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带电粒子在电场中的运动
学习目标：
会从运动和力的关系的角度、从功和能量变化的角度分析带电粒子在匀强电场中的加速问题。
通过解决带电粒子在电场中加速和偏转的问题，加深对从牛顿运动定律和功能关系两个角度分析物体运动的认识。
【课堂练习】
考点1　带电粒子(体)在电场中的直线运动
例1．(多选)如图所示，M、N是在真空中竖直放置的两块平行金属板，板间有匀强电场，质量为m、电荷量为－q的带电粒子，以初速度v0由小孔进入电场，当M、N间电压为U时，粒子刚好能到达N板。如果要使这个带电粒子能到达M、N两板间距的处返回，则下述措施能满足要求的是(　　)
A．使初速度减为原来的
B．使M、N间电压提高到原来的2倍
C．使M、N间电压提高到原来的4倍
D．使初速度和M、N间电压都减为原来的
例2．如图所示，空间存在两块平行的彼此绝缘的带电薄金属板A、B，间距为d，中央分别开有小孔O、P。现有甲电子以速率v0从O点沿OP方向运动，恰能运动到P点。若仅将B板向右平移距离d，再将乙电子从P′点由静止释放，则(　　)
A．金属板A、B组成的平行板电容器的电容C不变
B．金属板A、B间的电压减小
C．甲、乙两电子在板间运动时的加速度相同
D．乙电子运动到O点的速率为2v0
例3．如图所示，在竖直放置间距为d的平行板电容器中，存在电场强度为E的匀强电场。有一质量为m、电荷量为＋q的点电荷从两极板正中间处静止释放。重力加速度为g。则点电荷运动到负极板的过程(　　)
A．加速度大小为a＝＋g B．所需的时间为t＝
C．下降的高度为y＝ D．电场力所做的功为W＝Eqd
考点2　带电粒子在匀强电场中的偏转
例4．如图所示为真空示波管的示意图，电子从灯丝K发出(初速度不计)，经灯丝与A板间的加速电压U1加速，从A板中心孔沿中心线射出，然后进入由两块平行金属板M、N形成的偏转电场中(偏转电场可视为匀强电场)，电子进入偏转电场时的速度与电场方向垂直，电子经过偏转电场后打在荧光屏上的P点。已知M、N两板间的电压为U2，两板间的距离为d，板长为L1，板右端到荧光屏的距离为L2，电子质量为m，电荷量为e。求：
(1)电子穿过A板时的速度大小；
(2)电子从偏转电场射出时的侧移量；
(3)P点到O点的距离。
例5．(多选)如图所示，质子和α粒子(氦核)分别从静止开始经同一加速电压U1加速后，垂直电场方向进入同一偏转电场，偏转电场电压U2。两种粒子都能从偏转电场射出并打在荧光屏MN上，粒子进入偏转电场时速度方向正对荧光屏中心O点。下列关于两种粒子运动的说法正确的是(　　)
A．两种粒子会打在屏MN上的同一点
B．两种粒子不会打在屏MN上的同一点，质子离O点较远
C．两种粒子离开偏转电场时具有相同的动能
D．两种粒子离开偏转电场时具有不同的动能，α粒子的动能较大
【巩固练习】
1．如图所示，一电子枪发射出的电子(初速度很小，可视为零)进入加速电场加速后，垂直射入偏转电场，射出后偏转位移为Y。要使偏转位移增大，下列哪些措施是可行的(不考虑电子射出时碰到偏转极板的情况)(　　)
A．增大偏转电压U
B．增大加速电压U0
C．增大偏转极板间距离
D．将发射电子改成发射负离子
2．如图所示，带正电的粒子以一定的初速度v0沿两板的中线进入水平放置的平行金属板内，恰好沿下板的边缘飞出，已知板长为L，板间的距离为d，板间电压为U，带电粒子的电荷量为＋q，粒子通过平行金属板的时间为t(不计粒子的重力)，则(　　)
A．在前时间内，电场力对粒子做的功为
B．在后时间内，电场力对粒子做的功为
C．在粒子下落前和后的过程中，电场力做功之比为1∶2
D．在粒子下落前和后的过程中，电场力做功之比为2∶1
3．如图所示，一电荷量为q、质量为m的带电粒子以初速度v0由P点射入匀强电场，入射方向与电场线垂直。粒子从Q点射出电场时，其速度方向与电场线成30°角。已知匀强电场的宽度为d，不计重力作用。则匀强电场的场强E大小是(　　)
A．eq \f(mv,qd) B．eq \f(\r(3)mv,qd) C．eq \f(3mv,2qd) D．eq \f(3\r(3)mv,2qd)
4．(多选)如图所示为匀强电场的电场强度E随时间t变化的图像。当t＝0时，在此匀强电场中由静止释放一个带正电粒子，设带电粒子只受电场力的作用，则下列说法中正确的是(　　)
A．带电粒子始终向同一个方向运动
B．2 s末带电粒子回到原出发点
C．3 s末带电粒子的速度为零
D．0～3 s内，电场力做的总功为零
★5．(多选)如图所示，一充电后与电源断开的平行板电容器的两极板水平放置，板长为L，板间距离为d，距板右端L处有一竖直屏M。一带电荷量为q、质量为m的质点以初速度v0沿中线射入两板间，最后垂直打在M上，则下列结论正确的是(已知重力加速度为g)(　　)
A．两极板间电压为
B．板间电场强度大小为
C．整个过程中质点的重力势能增加
D．若仅增大两极板间距，则该质点不可能垂直打在M上
6．如图，板间距为d、板长为4d的水平金属板A和B上下正对放置，并接在电源上。现有一质量为m、带电量＋q的质点沿两板中心线以某一速度水平射入，当两板间电压U＝U0，且A接负极时，该质点就沿两板中心线射出；A接正极时，该质点就射到B板距左端为d的C处。取重力加速度为g，不计空气阻力。求：
(1)质点射入两板时的速度大小；
(2)当A接负极时，为使带电质点能够从两板间射出，两板所加恒定电压U的范围。
带电粒子在电场中的运动答案
【课堂练习】
考点1　带电粒子(体)在电场中的直线运动
例1．答案　BD
解析　设带电粒子离开M板的最远距离为x，由动能定理得－qEx＝0－mv02，所以x＝，则使初速度减为原来的，x＝；使M、N间电压提高到原来的2倍，电场强度变为原来的2倍，x＝；使M、N间电压提高到原来的4倍，电场强度变为原来的4倍，x＝；使初速度和M、N间电压都减为原来的，电场强度变为原来的，x＝。故B、D正确。
例2．答案　C
解析　两板间距离变大，根据C＝可知，金属板A、B组成的平行板电容器的电容C减小，选项A错误；根据Q＝CU，Q不变，C减小，则U变大，选项B错误；根据E＝＝＝，可知当d变大时，两板间的场强不变，则甲、乙两电子在板间运动时的加速度相同，选项C正确；根据e·E·2d＝mv2，e·E·d＝mv02，可知，乙电子运动到O点的速率v＝v0，选项D错误。
例3．答案　B
解析　点电荷受到重力、电场力的作用，所以a＝，选项A错误；根据运动的独立性，水平方向点电荷的运动时间为t，则＝·t2，解得t＝ ，选项B正确；下降高度y＝gt2＝，选项C错误；电场力做功W＝，选项D错误。
考点2　带电粒子在匀强电场中的偏转
例4．答案　(1) 　(2)eq \f(U2L,4U1d)　(3)
解析 (1)设电子经电压U1加速后的速度为v0，根据动能定理得eU1＝mv02解得v0＝ 。
(2)电子以速度v0进入偏转电场后，垂直于电场方向做匀速直线运动，沿电场方向做初速度为零的匀加速直线运动。设偏转电场的电场强度为E，电子在偏转电场中运动的时间为t1，电子的加速度为a，离开偏转电场时的侧移量为y1，根据牛顿第二定律和运动学公式得
F＝eE，E＝，F＝ma，t1＝，y1＝at， 解得y1＝eq \f(U2L,4U1d)。
(3)设电子离开偏转电场时沿电场方向的速度为vy，根据运动学公式得vy＝at1，电子离开偏转电场后做匀速直线运动，设电子离开偏转电场后打在荧光屏上所用的时间为t2，电子打到荧光屏上的侧移量为y2，如图所示。有t2＝，y2＝vyt2
解得y2＝
P点到O点的距离为
y＝y1＋y2＝。
例5．答案　AD
解析　两种粒子在加速电场中的直线加速由动能定理得：qU1＝mv02－0
偏转电场中，平行于极板方向：L＝v0t
垂直于极板方向：a＝＝，y＝at2
设离开偏转电场的速度偏向角为θ，有：tan θ＝＝
联立以上各式得y＝，tan θ＝
偏移量y和速度偏向角θ都与粒子的质量m、电荷量q无关，所以偏移量y相同，速度方向相同，则两种粒子打在屏MN上同一个点，故A正确，B错误；
对两个粒子先加速后偏转的全过程，根据动能定理得：
qU1＋qy＝Ek－0，即Ek＝qU1＋qy，故D正确。
【巩固练习】
1．答案　A
解析　设偏转极板长为l，极板间距为d，由qU0＝mv02，t＝，y＝at2＝t2得，联立得偏转位移y＝，增大偏转电压U，减小加速电压U0，减小偏转极板间距离，都可使偏转位移增大，选项A正确，选项B、C错误；由于偏转位移y＝与粒子质量、带电荷量无关，故将发射电子改变成发射负离子，偏转位移不变，选项D错误。
2．答案　B
解析　带正电的粒子以一定的初速度v0沿两板的中线进入水平放置的平行金属板内，恰好沿下板的边缘飞出，带电粒子所做的运动是类平抛运动，竖直方向上的分运动是初速度为零的匀加速直线运动，由运动学知识可知，前和后时间内竖直方向上的位移之比为1∶3，电场力做功之比也为1∶3。又因为电场力做的总功为，所以在前时间内，电场力对粒子做的功为，选项A错误；在后时间内，电场力对粒子做的功为，选项B正确；由W＝qEy知，在粒子下落前和后的过程中，电场力做功相等，故C、D错误。
3．答案　B
解析　带电粒子在电场中做类平抛运动，根据运动的合成与分解得到vy＝＝v0。水平方向上有d＝v0t竖直方向上有vy＝t，联立方程得E＝eq \f(\r(3)mv,qd)，故B正确。
4．答案　CD
解析　设第1 s内粒子的加速度大小为a1，第2 s内的加速度大小为a2，由a＝可知，a2＝2a1，可见，粒子第1 s内向负方向运动，1.5 s末粒子的速度为零，然后向正方向运动，至3 s末回到原出发点，粒子的速度为0，v－t图像如图所示，由动能定理可知，此过程中电场力做的总功为零，综上所述，可知C、D正确。
★5．答案　BC
解析　据题分析可知，质点在平行板间轨迹应向上偏转，做类平抛运动，飞出电场后，质点的轨迹向下偏转，才能最后垂直打在屏M上，前后过程质点的运动轨迹有对称性，如图所示：
可见两次偏转的加速度大小相等，根据牛顿第二定律得：qE－mg＝ma，mg＝ma，解得E＝，由U＝Ed得板间电势差U＝×d＝，故A错误，B正确；质点在电场中向上偏转的距离y＝at 2，a＝＝g，t＝，解得：y＝，故质点打在屏上的位置与P点的距离为：s＝2y＝，重力势能的增加量Ep＝mgs＝，故C正确；仅增大两极板间的距离，因两极板上电荷量不变，根据E＝＝＝＝可知，板间场强不变，质点在电场中受力情况不变，则运动情况不变，故仍垂直打在屏M上，故D错误。
6. 答案：(1)　(2)U0>U>U0
解析 (1)当两板加上U0电压且A板接负极时，有：q＝mg①
A板为正时，设带电质点射入两极板时的速度为v0，向下运动的加速度为a，经时间t射到C点，有：q＋mg＝ma②
又水平方向有d＝v0t③ 竖直方向有d＝at2④
由①②③④得：v0＝。⑤
(2)要使带电质点恰好能从两板射出，设它在竖直方向运动的加速度为a1、时间为t1，应有：
d＝a1t12⑥ 4d＝v0t1⑦
由⑤⑥⑦得：a1＝⑧
若a1的方向向上，设两板所加恒定电压为U1，有：
q－mg＝ma1⑨
若a1的方向向下，设两板所加恒定电压为U2，有：
mg－q＝ma1⑩
⑧⑨⑩解得：U1＝U0，U2＝U0所以，所加恒定电压范围为：U0>U>U0。

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