资源简介

5.5.1 三角恒等变换
第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
【学习目标】
课程标准 学科素养
1.能利用两角和的正、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式； 2.能利用二倍角公式进行化简、求值、证明； 3.熟悉二倍角公式的常见变形，并能灵活应用． 1.逻辑推理 2.数学运算
【自主学习】
一．二倍角公式
三角函数 公式 简记
正弦 sin2α＝____________ S2α
余弦 cos2α＝____________ C2α
正切 tan2α＝__________ T2α
解读：倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如4α是2α的二倍，α是的二倍等.
二．正弦的二倍角公式的变形
1.sin αcos α＝sin 2α；2.1±sin 2α＝(sin α±cos α)2.
三．余弦的二倍角公式的变形
1.cos 2α＝1－2sin2α＝2cos2α－1；2.cos2α＝；3.sin2α＝.
【小试牛刀】
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)二倍角的正弦、余弦公式的适用范围是任意角．(　　)
(2)存在角α，使得sin2α＝2sinα成立．(　　)
(3)对任意角α，总有tan2α＝.(　　)
(4)cos2α－sin2α＝1－2sin2α.(　　)
2.已知cos x＝，则cos 2x等于(　　)
A. B．－ C. D．－
3.sin 15°cos 15°＝ .
4.已知tanα＝－，则tan2α＝________．
【经典例题】
题型一 　给角求值　　　　　　　　　　　　　　　　
例1　求下列各式的值：
(1)sin2π－cos2π；(2)sincos；(3)；(4)cos20°·cos40°·cos80°.
【跟踪训练】1 求下列各式的值．
(1)sinsin；(2)－cos215°；(3)cos415°－sin415°；(4)－.
题型二 条件求值
例2 (1)已知tan α＝2，则tan 2α＝________；
(2)已知0<α<，cos＝，则sin＝________.
【跟踪训练】2 (1)若cos (＋α)＝，则sin (－2α)＝ (　　)
A．－ B．－ C． D．
(2)设α为锐角，若cos＝，则sin的值为________．
题型三 利用二倍角公式化简证明
例3 证明：(1)＝tanθ； (2) 3＋cos4α－4cos2α＝8sin4α.
【跟踪训练】3 (1)若θ∈()，化简的结果为(　　)
A．2sinθ B．2cosθ C．－2sinθ D．－2cosθ
(2)已知α∈(0，π)，化简：＝________.
【当堂达标】
1.设α是第四象限角，已知sinα＝－，则sin2α，cos2α和tan2α的值分别为(　　)
A．－，，－ B.，，
C．－，－， D.，－，－
2.已知sin α＝3cos α，那么tan 2α的值为(　　)
A．2　　　 　B．－2　　 C.　　 D．－
3.已知cos (α－)＝，则cos2α＝(　　)
A．－ B． C．－ D．
4.函数（）的最大值为（ ）
A． B．1 C．3 D．4
5.已知sin ＋cos ＝，那么sin θ＝ ，cos 2θ＝ .
6.已知sin (－x)＝，0＜x＜，则cos2x＝________．
7.化简：(1)＋；(2).
8.已知sin＝，0【课堂小结】
1.二倍角余弦公式的重要变形——升幂公式和降幂公式
(1)升幂公式
1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α，
1＋cosα＝2cos2，1－cosα＝2sin2.
(2)降幂公式
cos2α＝，sin2α＝.
2.要牢记二倍角公式的几种变形
(1)sin2x＝cos＝cos＝2cos2－1＝1－2sin2；
(2)cos2x＝sin＝sin＝2sincos；
(3)cos2x＝sin＝sin＝2sincos.
【参考答案】
【自主学习】
2sinαcosα cos2α－sin2α
【小试牛刀】
1.(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
2.B
3. 解析：sin 15°cos 15°＝×2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝.
4. － 解析：因为tanα＝－，所以tan2α＝＝＝－.
【经典例题】
例1　解：(1)原式＝－(cos2π－sin2π)＝－cosπ
＝－cos (π－)＝cos＝.
(2)原式＝＝＝.
(3)原式＝＝2×＝＝.
(4)原式＝
＝
＝
＝＝＝.
【跟踪训练】1 解：(1) 原式＝sinsin＝sinsin＝sincos＝·2sincos
＝sin＝.
(2)原式＝(1－2cos215°)＝－cos30°＝－.
(3) 原式＝(cos215°－sin215°)·(cos215°＋sin215°)＝cos215°－sin215°＝cos 30°＝.
(4) 原式＝
＝
＝
＝＝4.
例2 解：(1)∵tan α＝2，
∴tan 2α＝＝＝－.
(2)∵0<α<，∴<α＋<.
∵cos＝，
∴sin＝.
∴sin＝sin
＝2sincos＝2××＝.
【跟踪训练】2 解：(1)A 解析：因cos (＋α)＝，则sin (－2α)＝sin [－(＋2α)]＝cos2(＋α)＝2cos2(＋α)－1＝2×()2－1＝－.
(2)∵α为锐角，
∴α＋∈.
又∵cos＝，
∴sin＝，
∴sin＝2sincos＝，
cos＝2cos2－1＝，
∴sin＝sin
＝sincos －cossin
＝×－×
＝.
例3 证明：
(1)左边＝
＝
＝tanθ＝右边
所以等式成立．
(2)左边＝3＋2cos22α－1－4cos2α
＝2(cos22α－2cos2α＋1)
＝2(cos2α－1)2
＝2(1－2sin2α－1)2
＝8sin4α
＝右边
所以等式成立．
【跟踪训练】3 (1) C 解析：∵θ∈()，∴0>cosθ>sinθ，
∴
＝
＝
＝|sinθ＋cosθ|＋|sinθ－cosθ|
＝－(cosθ＋sinθ)＋cosθ－sinθ
＝－2sinθ.
(2) cos α 解析：原式＝.
因为α∈(0，π)，所以cos＞0，
所以原式＝
＝·
＝cos2－sin2＝cos α.
【当堂达标】
1.A 解析：因为α是第四象限角，且sinα＝－，所以cosα＝，所以sin2α＝2sinαcosα＝－，cos2α＝2cos2α－1＝，tan2α＝＝－.
2.D 解析：因为sin α＝3cos α，所以tan α＝3，所以tan 2α＝＝＝－.
3.A 解析：∵cos(α－)＝sinα＝，∴cos2α＝1－2sin2α＝－.
4.C 解析：，
当时，取得最大值为3.故选：C.
5.　　解析：因为sin ＋cos ＝，
所以2＝，
即1＋2sin cos ＝，
所以sin θ＝，
所以cos 2θ＝1－2sin2θ＝1－2×＝.]
6. 解析：因为x∈(0，)，所以－x∈(0，)，
又因为sin(－x)＝，所以cos (－x)＝，
所以cos2x＝sin (－2x)＝2sin (－x)cos (－x)
＝2×＝.
7.解：(1)原式＝＋
＝＋
＝|sin10°＋cos10°|＋|sin10°－cos10°|
＝sin10°＋cos10°＋cos10°－sin10°
＝2cos10°.
(2)原式＝
＝
＝＝.
8.解：∵0又∵sin＝，
∴cos＝.
∵cos 2x＝sin
＝2sincos
＝2coscos
＝2coscos，
∴＝2cos＝.

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