资源简介

5.5.2 简单的三角恒等变换
【学习目标】
课程标准 学科素养
1.能够综合运用两角和差公式、倍角公式、半角公式等进行简单的恒等变换． 2.运用恒等变换进行化简、求值、证明． 3.会利用辅助角公式化简asinx＋bcosx． 1.逻辑推理 2.数学运算
【自主学习】
一．半角公式
1.sin＝ ， 2.cos＝ ， 3.tan＝ ，
4.tan＝＝＝ ，tan＝＝＝ .
注意：符号由所在象限决定．
二．积化和差公式
.
.
.
.
三．和差化积公式
.
.
.
.
【小试牛刀】
1.已知180°＜α＜360°，则cos的值等于(　　)
A．－　　 B． C．－ D．
2.已知cos α＝，α∈，则sin 等于(　　)
A.　　　 B．－ C.　 D．
3.已知π＜θ＜2π，且cosθ＝－，则tan的值等于(　　)
A．－3 B．3 C．－ D．
4.函数y＝cosx＋sinx的最小正周期为____________．
【经典例题】
题型 1　应用半角公式求值
例1 已知sinθ＝，且<θ<3π，求sin，cos，tan.
【跟踪训练】1 已知α为钝角，β为锐角，且sin α＝，sin β＝，求cos 的值．
题型二 三角函数化简与证明
点拨：三角函数化简与证明的常见方法
1.从复杂的一端向简单一端化简，即化繁为简．
2.两边化简，使其都等于中间某个式子，即左右归一．
3.把式子中的切函数化为弦函数，即化切为弦．
4.利用分析法、综合法找与原式等价的式子，即等价化归．
例2 已知π<α<，化简：＋.
【跟踪训练】2 求证：＝sin 2α.
题型三 辅助角公式的应用
点拨：对于形如asin x＋bcos x(a，b不同时为零)的式子可以引入辅助角变形为Asin(x＋φ)的形式．即asin x＋bcos x＝.
令cos φ＝，sin φ＝，原式＝(sin xcos φ＋cos xsin φ)＝sin(x＋φ)，其中tan φ＝.
运用辅助角公式，必须满足三个条件：同角（均为x）；齐一次（均为一次的）；正余全（一个是sinx，一个是cosx）。
常见基本形式如下：
1.
2.
3.
4.
例3-1化简：(1)(cosx－sinx)；(2)3sinx＋3cosx.
例3-2 当－≤x≤时，函数f(x)＝sin x＋cos x的最大值为_______，最小值为________．
例3-3 已知函数f(x)＝4cosxsin (x＋)－1.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间[－]上的最大值和最小值．
【跟踪训练】3 已知函数f(x)＝sin＋2sin2(x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．
【当堂达标】
1.若sin(π－α)＝－且α∈，则sin等于(　　)
A．－　　　 B．－　 　 C.　 D．
2.设5π＜θ＜6π，cos＝a，则sin等于(　　)
A.　　 B． C．－ D．－
3.函数f(x)＝sinx－cos的值域为(　　)
A．[－2,2] B．[－，] C．[－1,1] D．[－，]
4.函数f(x)＝sin2x的最小正周期为 ．
5.已知cos θ＝－，且180°<θ<270°，求tan .
6.求证：＝.
7.已知函数f(x)＝cos－2sin xcos x.
(1)求f(x)的最小正周期．
(2)求证：当x∈时，f(x)≥－.
8.已知函数f(x)＝2sin(x－3π)·sin＋2sin2－1，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；
(2)若f(x0)＝，x0∈，求cos2x0的值．
【参考答案】
【自主学习】
± ± ±
【小试牛刀】
1.C 解析：∵180°＜α＜360°，∴90°＜＜180°，又cos2＝，∴cos α＝－.
2.A 解析：由题知∈，∴sin >0，sin ＝＝.
3.A 解析：因为π＜θ＜2π，所以＜＜π,所以tan＝－＝－＝－3.
4．2π 解析：y＝cosx＋sinx＝cosx＋sinx)＝sin (x＋)，所以最小正周期为2π.
【经典例题】
例1 解：∵sinθ＝<θ<3π，
∴cosθ＝－＝－.
∵<<，∴sin＝－＝－，
cos＝－＝－，tan＝＝2.
【跟踪训练】1 解：因为α为钝角，β为锐角，sin α＝，sin β＝，
所以cos α＝－，cos β＝，所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－×＋×＝，
又因为<α<π，0<β<，所以0<α－β<π，所以0<<，
所以cos ＝ ＝ ＝.
例2 解：原式＝＋.
∵π＜α＜，∴＜＜，∴cos＜0，sin＞0，
∴原式＝＋
＝－＋＝－cos.
【跟踪训练】2 证明：方法1：左边＝
＝cos2α
＝cos2αtan α＝cos αsin α
＝sin 2α＝右边．
∴原式成立．
方法2：　
左边＝＝＝＝cos αsin cos
＝sin αcos α＝sin 2α＝右边．
所以原式成立．
例3-1 解：(1)(cosx－sinx)＝×
＝2＝2cos.
(2)3sinx＋3cosx
＝6
＝6
＝6cos.
例3-2 解：f(x)＝sin x＋cos x＝2
＝2
＝2sin.
∵－≤x≤，∴－≤x＋≤π，∴－≤sin≤1，即－1≤f(x)≤2.
例3-3 解：(1)因为f(x)＝4cosxsin (x＋)－1
＝4cosx·(sinx＋cosx)－1
＝sin2x＋2cos2x－1＝sin2x＋cos2x＝2sin (2x＋)，
故f(x)最小正周期为π.
(2)因为－≤x≤，所以－≤2x＋.
于是，当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2；
当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－1.
【跟踪训练】3 解：(1)∵f(x)＝sin＋2sin2
＝sin＋1－cos
＝2＋1
＝2sin＋1
＝2sin＋1，∴T＝＝π.
(2)当f(x)取得最大值时，sin＝1，
有2x－＝2kπ＋，即x＝kπ＋(k∈Z)，
∴所求x的集合为.
【当堂达标】
1.B 解析：由题意知sin α＝－，α∈，所以cos α＝－.
因为∈，所以sin＝cos＝－＝－.故选B.
2.D 解析：∵5π＜θ＜6π，∴∈，∈.
又cos＝a，∴sin＝－＝－.
3.B 解析：f(x)＝sinx－cos＝sinx－cosx＋sinx＝sinx－cosx＝sin，
所以函数f(x)的值域为[－，]，故选B.
4.π　解析：因为f(x)＝sin2x＝，所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
5. 解：法一：∵180°<θ<270°，∴90°<<135°，即是第二象限角，∴tan <0，
∴tan ＝－＝－＝－2.
法二：∵180°<θ<270°，即θ是第三象限角，
∴sin θ＝－＝－＝－，
∴tan ＝＝＝－2.
6.证明：左边＝
＝＝
＝＝＝＝右边．
所以原等式成立.
7. 解：(1)f(x)＝cos－2sin xcos x＝cos 2x＋sin 2x－sin 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin，所以T＝＝π.
(2)证明：令t＝2x＋，因为－≤x≤，
所以－≤2x＋≤，
因为y＝sin t在上单调递增，在上单调递减，
所以f(x)≥sin＝－，得证．
8. 解： f(x)＝(2sinxcosx)＋(2cos2x－1)＝sin2x＋cos2x＝2sin.
(1)f(x)的最小正周期为π；最大值为2，最小值为－1.
(2)由(1)可知f(x0)＝2sin.
又∵f(x0)＝，∴sin＝.
由x0∈，得2x0＋∈，
∴cos＝－＝－，
cos2x0＝cos
＝coscos＋sinsin
＝.

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