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不等式恒成立问题—8种解法探析
不等式恒成立问题一般设计独特，涉及到函数、不等式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类讨论、换元等思想方法，成为历年高考的一个热点．考生对于这类问题感到难以寻求问题解决的切入点和突破口．这里对这一类问题的求解策略作一些探讨．
1最值法
例1．已知函数在处取得极值，其中为常数．（I）试确定的值；（II）讨论函数的单调区间；（III）若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围．
分析：不等式恒成立，可以转化为
解：（I）（过程略）．
（II）（过程略）函数的单调减区间为，函数的单调增区间为．
（III）由（II）可知，函数在处取得极小值，此极小值也是最小值．要使（）恒成立，只需，解得或．
所以的取值范围为．
评注：最值法是我们这里最常用的方法．恒成立；恒成立．
2分离参数法
例2．已知函数
（I）求函数的单调区间；
（II）若不等式对于任意都成立（其中是自然对数的底数），求的最大值．
分析：对于（II）不等式中只有指数含有，故可以将函数进行分离考虑．
解：（I）（过程略）函数的单调增区间为，的单调减区间为
（II）不等式等价于不等式，由于，知；设 ，则．
由（I）知，，即；于是， ，即在区间上为减函数．故在上的最小值为．
所以的最大值为．
评注：不等式恒成立问题中，常常先将所求参数从不等式中分离出来，即：使参数和主元分别位于不等式的左右两边，然后再巧妙构造函数，最后化归为最值法求解．
3 数形结合法
例3．已知当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是＿＿＿．
分析：本题若直接求解则比较繁难，但若在同一平面直角坐标系内作出函数与函数在上的图象，借助图形可以直观、简捷求解．
解：在同一平面直角坐标系内作出函数与函数在上的图象（如右），从图象中容易知道：当且时，函数的图象恒在函数上方，不合题意；当且时，欲使函数的图象恒在函数下方或部分点重合，就必须满足，即．
故所求的的取值范围为．
评注：对不等式两边巧妙构造函数，数形结合，直观形象，是解决不等式恒成立问题的一种快捷方法．
4 变更主元法
例4．对于满足不等式的一切实数，函数的值恒大于，则实数的取值范围是＿＿＿．
分析：若审题不清，按习惯以为主元，则求解将非常烦琐．应该注意到：函数值大于对一定取值范围的谁恒成立，则谁就是主元．
解：设，，则原问题转化为恒成立的问题．
故应该有，解得或．
所以实数的取值范围是．
评注：在某些特定的条件下，若能变更主元，转换思考问题的角度，不仅可以避免分类讨论，而且可以轻松解决恒成立问题．
5 特殊化法
例5．设是常数，且（）．
（I）证明：对于任意，．
（II）假设对于任意有，求的取值范围．
分析：常规思路：由已知的递推关系式求出通项公式，再根据对于任意有求出的取值范围，思路很自然，但计算量大．可以用特殊值探路，确定目标，再作相应的证明．
解：（I）递推式可以化归为，，所以数列是等比数列，可以求得对于任意，．
（II）假设对于任意有，取就有解得；
下面只要证明当时，就有对任意有
由通项公式得
当（）时，
当（）时，，可见总有．
故的取值范围是
评注：特殊化思想不仅可以有效解答选择题，而且是解决恒成立问题的一种重要方法．
6分段讨论法
例6．已知，若当时，恒有＜0，求实数a的取值范围．
解：（i）当时，显然＜0成立，此时，
（ii）当时，由＜0，可得＜＜，
令
则＞0，∴是单调递增，可知
＜0，∴是单调递减，可知
此时的范围是（—1，3）
综合i、ii得：的范围是（—1，3） ．
例7．若不等式对于恒成立，求的取值范围．
解：（只考虑与本案有关的一种方法）解：对进行分段讨论，
当时，不等式恒成立，所以，此时；
当时，不等式就化为，此时的最小值为，所以；
当时，不等式就化为，此时的最大值为，所以；
由于对上面的三个范围要求同时满足，则所求的的范围应该是上三个的范围的交集即区间
说明：这里对变量进行分段来处理，那么所求的对三段的要同时成立，所以，用求交集的结果就是所求的结果．
评注：当不等式中左右两边的函数具有某些不确定的因素时，应该用分类或分段讨论方法来处理，分类（分段）讨论可使原问题中的不确定因素变化成为确定因素，为问题解决提供新的条件；但是最后综合时要注意搞清楚各段的结果应该是并集还是别的关系．
7单调性法
例8．若定义在的函数满足，且时不等式成立，若不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是＿＿＿．
解：设，则，有．这样，，则，函数在为减函数．
因此；而（当且仅当时取等号），又，所以的取值范围是．
评注：当不等式两边为同一函数在相同区间内的两个函数值时，可以巧妙利用此函数的单调性，把函数值大小关系化归为自变量的大小关系，则问题可以迎刃而解．
8判别式法
例9．若不等式对于任意恒成立．则实数的取值范围是＿＿＿．
分析：此不等式是否为一元二次不等式，应该先进行分类讨论；一元二次不等式任意恒成立，可以选择判别式法．
解：当时，不等式化为，显然对一切实数恒成立；
当时，要使不等式一切实数恒成立，须有，解得．
综上可知，所求的实数的取值范围是．
不等式恒成立问题求解策略一般做法就是上面几种，这些做法是通法，对于具体问题要具体分析，要因题而异，如下例．
例10．关于的不等式在上恒成立，求 实数的取值范围．
通法解：用变量与参数分离的方法，然后对变量进行分段处理；∵，∴不等式可以化为；下面只要求在时的最小值即可，分段处理如下．
当时，，，再令，，它的根为；所以在区间上有，递增，在区间上有，递减，则就有在的最大值是，这样就有，即在区间是递减．同理可以证明在区间是递增；所以，在时的最小值为，即．
技巧解：由于，所以，，两个等号成立都是在时；从而有（时取等号），即．
评注：技巧解远比通法解来得简单、省力、省时但需要扎实的数学基本功．参数范围问题—常见解题6法
求解参数的取值范围是一类常见题型．近年来在各地的模拟试题以及高考试题中更是屡屡出现．学生遇到这类问题，较难找到解题的切入点和突破口，下面介绍几种解决这类问题的策略和方法．
一、确定“主元”思想
常量与变量是相对的，一般地，可把已知范围的那个看作自变量，另一个看作常量．
例1.对于满足0的一切实数，不等式x2+px>4x+p-3恒成立，求x的取值范围．
分析：习惯上把x当作自变量，记函数y= x2+(p-4)x+3-p,于是问题转化为当p时y>0恒成立，求x的范围．解决这个问题需要应用二次函数以及二次方程实根分布原理，这是相当复杂的．若把x与p两个量互换一下角色，即p视为变量，x为常量，则上述问题可转化为在[0,4]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题．
解：设f(p)=(x-1)p+x2-4x+3，当x=1时显然不满足题意．
由题设知当0时f(p)>0恒成立，∴f(0)>0,f(4)>0即x2-4x+3>0且x2-1>0，
解得x>3或x<-1．∴x的取值范围为x>3或x<-1．
二、分离变量
对于一些含参数的不等式问题，如果能够将不等式进行同解变形，将不等式中的变量和参数进行分离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题。
例2．若对于任意角总有成立，求的范围．
分析与解：此式是可分离变量型，由原不等式得，
又，则原不等式等价变形为恒成立．
根据边界原理知，必须小于的最小值，这样问题化归为怎样求的最小值．因为
即时，有最小值为0，故．
评析：一般地,分离变量后有下列几种情形：
①f(x)≥g(k) [f(x)]min≥g(k)
②f(x)> g(k) g(k) < [f(x)] min
③f(x)≤g(k) [f(x)] max≤g(k)
④f(x)三、数形结合
对于含参数的不等式问题，当不等式两边的函数图象形状明显，我们可以作出它们的图象，来达到解决问题的目的．
例3．设，若不等式恒成立，求a的取值范围．
分析与解：若设函数，则，其图象为上半圆．
设函数，其图象为直线．
在同一坐标系内作出函数图象如图，
依题意要使半圆恒在直线下方，只有圆心到直线的距离且时成立，即a的取值范围为．
四、分类讨论
当不等式中左、右两边的函数具有某些不确定因素时，应用分类讨论的方法来处理，分类讨论可使原问题中的不确定因素变成确定因素，为问题的解决提供新的条件。
例4．当时，不等式恒成立，求a的取值范围．
解：（1）当时，由题设知恒成立，即，而∴ 解得
（2）当时，由题设知恒成立，即，而∴ 解得．∴a的取值范围是．
五、利用判别式
当问题可化为一元二次不等式在实数集上恒成立的问题，可用判别式来求解．
例5．不等式，对一切恒成立，求实数的取值范围.
解：∵在R上恒成立，
∴
，R
∴，解得
故实数的取值范围是.
一般地二次函数f(x)=ax2+bx+c恒正，f(x)=ax2+bx+c恒负.
六、构造函数
构造出函数，通过对函数性质的研究，来达到解决问题的目的．
例6．已知不等式对于一切大于1的自然数都成立，求实数的取值范围．
分析：注意到不等式仅仅左边是与有关的式子，从函数的观点看，左边是关于的函数，要使原不等式成立，即要求这个函数的最小值大于右式．如何求这个函数的最小值呢？这又是一个非常规问题，应该从研究此函数的单调性入手．
解：设,N
∴是关于N的递增函数，则=.
∴要使不等式成立，只须，解之得.
∴实数的取值范围是．
以上介绍了求参数的取值范围问题的处理方法，在具体解题中可能要用到两种或两种以上的方法，应灵活处理．参数方程与极坐标问题—“考点”面面看
“参数方程与极坐标”主要内容是参数方程和普通方程的互化，极坐标系与普通坐标系的互化，参数方程和极坐标的简单应用三块，下面针对这三块内容进行透析：
一、参数方程与普通方程的互化
化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数，先确定一个关系（或，再代入普通方程，求得另一关系（或）.一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标）
例1、方程表示的曲线是（ ）
A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆
分析：把参数方程化为我们熟悉的普通方程，再去判断它表示的曲线类型是这类问题的破解策略.
解析：注意到t与互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含的项，即有，又注意到 ，可见与以上参数方程等价的普通方程为.显然它表示焦点在轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B.
点评：这是一类将参数方程化为普通方程的检验问题，转化的关键是要注意变量范围的一致性.
趁热打铁1：与普通方程等价的参数方程是（ ）（为能数）
解析：所谓与方程等价，是指若把参数方程化为普通方程后不但形式一致而且的变化范围也对应相同，按照这一标准逐一验证即可破解.
对于A化为普通方程为；
对于B化为普通方程为；
对于C化为普通方程为;
对于D化为普通方程为.
而已知方程为显然与之等价的为B.
例2、设P是椭圆上的一个动点，则的最大值是 ，最小值为 .
分析：注意到变量的几何意义，故研究二元函数的最值时，可转化为几何问题.若设，则方程表示一组直线，（对于取不同的值，方程表示不同的直线），显然既满足，又满足，故点是方程组的公共解，依题意得直线与椭圆总有公共点，从而转化为研究消无后的一元二次方程的判别式问题.
解析：令，对于既满足，又满足，故点是方程组的公共解，依题意得，由，解得：，所以的最大值为，最小值为.
点评：对于以上的问题，有时由于研究二元函数有困难，也常采用消元，但由满足的方程来表示出或时会出现无理式，这对进一步求函数最值依然不够简洁，但若通过三角函数换元，则可实现这一途径.即 ，因此可通过转化为的一元函数.以上二个思路都叫“参数法”.
趁热打铁2：已知线段，直线l垂直平分，交于点O，在属于l并且以O为起点的同一射线上取两点，使，求直线BP与直线的交点M的轨迹方程.
解析：以O为原点，BB’为y轴，为轴建立直角坐标系，则，，设，则由，得，则直线BP的方程为；直线和方程为；
，因此点M的轨迹为长轴长为6，短轴长为4的椭圆（除B，）.
二、极坐标与直角坐标的互化
利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，这二者互化的前提条件是（1）极点与原点重合；（2）极轴与轴正方向重合；（3）取相同的单位长度.设点P的直角坐标为，它的极坐标为，则 ；若把直角坐标化为极坐标，求极角时，应注意判断点P所在的象限（即角的终边的位置），以便正确地求出角.
例3、极坐标方程表示的曲线是（ ）
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线的一支 D. 抛物线
分析：这类问题需要将极坐标方程转化为普通方程进行判断.
解析：由，化为直角坐标系方程为，化简得.显然该方程表示抛物线，故选D.
点评：若直接由所给方程是很难断定它表示何种曲线，因此通常要把极坐标方程化为直角坐标方程，加以研究.
趁热打铁3：已知直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离是
解析：极点的直角坐标为，对于方程，可得化为直角坐标方程为，因此点到直线的距离为.
例4、极坐标方程转化成直角坐标方程为（ ）
A． B． C． D．
分析：极坐标化为直解坐标只须结合转化公式进行化解.
解析：，因此选C.
点评：此题在转化过程中要注意不要失解，本题若成为填空题，则更要谨防漏解.
趁热打铁4：点的直角坐标是，则点的极坐标为（ ）
A． B． C． D．
解析：都是极坐标，因此选C.
三、参数方程与极坐标的简单应用
参数方程和极坐标的简单应用主要是：求几何图形的面积、曲线的轨迹方程或研究某些函数的最值问题.
例5、已知的三个顶点的极坐标分别为,判断三角形ABC的三角形的形状，并计算其面积.
分析：判断△ABC的形状，就需要计算三角形的边长或角，在本题中计算边长较为容易，不妨先计算边长.
解析：如图，对于，
又，由余弦定理得：
，，，，，，所以AB边上的高,
趁热打铁5：如图，点A在直线x=5上移动，等腰△OPA的顶角∠OPA为120°（O，P，A按顺时针方向排列），求点P的轨迹方程.
解析：取O为极点，正半轴为极轴，建立极坐标系，则直线的极坐标方程为，设A（，），P，因点A在直线上， 为等腰三角形，且，以及
，把<2>代入<1>，得点P的轨迹的极坐标方程为： .
即时训练
一、选择题（8题）
1. 已知点M的极坐标为，下列所给出的四个坐标中不能表示点M的坐标是（ ）
A. B. C. D.
2．若直线的参数方程为，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
3．下列在曲线上的点是（ ）
A． B． C． D．
4．将参数方程化为普通方程为（ ）
A． B． C． D．
5．参数方程为表示的曲线是（ ）
A．一条直线 B．两条直线 C．一条射线 D．两条射线
6．直线和圆交于两点，则的中点坐标
为（ ） A． B． C． D．
7．极坐标方程表示的曲线为（ ）
A．一条射线和一个圆 B．两条直线 C．一条直线和一个圆 D．一个圆
8．直线的参数方程为，上的点对应的参数是，则点与之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（4题）
9. 点的极坐标为
10. 圆心为C，半径为3的圆的极坐标方程为
11. 极坐标方程为表示的圆的半径为
12 若A，B，则|AB|=__________，___________（其中O是极点）
三、解答题（3题）
13. 求椭圆。
14. 若方程的曲线是椭圆，求实数的取值范围.
15. ，若A、B是C上关于坐标轴不对称的任意两点，AB的垂直平分线交x轴于P（a，0），求a的取值范围.
即时训练参考答案
一、选择题：
1.A 解析：能表示点M的坐标有3个，分别是B、C、D.
2．D 解析：
3．B 解析：转化为普通方程：，当时，
4．C 解析：转化为普通方程：，但是
5、D 解析：表示一条平行于轴的直线，而，所以表示两条射线
6．D 解析： ，得，
因此中点为
7．C 解析：，则或
8、C 解析： 距离为
二、填空题：
9、或写成解析：由，得而点位于第四象限且或，故点的极坐标为或写成.
10、 解析：如下图，设圆上任一点为P（），则
11、1 解析：方程变形为，该方程表示的圆的半径与圆的半径相等，故所求的圆的半径为r=1
12、 解析：在极坐标系中画出点A、B，易得，
三、解答题：
13. 解析：（先设出点P的坐标，建立有关距离的函数关系）到定点的距离为
，
14. 解析：将方程两边同乘以，化为：
，，若方程表示椭圆，则须满足：
15. ，若A、B是C上关于坐标轴不对称的任意两点，AB的垂直平分线交x轴于P（a，0），求a的取值范围.
15. 解析：，
，
，
，抽象函数问题—分类解析
一、分类解析抽象函数问题
我们在学习一类函数时，往往会碰到没有给出解析式的函数，称为抽象函数，而这类问题往往抽象性强，灵活性大，同学们在学习时往往感觉到很困惑，让我们和同学们一起来解决这类问题．
问题一：灵活思考会求函数定义域
例1：函数的定义域为，则函数的定义域是
分析：这里需要把看作一个整体来求解．
解：因为相当于中的，则，则可以解得或
．
评注：对于抽象函数的定义域问题，则一定要看清楚中的，或者说对于函数，则可以把其中的看作一个整体，问题就会迎刃而解．
问题二：条件赋值判断奇偶
例2：已知的定义域为，且对于任意的实数、满足，求证：是偶函数．
分析：本题中可设、为具体的值，可确定=时具体的值，再判断的奇偶性．
解：在中，令得到，则可以得到，
令，得到，则得到，于是
，则是偶函数．
评注：对于抽象函数的奇偶性，结合其特点，不妨取特殊值来解决．
问题三：利用图象判断单调性
例3：已知偶函数在上是减函数，问是在上是增函数还是减函数，并证明你的结论．
分析：本题可根据图形来结合该函数是偶函数且是减函数，画出函数的示意图，以形助数，使问题得到迅速地解决．
解：如图1，则容易知道是在上是增函数，证明如下：任取，
因为是在上是减函数，所以，又是偶函数，所以，
，从而，故在上是增函数．
评注：往往有很多关于函数的奇偶性和单调性的问题，则可以通过数形结合来解决．
图1
问题四：巧妙求解函数值
例4：已知的定义域为，且对一切正实数、都成立，若，则 ．
分析：本题可取特殊值代入即可解决问题．
解：在条件中，令，则得到，
则得到，又令，则得到，所以．
评注：实际上可通过紧扣已知条件进行迭代变换，经过有限次的迭代，发现函数具有周期性，则可以利用周期性巧妙解答．
问题五：讨论方程根的问题
例5：已知函数对一切实数都满足，并且方程有三个实数根，则这三个实数根之和是 ．
分析：求抽象函数的实数根的问题也是常见的题型，关键是抓住对称轴分析解决．
解：由知道直线是函数图象的对称轴，又方程有三个实根，则由对称性可以知道必定是方程的一个根，其余两个根、关于直线对称，所以
=，故．
评注：寻找对称，从而确定根的特点，最终寻求到解决的方法与思路．
问题六：求解析式
例6：设函数存在反函数，，与的图象关于直线对称，则函数 ．
分析：要求的解析式，实际上是求的图象上任意一点的横、纵坐标之间的关系．
解：图象上任意一点关于直线的对称点适合，即，
又，所以得到，即．
评注：问题转化是解决本题的关键．
抽象函数比较抽象，但只要把握好问题的关键，则抽象函数就不抽象了．
二、抽象函数--单调性、奇偶性与周期性相结合的经典习题
1、已知奇函数的定义域为，且在区间内递减，求满足的实数的取值范围．
2、已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数。
若方程在区间上有四个不同的根，则
3、已知为上的最小正周期为2的周期函数，当时，，
则函数的图像在区间上与轴的交点的个数为 （ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
4、定义在上的函数满足，当时，，
当时，，则（ ）
A．335 B．338 C．1678 D．2012
5、定义在上的函数满足：且，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．无法确定
6、已知为上的偶函数，且对任意的，等式都成立，又当时，，则（ ）
A． B． C． D．
7、定义在上的函数满足：，若，则 （ ）
A．13 B．2 C． D．
8、定义在上的奇函数满足：，则的值为 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
9、已知函数满足：，且是偶函数，当时，，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10、设是定义在上的偶函数，对任意的，都有，且当时，，若在区间内关于的方程，恰有3个不同的实数根，则实数的取值范围是（）
A． B． C． D．
习题答案：1、 2、-8 3、B 4、B 5、B 6、B 7、C 8、B 9、C 10、D导数应用问题—9种错解剖析
导数作为一种工具，在解决数学问题时极为方便，尤其是利用导数求函数的单调性、极值、最值、和切线的方程，但是笔者在教学过程中，发现导数的应用还存在许多误区
一、对导数的定义理解不清致错
例1、已知函数，则
Ａ －１ B 0 C D 2
错解：，从而选；或
剖析：防错的关键是认真理清导数的定义特别是要分清导数定义中“”与“”的对应形式的多样性。
正解：原式=,从而应选Ｃ。
点评：=,函数在某一点x0处的导数，就是函数在这一点的函数值的增量与自变量的增量的比值在自变量的增量趋近于零时的极限，分子分母中的自变量的增量必须保持对应一致，它是非零的变量，它可以是－2，等。在导数定义中应特别注意“”与“”的对应形式的多样性，但不论哪种形式都应突现“”与“”的一致性。
二、对“连续”与“可导”定义理解不清致错。
例2、函数y=f(x)在x=x0处可导是函数y=f(x)在x=x0处连续的（ ）
Ａ、充分不必要条件 B必要不充分条件 Ｃ、充要条件 Ｄ、既不充分也不必要条件
错解： 认为“连续”与“可导”是同一个概念而错选Ｃ。或者对充分、必要条件的概念不清而导致错选Ｂ。
剖析：防错关键是（１）理清充分、必要条件的概念；（２）函数y=f(x)在x=x0处可导必在x=x0处连续，函数y=f(x)在x=x0处连续不一定在x=x0处可导。如函数在x=０处连续但在x=０处不可导。在x=０处连续，当时，的左右极限不相等，所以其极限不相等，因此函数在x=０处不可导。从而本题应选Ａ。
三、对为极值的充要条件理解不清致错。
例3、函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，求a、b的值。
错解： =3x2+2ax+b,由题意知 =0,且f(1)=10,即2a+b+3=0,且a2+a+b+1=10,解之得a=4,b=－11 ,或a=－3 b=3
剖析：错误的主要原因是把为极值的必要条件当作了充要条件，为极值的充要条件是=0且x0附近两侧的符号相反.，所以后面应该加上：当a=4,b=－11时=3x2+8x－11=（3x+11）(x－1),在x=1附近两侧的符号相反， a=4,b=－11.当a=－3 b=3时fl(x)=3（x－1）2, 在x=1附近两侧的符号相同，所以a=－3 b=3舍去。 （a=4,b=－11 时，f(x)=x3+4x2－11x+16的图象见下面左图，a=－3 b=3时（f(x)=x3－3x2+3x+9的图象见右图。）
四、对函数的单调区间考虑不全致错
例4、求函数=(x>0)的单调增区间。
错解：由题意得=0，，，又因为函数的定义域是（0，+），所以函数的单调递增区间是（0，1）和（1，+）。
剖析：本题错在对函数在x=1处是否连续没有研究，显然函数在x=1处是连续的，所以函数的单调递增区间是（0，+）.对于 >0（或 <0）的解集中的断开点的连续性，我们要进行研究，不能草率下结论。
五、对函数单调的充要条件理解不清致错
例5、已知函数f(x)=在(－2,+ )内单调递减，求实数a的取值范围。
错解：=,由函数f(x) 在(－2,+ )内单调递减知0在(－2,+ )内恒成立，即在(－2,+ )内恒成立，因此a.
剖析：错误的主要原因是由于对于函数f(x)在D上单调递增（或递减）的充要条件是(或)且在D任一子区间上不恒为零没有理解。而当a=时=0在(－2,+ )恒成立，所以不符合题意，所以舍去。即实数a的取值范围为。
六、没有考虑函数在某点不可导致错
例6、求f(x)=在[－1，3]上的最大值和最小值。
错解：由题意得= ，令=0得x=1.
当x=－1和3时，函数的最大值是，当x=1时，函数的最小值是1.
剖析：错误的主要原因是解题过程中忽略了对函数的不可导点的考察，因为函数的最值可以在导数为零的点或不可导点或区间的端点处取得.所以后面应该加上：在定义域内不可导的点为：x1=0,x2=2 ，f(0)=0 ,f(2)=0
当x=－1和3时，函数的最大值是，当x=0或2时，函数的最小值是0。事实上只要作出函数f(x)的图象就不难发现当x=0或2时，函数的最小值是0。当x=－1和3时，函数的最大值是。
七、忽视原函数的定义域致错。
例7、求函数的单调增区间
错解：函数的单调增区间为。
剖析：错解原因主要是忽视原函数的定义域所致。
正解：先求原函数的导函数即
因此原函数的单调增区间为
评析：利用导数求函数的单调区间，别忘了考虑原函数的定义域。
八、忽视导函数与原函数图象关系致错。
例8、设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（ ）
错解：本题是一道高考选择题，抽样表明许多考生由于对导函数与原函数图象关系深入不够而凭空乱猜。
剖析：由导函数的图象知，导函数在x=0和2时的导函数 值为0，故原来的函数在x=0和2时取得极值。当时，导函数值为正（或0），当时，导函数值为负,所以当时函数为增函数 ，当时，函数为减函数，故选项为C。
点评：只要抓住导函数的零点就是原函数图象的极值点以及导函数与单调性的相互关系本题就可迎刃而解。
九、忽视切点在曲线上的隐含条件致错。
例9、已知，函数的图象与函数 的图象相切。求b与c的关系式（用c表示b）。
错解：由函数的导函数就是曲线的切线方程知，，得，故。从而有
剖析：本题前面得到是对的，由于条件不够，就胡乱认为：而造成错解。
正解：依题意令，得，故。由于，得。
点评：在由得到，就应想切线的交点必是在原两函数图象的交点，这是解决曲线切线问题的关键。二次函数在闭区间上的最值问题—大盘点
知识要点：
一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.
设 ，求 在 上的最大值与最小值。
分析：将 配方，得顶点为（ ）、对称轴为
当>0 时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m，n]上的最值：
（1）当 时， 的最小值是， 的最大值是 中的较大者。
（2）当 时
若 ，由 在 上是增函数则的最小值是 ，最大值是
若 ， 由 在上是减函数则的最大值是，最小值是
当 时，可类比得结论
二、例题分析归类：
（一）、正向型
是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。
1. 轴定区间定
二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。
例1. 函数 在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______
解：函数是定义在区间[0，3]上的二次函数，其对称轴方程是，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在［0，3］上，
如图1所示。函数的最大值为=2 ，最小值为
图1
练习. 已知 ，求函数 的最值
解：由已知，可得 ，即函数 是定义在区间 上的二次函数，将二次函数配方得
其对称轴方程 ，顶点坐标 ，且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间内，如图2所示。函数的最小值为 ，最大值为
图2
2、轴定区间变
二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。
例2. 如果函数 定义在区间 上，求 的最小值
解：函数，其对称轴方程为 ，顶点坐标为（1，1），图象开口向上
如图1所示，若顶点横坐标在区间左侧时，有1< ，此时，当 时，函数取得最小值 =
图1
如图2所示，若顶点横坐标在区间上时，有 ，即 当 时，函数取得最小值
图2
如图3所示，若顶点横坐标在区间右侧时，有 ，即 当 时，函数取得最小值
综上讨论，
图3
例3. 已知，当时，求的最大值．
解：由已知可求对称轴为．
（1）当时，．
（2）当，即时，．
根据对称性若即时，．
若即时，．
（3）当即时，．
综上，
观察前两题的解法，为什么最值有时候分两种情况讨论，而有时候又分三种情况讨论呢？这些问题其实仔细思考就很容易解决。不难观察：二次函数在闭区间上的的最值总是在闭区间的端点或二次函数的顶点取到。第一个例题中，这个二次函数是开口向上的，在闭区间上，它的最小值在区间的两个端点或二次函数的顶点都有可能取到，有三种可能，所以分三种情况讨论；而它的最大值不可能是二次函数的顶点，只可能是闭区间的两个端点，哪个端点距离对称轴远就在哪个端点取到，当然也就根据区间中点与左右端点的远近分两种情况讨论。根据这个理解，不难解释第二个例题为什么这样讨论。
对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：
当 时
当 时
3、轴变区间定
二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。
例4. 已知 ，且 ，求函数 的最值。
解：由已知有 ， 于是函数 是定义在区间 上的二次函数，将 配方得：
二次函数 的对称轴方程 是顶点坐标为 ，图象开口向上
由 可得 ，显然其顶点横坐标在区间的左侧或左端点上
函数的最小值是 ，最大值是
例4图
例5. (1) 求在区间[-1,2]上的最大值。
(2) 求函数在上的最大值。
解：(1)二次函数的对称轴方程为，
当即时，；
当即时，。
综上所述：。
(2)函数图象的对称轴方程为，应分，，即，和这三种情形讨论，下列三图分别为
（1）；由图可知
（2）；由图可知
（3） 时；由图可知
；即
4. 轴变区间变
二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数在动区间上的最值”。
例6. 已知，求的最小值。
解：将代入u中，得
①，即时，
②，即时，
所以
（二）、逆向型
是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。
例7. 已知函数在区间上的最大值为4，求实数a的值。
解：
（1）若，不符合题意。
（2）若则
由，得
（3）若时，则
由，得
综上知或
例8.已知函数在区间上的最小值是3最大值是3，求，的值。
解法1：讨论对称轴中1与的位置关系。
①若，则
解得
②若，则，无解
③若，则，无解
④若，则，无解
综上，
解析2：由，知，则，
又∵在上当增大时也增大所以
解得
评注：解法2利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了，的取值范围，避开了繁难的分类讨论，解题过程简洁、明了。
例9. 已知二次函数在区间上的最大值为3，求实数a的值。这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分与两大类五种情形讨论，过程繁琐不堪。若注意到最大值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其真假，过程就简明多了。
具体解法为：
（1）令，得
此时抛物线开口向下，对称轴方程为，且，故不合题意；
（2）令，得
此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴较远，故符合题意；
（3）若，得
此时抛物线开口向下，闭区间的右端点距离对称轴较远，故符合题意。
综上，或
解后反思：若函数图象的开口方向、对称轴均不确定，且动区间所含参数与确定函数的参数一致，可采用先斩后奏的方法，利用二次函数在闭区间上的最值只可能在区间端点、顶点处取得，不妨令之为最值，验证参数的资格，进行取舍，从而避开繁难的分类讨论，使解题过程简洁、明了。
三、巩固训练
1．函数在上的最小值和最大值分别是 （ ） 1 ,3 ,3 （C） ,3 （D）, 3
2．函数在区间 上的最小值是 （ ）
2
3．函数的最值为 （ ）
最大值为8，最小值为0 不存在最小值，最大值为8
（C）最小值为0, 不存在最大值 不存在最小值，也不存在最大值
4．若函数的取值范围是______________________
5．如果实数满足，那么有 （ ）
(A)最大值为 1 , 最小值为 (B)无最大值，最小值为
（C）)最大值为 1, 无最小值 (D)最大值为1，最小值为
6．已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（ ）
(A) (B) (C) (D)
7．若，那么的最小值为__________________
8．设是方程的两个实根，则的最小值______
9．设求函数的最小值的解析式。
10．已知，在区间上的最大值为，求的最小值。
11.设为实数，函数.
(1)若，求的取值范围；
(2)求的最小值；
(3)设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集.
【解析】本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。
（1）若，则
（2）当时，
当时，
综上
（3）时，得，
当时，；
当时，△>0,得：
讨论得：当时，解集为;
当时，解集为;
当时，解集为.
习题答案：1、B 2、C 3、B 4、[0,2] 5、D 6、C 7、 8、4 9-10略概率题错解分类剖析—7大类型
概率问题题型较多，解法灵活，不少同学在解题过程中因概念不清、忽视条件、考虑不周等原因导致思维混乱，最终导致解题失误．本文就概率问题中的常见错误进行成因诊断，下面进行分类举例说明：
类型一：“非等可能”与“等可能”的混淆
例1．掷两枚骰子，求所得的点数之和为6的概率．
错解：掷两枚骰子出现的点数之和2，3，4，…，12共11种基本事件，所以概率为．
剖析：以上11种基本事件不是等可能的，如点数和2只有(1，1)，而点数之和为6有(1，5)、(2，4)、(3，3)、(4，2)、(5，1)共5种．事实上，掷两枚骰子共有36种基本事件，且是等可能的，所以“所得点数之和为6”的概率为．
类型二：“互斥”与“对立”的混淆
例2．把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是
A．对立事件 B．不可能事件 C．互斥但不对立事件 D．以上均不对
错误答案：A
剖析：本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同，要准确解答这类问题，必须搞清对立事件与互斥事件的联系与区别，这二者的联系与区别主要体现以以下三个方面：
(1)两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；
(2)互斥的概念适用于多个事件，但对立概念只适用于两个事件；
(3)两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生．
事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同时发生的两个事件，这两个事件可能恰有一个发生，一个不发生，可能两个都不发生，所以应选C．
类型三：“互斥”与“独立”的混淆
例3．甲投篮命中率为0.8，乙投篮命中率为0.7，每人各投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少？
错解：设“甲恰好投中两次”为事件A，“乙恰好投中两次”为事件B，则两人都恰好投中两次为事件A+B．
∴．
分析：本题错解的原因是把相互独立的事件当成互斥事件来考虑．将两人都恰好投中2次理解为“甲恰好投中两次”与“乙恰好投中两次”的和．而题目的实际含义是在“甲恰好投中两次”的同时“乙恰好投中两次”，即两人都恰好投中两次为事件．
正确解答：设“甲恰好投中两次”为事件A，“乙恰好投中两次”为事件B，且A，B相互独立，则两人都恰好投中两次为事件，则．
例4．某家庭电话在家中有人时，打进的电话响第一声时被接的概率为，响第二声时被接的概率为，响第三声时被接的概率为，响第四声时被接的概率为 ，那么电话在响前4声内被接的概率是多少
错解：分别记“电话响第一、二、三、四声时被接”为事件4，且=，
=， = ， = ，则电话在响前4声内被接的概率为
==×××=．
剖析：本题错解的原因在于把互斥事件当成相互独立同时发生的事件来考虑．根据实际生活中的经验电话在响前4声内，每一声是否被接彼此互斥．所以，=+++==0.1+0.3+0.4+0.1=0.9．
点评：以上两例错误的原因都在于把两事件互斥与两事件相互独立混同，互斥事件是指两个事件不可能同时发生；两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生与否没有影响，它们虽然都描绘了两个事件间的关系，但所描绘的关系是根本不同．
类型四：“条件概率P(B / A)”与“积事件的概率P(AB)” 的混淆
例5．袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，求第二次才取到黄色球的概率．
错解：记“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B,”第二次才取到黄球”为事件C,所以= =.
剖析：本题错误在于与的含义没有弄清, 表示在样本空间S中,A与B同时发生的概率；而表示在缩减的样本空间中，作为条件的A已经发生的条件下事件B发生的概率．
正确答案：（C）= = =．
类型五：“有序”与“无序”的混淆
例6．从10件产品（其中次品3件）中，一件一件地不放回地任意取出4件，求4件中恰有1件次品的概率．
错解：因为第一次有10种取法，第二次有9种取法，第三次有8种以法，第四次有7种取法，由乘法原理可知从10件取4件共有10×9×8×7种取法，故任意取出4件含有10×9×8×7个基本事件．
设A=“取出的4件中恰有1件次品”，则A含有种取法
剖析：计算任意取出4件所含基本事件的个数是用排列的方法，即考虑了抽取的顺序；而计算事件A所包含的基本事件个数时是用组合的方法，即没有考虑抽取的顺序．
正确解法一：（都用排列方法）
任意取出4件含有个基本事件，A包含个基本事件
正确解法二：（都用组合方法）
一件一件不放回地抽取4件，可以看成一次抽取4件，故S含有个基本事件，A包含有个基本事件．
类型六:“等可能”与“N次独立重复实验恰有K次发生” 的混淆
例7．冰箱中放甲、乙两种饮料各5瓶，每次饮用时从中任意取一瓶甲或乙种饮料，取用时甲种或乙种饮料的概率相等.
（1）求甲种饮料饮用完毕，而乙种饮料还剩下3瓶的概率.
（2）求甲种饮料被饮用的瓶数比乙种饮料被饮用瓶数至少多4瓶的概率
错解：（1）5瓶甲种饮料饮用完毕有种，乙种饮料还剩下3瓶即饮用2瓶有种方法，所以求甲种饮料饮用完毕，而乙种饮料还剩下3瓶共有种可能的结果，而从10瓶中选出7瓶共有种可能的结果．所以甲种饮料饮用完毕，而乙种饮料还剩下3瓶的概率为．
（2）甲种饮料被饮用的瓶数比乙种饮料被饮用瓶数至少多4瓶包括3种情况
①甲被饮用5瓶，乙被饮用1瓶，有种；②甲被饮用5瓶，乙没有被饮用有种；③甲被饮用4瓶，乙没有被饮用，有．所以甲种饮料被饮用的瓶数比乙种饮料被饮用瓶数至少多4瓶的概率为．
剖析：此法出错的原因是把饮用A、B两种饮料当作一次性取出，而每瓶被饮用的概率相等，所以用“等可能事件的概率”来解决．但实质上，每瓶饮料是一次次的取出饮用的，且A、B两种饮料每次被饮用的概率都为，故应用“N次独立重复实验恰有K次发生的概率”来求．
正解：(1)设“饮用一次，饮用的是甲种饮料”为事件A，则.甲种饮料饮用完毕，而乙种饮料还剩下3瓶的概率即求7次独立重复试验中事件A发生5次的概率为．
(2) 甲种饮料被饮用的瓶数比乙种饮料被饮用瓶数至少多4瓶包括上述3种情况，所求概率为：．
类型七:“可辩认”与“不可辨认”的混淆
例8．将n个球等可能地放入到N个编号的盒子中去（每个盒子容纳球的个数不限），求事件A=“某指定的n个盒子中恰好各有一球的概率”．
错解：将n个球等可能地放入到N个编号的盒子中，所有可能的结果数为，而事件A含有n!种结果．
剖析：这种解法不全面，如果球是编号的（即可辨认的），则答案是对的；若球是不可辩认的，则答案完全错了．因为球是不可辩认的，故只考虑盒子中球的个数，不考虑放的是哪几个球．我们在此用符号“□”表示一个盒子，“○”表示球，先将盒子按号码排列起来
1 2 3 4 5…N
这样的N个盒子由N+1个“|”构成，然后把n个球任意放入N个盒子中，比如：|○|○○|…|○○○|，在这样的放法中，符号“|”和“○”共占有：N+1+n个位置，在这N+1+n个位置中，开始和末了的位置上必须是“|”，其余的N+n-1个位置上“|”和“O”可以任意次序排列．则N-1个“1”和n个“○”在中间的N+n-1个位置上的可以区别的所有可能结果数是，将n个不可辨认的球放入指定的n个盒子，使每盒恰有一球的放法只有1种，故事件A含1个结果，从而
正解：分两种情况：
（1）当球是可辩认的，则
（2）当球是不可辨认的，则．
本文总结了学生易犯的几类错误，我们在教学的过程中，只要注意对这些错误作详细的分析，可减少在这些方面出现的错误．函数定义域问题—知识大盘点
一、求函数的定义域需要从这几个方面入手：
（1）分式中的分母不为零
（2）偶次根式的被开方数非负
（3）对数中的真数部分大于0
（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1
（5）y=tanx中x≠kπ+π/2；y=cotx中x≠kπ，k
( 6 )中x
（7）由实际问题建立的函数，要使实际问题有意义
二、定义域的求法
1、直接定义域问题
例1 求下列函数的定义域：
① ；② ；③
解：①∵x-2=0，即x=2时，分式无意义，
而时，分式有意义，∴这个函数的定义域是.
②∵3x+2<0，即x<-时，根式无意义，
而，即时，根式才有意义，
∴这个函数的定义域是{|}.
③∵当，即且时，根式和分式 同时有意义，
∴这个函数的定义域是{|且}
另解：要使函数有意义，必须：
例2 求下列函数的定义域：
① ②
③ ④
⑤
解：①要使函数有意义，必须： 即：
∴函数的定义域为： []
②要使函数有意义，必须：
∴定义域为：{ x|}
③要使函数有意义，必须：
∴函数的定义域为：
④要使函数有意义，必须：
∴定义域为：
⑤要使函数有意义，必须：
即 x< 或 x> ∴定义域为：
2 定义域的逆向问题
例3 若函数的定义域是R，求实数a 的取值范围 (定义域的逆向问题)
解：∵定义域是R,∴
∴
练习： 定义域是一切实数，则m的取值范围；
3 复合函数定义域的求法
例4 若函数的定义域为[ 1，1]，求函数的定义域
解：要使函数有意义，必须：
∴函数的定义域为：
例5 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x－1)的定义域
分析：法则f要求自变量在[－1，1]内取值，则法则作用在2x－1上必也要求2x－1在 [－1，1]内取值，即－1≤2x－1≤1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域；或者从位置上思考f(2x－1)中2x－1与f(x)中的x位置相同，范围也应一样，∴－1≤2x－1≤1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域。
（注意：f(x)中的x与f(2x－1)中的x不是同一个x，即它们意义不同。）
解：∵f(x)的定义域为[－1，1]，
∴－1≤2x－1≤1，解之0≤x≤1，
∴f(2x－1)的定义域为[0，1]。
例6已知已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(x2)的定义域
答案：－1≤ ≤1 ≤1－1≤x≤1
练习：设的定义域是[ 3，]，求函数的定义域
解：要使函数有意义，必须： 得：
∵ ≥0 ∴
∴ 函数的定域义为：
例7 已知f(2x－1)的定义域为[0，1]，求f(x)的定义域
因为2x－1是R上的单调递增函数，因此由2x－1， x∈[0,1]求得的值域[－1，1]是f(x)的定义域
练习：
1、求下列函数的定义域：
⑴
⑵
⑶
2、设函数的定义域为，则函数的定义域为_ _ _；函数的定义域为________；
3、若函数的定义域为，则函数的定义域是 ；函数的定义域为 。
知函数的定义域为，且函数的定义域存在，求实数的取值范围。
5、 已知f(3x－1)的定义域为[－1，2），求f(2x+1)的定义域
6 、已知f(x2)的定义域为[－1，1]，求f(x)的定义域
7、 若的定义域是，则函数的定义域是 （ ）
Ａ． Ｂ Ｃ． Ｄ．
8、若函数= 的定义域为,则实数的取值范围是 （ ）
A、(－∞,+∞) B、(0, C、(,+∞) D、[0,
9、若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）
(A) (B) (C) (D)
10、函数的定义域是（ ）
A、 B、 C、 D、
练习题答案：
1、（1） （2） （3）
2、； 3、 4、
5、[ 6、[0,1] 7、C 8、D 9、 B 10、B
三、都是“定义域”惹的祸
函数三要素中，定义域是十分重要的，研究函数的性质时应首先考虑其定义域．在求解函数有关问题时，若忽视定义域，便会直接导致错解．下面我们举例分析错从何起．
一、求函数解析式时
例1．已知，求函数的解析式 .
错解：令，则，，
，
剖析：因为隐含着定义域是，所以由得，的定义域为，即函数的解析式应为（）
这样才能保证转化的等价性.
正解：由，令得，代入原解析式得（），即（）．
二、求函数最值（或值域）时
例2．若求的最大值．
错解：由已知有 ①，代入得
，∴当时，的最大值为．
剖析：上述错解忽视了二次函数的定义域必须是整个实数的集合，同时也未挖掘出约束条件中的限制条件．
正解：由得，
，，因函数图象的对称轴为，∴当是函数是增函数，故当当时，的最大值为．
例3．已知函数，则函数的最大值为（ ）
A．33 B．22 C．13 D．6
错解：==在上是增函数，故函数在时取得最大值为33．
正解：由已知所求函数的定义域是得，
==在是增函数，故函数在时取得最大值为13．
例4．已知，求的最大值和最小值．
错解：由得．∴．
∴
． ∵，∴．∴，．
剖析：∵中，则中，即，∴本题的定义域应为．
∴．
正解：（前面同上），由得．
∴，．
例5．求函数的值域．
错解：令，则，∴
．故所求函数的值域是．
剖析：经换元后，应有，而函数在上是增函数，随着增大而无穷增大．所以当时，．故所求函数的值域是．
三、求反函数时
例6．求函数 的反函数．
错解：函数的值域为,
又，即 ，所求的反函数为．
剖析：上述解法中忽视了原函数的定义域 ，没有对x进行合理取舍,从而得出了一个非函数表达式．
正解：由的值域为, 因，又，所求的反函数为．
四、求函数单调区间时
例7．求函数的单调递增区间.
错解：令，则，它是增函数. 在上为增函数，由复合函数的单调性可知，函数在上为增函数，即原函数的单调增区间是.
剖析：判断函数的单调性，必须先求出函数的定义域，单调区间应是定义域的子区间．
正解：由，得的定义域为.在上为增函数，由可复合函数的单调性可确定函数的单调增区间是.
例8．求的单调区间．
错解：令，，时，为减函数，
时，为增函数，又为减函数，故以复合函数单调性知原函数增区间为，减区间为．
剖析：在定义域内取，值不存在，显然上面所求不对，根本原因正是疏忽了定义域，单调区间必须在函数定义域内．由，得或，故增区间为，减区间为．
例9．指出函数的单调增区间．
错解：∵，∴，∴当时，或，∴函数的单调增区间为．
剖析：此题错在没有考虑函数的定义域，故本题的答案为．
五、判断函数的奇偶性时
例10．判断的奇偶性．
错解：∵， ∴为偶函数．
剖析：事实上奇偶函数定义中隐含着一个重要条件，即首先定义域必须是关于原点的对称区间．而此函数的定义域为，不满足上述条件，即应为非奇非偶函数．函数零点问题—求解策略
函数的零点是高中新课标中新增内容，在教材中给出了具体的定义：“对于函数,我们把使的实数x叫做函数的零点，这样函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与X轴交点的横坐标，所以方程有实根函数的图象与X轴有交点函数有零点”（必修1.P95.人教版）
对于函数零点问题，我们除了可应用根的存在性定理直接求解外，还可利用“方程有实根函数的图象与X轴有交点函数有零点” 题目进行适当转换，得到各种不同的求解策略。兹总结如下：
一 、函数零点的存在性定理指出：“如果函数在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且，那么，函数在区间（a,b）内有零点，即存在,使得,这个c也是方程的根”。根据函数零点的存在性定理判断函数在某个区间上是否有零点（或方程在某个区间上是否有根）时，一定要注意该定理是函数存在零点的充分不必要条件：如
例1、函数的零点所在的大致区间是（ ）
（A）（0，1）； （B）（1，2）； （C） （2，e）； （D）（3，4）。
分析：显然函数在区间[1,2]上是连续函数，且,，所以由根的存在性定理可知，函数的零点所在的大致区间是（1，2），选B
例2.函数在下列区间是否存在零点？（ ）
（A）（-3，-1）； （B）（-1，2）； （C） （2，3）； （D）（3，4）。
分析：利用函数零点的存在性定理分析，函数在所给出的四个区间中都不满足条件，但由函数的图象可知它一定有零点。仅当函数在区间[a,b]上是单调函数时，函数零点的存在性定理才是函数存在零点的充要条件。
二 、求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题
函数零点的存在性定理，它仅能判断零点的存在性，不能求出零点的个数。对函数零点的个数问题，我们可以通过适当构造函数，利用函数的图象和性质进行求解。如：
对于求一个陌生函数的零点个数，若能把已知函数分解成两个熟悉的函数，那么可利用构造函数法化归为求两个熟悉函数图象的交点个数求解,如：
例3.求零点的个数。
分析：本题直接求解，无法下手，由函数的零点也是方程的根，即方程的解，但这个方程不是
熟悉的常规方程，由方程的解与两函数图象交点的关系，可构
造函数、,在同一坐标系中作出它们的图象，可得
出它们有三个交点，所以零点的个数有三个。
2对于一元高次函数，可利用导数法研究函数图象的特征，作出函数的图象，确定图象与X轴交点的情况求解。如：
例4.函数零点的个数为
分析：，
令,得列出x,y/,y的对应值表如下：
x 1 (1,3) 3
+ 0 - 0 +
y 增函数 减函数 增函数
作出函数的草图可知，函数的图
象与X轴仅有一个交点，则仅有一个零点。
注意：本类型题的特点是找出函数的图象与X轴交点，实质上仍是求函数与函数交点的情况。若把换成，相当在原题中引入参数a，得出一般情况下的解法，如：
例5、（例4变式题）试讨论函数()零点的个数。
分析：方法1：直接模仿例4的解法，可得如下表格:
x 1 (1,3) 3
+ 0 - 0 +
y 增函数 减函数 增函数
然后再结合函数的图象与X轴的关系，确定分类讨论的标准，由极大值、极小值与零的关系，讨论图象与X轴交点情况，得出如下结论：
当即时有一个交点；当即时有两个交点；当且即时有三个交点；当即时有两个交点；当即时有一个交点.
方法2：通过构造函数与转化求解，利用例4的方法可得到函数的图象，讨论两个函数图象的位置关系，
可得出结论：当仅有一个零点；
当有二个零点；当有三个零点；
当时有二个零点；当仅有一个零点。
例6、已知，函数在区间（0，3）内零点的个数为 。
分析：本题利用导数法可得出在区间（0，3）上是单调递减函数，且,，由函数的图象可知仅有一个零点。
三．求函数的具体零点或求方程的根。对于某些特殊类型的函数，可通过研究式子的特征，构造新函数,转化求解。如：
例7、求函数的零点。
分析：考察的特点，直接求解难以入手，可转化为求的解，根据式子特点构造函数，显然为奇函数，且在R上单调递增，由可化为，故利用函数的性质可得，则，所以函数的零点为
综上所述，对于函数的零点问题，我们除了要掌握利用函数的零点存在性定理判断外，还要更好地懂得利用函数与方程思想，构造函数，数形结合，优化解题的策略，提高学生分析问题、解决问题的能力。

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