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8.6.1 直线与直线垂直
1. 理解两异面直线的定义,会求两异面直线所成的角；
2. 进一步培养学生的空间想象能力，以及有根有据、实事求是等严肃的科学态度和品质.
1. 逻辑推理：找两异面直线所成角，证明两直线垂直.
2．数学运算：求两异面直线所成角
重点：求两异面直线所成角.
难点：求两异面直线所成角.
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阅读课本146-148页，填写。
1.异面直线所成的角
(1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b,则a′与b′所成的_________(或_______)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)异面直线所成的角θ的取值范围:0°<θ≤90°.
(3)如果两条异面直线a,b所成的角是直角,就说这两条直线互相垂直,记作a⊥b.
1.在三棱锥S-ABC中,与AB异面的棱为(　 　)
A.BC B.SA
C.SC D.SB
2.下列四个结论中假命题的个数是(　 　)
①垂直于同一直线的两条直线互相平行;
②平行于同一直线的两直线平行;
③若直线a,b,c满足a∥b,b⊥c,则a⊥c;
④若直线l1,l2是异面直线,则与l1,l2都相交的两条直线是异面直线.
A.1 B.2 C.3 D.4
3.正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线BC1和CD1所成的角是(　 　)
A.30° B.45°
C.60° D.90°
4.如图所示,G,H,M,N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH与MN是异面直线的图有　　　　.(填序号)
题型一 证明两直线垂直
例1如图，在正方体中，为底面的中心.求证
跟踪训练一
1．如图，在直三棱柱中，，P为的中点，Q为棱的中点，求证：.
。
题型二 求异面直线所成的角
例2 如图,在三棱锥A-BCD中,O,E分别是BD,BC的中点,AO⊥OC,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=,求异面直线AB与CD所成角的余弦值.
跟踪训练二
1、如图,在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,若EF=,求异面直线AD,BC所成角的大小.
1.在三棱锥P-ABC中,PC与AB所成的角为70°,E,F,G分别为PA,PB, AC的中点,则∠FEG等于(　　)
A.20° B.70°
C.110° D.70°或110°
2.如图所示,在正三角形ABC中,D,E,F分别为各边的中点,G,H,I,J分别为AF,AD,BE,DE的中点,将△ABC沿DE,EF,DF折成三棱锥以后,HG与IJ所成角的度数为(　　)
A.90° B.60° C.45° D.0°
3.如图所示,已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AD,AA1的中点.
(1)直线AB1和CC1所成的角为　　　　;
(2)直线AB1和EF所成的角为　　　　.
4.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:
①AB⊥EF;②AB与CM所成的角为60°;
③EF与MN是异面直线;④MN∥CD.
以上结论中正确结论的序号为　　　　.
5.如图,正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心,求:
(1)BE与CG所成的角;
(2)FO与BD所成的角.
答案
小试牛刀
1. C
2．B
3．C
4. ②④
自主探究
例1【答案】见解析
【解析】如图所示：连接，是正方体.
∴四边形是平行四边形.
∴直线与所成的角即为直线与所成的角.
连接，易证.又为底面的中心，
为的中点
跟踪训练一
1．【答案】见解析.
【解析】 如图，取AB的中点D，连接CD、DP，
∵P为的中点，.
又∵Q为的中点，，
.
∴四边形CDPQ为平行四边形，.
又，D为AB的中点，.
例2 【答案】．
【解析】取AC的中点M,
连接OM,ME,OE,
由E为BC的中点知ME∥AB,
由O为BD中点知OE∥DC,
所以直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角.
在△OME中,EM=AB=,OE=DC=1,
因为OM是Rt△AOC斜边AC上的中线,
所以OM=AC=1,
取EM的中点H,连OH,则OH⊥EM,
在Rt△OEH中,所以cos∠OEM===.
跟踪训练二
1、【答案】60°．
【解析】如图,取BD的中点M,连接EM,FM.
因为E,F分别是AB,CD的中点,
所以EMAD,FMBC,
则∠EMF或其补角就是异面直线AD,BC所成的角.
因为AD=BC=2,
所以EM=MF=1,
在等腰△MEF中,过点M作MH⊥EF于H,
在Rt△MHE中,EM=1,EH=EF=,则sin∠EMH=,
于是∠EMH=60°,
则∠EMF=2∠EMH=120°.
所以异面直线AD,BC所成的角为∠EMF的补角,
即异面直线AD,BC所成的角为60°.
当堂检测
1-2. DB
3. (1) 45°　(2)60°
4. ①③
5．【答案】(1)45°.(2)30°.
【解析】(1)如图,因为CG∥BF,
所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角,
又△BEF中,∠EBF=45°,所以BE与CG所成的角为45°.
(2)连接FH,因为HDEA,EAFB,所以HDFB,所以四边形HFBD为平行四边形,
所以HF∥BD,所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角.
连接HA,AF,易得FH=HA=AF,
所以△AFH为等边三角形,
又依题意知O为AH的中点,
所以∠HFO=30°,即FO与BD所成的角是30°.
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