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8.6.3 平面与平面垂直
第1课时 平面与平面垂直的判定
1.理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角平面角的大小．
2.了解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，初步学会用定理证明垂直关系．
3.熟悉线线垂直、线面垂直的转化。
1.教学重点：面面垂直的判定定理；
2.教学难点：求简单二面角平面角的大小，用定理证明垂直关系。
1．二面角的概念
(1)定义：从一条直线出发的 所组成的图形．
(2)相关概念：①这条直线叫做二面角的 ，②两个半平面叫做 ．
(3)画法：
(4)记法：二面角 或 或 或 .
(5)二面角的平面角：若有①O l；②OA α，OB β；
③OA l，OB l，则二面角α l β的平面角是 .
(6)平面角是直角的二面角叫做直二面角，二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°.
2．平面与平面垂直
(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(2)画法：
(3)记作：α⊥β.
(4)判定定理：
文字语言 如果一个平面过另一个平面的 ，那么这两个平面垂直
图形语言
符号语言 l⊥α， α⊥β
一、探索新知
问题： 在铁路公路旁，为防止山体滑坡，常用石块修筑护坡斜面，并使护坡斜面与水平面成适当的角度；修筑水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度，如何从数学的观点认识这种现象？
1..二面角的概念
(1) 半平面的定义
平面内的一条 把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面．
(2) 二面角的定义
从一条 出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.
这条 叫做二面角的棱，每个 叫做二面角的面．
(3) 二面角的画法和记法：
面1－棱－面2 点1－棱－点2
二面角二面角
思考：我们常说“把门开大些”，是指哪个角开大一些，你认为应该怎么刻画二面角的大小？
（4） 二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于 的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
如图，，则∠AOB成为二面角的平面角. 它的大小与点O的选取无关.
二面角的平面角必须满足：
①角的顶点在棱上
②角的两边分别在两个面内
③角的边都要垂直于二面角的棱
观察：教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角？分别指出构这些二面角的面、棱、平面角及其度数。
2. 平面与平面垂直的定义
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是 二面角，就说这两个平面互相垂直.
记作：
图形表示：
观察：如图，建筑工人砌墙时，如何使所砌的墙和水平面垂直？
3.平面与平面垂直的判定定理
如果一个平面过另一个平面的 ，那么这两个平面垂直。
图形：
符号语言：
简记：线面垂直，则面面垂直。
如图，在正方体中，求证：平面。
例2.如图,AB是圆O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点， 求证：平面PAC⊥平面PBC.
1．直线l⊥平面α，l 平面β，则α与β的位置关系是(　　)
A．平行　　　　　　　　 B．可能重合
C．相交且垂直 D．相交不垂直
2．从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角的关系是(　　)
A．互为余角 B．相等
C．其和为周角 D．互为补角
3．已知l⊥平面α，直线m 平面β.有下面四个命题：
①α∥β l⊥m；②α⊥β l∥m；③l∥m α⊥β；④l⊥m α∥β.
其中正确的两个命题是(　　)
A．①② B．③④
C．②④ D．①③
4．在正方体ABCD A1B1C1D1中，二面角A BC A1的平面角等于 ．
5．如图，棱柱ABC A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.
证明：平面AB1C⊥平面A1BC1.
这节课你的收获是什么？
参考答案：
观察：三个
2.
观察：用铅锤来检测，如系有铅锤的细线紧贴墙面，认为墙面垂直与地面。
例1.证明：是正方体。
例2.
达标检测
1.【答案】C　
【解析】由面面垂直的判定定理，得α与β垂直，故选C.
2.【答案】D　
【解析】画图知从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角互为补角，所以选D.
3.【答案】D　
【解析】∵l⊥α，α∥β，∴l⊥β，∵m β，∴l⊥m，故①正确；∵l∥m，l⊥α，∴m⊥α，又∵m β，∴α⊥β，故③正确．
4.【答案】45°
【解析】根据正方体中的位置关系可知，AB⊥BC，A1B⊥BC，根据二面角的平面角定义可知，∠ABA1 即为二面角A BC A1的平面角. 又AB＝AA1，且AB⊥AA1，所以∠ABA1 ＝45°.
5.【证明】　因为BCC1B1是菱形，
所以B1C⊥BC1，又B1C⊥A1B，且BC1∩A1B＝B，
所以B1C⊥平面A1BC1，
又B1C 平面AB1C，
所以平面AB1C⊥平面A1BC1.
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