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第五章 三角函数
5.2.2 同角三角函数的基本关系
5.2 三角函数的概念
知识回顾
1.任意角的三角函数的定义
2.诱导公式一
填一填
你发现了什么？
y
x
O
探究：公式一表明终边相同的角的同一三角函数值相等，
那么，同一个角的三角函数值之间是否也有某种关系呢？你能证明吗？
同角三角函数的基本关系
平方关系:
商数关系:
同一个角 的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角 的正切。
“同角”两层含义:一是“角相同”,
二是“任意”一个角.
判一判
判断下列式子是否成立
基本变形
思考：对于平方关系 可作哪些变形？
思考：对于商数关系 可作哪些变形？
题型一 应用同角三角函数关系求值
当α是第三象限角时，
α是第四象限角时，
∴α是第二或第三象限的角．
如果α是第二象限角，那么
如果α是第三象限角，同理可得
解题方法（利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法）
(1)已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系．
(2)若角α所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角α所在的象限不确定，应分类讨论，一般有两组结果．
解析：　∵sin α＋3cos α＝0，
∴sin α＝－3cos α.
又sin2α＋cos2α＝1，
∴(－3cos α)2＋cos2α＝1
即10cos2α＝1，
又由sin α＝－3cos α，可知sin α与cos α异号，
当角α的终边在第二象限时，
当角α的终边在第四象限时，
∴角α的终边在第二或第四象限．
题型二 三角函数式的化简、求值
因为α是第二象限角，
所以sin α>0，cos α<0，
解题方法（化简三角函数式的常用方法）
(1)切化弦，即把非正弦、余弦函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数种类以便化简.
(2)对含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的
(3)对于化简高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或用“1”的代换，以降低函数次数，达到化简目的.
提醒：在应用平方关系式求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在的象限决定，不可凭空想象.
＝cos θ.
例3 求证
思考
恒等式证明常用方法
基本思路:由繁到简
可以从左边往右边证，可以从右边往左边证，也可以证明等价式。
证明：
因此
作差法
题型三 三角函数式的证明
证法三：
由原题知：
则
原式左边=
=右边
因此
恒等变形的条件
解题方法（三角函数式解题思路及解题技巧）
1．证明恒等式常用的思路是：
(1)从一边证到另一边，一般由繁到简；
(2)左右开弓，即证左边、右边都等于第三者；
(3)比较法(作差，作比法)．
2．常用的技巧有：
(1)巧用“1”的代换；
(2)化切为弦；
(3)多项式运算技巧的应用(分解因式)．
3．解决此类问题要有整体代换思想．
∴原等式成立
题型四 “sin α±cos α”同“sin αcos α”间的关系
又∵0＜α＜π，且sin αcos α＜0，
∴sin α＞0，cos α＜0，
∴sin α－cos α＞0，
解题方法（ “sin α±cos α”同“sin αcos α”间的关系）

(1)已知sin θ±cos θ求sin θcos θ，只需平方便可．
(2)已知sin θcos θ求sin θ±cos θ时需开方，此时要根据已知角θ的范围，确定sin θ±cos θ的正负．
因为α∈(0，π)，
所以sin α＞0，cos α＜0.
整理得60tan2α＋169tan α＋60＝0，
1.同角三角函数的基本关系
平方关系:
商数关系:
小结
3.已知tanα，求sinα，cosα
2.已知sinα（或cosα）求其它
4.注意分象限讨论
联立求解
布置作业
课后习题1、2

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