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三角形
本章思维导图
二、本章考点复习
知识点一、三角形的概念
三角形定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做
三角形．
2.有关概念：
（1）边：组成三角形的线段叫做三角形的边．如图，线段AB、BC、CA是三角形的三边．
（2）顶点：相邻两边的公共端点叫做三角形的内角．如图，点A，B，C是三角形的顶点．
（3）角：相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．如图1-1，∠A，∠B，∠C 是三角形的内角．
三角形的三边有时也用a，b，c表示，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示．
3.三角形的表示：顶点是A，B，C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”．
特别提醒：组成三角形的边是线段，不是直线，也不是射线
考试题型：
例.如图，图中以BC为边的三角形的个数为______________．
【解析】以BC为公共边的三角形有△BCD，△BCE，△BCF，△ABC共4个．
【答案】4
【方法总结】
查找三角形时要按照一定的顺序进行，才能做到不重不漏．常用的方法有三种：
接组成三角形的图形个数来数(如单个三角形，由2个图形组成的三角形……最后求和)
从图中的某一条线段开始，按一定的顺序找出另两条边.
(3)先固定一个顶点，再变换另外两个顶点，找出不共线的三点共有
多少组.
考点2.三角形的重要性质：三角形具有稳定性.
三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性.
如果三角形的三条边固定，那么这个三角形的形状和大小就完全确定了.
三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状.
1.三角形稳定性是指三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点，如埃及金字塔、钢轨、三角形框架、起重机、三角形吊臂、屋顶、三角形钢架、钢架桥和埃菲尔铁塔都以三角形形状建造[1]。当三角形三条边的长度均确定时，三角形的面积、形状完全被确定，这个性质叫做三角形的稳定性。
2.任取三角形两条边，则两条边的非公共端点被第三条边连接.
∵第三条边不可伸缩或弯折,
∴两端点距离固定 ,
∴这两条边的夹角固定.
又∵这两条边是任取的 ,
∴三角形三个角都固定，进而将三角形固定 ,
∴三角形有稳定性.
知识点二、三角形的分类
1.按角分类：
按照三角形的三个内角的大小，可以将三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．
2.按边分类：
（1）按照“是否有边相等”，可以将三角形分为两类：三边都不相等的三角形和等腰三角形．
（2）等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角．
（3）等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形．等边三角形是特殊的等腰三角形，即底边和腰相等的等腰三角形．
三角形按边分类为：
知识点三、三角形的三边关系：
1.三边关系：
三角形任意两边的和大于第三边，三角形任意两边的差小于第三边．
依据：两点之间，线段最短.
考法：
1.给出三条线段，判断能否构成三角形.
2.已知三角形的两边，求第三边的取值范围.
3.已知三边能构成三角形，求参数范围
4.已知关于△ABC的三边a、b、c的关系，化简代数式.
考法1.给出三条线段，判断能否构成三角形.
例2.下列长度的三条线段(单位:cm)能组成三角形的是（ ）
A.1,2,3.5 B.4,5,9 C.5,8,15 D.6,8,9
【解析】选择较短的两条线段，计算它们的和是否大于最长的线段，若大于，则能组成三角形；否则不能组成三角形.因为6+8＝14＞9，所以选项D中的线段能组成三角形.
【答案】D
【方法总结】
分门别类判断三条线段能否组成三角形:
（1）当三条线段互不相等时，只需要验证较短的两条线段之和是否大于最长的线段，若大于，则能组成三角形，否则不能组成三角形.
(2)当有两条线段相等时，只需要验证相等的两条线段之和是否大于第三条线段.
(3)三条相等的线段一定可以组成一个三角形.
考法2：已知三角形的两边，求第三边的取值范围.
例3.三角形的两边长为4和7，则第三边长x的取值范围为（　　）.
A．3＜x＜11 B．3≤x≤11 C．x≤3 D．x≥11
【解析】根据三角形的三边关系可得7-4＜x＜7+4，解得3＜x＜11.
【答案】A
【方法总结】已知两边的长，根据“两边之差＜第三边＜两边之和”可以求出第
三边的长的取值范围.
考法3：已知三边能构成三角形，求参数范围
例4. 已知长为1，x，5的三条线段首尾顺次连接组成三角形，求x的取值范围.
【答案】4考法4：已知关于a、b、c的三边，化简代数式
例5.已知a，b，c是三角形ABC三边之长，化简：
|a+b﹣c|+|a﹣b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|﹣|c+b﹣a|．
【分析】根据三角形的三边关系以及绝对值的性质即可求解．
【答案】解：∵a，b，c为三角形的三边，∴a+b＞c，b+c＞a，a+c＞b，c+b＞a，
∴a+b﹣c＞0，a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c+b﹣a＞0，
∴原式=a+b﹣c+（b+c﹣a）﹣（a+c﹣b）﹣（c+b﹣a）
=a+b﹣c+b+c﹣a﹣a﹣c+b﹣c﹣b+a
=2b﹣2c．
例6．如图，已知D、E是△ABC内的两点，问AB+AC＞BD+DE+EC成立吗？请说明理由．
【分析】证明线段和差之间的不等关系，初中阶段可以用的几何原理有两个：一是两点间线段最短，常见表现形式是三角形中两边之和大于第三边，常用的模型是飞镖模型和“8”字模型（方法技巧提炼中提到的几何模型）；另一个是垂线段最短，常见表现形式是直角三角形中斜边大于直角边.此题中，可以同构造辅助线，将相关线段放在各个三角形中，结合图形，反复运用三角形的三边关系：“两边之和大于第三边”进行证明．
【答案】答：成立；
证明：延长DE交AB于点F,延长DE交AC于G，
在△AFG中：AF+AG＞FG①，
在△BFD中：FB+FD＞BD②，
在△EGC中：EG+GC＞EC③，
∵FD+ED+EG=FG，
∴①+②+③得：AF+FB+FD+EG+GC+AG＞FG+BD+EC，
即：AB+FD+EG+AC＞FG+BD+EC，
AB+AC＞FG﹣FD﹣EG+BD+EC，
∴AB+AC＞BD+ED+EC．
知识点四、三角形中的重要线段
1.三角形的高：
（1）定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，连接顶点和垂足的线段叫做三角形的高．
（2）三角形的三条高所在的直线交于一点，叫做三角形的垂心．锐角三角形的垂心在三角形内部，直角三角形的垂心是直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形外部．
2.三角形的中线：
（1）定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线．
（2）三角形的三条中线都在三角形内部，且三条中线交于一点，叫做三角形的
重心.
（3）三角形的中线平分三角形的周长和面积.
3.三角形的角平分线：
（1）定义：三角形中，一个内角的角平分线和它的对边交于一点，连接这个顶点与交点的线段叫做三角形的角平分线.
（2）三角形的三条角平分线都在三角形内部，且三条角平分线交于一点，叫做三角形的内心.
（3）注意：三角形的角平分线是线段.
4.整数边三角形
⑴边长都是整数的三角形称为整数边三角形.
⑵若整数是三角形的三边，且，
则
（当且仅当时等号成立）.
知识点五、三角形中的角
1.内角和定理：三角形的内角和为180°．在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°.
注：①三角形内角和定理的证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角，在转化中借助平行线．
②有时需要设求知数利用列方程的方法进行求解.
添加平行线法：
帕斯卡(法国数学家)折纸法：
更具动手可行性的剪角法：(不严密)把三角形的三个内角剪下来能拼成一个平角．
2.直角三角形可以用“Rt△”表示.
性质：直角三角形的两个锐角互余.
判定：有两个角互余的三角形是直角三角形.
3．三角形的外角
（1）定义：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫三角形的外角.
（2）性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
（3）三角形外角和定理：三角形的外角和等于360°.
（4）三角形内角和定理的推论：
推论1 直角三角形的两个锐角互余
推论2 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
推论3 三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角.
注意：
（1）根据三角形内角和定理，已知任意两角，可求第三角的度数或已知三个角的关系求各角的度数.
（3）直角三角形判定的“两方法”：
①定义：有一个角是直角的三角形；
②判定定理：有两个角互余的三角形.
知识点六、多边形
1．多边形
（1）多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．
（2）正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．
注：①多边形可分为凸多边形和凹多边形.
②在没有特殊说明的情况下，我们所说的多边形是凸多边形。画出多边形的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的图形叫凸多边形。
2．多边形的对角线
（1）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
注：n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．从n个顶点出发引出（n﹣3）条，而每两条重复一次，
所以n边形对角线的总条数为：（n≥3，且n为整数）
3．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2） 180° （n≥3）且n为整数）
注：此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
注：①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以上结论：外角和为360°．
4．平面镶嵌（密铺）
（1）平面图形镶嵌的定义：用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接．彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．
注：正多边形镶嵌有三个条件限制：①边长相等；②顶点公共；③在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°．
（2）判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能．
注：①单一正多边形的镶嵌：正三角形，正四边形，正六边形．
②两种正多边形的镶嵌：3个正三角形和2个正方形、四个正三角形和1个正六边形、2个正三角形和2个正六边形、1个正三角形和2个正十二边形、1个正方形和2个正八边形等．
③用任意的同一种三角形或四边形能镶嵌成一个平面图案．
例1.把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个18边形，则原多边形纸片的边数不可能是（　　）
A．16 B．17 C．18 D．19
【分析】一个n边形剪去一个角后，剩下的形状可能是n边形或（n+1）边形或（n﹣1）边形．所以当剪去一个角后，剩下的部分是一个18边形，则这张纸片原来的形状可能是18边形或17边形或19边形，不可能是16边形．
【答案】A
例2.一个机器人从点O出发，每前进1米，就向右转体a°（1＜a＜180），照这样走下去，如果他恰好能回到O点，且所走过的路程最短，则a的值等于　 　．
【分析】根据多边形的外角和等于360°，用360°÷a°，所得最小整数就是多边形的边数，然后再求出a即可．根据题意，机器人所走过的路线是正多边形，∴边数n=360°÷a°，走过的路程最短，则n最小，a最大，n最小是3，a°最大是120°．
【答案】120．
三、本章题型归纳
题型一、三角形三边关系
1.三角形三边关系的应用：
（1）判断三条线段能够构成三角形；
（2）已知三角形两条边，求第三条边的取值范围；
（3）化简代数式；
（4）证明线段间的不等关系.
2.技巧方法提炼：
若线段a、b、c(b>c)，能构成三角形，根据三角形三边关系定理，需满足：
变形得，因为所以，即当b-cc）时，线段b、c能构成三角形，由此可知，不失一般性，若三条线段满足两边之和大于第三边且这两边之差小于第三边即可构成一个三角形.
例1、一个三角形的三条边长分别是x+3，4x-5，2x，求x的取值范围.
【分析】本题根据“三角形两边的和大于第三边”来列出关于x的不等式，但由题干中无法直接判断哪一条为最长边，所以需要列关于x的不等式组，得出取值范围.
【解析】解：由三角形任意两边之和大于第三边，可得：
，解得.
【答案】.
例2、已知：△ABC的三边长分别为a，b，c，化简：|a﹣b+c|+|a﹣b﹣c|.
【分析】本题根据“三角形两边的和大于第三边”来判断绝对值里面的正负，再去绝对值符号化简.
【解析】∵△ABC的三边长分别是a、b、c，
∴必须满足两边之和大于第三边，两边的差小于第三边，则a﹣b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，
∴|a﹣b+c|+|a﹣b﹣c|=a﹣b+c﹣a+b+c=2c．
【答案】2c.
题型二、三角形的高、中线、角平分线
技巧方法提炼：本题型主要分为两种考察方式，一种侧重概念，考察对于三角形的高、中线和角平分线的概念以及基本性质的掌握；一种侧重计算，利用已知条件中的高、中线和角平分线计算三角形中的角度或线段长.
1.三角形三种重要线段，如图所示，每一种线段的表示方法有下面几种方式：
（1） AD是ΔABC的角平分线；AD平分BAC，交BC于点D；BAD=DAC=BAC
（2）AM是ΔABC的中线；AM是ΔABC边的中线，点M是BC的中点；BM=MC=BC
（3）AE是ΔABC的高；AE是ΔABC边BC上的高，AE⊥BC，垂足为E；
∠AEB=∠AEC=900
2.计算
三角形的高：
①出现直角，直角三角形的两个锐角互余；
②利用面积法求高之间的关系；
三角形的中线：
①中线平分三角形的边；
②中线平分三角形的面积；
三角形的角平分线：
①角平分线平分三角形的顶角；
②三角形角平分线的点到三角形两边的距离相等.
例、在△ABC中，AD为BC边的中线，若△ABD与△ADC的周长差为5，AC=7，则AB的长为（　　）
A．2 B．19 C．2或19 D．2或12
【分析】需要分类讨论△ABD与△ADC哪一个周长较大.
【解析】①当△ABD的周长大，
∵AD为BC边的中线，∴BD=CD，
∴△ABD与△ADC的周长差=（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）=AB﹣AC，
∵△ABD与△ADC的周长差为5，AC=7，
∴AB﹣7=5，解得AB=12，
②当△ADC的周长大，
∵AD为BC边的中线，∴BD=CD，
∴△ADC与△ABD的周长差=（AC+AD+CD）﹣（AB+AD+BD）=AC﹣AB，
∵△ABD与△ADC的周长差为5，AC=7，
∴7﹣AB=5，解得AB=2，
综上AB=2或12.
【答案】D.
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