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第十六章 二次根式
16.1二次根式的概念和性质
【学习目标 】：
1、理解二次根式及代数式的概念，了解被开方数是非负数的理由.
2、理解并掌握下列结论：，，，并利用它们进行计算和化简．
【知识讲解 】
知识点一、二次根式及代数式的概念
1.形如的式子叫做二次根式。
二次根式中被开方数a既可以是一个数，也可以表示一个代数式，前提是必须满足a≥0.
2.二次根式的概念有两个要点：
（1）从形式上看，应含有二次根号；
（2）被开方数的取值范围有限制：被开方数a必须是非负数。
特别强调：二次根式的被开方数是“非负数”，而不是“正数”。
用基本运算符号（包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.
到现在为止，初中阶段所学的代数式主要有：整式、分式、二次根式。
【练习1】下列各式一定是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【练习2】下列式子中二次根式的个数有（　　）
（1）（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【练习3】下列各式中，一定是二次根式的有（　　）个．
A.2 B.3 C.4 D.5
知识点二、二次根式有意义的条件
二次根式有意义的条件就是二次根式被开方数必须是非负数，有分式时，还要考虑分式分母不为0的条件，这样就转化为解不等式或不等式组问题。
【练习4】若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠3 B． C．x≥2 D．
【练习5】若代数式有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A．x≥1 B．x≥2 C．x＞1 D．x＞2
【练习6】当x是__________时，+在实数范围内有意义？
【练习7】若代数式有意义，则实数x的取值范围是（　　）
x≠1 B. x≥0 C. x≠0 D. x≥0且x≠1
知识点三、二次根式的性质
二次根式具有双重非负性：二次根式的值是非负数；被开方数a也是非负数。
1、；
2.；
3..
要点诠释：
1.二次根式(a≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，即.
2.与要注意区别与联系：
1）的取值范围不同，中≥0，中为任意值.
2）≥0时，==；<0时，无意义，=.
【练习8】若，求a -b+c的值.
【练习9】已知，为等腰三角形的两条边长，且，满足，求此三角形的周长。
【练习10】化简：（1） （2） （3） （4）
【练习11】已知a、b、c是△ABC的三边长，化简：。
【练习12】已知，且，求的值。
【练习13】若，求的值。
【练习14】实数、在数轴上的对应点如图所示，化简：。
参考答案
知识点一、二次根式及代数式的概念
【练习1】【答案】C
【解析】解：A、二次根式无意义，故A错误；
B、是三次根式，故B错误；
C、被开方数是正数，故C正确；
D、当b=0或a、b异号时，根式无意义，故D错误．故选：C．
【练习2】【答案】B
【解析】解：二次根式有；；三个．故选B．
【练习3】【答案】B
【解析】解：二次根式有； ；三个．无意义，不符合定义。故选B
知识点二、二次根式有意义的条件
【练习4】【答案】D
【解析】
解：由题意得，2x﹣1≥0，x﹣3≠0，
解得，且x≠3。故选D
【练习5】【答案】B
【解析】
解：由题意可知：∴解得：x≥2。故选B
【练习6】【答案】
【解析】解：由题意可知：∴解得：。
【练习7】【答案】D
【解析】
解：由题意可知：∴解得：。故选D
知识点三、二次根式的性质
【练习8】【答案】3
【解析】，且
【练习9】【答案】10或11
【解析】，且
当为腰时，三角形周长=3+3+4=10；当为腰时，三角形周长=3+4+4=11
故三角形周长为10或11
【练习10】【答案】见解析
【解析】（1） （2）
（3） （4）
【练习11】【答案】
【解析】为三角形的三边,
【练习12】【答案】
【解析】
解：根据题意得：，解得：，∵，∴x=4
则原式=
【练习13】【答案】-1
【解析】解：根据题意得，a+1=0，b﹣1=0，解得a=﹣1，b=1，所以，
【练习14】【答案】-3b
【解析】
解：根据数轴可知b＜a＜0，
∴a+2b＜0，a-b＞0，
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