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5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第2课时 正弦函数、余弦函数的单调性与最值
【学习目标】
课程标准 学科素养
1.掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值． 2.掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性，并能利用单调性比较大小． 3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间和最值． 1.直观想象 2.数学运算
【自主学习】
正弦函数、余弦函数的性质
解析式 y＝sin x y＝cos x
图象
对称中心
对称轴
值域
最值
单调性
【小试牛刀】
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)正弦函数、余弦函数在定义域内是单调函数．(　　)
(2)存在实数x，使得sinx＝.(　　)
(3)在区间[0，2π]上，函数y＝sinx有三个零点．(　　)
(4)余弦函数y＝cosx在[0，2π]上的单调减区间是[0，π].(　　)
(5)y＝sin x在(0，π)上是增函数. (　　)
(6)函数y＝sinx的增区间恰好是y＝sin(－x)的减区间．(　　)
2.函数y＝2－sin x取得最大值时x的取值集合为 ．
3.函数y＝sin x的值域为 ．
【经典例题】
题型一 求正、余弦函数的单调区间
点拨：求与正、余弦函数有关的单调区间的策略及注意点
1.结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．
2.在求形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Asinz的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间同上．
3.①ω<0时，一般用诱导公式转化为－ω>0后求解；
②若A<0，则单调性相反．
例1 (1) 求y＝cos2x函数的单调区间；
(2)已知函数f(x)＝sin＋1，求函数f(x)的单调递增区间．
【跟踪训练】1 (1)函数y＝sin，x∈的单调递减区间为 ．
(2)求函数y＝3sin的单调递减区间．
题型二 三角函数值的大小比较
点拨：比较三角函数值大小的方法
1.比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较．
2.比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上．
例2 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．
(1)sin 196°与cos 156°；(2)cos与cos.
【跟踪训练】2 若a＝sin47°，b＝cos37°，c＝cos47°，则a，b，c大小关系为(　　)
A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．c＞b＞a
题型三 正、余弦函数的最值
点拨：三角函数最值问题的3种常见类型及求解方法
1.形如y＝asinx(或y＝acosx)型，可利用正弦函数，余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论．
2.形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得最值．
3.形如y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝sinx，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值，t的范围需要根据定义域来确定．
例3　已知函数f(x)＝sin (2x－)＋.
(1)求f(x)的最小正周期及最大值；
(2)求f(x)在区间上的值域．
【跟踪训练】3 (1)函数y＝cos2x＋2sin x－2，x∈R的值域为 ．
(2)已知函数f(x)＝1－sin2x＋sinx(0≤x≤)，当x＝________时，f(x)取得最大值．
题组四　正、余弦函数的对称性
例4 (多选)函数f(x)=cos的图象的一条对称轴方程为 (　　)
A.x= B.x= C.x= D.x=-
【跟踪训练】4 已知函数f(x)=cos,则f(x)的最小正周期是　　　　, f(x)图象的对称中心是　　　　　　　.
【当堂达标】
1.函数y＝2－sinx的最大值及取最大值时x的值分别为(　　)
A．ymax＝3，x＝ B．ymax＝1，x＝＋2kπ(k∈Z)
C．ymax＝3，x＝－＋2kπ(k∈Z) D．ymax＝3，x＝＋2kπ(k∈Z)
2.函数f(x)＝sin (x＋)在上的最大值与最小值之和是(　　)
A． B．－ C．1 D．－1
3.下列关于函数的图象，说法正确的是（ ）
A.关于点对称 B.关于直线对称 C.关于直线对称 D.关于点对称
4.设函数f(x)＝A＋Bsinx，当B<0时，f(x)的最大值是，最小值是－，则A＝________，B＝________.
5.比较下列各组数的大小．
(1)cos与cos；(2)sin194°与cos160°.
6.求y＝2sin的单调区间.
7.求函数y＝3－4cos，x∈的最大值、最小值及相应的x值．
8.求函数y＝2sin2x＋2sinx－，x∈的值域．
【课堂小结】
1.求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法
把ωx＋φ看成一个整体，由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为增区间，由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋π(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为减区间．若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间.
2.比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断．
3.求三角函数值域或最值的常用方法
将y表示成以sinx(或cosx)为元的一次或二次等复合函数再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y的范围.
【参考答案】
【自主学习】
解析式 y＝sin x y＝cos x
图象
对称中心 （kπ，0），k∈Z （kπ+，0），k∈Z
对称轴 直线x= kπ+，k∈Z 直线x= kπ，k∈Z
值域 [－1,1] [－1,1]
最值 x＝＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1； x＝－＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1 x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1； x＝π＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1
单调性 在[－＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z上单调递增， 在[＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z)上单调递减 在[2kπ－π，2kπ]，k∈Z上单调递增， 在[2kπ，(2k＋1)π]，k∈Z上单调递减
【小试牛刀】
1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ (2)×　(3)√
2.解析：当sin x＝－1时，ymax＝2－(－1)＝3，
此时x＝2kπ－，k∈Z.]
3. 　解析：因为≤x≤，所以≤sin x≤1，即所求的值域为.
【经典例题】
例1 解：(1)函数y＝cos2x的单调递增区间、单调递减区间分别由下面的不等式确定：2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z,2kπ≤2x≤2kπ＋π，k∈Z.
∴kπ－≤x≤kπ，k∈Z，kπ≤x≤kπ＋，k∈Z.
∴函数y＝cos2x的单调递增区间为，k∈Z，单调递减区间为，k∈Z.
(2)令u＝＋2x，函数y＝sin u的单调递增区间为，k∈Z，
由－＋2kπ≤＋2x≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
所以函数f(x)＝sin＋1的单调递增区间是，k∈Z.
【跟踪训练】1 解：(1)由＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ(k∈Z)，
得＋≤x≤＋(k∈Z)．
又x∈，所以函数y＝sin，
x∈的单调递减区间为，.
(2)∵y＝3sin＝－3sin，
∴y＝3sin是增函数时，y＝3sin是减函数．
∵函数y＝sinx在(k∈Z)上是增函数，∴－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，
即－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)．
∴函数y＝3sin的单调递减区间为(k∈Z).
例2 解：(1)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°，
cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°，
∵0°＜16°＜66°＜90°，
∴sin 16°＜sin 66°，
从而－sin 16°＞－sin 66°，即sin 196°＞cos 156°.
(2)cos＝cosπ＝cos＝cosπ，
cos＝cosπ＝cos＝cos.
∵0＜＜π＜π，且y＝cos x在[0，π]上是减函数，
∴cosπ＜cos，即cos＜cos.
【跟踪训练】2 C　解析：由题意得sin47°＝sin (90°－43°)＝cos43°，因为y＝cosx在上单调递减，所以b＞a＞c.
例3　解：(1)∵函数f(x)＝sin (2x－)＋，
∴f(x)最小正周期T＝＝π，
∵sin (2x－)≤1，sin (2x－)＋，∴当sin (2x－)＝1时，f(x)max＝.
(2)当0≤x≤时，－≤2x－π，
∴当2x－＝时，即x＝时，f(x)max＝，
当2x－＝－时，即x＝0时，f(x)min＝0，
∴f(x)在区间上的值域为.
【跟踪训练】3 (1)[－4,0] 解析：y＝cos2x＋2sin x－2＝－sin2x＋2sin x－1＝－(sin x－1)2.
因为－1≤sin x≤1，所以－4≤y≤0，所以函数y＝cos2x＋2sin x－2，x∈R的值域为[－4,0]．
(2) 解析：令t＝sinx，则y＝1－t2＋t(0≤t≤1)，
对称轴为t＝，所以当t＝时，函数取得最大值，即sinx＝，得x＝.
例4 BC 解析：令2x+=kπ,k∈Z,解得x=-,k∈Z.
对于A,令-=,解得k= Z,故A错误;
对于B,令-=,解得k=1∈Z,故B正确;
对于C,令-=,解得k=2∈Z,故C正确;
对于D,令-=-,解得k=- Z,故D错误.
故选BC.
【跟踪训练】4 4π;(k∈Z) 解析：由f(x)=cos,得T==4π;令+=kπ+,k∈Z,求得x=2kπ+,k∈Z,可得f(x)图象的对称中心是,k∈Z.
【当堂达标】
1.C 解析：∵y＝2－sinx，∴当sinx＝－1时，ymax＝3，此时x＝－＋2kπ(k∈Z)．
2.B解析：∵－≤x≤，∴－≤x＋，∴－≤sin (x＋)≤1，∴最大值与最小值之和为－＋1＝.
3.C 解析：A：，即关于对称，故错误；
B：，即关于对称，故错误；
C：，即关于对称，故正确；
D：，故错误.
故选：C.
4. 　－1解析：根据题意，得解得A＝，B＝－1.
5. 解：(1)∵cos＝cos，cos＝cos＝cos，
而0<<<，且y＝cosx在上单调递减，
∴cos>cos.即cos>cos.
(2)∵sin194°＝sin(90°＋104°)＝cos104°，
而0°<104°<160°<180°，且y＝cosx在[0，π]上单调递减．
∴cos104°>cos160°.即sin194°>cos160°.
6. 解：y＝2sin＝－2sin，
函数y＝－2sin的单调递增、递减区间分别是函数y＝2sin的单调递减、递增区间．
令2kπ＋≤x－≤2kπ＋，k∈Z.即2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z，
即函数y＝2sin的单调递增区间为，k∈Z.
令2kπ－≤x－≤2kπ＋，k∈Z.即2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.
即函数y＝2sin的单调递减区间为，k∈Z.
7. 解：(1)因为x∈，所以2x＋∈，从而－≤cos≤1.
所以当cos＝1，即2x＋＝0，
x＝－时，ymin＝3－4＝－1.
当cos＝－，即2x＋＝，x＝时，ymax＝3－4×＝5.
综上所述，当x＝－时，ymin＝－1；
当x＝时，ymax＝5.
8. 解：令t＝sinx，因为x∈，
所以≤sinx≤1，即≤t≤1.
所以y＝2t2＋2t－＝22－1，
∵以t为自变量的二次函数在上单调递增，
∴1≤y≤，所以原函数的值域为.

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