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电场能的性质
学习目标：
1．理解电势能、电势的含义，掌握静电力做功与电势能变化的关系。
2．掌握匀强电场中电势差及其与电场强度的关系。
3．会处理电场线、等势面与运动轨迹结合问题。
【课堂练习】
考点一 描述电场能的性质的物理量
例1．在电场中，把一个电荷量为6×10－6 C的负电荷以恒定的速率从A点移到B点，克服静电力做功为3×10－5 J，则电荷从A到B的过程中
（1）电势能变化了多少？是增加还是减少？
（2）若规定电荷在B点的电势能为零，则电荷在A点的电势能为多大？
（3）电荷量q1为4×10-9C的试探电荷放在电场中的C点，具有6×10-8J的电势能。则C点的电势是多少？
（4）若把q2为-2×10-10C的试探电荷放在电场中的C点，q2在C点具有的电势能是多少？
例2．如图，A、B为一对等量同种正电荷连线上的两点，其中B为中点、C为连线的中垂线上的一点。今将一个电荷量为q的负点电荷自A沿直线移到B再沿直线移到C。请分析在此过程中该电荷的电势能变化情况：
（1）从A到B电势 （填“升高”或“降低”），
电势能 （填“增大”或“减小”）。
（2）从B到C电势 （填“升高”或“降低”），
电势能 （填“增大”或“减小”）。
考点二 电势差与电场强度的关系
例3．如图所示，匀强电场的方向平行于xOy坐标系平面，其中坐标原点O处的电势为2 V，a点的坐标为(0 cm，4 cm)，电势为8 V，b点的坐标为(3 cm，0 cm)，电势为8 V，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，则电场强度的大小为(　　)
A.250 V/m 　B.200 V/m 　C.150 V/m 　D.120 V/m
例4．空间存在着平行纸面的匀强电场，但电场的具体方向未知，现在纸面内建立直角坐标系xOy，用仪器沿Ox、Oy两个方向探测该静电场中各点电势，得到各点电势φ与横、纵坐标的函数关系如图所示。关于该电场的电场强度E，下列说法正确的是(　　)
A．E＝3 V/m，方向沿x轴正方向
B．E＝5 V/m，方向指向第一象限
C．E＝400 V/m，方向沿y轴负方向
D．E＝500 V/m，方向指向第三象限
例5．(多选)一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图所示，三点的电势分别为10 V、17 V、26 V。下列说法正确的是(　　)
A.电场强度的大小为2.5 V/cm
B.坐标原点处的电势为1 V
C.电子在a点的电势能比在b点的低7 eV
D.电子从b点运动到c点，电场力做功为9 eV
考点三 电场线、等势面及运动轨迹问题
例6．如图所示，实线表示某电场的电场线(方向未标出)，虚线是一带负电的粒子只在电场力作用下的运动轨迹，设M点和N点的电势分别为φM、φN，粒子在M和N时加速度大小分别为aM、aN，速度大小分别为vM、vN，电势能分别为EpM、EpN。下列判断正确的是( 　　)
A.vMC.φM<φN，EpM例7． (多选)如图所示，虚线a、b、c是电场中的三个等势面，实线为一个带负电的质点仅在电场力作用下的运动轨迹，P、Q是轨迹上的两点。下列说法正确的是(　　)
A.质点在Q点时的电势能比P点时小
B.质点在Q点时的加速度方向与等势面a垂直
C.三个等势面中等势面a的电势最低
D.质点在Q点时的加速度比P点时大
【课后巩固】
1．在电场中，下列说法正确的是(　　)
A．某点的电场强度大，该点的电势一定高
B．某点的电势高，试探电荷在该点的电势能一定大
C．某点的场强为零，试探电荷在该点的电势能一定为零
D．某点的电势为零，试探电荷在该点的电势能一定为零
2．如图，实线表示某静电场的电场线，虚线表示该电场的等势面。下列判断正确的是(　　)
A．1、2两点的场强相等 B．1、3两点的场强相等
C．1、2两点的电势相等 D．2、3两点的电势相等
3．如图所示，在M、N处固定着两个等量异种点电荷，在它们的连线上有A、B两点，已知MA＝AB＝BN。下列说法正确的是(　　)
A．A、B两点场强相同
B．A、B两点电势相等
C．将一正电荷从A点移到B点，电场力做负功
D．负电荷在A点的电势能大于在B点的电势能
4． (多选)两个带等量正电的点电荷固定在图中P、Q两点，MN为PQ连线的中垂线，交PQ于O点，A为MN上的一点。一带负电的试探电荷q，从A点由静止释放，只在静电力作用下运动（取无限远处的电势为零），则(　　)
A．q由A向O的运动是匀加速直线运动
B．q由A向O运动的过程电势能逐渐减小
C．q运动到O点时的动能最大
D．q运动到O点时电势能为零
5．(多选)如图所示，在点电荷Q产生的电场中，实线MN是一条方向未标出的电场线，虚线AB是一个电子只在静电力作用下的运动轨迹。设电子在A、B两点的加速度大小分别为aA、aB，电势能分别为EpA、EpB。下列说法正确的是(　　)
A．电子一定从A向B运动
B．若aA>aB，则Q靠近M端且为正电荷
C．无论Q为正电荷还是负电荷一定有EpAD．B点电势可能高于A点电势
6．(多选)图中虚线a、b、c、d、f代表匀强电场内间距相等的一组等势面，已知平面b上的电势为2 V。一电子经过a时的动能为10 eV，从a到d的过程中克服电场力所做的功为6 eV。下列说法正确的是(　　)
A．平面c上的电势为零
B．该电子可能到达不了平面f
C．该电子经过平面d时，其电势能为4 eV
D．该电子经过平面b时的速率是经过d时的2倍
7．(多选)如空间中P、Q两点处各固定一个点电荷，其中P点处为正电荷，P、Q两点附近电场的等势面分布如图所示，a、b、c、d为电场中的4个点。则(　　)
A．P、Q两点处的电荷等量异号
B．a点和b点的电场强度相同
C．c点的电势低于d点的电势
D．负电荷从a到c，电势能减少
8．(多选)如图所示，空间有一正三棱锥P－ABC，D点是BC边上的中点，O点是底面ABC的中心，现在顶点P点固定一负的点电荷，则下列说法正确的是(　　)
A．A、B、C三点的电场强度相同
B．底面ABC为等势面，所以沿该面移动电荷静电力不做功
C．将一正的点电荷从A点沿直线移到D点过程中，该试探电荷电势能先减少后增加
D．若B、C、D三点的电势为φB、φC、φD，则有φB－φD＝φC－φD
9．如图所示，匀强电场中有一个直角三角形ABC区域，电场方向与三角形区域所在平面平行．已知AB＝25 cm，BC＝20 cm，∠C＝90°，A、B、C三点电势分别为1 V、26 V、10 V，则该匀强电场的场强大小为(　　)
A．60 V/m B．75 V/m
C．80 V/m D．100 V/m
10．如图所示，在电场强度为E＝1×104 N/C、方向水平向右的匀强电场中，用一根长L＝1 m的绝缘细杆(质量不计)固定一个质量为m＝0.2 g、电荷量为q＝5×10－6 C、带正电的小球，g取10 m/s2。细杆可绕轴O在竖直平面内自由转动，现将杆由水平位置A轻轻释放，在小球运动到最低点B的过程中。求：
(1)电场力对小球做功W电为多少？小球电势能如何变化？
(2)小球在最低点的动能EkB为多少？
电场能的性质答案
【课堂练习】
例1．答案　（1）3×10－5 J　增加　（2）－3×10－5 J （3） 15V （4）-3×10-9J
解析 电荷克服静电力做功，即静电力做负功，有WAB＝－3×10－5 J。由WAB＝EpA－EpB知，电势能变化了3×10－5 J；由于静电力做负功，则电势能增加。
（2）若EpB＝0，则由WAB＝EpA－EpB得EpA＝－3×10－5 J
（3） 15V （4）-3×10-9J
例2．答案　降低 增大 降低 增大
例3．答案　A
解析　由题意知a、b两点的电势相等，则ab为一条等势线，则知匀强电场的场强方向垂直于ab指向左下方。过O点作ab的垂线交ab于c点，由几何关系得tan ∠b＝，得∠b＝53°，Oc＝Ob·sin ∠b＝0.03 m×sin 53°＝2.4×10－2 m，又O点电势为2 V，c、O间的电势差U＝8 V－2 V＝6 V，则电场强度大小E＝＝250 V/m，故选项A正确。
例4．答案　D
解析　在沿y轴方向，电场强度为Ey＝－ V/m＝－400 V/m，在沿x轴方向，电场强度为Ex＝－ V/m＝－300 V/m，则电场的电场强度E大小为E＝＝500 V/m，由三角函数知方向与x轴负方向成53°，方向指向第三象限，故A、B、C错误，D正确。
例5． 答案　ABD
解析　如图所示，设a、c之间的d点电势与b点电势相同，则＝＝，所以d点的坐标为(3.5 cm，6 cm)，过c点作等势线bd的垂线，电场强度的方向由高电势指向低电势。由几何关系可得，cf的长度为3.6 cm，电场强度的大小E＝＝ V/cm＝2.5 V/cm，故选项A正确；因为Oacb是矩形，所以有Uac＝UOb，可知坐标原点O处的电势为1 V，故选项B正确；a点电势比b点电势低7 V，电子带负电，所以电子在a点的电势能比在b点的高7 eV，故选项C错误；b点电势比c点电势低9 V，电子从b点运动到c点，电场力做功为9 eV，故选项D正确。
例6．答案　D
解析　由粒子的轨迹知电场力的方向偏向右，因粒子带负电，故电场线方向偏向左，由沿电场线方向电势降低，可知φN<φM，EpMvN。
例7．答案　AB
解析　质点带负电，曲线运动所受合力指向轨迹的凹侧，结合电场线与等势面处处垂直，大致画出电场线如图实线，沿电场线方向电势降低，所以φQ＞φP，根据电势能Ep＝qφ可知EpQ＜EpP，A正确；质点在Q点受力方向与电场线在该点的切线方向相反，电场线和等势面处处垂直，根据牛顿第二定律可知质点在Q点时的加速度方向与等势面a垂直，B正确；沿电场线方向，电势降低，所以等势面a的电势最大，C错误；电场线的疏密程度表示电场强度的弱强，则EQ＜EP，电荷在电场强度大的位置受到的电场力大，加速度大，D错误。
【课后巩固】
1．答案　D
解析：电势是人为规定的，与电场强度无关，电势能与零势能面的选取有关，与电场强度无关，A、C错误；负电荷在高电势处电势能小，B错误；根据Ep＝φq可知，电势为零，电势能为零，D正确。
2．答案 D
解析：根据电场线的疏密程度判断场强大小，电场线越密，场强越强，则E1>E2，E1>E3，所以选项A、B错；同一等势面上的电势是相等的，选项C错，D正确。
3．答案 A
解析：根据等量异种点电荷电场特点，A、B两点场强相同，A、B两点电势不相等，选项A正确，B错误；将一正电荷从A点移到B点，电场力做正功，选项C错误；负电荷在A点的电势能小于在B点的电势能，选项D错误。
4．答案 BC
解析：q由A向O运动的过程中，电场力的方向始终由A指向O，但力的大小变化，所以电荷q做变加速直线运动，电场力做正功，q通过O点后在电场力的作用下做变减速运动，所以q到O点时速度最大，动能最大，电势能最小，因无限远处的电势为零，则O点的电势φ>0，所以q在O点的电势能不为零，B、C正确，A、D错误。
5． 答案　BC
解析：电子在电场中做曲线运动，虚线AB是电子只在电场力作用下的运动轨迹，电场力沿电场线指向曲线的凹侧，电场的方向与电场力的方向相反，如图所示。由所给条件无法判断电子的运动方向，故选项A错误；若aA>aB，说明电子在A点受到的电场力较大，A点的电场强度较大，根据点电荷的电场分布可知，靠近M端为场源电荷的位置，应为正电荷，故选项B正确；无论Q为正电荷还是负电荷，一定有电势φA>φB，电子电势能Ep＝－eφ，电势能是标量，所以一定有EpA6．答案　AB
解析　电子在等势面b时的电势能为Ep＝qφ＝－2 eV，电子由a到d的过程电场力做负功，电势能增加6 eV，由于相邻两等势面之间的距离相等，故相邻两等势面之间的电势差相等，则电子由a到b、由b到c、由c到d、由d到f电势能均增加2 eV，则电子在等势面c的电势能为零，等势面c的电势为零，A正确；由以上分析可知，电子在等势面d的电势能应为2 eV，C错误；电子在等势面b的动能为8 eV，电子在等势面d的动能为4 eV，由公式Ek＝mv2可知，该电子经过平面b时的速率为经过平面d时速率的倍，D错误；如果电子的速度与等势面不垂直，则电子在该匀强电场中做曲线运动，所以电子可能到达不了平面f就返回平面a，B正确。
7．答案　AD
解析　根据题图可知，该电场是等量异号点电荷的电场，故A正确。根据电场的对称性，a、b两点的电场强度大小相等，而方向不同，故B错误。c点所在等势面离P点(正电荷)较d点所在等势面离P点近，c点的电势较高，故C错误。负电荷从a到c，电场力做正功，所以电势能减少，故D正确
8．答案　CD
解析：A、B、C三点到P点距离相同，故三点电场强度大小相等，但方向不同，故A、B、C三点的电场强度不相同，故A错误；O到P点距离比A、B、C三点到P点距离短，故电势比A、B、C三点电势低，又O点为底面ABC上的一点，故底面ABC不是等势面，故B错误；O到P点距离比A、D两点到P点距离短，故电势比A、D两点电势低，则电势能先减小后增大，故C正确；B、C两点到P点距离相等，两点电势相等，则φB－φD＝φC－φD，故D正确。
9．答案　D
解析：方法一：等分法。依题意，有sin ∠A＝＝0.8，解得∠A＝53°，在AB之间找到电势为10 V的D点，C、D位于同一等势面上，根据几何关系可知＝＝，在三角形ACD中，根据余弦定理，有2＝2＋2－2××cos 53°，解得＝12 cm，根据正弦定理，有＝，解得∠ACD＝37°，故AD⊥CD，则有＝sin 37°＝9 cm，根据匀强电场电势差与场强的关系式，有E＝＝ V/m＝100 V/m.故选D。
方法二：以C点为坐标原点，以CB为y轴，以CA为x轴建立平面直角坐标系，分别求出x、y方向的电场强度，然后合成。
10．答案 (1)5×10－2 J　电势能减小　(2)0.07 J
解析：(1)电场力做功仅与初、末位置有关，W电＝qEL＝5×10－6×1×104×1 J＝5×10－2 J
电场力做正功，小球电势能减小。
(2)由动能定理得mgL＋W电＝EkB－0
所以EkB＝0.002×10×1 J＋5×10－2 J＝0.07 J。
注：求电场力做功的四种方法

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