资源简介

5.5.1 三角恒等变换
第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
【学习目标】
课程标准 学科素养
1.能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、正切公式和两角和的余弦公式． 2.熟练掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特征． 3.能灵活运用公式进行化简和求值. 1.逻辑推理 2.数学运算
【自主学习】
两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式
名称 公式 简记符号 条件
两角和的余弦 cos(α＋β)＝ C(α＋β) α，β∈R
两角和的正弦 sin(α＋β)＝ S(α＋β) α，β∈R
两角差的正弦 sin(α－β)＝ S(α－β)
两角和的正切 tan(α＋β)＝ T(α＋β) α，β，α±β≠kπ＋(k∈Z)
两角差的正切 tan(α－β)＝ T(α－β)
注意：在应用两角和与差的正切公式时，只要tanα，tanβ，tan(α＋β)(或tan(α－β))中任一个的值不存在，就不能使用两角和(或差)的正切公式解决问题，应改用诱导公式或其他方法解题．
总结：公式的结构特征和符号规律
对于公式 ， ，可记为“余余正正，符号异”.
对于公式 ， ，可记为“正余余正，符号同”.
对于公式 ， ，可记为“分子同,分母异”.
【小试牛刀】
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)把公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ中的β用－β代替，可以得到cos(α＋β)．(　　)
(2)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(　　)
(3)对任意的α，β角，都有tan (α±β)＝.(　　)
(4)tan能根据公式tan(α＋β)直接展开．(　　)
(5)tanα·tanβ，tanα＋tanβ，tan(α＋β)三者知二可表示或求出第三个．(　　)
2.cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°的值等于(　　)
A.　　 B．－　　　C．0　　　 D．1
3.若tan α＝3，tan β＝，则tan(α－β)等于(　　)
A. B．－ C．3 D．－3
4.sin 45°cos 15°－cos 45°sin 15°＝________.
【经典例题】
题型一 　给角求值　　　　　　　　　　　　　　　　
点拨：给角求值问题涉及两角和与差公式的正用和逆用，sin (α＋β) ＝sin αcos β＋cos αsin β即为正用， sin αcos β＋cos αsin β＝sin (α＋β)即为逆用。公式的逆用是三角式变形的重要手段，有时还需把三角函数式的系数0，，，等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数使用．例如：cosα－sinα＝sincosα－cossinα＝sin(－α)．
注意：在利用两角和差的正切公式时要注意常值代换：如tan＝1，tan＝，tan＝等.
还要注意tan＝，tan＝.
例1 求下列各式的值：
(1) sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°；(2)sin －cos ；(3).
【跟踪训练】1 求下列各式的值：
(1)cos 105°； (2)cos75°sin135°＋sin45°cos15°；
(3)； (4).
题型二 给值求值
点拨：解题时要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是：
1.当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差．
角的拆分方式如下：α＝(α＋β)－β＝β－(β－α)，α＝＋，β＝－，
2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，＋＝＋(α＋β)，＋＝＋(α－β)等.
2.当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角．
例2 (1) 已知cos α＝，α∈，sin β＝－，β是第三象限角．求sin(α＋β)，sin(α－β)的值；
(2)已知sin (＋α)＝，cos (－β)＝，且0<α<<β<，求cos (α＋β)．
【跟踪训练】2 (1)若＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.
(2)已知α∈(0，)，sin (α－)＝，则sinα的值为_________．
题型三 给值求角
点拨：给值求角的方法
一般先求出该角的某个三角函数值，再确定该角的取值范围，最后得出该角的大小．
至于求该角的哪一个三角函数值，这要取决于该角的取值范围，然后结合三角函数值在不同象限的符号来确定，一般地，若若角的取值范围是，则选正弦函数、余弦函数均可；若角的取值范围是，则选正弦函数；若角的取值范围是(0，π)，则选余弦函数．
例3　(1)已知sinα＝，sinβ＝，且α，β∈(0，)，求角α＋β的大小．
(2)若α，β均为锐角，且tanα＝2，tanβ＝3，则α＋β等于(　　)
A． B． C． D．
【
跟踪训练】3 设α，β为钝角，且sinα＝，cosβ＝－，则α＋β的值为(　　)
A. B. C. D.或
题型四 正切公式的变形应用
点拨：T(α±β)可变形为如下形式：
tanα±tanβ＝tan(α±β)(1 tanαtanβ)；1 tanαtanβ＝
例4 (1)求值：tan 10°＋tan 50°＋tan 10°tan 50°.
(2)若锐角α，β满足(1＋tanα)(1＋tanβ)＝4，求α＋β的值．
【跟踪训练】4 在△ABC中，tanA＋tanB＋＝tanAtanB，则C等于(　　)
A. B. C. D.
【当堂达标】
1.已知cosα＝，0＜α＜，则sin (α＋)＝(　　)
A． B． C．－ D．－
2.sin15°－cos15°的值为(　　)
A. B．－ C. D．－
3.在△ABC中，A＝，cosB＝，则sinC等于(　　)
A. B．－ C. D．－
4.已知sinα－cosβ＝，cosα－sinβ＝，则sin(α＋β)＝________.
5.计算 (1);(2) tan23°＋tan37°＋tan23°tan37°.
6.已知<α<，0<β<，cos＝－，sin＝，求sin(α＋β)的值．
7.已知：α∈，β∈，且cos(α－β)＝，sinβ＝－，求角α的大小．
8.已知tanα＝2，tanβ＝－，其中0<α<，<β<π.求：
(1)tan(α－β)；
(2)α＋β的值．
【参考答案】
【自主学习】
cosαcosβ－sinαsinβ sinαcosβ＋cosαsinβ sinαcosβ－cosαsinβ
【小试牛刀】
1. (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√
2.C 3.A 4.
【经典例题】
例1 解：(1)原式＝sin 14°cos 16°＋sin(90°－14°)cos(90°－16°)
＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°
＝sin(14°＋16°)＝sin 30°
＝.
(2)原式＝2
＝2
＝2sin
＝－2sin
＝－.
(3)原式＝
＝tan(45°＋75°)
＝tan 120°
＝－.
【跟踪训练】1 解：(1)原式＝cos(60°＋45°)
＝cos 60°cos 45°－sin 60°sin 45°
＝×－×
＝.
(2)原式＝sin15°cos45°＋sin45°cos15°＝sin (15°＋45°)＝sin60°＝.
(3)原式＝＝＝＝＝.
(4)原式＝
＝
＝sin 30°＝.
例2解：(1)∵cos α＝，α∈，
∴sin α＝＝.
∵sin β＝－，β是第三象限角，
∴cos β＝－＝－.
∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
＝×＋×
＝－.
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
＝×－×
＝.
(2)∵0<α<<β<，
∴<＋α<π，－<－β<0.
又∵sin (＋α)＝，cos (－β)＝，
∴cos (＋α)＝－，sin (－β)＝－.
∴cos (α＋β)＝sin [＋(α＋β)]
＝sin [(＋α)－(－β)]
＝sin (＋α)cos (－β)－cos (＋α)sin (－β)
＝－(－)×(－)＝－.
【跟踪训练】2 (1) 解析：∵＝＝3，
∴tanα＝2.
又tan(α－β)＝2，
∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]
＝－tan[(α－β)＋α]
＝－＝.
(2) 解析：由题意可知，因为α∈(0，)，所以α－∈(－)，
所以cos (α－)＝＝，
则sinα＝sin (α－)＝sin (α－)cos＋cos (α－)sin＝＝.
例3　解： (1)∵sinα＝，sinβ＝，且α，β∈(0，)，
∴cosα＝＝，cosβ＝＝，
∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
＝＝＝＝，
又由已知可得α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.
(2) B　解析：tan (α＋β)＝＝＝－1.
因为α∈(0，)，β∈(0，)，则α＋β∈(0，π)，故α＋β＝.
【跟踪训练】3 C解析：∵α，β为钝角，sinα＝，
∴cosα＝－＝－＝－，
由cosβ＝－，得sinβ＝＝ ＝，
∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝.
又∵π<α＋β<2π，∴α＋β＝.故选C.
例4 解： (1)∵tan 60°＝tan(10°＋50°)＝，
∴tan 10°＋tan 50°＝tan 60°(1－tan 10°tan 50°)，
∴原式＝tan 60°(1－tan 10°tan 50°)＋tan 10°tan 50°
＝－tan 10°tan 50°＋tan 10°tan 50°＝.
(2)∵(1＋tanα)(1＋tanβ)
＝1＋(tanα＋tanβ)＋3tanαtanβ＝4，
∴tanα＋tanβ＝(1－tanαtanβ)，
∴tan(α＋β)＝＝.
又∵α，β均为锐角，∴0°<α＋β<180°，
∴α＋β＝60°.
【跟踪训练】4 A 解析：根据题意可知，tanA＋tanB＝tanAtanB－，
所以tan(A＋B)＝＝－
因为C＝π－A－B，故tan(A＋B)＝－tanC，
所以tanC＝，
因为在三角形中0【当堂达标】
1.B 解析：由cosα＝，0＜α＜，得sinα＝，
所以sin (α＋)＝sinα＋cosα＝＝.
2.B 解析：原式＝sin30°·sin15°－cos30°·cos15°
＝－(cos30°·cos15°－sin30°·sin15°)
＝－cos(30°＋15°)＝－cos45°＝－.
3.A解析：∵cosB＝，∴B为锐角
∴sinB＝＝.
又∵sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sincosB＋cossinB
＝×＋×＝＝
4. 解析：由sinα－cosβ＝两边平方得
sin2α－2sinαcosβ＋cos2β＝，①
由cosα－sinβ＝两边平方得
cos2α－2cosαsinβ＋sin2β＝，②
①＋②得：(sin2α＋cos2α)－2(sinαcosβ＋cosαsinβ)＋(cos2β＋sin2β)＝＋.
∴1－2sin(α＋β)＋1＝.∴sin(α＋β)＝.
5. 解：(1)原式＝
＝tan(60°－15°)＝tan45°＝1.
(2)∵tan(23°＋37°)＝，
∴＝，
∴－tan23°tan37°＝tan23°＋tan37°，
∴tan23°＋tan37°＋tan23°tan37°＝.
6.解：∵<α<，<＋α<π，
∴sin＝＝.
∵0<β<，<＋β<π，
∴cos＝－＝－，
∴sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)
＝－sin＝－
＝－＝.
7.解：因为α∈，β∈，所以α－β∈(0，π)．
由cos(α－β)＝，知sin(α－β)＝.
由sinβ＝－，知cosβ＝.
所以sinα＝sin[(α－β)＋β]
＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ
＝×＋×＝.
又α∈，所以α＝.
8.解：(1)因为tanα＝2，tanβ＝－，
所以tan(α－β)＝＝＝7.
(2)因为tan(α＋β)＝＝＝1，
又因为0<α<，<β<π，
所以<α＋β<，所以α＋β＝.

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