资源简介

求函数f(x)的值 找规律，常有f(x)＋f(1/x)等
于定值
符号f(x)的理解
分段函数的值 分类讨论yyds，注意端点
直接求定义域 不要化简变形
已知定义域求参数或其范围 二次函数恒正恒负的充要条
具体函数 件
函数值域为R，求参数或其 由单调性或图像或其他性质函数的定义域
范围 反推定义域，转化为上一种
题型
函数的定义域指的是自变量
的取值范围。同一对应法则
抽象函数 下括号中整体的取值范围相
同，但也要注意括号内的函
数也有定义域。
给出表达式的，直接代
待定系数法
给出函数类型的，设表达式
再代
可以通过换元反解的，直接
解，注意新元t的取值范围
换元法 难以反解的，找合适整体做
变量，等价变形后换元，注
意新元t的取值范围（有时
又名配凑，配凑都是换元，
换元不一定是配凑，不是拍
凑的属于上种情况）
函数的解析式 方法：已知
af(x)＋bf(g(x))＝h(x)(a≠b)
，将x换成g(x)，联立求
解。即
f(x)＝(ah(x)－bh(g(x)))/
(a －b )(破二级结论少背)
使用条件：g(g(x))＝x
方程组法
推广：当g(g(...g(x)))＝x
时，联立n个方程。高考上
限n＝3。此时
g(g(g(x)))＝x，
①f(x)＋f(g(x))＝h(x)
②f(g(x))＋f(g(g(x)))＝h(g(x
))
③f(g(g(x)))＋f(x)＝h(g(g(x)
))
已知函数求值域 分类讨论，求并集
已知值域求参数取值范围 分类讨论，注意端点
普通换元，注意新元t取值
范围
简单函数
整体结构换元，再两边同时
复合函数 换元 平方
分式通过分子分母同时乘除
多项式，换元转化成与对勾
函数或其他函数有关的形式
单根式型f(x)＝根号下g(x) 求出g(x)值域便可得f(x)值
域，注意g(x)必须≥0
换元，令t＝根号下
(cx＋d)，变为二次函数
单根式型f(x)＝ax＋b±根号
下(cx＋d)
若ac＞0，可通过单调性求
解
平方处理最简单，变为单根
式型
三角换元
ac＋bd小于等于根号下
根式中变量系数互为相反数 (a ＋b )(c ＋d )
柯西不等式 根号下(a ＋b )＋根号下(c ＋d )≥根号下((a- 其中ac＋bd≥0
c) ＋(b-d) )
取等条件：ad＝bc
ac＞0 一定有单调性直接求
平方处理最简单，变为单根
根式型值域 ac＜0，a＝-c 式型(不就是根式的变量系
数互为相反数嘛)
f(x)＝根号下(ax＋b)＋根号
下(cx＋d) 三角换元 确定角度范围，再确定一
遍，再确定一遍！
双根式
ac＜0且a≠-c 柯西不等式(如上)
求导...别忘了这是函数初步
ac＜0 单 调 性
值域
a＝c 分子有理化后，分母具有单
调性
f(x)＝根号下(ax＋b)-根号下
函数初步 (cx＋d)
三角换元
ac＞0且a≠c
柯西柯西阔sii～
根式系数不为1 想着转化吧好孩子
两个二次项系数相同，根号
下恒为非负，(似乎太局限
了)
f(x)＝根号下 根式系数均为1 将军饮马
(ax ＋bx＋c)＋根号下
(dx ＋ex＋f)
先求定义域，再分别求单调
根号下并不恒为非负 区间，再求交集，即f(x)单
调区间，利用单调性求解
分子0次型f(x)＝k/g(x)(k为 先求分母值域，再取倒数得
常数) f(x)值域
分子分母一次齐次型 分离常数，转化为分子0次
f(x)＝(ax＋b)/(mx＋n) 型
若a＞0，即为一个对勾函数
向上平移b个单位长度
分子二次分母一次型 分离变量后等价于x＋a/x＋b(a，b为常数) 若a＜0，为一个在(-∞，0)
和(0，+∞)上分别单调递
增，值域为R，以y＝x为渐
近线的函数向上平移b个单
位长度
取倒数变为分子二次分母一次型
换分子为新元t，讨论t的范
分子一次分母二次型 围后，转化为常数函数或对
分式型值域 勾函数
若定义域为R，分母恒不为 即二次函数等价于一个关于 分类讨论，y等于0时为一次
0，判别式法 x的方程在x属于R有解 方程，y≠0时b -4ac≥0
取倒数变为分子二次分母一
次型求
分子分母二次齐次型 分离常数变为分子一次分母
二次型
按照分子一次分母二次型方
法求
斜率公式
点到直线距离公式
三角函数型，记住
即将原式化成(cosx，sinx)
(cosα，sinα)在单位圆上 与某点连线的斜率，利用单
位圆圆心(0，0)到这一点的
距离不大于半径1求解
具体函数
单调性的证明
抽象函数
具体方法：拿出一张草稿
纸，手里拿一支能写字的
笔。在纸上画出两个平面直
角坐标系，在左边的xOy中
画出内函数的图像，在右边
首先求出函数定义域，然后 的xOy中画出外函数的图
判断定义域上内函数和外函 像。根据内函数的图像判断
复合函数单调性 数各自的单调性，再利用 外函数的定义域(即内函数 同增异减就求出来啦
同增异减 判断复合函数在 的值域)。先找出内函数的
定义域上的单调性 所有单调区间，然后分类讨
论，看内函数的单调区间所
对应的外函数的区间，如果
外函数的区间不单调，则分
类讨论。如果单调，那就单
调，然后——
函数不等式问题：首先，确
若函数f(x)单调递增，则当 定f(x)在给定区间上的单调
f(a)＞f(b)时，有a＞b。若 性。其次，将函数不等式转
函数f(x)单调递减，则当 化为f(a)＜f(b)的形式。最
f(a)＞f(b)时，有a＜b 后，运用函数的单调性去掉
抽象符号f，转化成一般的
不等式或不等式组。
单调性
(f(a)－f(b))(a－b)＞0或者相
除＞0，等价于f(x)递增，递
减的等价条件类比可知。
对于(f(a)－f(b))/(a－b)＞m
的形式，变形为
[(f(a)－ma)－(f(b)－mb)]/
单调性的应用 (a－b)＞0的形式，令 学会变换形式构造函数
g(x)＝f(x)－mx，则g(x)单
调递增，递减形式类比可
知，积的形式易知。
对于任意两个的正数a，b设
a＜b，若[bf(a)－af(b)]/
(a－b)＞0 ，可得[(f(a)/
a)－(f(b)/b)]/(a－b)＞0，令 学会变换形式构造函数
g(x)＝f(x)/x，则g(x)在(0，
+∞)上单调递增，递减形式
类比可知，积的形式易知。
视参数为已知数，依据单调 分类讨论
求参数值或取值范围 性定义，确定函数的单调区 任意，任意，任意！
间，再与已知单调区间比较
求出参数的范围或值。 注意端点
奇偶性
周期性
对称性
二次函数

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