)＝－sin 2x－x2sin x＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
(2)因为函数的定义域为R，
f(－x)＝sin|－x|＝sin|x|＝f(x)，
所以函数f(x)＝sin|x|是偶函数．
例3 (1)D 解析：y＝cos|2x|是偶函数，y＝|sin2x|是偶函数，y＝sin (＋2x)＝cos2x是偶函数，y＝cos (－2x)＝－sin2x是奇函数，根据公式得其最小正周期T＝π.
(2)D 解析：当φ＝－时，f(x)＝sin＝cosx为偶函数，故选D.
【跟踪训练】3 解：∵f(x)的最小正周期是π，
∴f＝f＝f.
∵f(x)是R上的偶函数，
∴f＝f＝sin＝.
∴f＝.
【当堂达标】
1.D 解析：观察图象易知，只有D选项中的图象不是周期函数的图象．
2.B 解析：由f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数，图象关于y轴对称．由f(x＋2)＝f(x)，则f(x)的周期为2.故选B.
3.A 解析：∵f(x)＝3sin＝3sin＝－3sin＝－3cosx
∴T＝＝3π，而f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数．
4.4 解析：由已知得f(x)的最小正周期T＝＝4.
5. 4π 解析：由题意得＝≤2，∴k≥4π.∴正整数k的最小值为4π.
6. 解：(1)因为x∈R，f(x)＝sin＋2＝cos＋2，
所以f(－x)＝cos＋2＝cos＋2＝f(x)，
所以函数f(x)＝sin＋2是偶函数．
(2)因为x∈R，f(－x)＝－x·cos(－x)＝－x·cosx＝－f(x)，
所以f(x)＝xcosx是奇函数．
(3)由得－1＜sin x＜1，
解得定义域为，
∴f(x)的定义域关于原点对称．
又∵f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)，
∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]
＝lg(1＋sin x)－lg(1－sin x)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．

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