资源简介

5.5.1 三角恒等变换
第1课时 两角差的余弦公式
【学习目标】
课程标准 学科素养
1.会用两点间距离公式推导出两角差的余弦公式； 2．熟记两角差的余弦公式，并能灵活运用． 1.逻辑推理 2.数学运算
【自主学习】
推导：如图所示，设单位圆与x轴的正半轴相交于点A(1,0)，以x轴非负半轴为始边作角α，β，α－β，它们的终边分别与单位圆相交于点P1、A1、P.
思考：P1、A1、P点的坐标如何表示？线段AP和A1P1有什么关系？　　　
两角差的余弦公式
名称 简单符号 公式 使用条件
两角差的余弦 C(α－β)
【小试牛刀】
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)cos (60°－30°)＝cos60°－cos30°.(　　)
(2)对任意α，β∈R，cos (α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ都成立．(　　)
(3)cos30°cos120°＋sin30°sin120°＝0.(　　)
(4)求cosα时，有时把角α看成角α＋β与角β的差．(　　)
2.cos 45°cos 15°＋sin 45°sin 15°等于(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
3.已知sinθ＝，cosθ＝，则cos (θ－)＝(　　)
A．　　　 B． C．　　　D．
【经典例题】
题型一 　给角求值　　　　　　　　　　　　　　　　
点拨：利用公式C(α－β)求值的思路方法
1.求非特殊角的余弦值时可将角转化为特殊角的差，正用公式直接求值．
2.如果函数名称不满足公式特点，可利用诱导公式调整角和函数名称，构造公式的结构形式然后逆用公式求值．
例1 计算：(1)cos(－15°)；(2)cos15°cos105°＋sin15°sin105°.
【跟踪训练】1 求下列各式的值：
cos75°cos15°－sin75°sin195°；(2).
题型二 给值求值
点拨：给值求值问题的解题策略
1.已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．
2.由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角．常见角的变换有：
①α＝(α－β)＋β；②α＝＋；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．
例2 已知α∈(0，)，cos (α＋)＝，则cosα的值为________．
【跟踪训练】2 已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，求cos的值．
题型三　给值求角
点拨：解给值求角问题的一般步骤
1.求角的某一个三角函数值．
2.确定角的范围．
3.根据角的范围写出所求的角．
例3 已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，求β的值．
【跟踪训练】3 已知α，β均为锐角，且cosα＝，cosβ＝，求α－β的值．
【当堂达标】
1.（ ）
A． B． C． D．
2.已知锐角α，β满足cosα＝，cos(α＋β)＝－，则cos(2π－β)的值为(　　)
A. B．－ C. D．－
3.若cos(α－β)＝，cos2α＝，并且α，β均为锐角，且α<β，则α＋β的值为(　　)
A. B. C. D.
4.已知sin＝，α∈，则cosα的值为________．
5.化简：＝________.
6.已知，则__________．
7.已知cosα＝，cos (α－β)＝且0＜β＜α＜，求cosβ.
8.已知cos(α－β)＝－，cos(α＋β)＝，且α－β∈，α＋β∈，求角β的值．
【课堂小结】
1.“给式求值”或“给值求值”问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧．
2.“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，
求一个角的值，可分以下三步进行：
(1)求角的某一三角函数值；
(2)确定角所在的范围(找区间)；
(3)确定角的值（确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定）.
【参考答案】
【自主学习】
P1(cosα，sinα)、A1(cosβ，sinβ)、P(cos(α－β)，sin(α－β)) AP＝A1P1
cos (α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ α，β为任意角
【小试牛刀】
1. (1)×　(2)√　(3)√ (4)√
2.B 解析：原式＝cos(45°－15°)＝cos 30°＝.
3.B 解析：∵sinθ＝，cosθ＝，
∴cos (θ－)＝cosθcos＋sinθsin＝cosθ＋sinθ＝＝.
【经典例题】
例1 解：解法一：原式＝cos(30°－45°)＝cos30°cos45°＋sin30°sin45°
＝×＋×＝.
解法二：原式＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°
＝×＋×＝.
(2)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos90°＝0.
【跟踪训练】1　解：(1)cos75°cos15°－sin75°sin195°
＝cos75°cos15°＋sin75°sin15°
＝cos (75°－15°)＝cos60°＝.
(2)原式＝
＝
＝＝cos15°＝cos (60°－45°)＝.
例2 解析：因α∈(0，)，即＜α＋＜，又cos (α＋)＝，则sin (α＋)＝＝，
所以cosα＝cos [(α＋)－]＝cos (α＋)cos＋sin (α＋)sin＝)＝.
【跟踪训练】2 解：因为α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，
α＋β∈，β－∈，
所以cos(α＋β)＝，cos＝－，
cos＝cos
＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin
＝×＋×＝－.
例3 解：由cosα＝，0<α<，得sinα＝＝＝.
由0<β<α<，得0<α－β<.
又因为cos(α－β)＝，
所以sin(α－β)＝＝ ＝.
由β＝α－(α－β)得cosβ＝cos[α－(α－β)]
＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)
＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)
＝×＋×＝，
因为0<β<，所以β＝.
【跟踪训练】3 解：∵α，β均为锐角，
∴sinα＝，sinβ＝，
∴cos (α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
＝＝.
又sinα＜sinβ，
∴0<α<β<，∴－＜α－β＜0，
故α－β＝－.
【当堂达标】
1.B 解析：.故选：B.
2.A 解析：因为α，β为锐角，cosα＝，cos(α＋β)＝－，
所以sinα＝，sin(α＋β)＝，所以cos(2π－β)＝cosβ＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)·sinα＝－×＋×＝.故选A.
3.C 解析：∵0<α<β<，∴－<α－β<0,0<2α<π.
由cos(α－β)＝，得sin(α－β)＝－.
由cos2α＝，得sin2α＝.
∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos2αcos(α－β)＋sin2αsin(α－β)
＝×＋×＝－.
又∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.
4. 解析：因为sin＝，α∈，
所以＋α∈，cos＝－.
所以cosα＝cos＝coscos＋sinsin＝－×＋×＝.
5. 解析：原式＝
＝
＝＝＝.
6. 解析：由，
，两式相加有，可得．
7.解：因为0＜β＜α＜，所以0＜α－β＜，因为cosα＝，所以sinα＝＝，
又cos(α－β)＝，所以sin (α－β)＝＝，
所以cosβ＝cos [α－(α－β)]＝cosαcos (α－β)＋sinαsin (α－β)＝＝.
8.解：由α－β∈，且cos(α－β)＝－，
得sin(α－β)＝.
由α＋β∈，且cos(α＋β)＝，
得sin(α＋β)＝－.
cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
＝×＋×＝－1.
因为α－β∈，α＋β∈，
所以2β∈.所以2β＝π.故β＝.

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