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一次函数综合题——等腰直角三角形专题10大经典题
——构造一线三垂直模型全等
1．如图，在平面直角坐标系中，直线l交x轴于点A（﹣1，0）、交y轴于点B（0，3）．
（1）求直线l对应的函数表达式；
（2）在直线l沿x轴正方向平移t个单位长度，得到直线m．若直线m上存在点C，使得△ABC为以AB为斜边的等腰直角三角形，求t的值．
2．如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝﹣x，直线l2与l1交于点A（a，﹣a），与y轴交于点B（0，b），其中a，b满足﹣a＝3．
（1）求直线l2的解析式．
（2）在平面直角坐标系中第二象限有一点P（m，5），使得S△AOP＝S△AOB，请求出点P的坐标．
（3）已知平行于y轴左侧有一动直线，分别与l1，l2交于点M、N，且点M在点N的下方，点Q为y轴上一动点，且△MNQ为等腰直角三角形，请求出满足条件的点Q的坐标．
3．在平面直角坐标系中，直线l过点A（﹣1，0）、B（0，3）．
（1）将直线l绕点A顺时针旋转90°得直线l1，则B的对应点B1的坐标是 　 　．
（2）将直线l绕点A顺时针旋转45°得直线l2，求直线l2的表达式．
（3）点M是直线AB（不包括点B）上的一点，以BM为斜边作等腰直角△BMN，求O、N两点之间距离的最小值．
4．问题提出：
如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA；
问题探究：
如图2，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，以AB为腰在第二象限作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，求点C的坐标；
问题解决：
如图3，地铁某线路原计划按OA﹣AB的方向施工，由于在AB方向发现一处地下古建筑，地铁修建须绕开此区域．经实地勘测，若将AB段绕点A顺时针或逆时针方向旋转45°至AC或AD方向，则可以绕开此区域．已知OA长为1千米，以点O为原点，OA所在直线为x轴，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系，且射线AB与直线y＝﹣2x平行，请帮助施工队计算出AC和AD所在直线的解析式．
5．预备知识：（1）在一节数学课上，老师提出了这样一个问题：随着变量t的变化，动点P（3t，2﹣t）在平面直角坐标系中的运动轨迹是什么？
一番深思熟虑后，聪明的小明说：“是一条直线”，老师问：“你能求出这条直线的函数表达式吗？”
小明的思路如下：设这条直线的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），将点P（3t，2﹣t）代入得：2﹣t＝k 3t+b，整理得（3k+1）t+b﹣2＝0．
∵t为任意实数，等式恒成立；
∴3k+1＝0，b﹣2＝0．
∴k＝﹣，b＝2．
∴这条直线的函数表达式为y＝﹣x+2．
请仿照小明的做法，完成问题：随着变量t的变化，动点P（2t，3﹣t）在平面直角坐标系中的运动轨迹是直线l，求直线l的函数表达式．
问题探究：（2）如图1，在平面直角坐标系中，已知A（2，0），B（5，9），且∠BAC＝90°，AB＝AC，则点C的坐标为 　 　．
结论应用：（3）如图2，在平面直角坐标系中，已知点P（1，0），Q是直线y＝﹣x+2上的一个动点，连接PQ，过点P作PQ′⊥PQ，且PQ′＝PQ，连接OQ′，求线段OQ′的最小值．
6．（1）问题解决：如图1，在平面直角坐标系xOy中，一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，以AB为腰在第二象限作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，求点C的坐标．
（2）问题拓展：在图1中，点E是x轴上的一个动点，是否存在这样的点E，使得|EC﹣EB|的值最大？如果不存在，请说明理由，如果存在，求点E的坐标．
（3）类比探究：如图2，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标（0，﹣6），点B坐标（8，0），过点B作x轴垂线l，点P是l上一动点，点D是在一次函数y＝﹣2x+2图象上一动点，若△APD是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，求出点D与点P的坐标．
7．如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝x，直线l2的解析式为y＝x+3，与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线l1与l2交于点C．
（1）求出点A、点B的坐标；
（2）求△COB的面积；
（3）在y轴右侧有一动直线平行于y轴，分别于l1、l2交于点M、N，且点M在点N的下方，y轴上是否存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请求出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
8．模型建立：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．
（1）求证：△BEC≌△CDA；
（2）模型应用：①已知直线l1：y＝﹣x﹣4与y轴交于A点，将直线l1绕着A点逆时针旋转45°至l2，如图2，求l2的函数解析式；②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，﹣6），A、C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，设PC＝m，已知点D在第四象限，且是直线y＝﹣2x+6上的一点，若△APD是不以点A为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点D的坐标．
9．模型建立
（1）如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E．
求证：△BEC≌△CDA．
模型应用
（2）如图2．直线l1：y＝x+4与坐标轴交于点A、B，将直线l1绕点B顺时针旋转45°至直线l2，求直线l2的函数表达式；
（3）如图3，四边形ABCO为长方形，其中O为坐标原点，点B的坐标为（8，﹣6），点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的正半轴上，点P是线段BC上的动点，点D是直线y＝﹣2x+6上的动点且在第四象限．若△APD是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点D的坐标．
10．（1）认识模型：
如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA；
（2）应用模型：
①已知直线y＝﹣2x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段AB绕点B顺时针旋转90度，得到线段CB，求点C的坐标；
②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（5，4），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y＝2x﹣3上的一点，点Q是平面内任意一点．若四边形ADPQ是正方形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标．
参考答案与试题解析
1．解：（1）设直线l的函数表达式：y＝kx+b，
代入A（﹣1，0），B（0，3），
得，
解得，
∴直线l对应的函数表达式：y＝3x+3；
（2）过点C作CG⊥x轴于点G，过点B作BH⊥CG于点H，图象如下：
则∠BHC＝∠CGA＝90°，
∴∠HBC+∠HCB＝90°，
∵△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，
∴∠BCA＝90°，BC＝AC，
∴∠BCH+∠GCA＝90°，
∴∠HBC＝∠GCA，
∴△BCH≌△CAG（AAS），
∴BH＝CG，HC＝AG，
设OG＝x，则AG＝HC＝1+x，
∴CG＝3﹣（1+x）＝2﹣x，
∴2﹣x＝x，
解得x＝1，
∴C（1，1），
设直线l平移后的解析式为y＝3（x﹣t）+3，
代入C点坐标，得3（1﹣t）+3＝1，
解得t＝．
2．解：（1）由﹣a＝3得：a＝﹣3，b＝4，
即A（﹣3，3），B（0，4），
设l2的解析式为y＝kx+b，将A，B点坐标代入函数解析式，得，
解得，
∴l2的解析式为y＝x+4；
（2）如图1，
作PB∥AO，P到AO的距离等于B到AO的距离，
S△AOP＝S△AOB．
∵PB∥AO，PB过B点（0，4），
∴PB的解析式为y＝﹣x+4或y＝﹣x﹣4①，
又P在直线y＝5②上，
联立①②得：﹣x+4＝5或﹣x﹣4＝5，
解得x＝﹣1或﹣9，
∴P点坐标为（﹣1，5）或（﹣9，5）；
（3）设M点的坐标为（a，﹣a），N（a，a+4），
∵点M在点N的下方，
∴MN＝a+4﹣（﹣a）＝+4，
如图2，
当∠NMQ＝90°时，即MQ∥x轴，NM＝MQ，+4＝﹣a，
解得a＝﹣，即M（﹣，），
∴Q（0，）；
如图3，
当∠MNQ＝90°时，即NQ∥x轴，NM＝NQ，+4＝﹣a，
解得a＝﹣，即N（﹣，），
∴Q（0，），
如图4，
当∠MQN＝90°时，即NM∥y轴，MQ＝NQ，a+2＝﹣a，
解得a＝﹣，
∴Q（0，）．
综上所述：Q点的坐标为（0，）或（0，）或（0，）．
3．解：（1）过点B1作B1H⊥x轴于H，
∴∠AHB1＝∠AOB＝90°，
∵点A（﹣1，0）、B（0，3）．
∴AO＝1，BO＝3，
∵将直线l绕点A顺时针旋转90°得直线l1，
∴AB＝AB1，∠BAB1＝∠AOB＝90°，
∴∠BAO+∠ABO＝90°＝∠BAO+∠HAB1，
∴∠ABO＝∠HAB1，
∴△ABO≌△B1AH（AAS），
∴AH＝3，B1H＝AO＝1，
∴OH＝2，
∴点B1坐标为（2，﹣1），
故答案为（2，﹣1）；
（2）连接BB1，设直线l2与BB1交于点C，
∵将直线l绕点A顺时针旋转45°得直线l2，
∴∠BAC＝45°＝∠B1AC，
又∵AB＝AB1，∠BAB1＝90°，
∴BC＝B1C，
∴点C是BB1的中点，
∵点B1坐标为（2，﹣1），B（0，3）．
∴点C（1，1），
设直线l2的解析式为y＝kx+b，
由题意可得，
解得：，
∴直线l2的解析式为y＝x+；
（3）当点M在点B的上方时，如图3，延长NB交x轴于点P，
∵△BMN是等腰直角三角形，
∴∠MBN＝45°＝∠CAB，
∴BN∥AC，
∴BN的解析式为y＝x+3，
当y＝0时，x＝﹣6，
∴点P（﹣6，0），
∴OP＝6，
∴BP＝＝＝3，
∵点N在直线y＝x+3上移动，
∴ON'⊥BP时，ON'有最小值，
∵S△OPB＝×OP×OB＝BP×ON'，
∴ON'＝，
当点M在点B的下方时，如图4，
∴∠MBN＝45°，
又∵∠ABC＝45°，
∴点N在直线BC上，
设直线BC解析式为y＝mx+3，过点C，
∴1＝m+3，
∴m＝﹣2，
∴直线BC解析式为y＝﹣2x+3，
∵点N在直线y＝﹣2x+3上移动，
∴当ON'⊥BC时，ON'有最小值，
同理可求ON'＝，
综上所述：O、N两点之间距离的最小值为．
4．问题提出：证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，
∵AD⊥ED，BE⊥ED，
∴∠BEC＝∠ADC＝90°，
∴∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE，
∵AC＝BC，
∴△BEC≌CDA（AAS）；
问题探究：解：过C点作CD⊥x轴交于点D，
∵∠BAC＝90°，CD⊥x轴，BO⊥x轴，AC＝AB，
由问题提出可得△CAD≌△ABO（SAS），
∴CD＝OA，AD＝BO，
∵y＝x+1与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点B（0，1），
∴AO＝4，OB＝1，
∴C（﹣5，4）；
问题解决：解：设线段AB绕点A顺时针旋转后的线段为AC，绕A点逆时针旋转后的线段为AD，
过点C作CN⊥x轴交于点N，过D点作DM⊥x轴交于点M，
∵∠CAB＝∠DAB＝45°，
∴∠CAD＝90°，
由问题提出可得△ACN≌△DAM（SAS），
设C点坐标为（m，n），
∴DM＝AN，CN＝AM，
∵OA＝1，
∴A（﹣1，0），
∴D（﹣n﹣1，m+1），
∵射线AB与直线y＝﹣2x平行，
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x﹣2，
连接CD交AB于点E，
∵△ACD是等腰直角三角形，
∴∠ADC＝45°，
∵∠BAD＝45°，
∴∠AED＝90°，
∴E是CD的中点，
∴E（，），
∴E点在直线AB上，
∴＝﹣2 ﹣2，
整理得n＝3m+3，
∴直线AC的解析式为y＝3x+3，
设y＝m+1，x＝﹣n﹣1，
∴﹣x﹣1＝3（y﹣1）+3，
整理得y＝﹣x﹣，
∴直线AD的解析式为y＝﹣x﹣．
5．解：（1）设直线的函数表达式是：y＝kx+b，
将x＝2t，y＝3﹣t代入得，
3﹣t＝k 2t+b，
∴（2k+1） t+（b﹣3）＝0，
∵t任何实数，等式恒成立，
∴2k+1＝0，b﹣3＝0，
∴k＝﹣，b＝3，
∴直线的函数关系式是：y＝﹣+3；
（2）如图1，
作CD⊥x轴于D，作BE⊥x轴于E，
∴∠ADC＝∠AEB＝90°，
∴∠ACD+∠CAD＝90°，
∵∠CAB＝90°，
∴∠CAD+∠BAE＝90°，
∴∠ACD＝∠BAE，
在△ACD和△BAE中，
，
∴△ACD≌△BAE（AAS），
∴AD＝BE，CD＝AE，
∵A（2，0），B（5，9），
∴AE＝3，BE＝9，
∴AD＝9，CD＝3，
∴OD＝AD﹣OA＝9﹣2＝7，
∴C（﹣7，3）；
故答案是（﹣7，3）．
（3）如图2，
作CP⊥OA，截取CP＝AP，连接CQ′，直线CQ′交OA于D，作OE⊥CD于E，
∴∠APC＝∠QPQ′＝90°，
∴∠APC﹣∠APQ′＝∠QPQ′﹣∠APQ′，
即：∠APQ＝∠CPQ′，
在△APQ和△CPQ′中，
，
∴△APQ≌△CPQ′（SAS），
∴∠PCQ′＝∠BAO，
由题意得：A（4，0），B（0，2），
∴OA＝4，OB＝2，
∴tan∠BAO＝＝，
∴tan∠PCQ′＝，
∴点Q′在定直线CH上运动，
在Rt△PCD中，CP＝AP＝3，tan，
∴PD＝3×＝，
∴OD＝OP+PD＝，
∵∠PCD+∠CPD＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，∠PCD＝∠BAO，
∴∠PCD＝∠ABO，
在Rt△AOB中，
AB＝＝＝2，
∴sin∠ABO＝＝＝，
在△ODE中，OD＝，sin∠ODE＝sin∠ABO＝，
∴OE＝×＝，
∴OQ′的最小值是．
6．解：（1）对于一次函数y＝x+1，
令x＝0，y＝1，
∴B（0，1），
令y＝0，则x+1＝0，
∴x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），
∴OA＝4，OB＝1，
过点C作CD⊥x轴于D，
∴∠ADC＝∠BOA＝90°，
∴∠CAD+∠ACD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠CAD+∠BAO＝90°，
∴∠CAD＝∠ABO，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝AB，
在△ADC和△BOA中，
，
∴△ADC≌△BOA（AAS），
∴CD＝OA＝4，AD＝OB＝1，
∴OD＝OA+AD＝5，
∴C（﹣5，4）；
（2）存在点E，使得|EC﹣EB|的值最大．
延长CB交x轴于E，
∵BC＝|CE﹣EB|，BC＞＝|CE′﹣E′B|，
∴点E即为所求，
设直线CB的解析式为y＝kx+b，
∵B（0，1），C（﹣5，4），
∴，
解得：，
∴直线CB的解析式为y＝﹣x+1，
当y＝0时，﹣x+1＝0，解得：x＝，
∴E（，0）；
（3）如图，过点D作DF⊥y轴于F，延长FD交BP于G，
∵点A坐标（0，﹣6），点B坐标（8，0），
∴DF+DG＝OB＝8，
∵点D在直线y＝﹣2x+2上，
∴设点D（m，﹣2m+2），
∴F（0，﹣2m+2），OF＝|2m﹣2|，AF＝|2m﹣2﹣6|＝|2m﹣8|，
∵BP⊥x轴，B（8，0），
∴G（8，﹣2m+2），
同（1）的方法得，△AFD≌△DGP（AAS），
∴AF＝DG，DF＝PG，
∵DF+DG＝DF+AF＝8，
∴m+|2m﹣8|＝8，
∴m＝或m＝0，
∴D（0，2）或（，﹣），
当m＝0时，G（8，2），DF＝0，
∴PG＝0，
∴P（8，2），
当m＝时，﹣2m+2＝﹣2×+2＝﹣，
∴G（8，﹣），DF＝m＝，
∴BG＝，
∴P（8，﹣），
即：D（0，2），P（8，2）或D（，﹣），P（8，﹣）．
7．解：（1）对于直线l2的解析式为y＝﹣x+3，令x＝0，得到y＝3，
∴B（0，3），
令y＝0，得到x＝6，
∴A（6，0）．
∴点A是坐标为（6，0），点B的坐标为（0，3）．
（2）联立式y＝x，y＝﹣x+3并解得：x＝2，故点C（2，2），
△COB的面积＝×OB×xC＝×3×2＝3．
（3）存在．设点M、N、Q的坐标分别为（m，m）、（m，3﹣m）、（0，n），
①当∠MQN＝90°时，
∵∠GNQ+∠GQN＝90°，∠GQN+∠HQM＝90°，
∴∠MQH＝∠GNQ，
∠NGQ＝∠QHM＝90°，QM＝QN，
∴△NGQ≌△QHM（AAS），
∴GN＝QH，GQ＝HM，
即：m＝3﹣m﹣n，n﹣m＝m，
解得：m＝，n＝．
②当∠QNM＝90°时，
则MN＝QN，即：3﹣m﹣m＝m，解得：m＝，
n＝yN＝3﹣×＝；
③当∠NMQ＝90°时，
同理可得：n＝．
综上，点Q的坐标为（0，）或（0，）或（0，）．
8．（1）证明：∵△ABC为等腰直角三角形，
∴CB＝CA，
又∵AD⊥CD，BE⊥EC，
∴∠D＝∠E＝90°，∠ACD+∠BCE＝180°﹣90°＝90°，
又∵∠EBC+∠BCE＝90°，
∴∠ACD＝∠EBC，
在△ACD与△CBE中，
，
∴△ACD≌△EBC（AAS）；
（2）解：①过点B作BC⊥AB于点B，交l2于点C，过C作CD⊥x轴于D，如图2，
∵∠BAC＝45°，
∴△ABC为等腰Rt△，
由（1）可知：△CBD≌△BAO，
∴BD＝AO，CD＝OB，
∵直线l1：y＝x﹣4，
∴A（0，﹣4），B（﹣3，0），
∴BD＝AO＝4．CD＝OB＝3，
∴OD＝4+3＝7，
∴C（﹣7，﹣3）
设l2的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∴
∴，
∴l2的解析式：y＝﹣x﹣4；
②如图3，当∠ADP＝90°时，AD＝PD，易得D点坐标（4，﹣2）；
如图4，当∠APD＝90°时，AP＝PD，
过D作x轴的平行线EF，交直线OA于E，交直线BC于F，
设点P的坐标为（8，﹣m），
则D点坐标为（14﹣m，﹣m﹣8），
由﹣m﹣8＝﹣2（14﹣m）+6，得m＝，
∴D点坐标（，﹣）；
如图5，当∠ADP＝90°时，AD＝PD时，
同理可求得D点坐标（，﹣），
综上可知满足条件的点D的坐标分别为（4，﹣2）或（，﹣）或（，﹣），
9．解：（1）如图1，∵△ABC为等腰直角三角形，
∴CB＝CA，∠ACD+∠BCE＝90°，
又∵AD⊥ED，BE⊥ED，
∴∠D＝∠E＝90°，∠EBC+∠BCE＝90°，
∴∠ACD＝∠EBC，
在△ACD与△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS）；
（2）∵直线y＝x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，
∴A（0，4）、B（﹣3，0），如图2，
过点B做BC⊥AB交直线l2于点C，过点C作CD⊥x轴，
在△BDC和△AOB中，
，
∴△BDC≌△AOB（AAS），
∴CD＝BO＝3，BD＝AO＝4，
∴OD＝OB+BD＝3+4＝7，
∴C点坐标为（﹣7，3），
设l2的解析式为y＝kx+b，将A，C点坐标代入，得，
解得
∴l2的函数表达式为y＝x+4；
（3）存在，理由：
当点D是直线y＝﹣2x+6上的动点且在第四象限时，分两种情况：
当点D在矩形AOCB的内部时，如图，过D作x轴的平行线EF，交直线OA于E，交直线BC于F，
设D（x，﹣2x+6），则OE＝2x﹣6，AE＝6﹣（2x﹣6）＝12﹣2x，DF＝EF﹣DE＝8﹣x，
由（1）可得，△ADE≌△DPF，则DF＝AE，
即：12﹣2x＝8﹣x，
解得x＝4，
∴﹣2x+6＝﹣2，
∴D（4，﹣2），
此时，PF＝ED＝4，CP＝6＝CB，符合题意；
当点D在矩形AOCB的外部时，如图，过D作x轴的平行线EF，交直线OA于E，交直线BC于F，
设D（x，﹣2x+6），则OE＝2x﹣6，AE＝OE﹣OA＝2x﹣6﹣6＝2x﹣12，DF＝EF﹣DE＝8﹣x，
同理可得：△ADE≌△DPF，则AE＝DF，
即：2x﹣12＝8﹣x，
解得x＝，
∴﹣2x+6＝﹣，
∴D（，﹣），
此时，ED＝PF＝，AE＝BF＝，BP＝PF﹣BF＝＜6，符合题意，
综上，点D的坐标为（4，﹣2）或（，﹣）．
10．证明：（1）∵AD⊥DE．BE⊥DE，
∴∠D＝∠E＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠EBC+∠BCE＝∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠EBC＝∠ACD，
在△BEC和△CDA中，
，
∴△BEC≌△CDA（AAS）．
（2）①如图2中，过C作CD⊥x轴于点D，
直线y＝﹣2x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点，
令y＝0可求得x＝2，令x＝0可求得y＝4，
∴A（0，4），B（2，0），
∴OA＝4，OB＝2，
同（1）可证得△CDB≌△BOA，
∴CD＝BO＝2，BD＝AO＝4，
∴OD＝2+4＝6，
∴C（6，2）．
②如图3﹣1中，当四边形ADPQ是正方形时，设D（m，2m﹣3）．
过点D作DE⊥y轴于E交CB的延长线于F．
∵∠AED＝∠F＝∠ADP＝90°，
∴∠ADE+∠PDF＝90°，∠PDF+∠DPF＝90°，
∴∠ADE＝∠DPF，
∵AD＝DP，
∴△ADE≌△DPF（AAS），
∴AE＝DF，
∵B（5，4），
∴OC＝5，OA＝4，
∴m+2m﹣3﹣4＝5，
解得m＝4，此时D（4，5）．
如图3﹣2中，当四边形ADPQ是正方形时，同法可得D（2，1）．
综上所述，满足条件的点D的坐标为（4，5）或（2，1）．
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