资源简介

引子:
数列从不吝啬她的优雅，不是出其不意，就是猝不及防;
数列的通项公式与求和是数列两大永恒的主题,无论是求通项公式，还是求和，方法都多得令人发指;
好在目前高考对此降低了难度，就算偶尔发生意外，也顶多是一个小题的差距，根本没法伤筋动骨;
她那忧郁、深沉、咄咄逼人而又富有浪漫色彩的魅力，只有拿满分才配得上。
第一讲 等差数列的概念及其通项公式
考点一 等差数列的判定与定义
例1.（2021·全国高二课时练习）（多选）下列数列是等差数列的是（ ）
A．0，0，0，0，0，… B．1，l，111，111l，…
C．－5，－3，－1，1，3，… D．1，2，3，5，8，…
例2.已知数列是公差不为零的等差数列，则由下列关系确定的数列也一定是等差数列的是（ ）
A． B． C． D．
例3.下列说法中正确的是（ ）
A．若a，b，c成等差数列，则成等差数列
B．若a，b，c成等差数列，则成等差数列
C．若a，b，c成等差数列，则a+2，b+2，c+2成等差数列，
D．若a，b，c成等差数列，则成等差数列
例4.若数列满足，，则此数列是（ ）
A．等差数列 B．等比数列
C．既是等差数列又是等比数列 D．既非等差数列又非等比数列
例5. 已知无穷数列和都是等差数列，其公差分别为和，若数列也是等差数列，则（ ）
A． B．
C．，可以是任何实数 D．不存在满足条件的实数和
例6.设公差为-2的等差数列，如果，那么（ ）
A．-72 B．-78 C．-182 D．-82
例7.已知数列满足递推关系：,,则
A． B． C． D．
1．（2021·全国高二专题练习）（多选）下列数列中，是等差数列的是（ ）
A．1，4，7，10 B．
C． D．10，8，6，4，2
2．（2021·全国高二课时练习）如果一个数列的前5项分别是1，2，3，4，5，则下列说法正确的是（ ）
A．该数列一定是等差数列 B．该数列一定不是等差数列
C．该数列不一定是等差数列 D．以上结论都不正确
3.已知数列，为常数，那么下列说法正确的是
A．若是等差数列时，不一定是等差数列
B．若不是等差数列时，一定不是等差数列
C．若是等差数列时，一定是等差数列
D．若不是等差数列时，一定不是等差数列
4.数列满足，，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·全国高二专题练习）判断下列数列是否为等差数列．
（1）在数列{an}中an＝3n＋2；
（2）在数列{an}中an＝n2＋n.
考点二 等差数列的基本量
例1.（2021·全国高二专题练习）等差数列中，
（1）已知，，求的值；
（2）若，，，求的值．
例2.（2022·全国·高二课时练习）在等差数列40，37，34，…中，第一个负数项是（ ）．
A．第13项 B．第14项 C．第15项 D．第16项
例3.（2022·广东肇庆·高二期末）在等差数列中，，则（ ）
A．14 B．16 C．18 D．28
例4.（2022·全国·高三专题练习（文））《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共7升，下面4节的容积共17升，则第5节的容积为__升．
例5.（2021·全国高二课时练习）已知等差数列：3，7，11，15，….
（1）求的通项公式.
（2）135，是数列中的项吗？如果是，是第几项？
（3）若，是数列中的项，那么，是数列中的项吗？如果是，是第几项？
1．（2021·全国高二专题练习）2000是等差数列4，6，8，…的（ ）
A．第998项 B．第999项 C．第1001项 D．第1000项
2．（2021·全国）已知{an}，{bn}是两个等差数列，其中a1＝3，b1＝－3，且a20－b20＝6，那么a10－b10的值（ ）
A．－6 B．6 C．0 D．10
3．（2021·苏州市苏州高新区第一中学）在等差数列中，
（1）若，，试判断91是否为此数列中的项.
（2）若，，求.
4．（2021·全国高二课时练习）已知数列为等差数列，且公差为.
（1）若，，求的值；
（2）若，，求公差.
5．（2021·全国高二课时练习）已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数．
6．（2021·全国高二课时练习）已知等差数列{an}中满足a1＝1，，求通项公式an.
考点三 等差数列的性质
(一)中项性质
例1.（2021·全国高二课时练习）已知a＝，b＝，则a，b的等差中项为（ ）
A． B． C． D．
例2.（2021·全国）在等差数列{an}中，a3＋a5＝10，则a1＋a7等于（ ）
A．5 B．8 C．10 D．14
例3.2021·辽宁阜新·高二期末）在等差数列中，，则的值为（ ）
A．6 B．12 C．24 D．48
例4.（2021春 西城区期末）2与8的等差中项是（　　）
A．﹣5 B．5 C．4 D．±4
例5.已知是等差数列，且，是函数的两个零点，则（ ）
A．8 B． C．2020 D．
1．（2021·全国）已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m为（ ）
A．12 B．8 C．6 D．4
2.（2020秋 巴宜区校级期末）1与1的等差中项是（　　）
A．1 B．﹣1 C． D．±1
3.等差数列中，，那么关于x的方程（ ）．
A．无实根 B．有两个不等实根
C．有两个相等实根 D．不能确定有无实根
4.(2021·全国高二课时练习）已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和的等差中项（ ）
A．8 B．6 C． D．3
5.（2021·全国）在等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝58，a2＋a5＋a8＝44，则a3＋a6＋a9的值为（ ）
A．30 B．27 C．24 D．21
(二)角标性质及其他性质
例1．（2022·河南平顶山·高二期末（文））已知数列是等差数列，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
例2．（2022·北京丰台·高二期中）在等差数列中，，则的值是（ ）
A．24 B．32 C．48 D．96
例3．（2022·河南新乡·高二期末（文））已知为等差数列，，则（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
例4．（多选）（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
例5．（2022·辽宁·三模）若一个等差数列的前5项和为15，后5项和为145，且该数列共有31项，则这个等差数列的公差为___________.
1.（2021秋 嫩江市期末）在递增的等差数列{an}中，a3+a6＝﹣6，a4a5＝8，则公差d＝（　　）
A．4 B．2 C．﹣2 D．2或﹣2
2．（2022·陕西安康·高一期末）若为等差数列，且，则（ ）
A．15 B．9 C．30 D．12
3．（2022·宁夏·吴忠中学三模（文））已知数列满足，，，则（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．（2022·湖南·张家界市教育科学研究院高二期末）是等差数列，且，，则的值（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·上海市嘉定区第二中学模拟预测）若等差数列满足，则_______．
6．（2022·河北秦皇岛·二模）已知是等差数列，，则___________.
考点四 等差数列的证明
定义法证明
例1.（2021·全国高二课时练习）已知数列{an}中，a1＝，an＋1＝(n∈N*)．
（1）求证：是等差数列；
（2）求数列{an}的通项公式．
例2.（2021·全国高二专题练习）已知数列满足：，，设，求证：数列为等差数列，并求的通项公式．
例3．（2022·河北邢台·高二阶段练习）已知数列的首项，且满足．
(1)求证：数列为等差数列；
1．（2022·四川眉山·高一期末（文））已知数列满足，.
(1)求证：数列为等差数列；
2．（2021·全国高二课时练习）已知数列的通项公式．
（1）当和满足什么条件时，数列是等差数列？
（2）求证：对任意实数和，数列是等差数列．
中项性质证明
例1.在数列中，若，，，则数列的通项公式为___________.
1.数列满足，，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
倒数法+定义法证明
例1．（2022·安徽·淮南第二中学高二开学考试）已知数列满足：，且.
(1)求的通项公式；
(2)是否存在正整数，使得，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
1.数列中，则_____________.
2.（2021春 雁江区校级月考）各项不为0的数列{an}满足（n≥2，n∈N*），且a2＝﹣1．
（1）求证：数列{}为等差数列；
同除法+定义法证明
例1．（2022·四川眉山·高一期末（文））已知数列满足，.
求证：数列为等差数列；
1.已知数列中，，，则数列的通项公式为______．
考点五 等差数列的单调性及其应用(函数性质与取值范围)
常见型
例1.（2021·河北邢台·高三月考）在等差数列中，，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例2.（2021·全国高二课时练习）设等差数列的公差为d，若数列为递减数列，则（ ）
A．d<0 B．d>0 C．a1d<0 D．a1d>0
例3.（2021·全国高二课时练习）首项为﹣21的等差数列从第8项起开始为正数，则公差d的取值范围（ ）
A．d>3 B．d C．3≤d D．31．（2021·辽宁丹东·）已知等差数列的公差为，若为递增数列，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国高二课时练习）（多选）已知等差数列满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全国高二课时练习）已知等差数列的公差为整数，首项为13，从第五项开始为负，则等于
A．-4 B．-3 C．-2 D．-1
4（2021·全国高二课时练习）已知等差数列是递增数列，且，，则的取值范围为___________.
乘积型
例1.在等差数列中，.记，则数列（ ）
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
不等式组型
例1.是等差数列，若，则使得成立的最小正整数的值为（ ）
A． B． C． D．
均值不等式型
例1.等差数列满足，且，则的最大值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
函数型
例1.设函数，数列满足，若是等差数列.则的取值范围是___________.
1.已知，，并且，，成等差数列，则的最小值为　　
A．16 B．9 C．5 D．4
2.已知数列是首项为，公差为1的等差数列，数列满足．若对任意的 , 都有成立, 则实数的取值范围是
A． B． C． D．
3.已知递增等差数列中，，则的（ ）
A．最大值为－4 B．最小值为4 C．最小值为－4 D．最大值为4
4.已知等差数列的前项和为，且，若，则的取值范围是
A． B． C． D．
综合应用
证明+取值范围
例1.（2021春 浦东新区校级期末）无穷数列{an}满足：an+1an+3an+1+an+4＝0且a1≠﹣2．
（1）求证：{}为等差数列；
（2）若a2021为数列{an}中的最小项，求a1的取值范围．
例2.（2021春 洛阳期末）已知数列{bn}首项b1＝3，且满足，令．
（1）求证：数列{cn}为等差数列；
（2）求数列{bn}中的最小项．
1.（2021春 雁江区校级月考）各项不为0的数列{an}满足（n≥2，n∈N*），且a2＝﹣1．
（1）求证：数列{}为等差数列；
（2）若λ对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．
通项+存在性问题
例1．（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列：3，7，11，15，…．
（1）求的通项公式．
（2）若，是数列中的项，那么，是数列中的项吗？如果是，是第几项？
例2．（2022·四川省成都市新都一中高一期中（理））已知数列是公差不为的等差数列，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足；，请问是否存在正整数，使得成立？若存在，请求出正整数的值；若不存在，请说明理由．
1．（2021·全国·高二课时练习）数列满足，.
（1）当时，求及的值.
（2）是否存在，使数列为等差数列？若存在，求其通项公式；若不存在，说明理由.
2．（2021·山东·日照青山学校高三阶段练习）已知数列，点在直线上.数列满足，且，前10项和为125.
(1)求数列，的通项公式：
(2)设，是否存在正整数m，使得成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
实际应用问题
例1.图①是程阳永济桥又名“风雨桥”，因为行人过往能够躲避风雨而得名．已知程阳永济桥上的塔从上往下看，其边界构成的曲线可以看作正六边形结构，如图②所示，且各层的六边形的边长均为整数，从内往外依次成等差数列，若这四层六边形的周长之和为156，且图②中阴影部分的面积为，则最外层六边形的周长为（ ）
A．30 B．42 C．48 D．54
例2.我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷（guǐ）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长的变化量相同，周而复始．若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则夏至之后第三个节气（立秋）晷长是（ ）
A．三尺 B．三尺五寸 C．四尺 D．四尺五寸
【答案】D
【分析】根据题意，结合等差数列的通项公式进行求解即可.
【详解】根据题意从冬至到夏至可知：晷长为等差数列，公差为，
由题意可知：，，所以有，
因为相邻两个节气晷长的变化量相同，
所以当夏至之后第三个节气（立秋）晷长是，故选：D
例3.数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？”现将同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的正整数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则满足的正整数的最小值为（ ）
A．132 B．135 C．136 D．138
【答案】C
【分析】首先由题意，列举求得数列，再求通项公式，即可求解不等式.
【详解】由题意归纳可知，数列为8，23，38，…，
即所求数列是首项为8公差为15的等差数列，故，
令，解得，所以的最小值为136.故选：C
例4.“苏州码子”发源于苏州，在明清至民国时期，作为一种民间的数字符号曾经流行一时，广泛应用于各种商业场合.110多年前，詹天佑主持修建京张铁路，首次将“苏州码子”刻于里程碑上.“苏州码子”计数方式如下：〡1. 〢2. 〣3. 〤4. 〥5. 〦6. 〧7. 〨8. 〩9. 〇0．为了防止混淆，有时要将“〡”“〢”“〣”横过来写.已知某铁路的里程碑所刻数字代表距离始发车站的里程，每隔2公里摆放一个里程碑，若在A点处里程碑上刻着“〣〤”，在B点处里程碑刻着“〩〢”，则从A点到B点里程碑的个数应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】里程碑上刻着数字依次成等差数列，求出两处刻的数字，按等差数列的公式求得项数即可．
【详解】根据题意A点处里程碑上刻着数字34，B点处里程碑刻着数字92，里程碑刻着数字厉等差数列，
公差为2，因此里程碑个数为．故选：B．
例5．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是一个关于整除的问题．现有这样一个整除问题：将1到2021这2021个数中，能被3除余2且被5整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列所有项中，中间项的值为（ ）
A．992 B．1022 C．1007 D．1037
【答案】C
【分析】由题可得，可判断共有135项，且中间项为第68项，即可求出.
【详解】解：由题意可知，既是3的倍数，又是5的倍数，所以是15的倍数，即，
所以，
当时，，
当时，，
故，数列共有135项，因此数列中间项为第68项，且．
故中间项的值为1007．故选：C．
例6.单分数（分子为1，分母为正整数的分数）的广泛使用成为埃及数学重要而有趣的特色，埃及人将所有的真分数都表示为一些单分数的和．例如，，……，现已知可以表示成4个单分数的和，记，其中，，是以101为首项的等差数列，则的值为（ ）
A．505 B．404 C．303 D．202
【答案】A
【分析】根据题中拆分后分数的特征以及分出结果中含，对分母增大倍数进行拆分，即得结果.
【详解】依题意，拆分后的分数，分子都是1，分母依次变大，又中含，
故可分解如下：，
又，，是以101为首项的等差数列，故.
故.故选：A.
1.（多选题）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．关于这个问题，下列说法正确的是（ ）
A．甲得钱是戊得钱的倍 B．乙得钱比丁得钱多钱
C．甲、丙得钱的和是乙得钱的倍 D．丁、戊得钱的和比甲得钱多钱
【答案】AC
【分析】由等差数列的性质，可设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为，，，，，结合已知求，，即可得甲、乙、丙、丁、戊所得钱，进而判断选项的正误.
【详解】依题意，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为，，，，，
且，即，又，
∴，，即，，，
∴甲得钱，乙得钱，丙得钱，丁得钱，戊得钱，则有如下结论：
甲得钱是戊得钱的倍，故A正确；
乙得钱比丁得钱多钱，故B错误；
甲、丙得钱的和是乙得钱的倍，故C正确；
丁、戊得钱的和比甲得钱多钱，故D错误．故选：AC．
2.如图数表，它的第一行数由正整数从小到大排列得到，此后下一行数由前一行每两个相邻的数的和写在这两个数正中间下方得到.依次类推，则该数表中，第n行第n个数是______________.
【答案】
【分析】观察数表可得设第n行第1个数是，则第n行第2个数是，从而可得，进而证得是等差数列，然后求出数列的通项公式，进而可以求出结果第n行第1个数是，从而可以求出结果.
【详解】观察数表，得出每一行都成等差数列，且第n行公差为，因此设第n行第1个数是，则第n行第2个数是，从而可得，从而，∴是等差数列，公差为，
∴，，∴第n行第n个数为.
故答案为：.
3.日晷是我国古代按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度.我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同.二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，如此周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法不正确的是（ ）
A．白露比立秋的晷长长两尺 B．大寒的晷长为一丈五寸
C．处暑和谷雨两个节气的晷长相同 D．立春的晷长比立秋的晷长长
【答案】B
【分析】不妨将每一个节气晷长排成一列，组成数列，则有为等差数列，夏至晷长为，冬至晷长为，这样求出通项即可判断每一个选项.
【详解】由题意，将每一个节气晷长排成一列，组成数列，则有为等差数列，夏至晷长为，冬至晷长为，则有，解得.
对选项A，白露、立秋分别对应的为、，所以白露比立秋的晷长寸，即两尺，故A正确；
对选项B，由图可知大寒比冬至的晷长要小两个，所以大寒的晷长为寸，即一丈一尺五寸，故B错误；
对选项C，由图可知，处暑和谷雨的晷长相同，故C正确；
对选项D，可得立春的晷长为寸，立秋的晷长为.故选：B.
A夯实基础
一、单选题
1．（2022·重庆·巫山县官渡中学高二阶段练习）在等差数列中，若，则的值为（ ）
A．90 B．100 C．180 D．200
【答案】C
【详解】因为为等差数列，故，
故，
而，
故选：C.
2．（2022·云南保山·高一期末）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸为天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥为地支，把十天干和十二地支依次相配，如甲对子、乙对丑、丙对寅、…、癸对寅，其中天干比地支少两位，所以天干先循环，甲对戍、乙对亥…接下来地支循环，丙对子、丁对丑、…，以此用来纪年，今年2022年是壬寅年，那么中国共产党成立时的1921年是（ ）
A．戊辰年 B．壬戌年 C．辛酉年 D．庚午年
【答案】C
【详解】解：根据题意可得，天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，
从1921年到2022年经过101年，且2022年为“壬寅”年，以2022年的天干和地支分别为首项，
则，则1921年的天干为辛，，则1921年的地支为酉，
所以1921年为辛酉年．故选：C．
3．（2022·北京市第一六一中学高二期中）数列{}中，则该数列中相邻两项乘积为负数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】依题意，所以，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以，
由得，所以故选：C
4．（2022·全国·高二课时练习）若，，，…，为各项都大于0的等差数列，公差，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意，可知，，故选项C、D错误；
由，，，
则，即，故选：B.
5．（2022·广东珠海·高二期末）已知数列，，点在直线上，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【详解】因点在直线上，所以，
所以数列是以为公差，1为首项的等差数列，所以，故选：D
6．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以．又，故，
所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，所以，所以，则．
故选：D．
7．（2022·四川·遂宁中学高一期末）在2022北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳亮相，与节气相配的14句古诗词，将中国人独有的浪漫传达给了全世界.我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同，即太阳照射物体影子的长度增长或减少的量相同，周而复始（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，已知雨水的晷长为9.5尺，立冬的晷长为10.5尺，则大雪所对的晷长为（ ）
A．11.5尺 B．12.5尺 C．13.5尺 D．14.5尺
【答案】B
【详解】设相邻两个节气晷长减少或增加的量为，则立冬到大雪增加，大雪到雨水先增加一个再减少,设大雪的晷长为,则,解得,故选：B.
8．（2022·四川遂宁·模拟预测（文））已知数列的前n项和为，满足，则（ ）
A．4043 B．4042 C．4041 D．4040
【答案】A
【详解】由知：为等差数列，
又，，则公差，
所以，故，则，可得，而也满足，
所以，则.故选：A
二、多选题
9．（2022·全国·高二课时练习）（多选）在等差数列中，首项，公差，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列，则（ ）
A． B．
C． D．中的第506项是中的第2022项
【答案】AC
【详解】因为，，所以，故C正确；
数列中项的序号被4除余3的项是第3项、第7项、第11项、…，所以，，故A正确，B错误；
对于D，设数列中的第k项是数列中的第m项，则，所以当时，，即数列中的第506项是中的第2023项，故D错误．
故选：AC
10．（2022·广东·佛山市南海区桂城中学高二阶段练习）已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【详解】设方程的四根分别为、、、，
则数列、、、是首项为的等差数列，设其公差为，由等差数列的性质可得，
①若、为方程的两根，则、为方程的两根，
由韦达定理可得，可得，，则，，
此时，，则；
②若、为的两根，、为方程的两根，
同理可得，，则.综上所述，.故选：BD.
三、填空题
11．（2022·全国·高二课时练习）在等差数列中，，从第9项开始为正数，则公差d的取值范围是______．
【答案】
【详解】由题意知，设等差数列的公差为，则，即，即，解得.
故答案为：.
12．（2022·江苏南京·高二期末）写出一个同时具有下列性质（1）（2）（3）的数列的通项公式：___________．
（1）是无穷等差数列；
（2）数列为单调递减数列；
（3）数列的最小项有且仅有第5项．
【答案】 (答案不唯一)
【详解】由题意可得，满足（1）是无穷等差数列；
（2）数列为单调递减数列；
（3）数列的最小项有且仅有第5项，故答案为：（答案不唯一）
四、解答题
13．（2022·全国·高三专题练习）记数列的前项和为，，，.证明数列为等差数列，并求通项公式；
【答案】证明见解析，.
【详解】证明：，，，则，即，解得，
所以，，即，所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，
故.
14．（2022·湖北·荆门市龙泉中学高二期中）已知数列满足，，．
(1)设，求数列的通项公式；
(2)求n为何值时，最小．
【答案】(1) (2)或
(1)解：由且，即，
即又，，所以．
当时，
，
当时，上式也成立．
所以数列的通项公式为；
(2)解：由（1）可知．
当时，，即；
当时，；
当时，，即，所以当或时，的值最小．
B能力提升
15．（2022·江苏·高二课时练习）1934年，东印度（今孟加拉国）学者森德拉姆（Sundaram）发现了“正方形筛子”：
4 7 10 13 16 …
7 12 17 22 27 …
10 17 24 31 38 …
13 22 31 40 49 …
16 27 38 49 60 …
… … … … … …
(1)这个“正方形筛子”的每一行有什么特点？每一列呢？
(2)“正方形筛子”中位于第100行的第100个数是多少？
【答案】(1)答案见解析． (2)20200
【详解】(1)观察“正方形筛子”得，每一行都成等差数列，每一列也都成等差数列，第行和第列的公差相等，
为；
(2)由（1）得第100行的第一个数是，第100行的公差是201，
所以第100行的第100个数是．
16．（2022·江苏·高二课时练习）诺沃尔（Knowall）在1740年发现了一颗彗星，并推算出在1823年、1906年、1989年……人类都可以看到这颗彗星，即彗星每隔83年出现一次．
(1)从发现那次算起，彗星第8次出现是在哪一年？
(2)你认为这颗彗星会在2500年出现吗？为什么？
【答案】(1)2321年 (2)不会
【详解】(1)1740，1823，1906，1989，…，构成等差数列
首项，公差，通项公式为
故，即彗星第8次出现是在2321年.
(2)由，解得，
故这颗彗星不会在2500年出现.
C综合素养
17．（2022·全国·高三专题练习）已知正项数列满足，前项和满足，求数列的通项公式．
【答案】.
【详解】∵
∴，，
∵数列为正项数列，，
∴，∴是以1为首项，1为公差的等差数数列，
∴，即，
当时，，
当时，也成立，∴.
18．（2022·江苏·金沙中学高二阶段练习）已知数列满足：，且．
(1)求证：是等差数列，并求的通项公式；
(2)是否存在正整数m，使得，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析， (2)不存在，理由见解析
【详解】（1）由，得，∴
又，∴数列是以1为首项，为公差的等差数列
∴ ∴
（2） ∵，∴
则，解得，不符合题意
∴不存在正整数，使得.

展开更多......

收起↑