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专题02 值域倍增或倍减
一、考情分析
值域倍增或倍减是高考函数与导数一个新的考查导数的方向。在2019年全国卷2的选择题12题已经出现了，是以压轴题的形式出现的。考查学生对分段函数以及函数的周期性，结合图像去处理。数形结合思想是我们去处理这只能怪题型的一个必备手段。处理步骤分为：①审题，找出分段函数的部分图像，找到伪周期，值域倍增或倍减得范围；②结合函数，画出图像；③整理，分析，得出结论。
二、经验分享
1.函数的周期
对于函数，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有都成立，那么就把函数叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。
【常用结论】
A、 ，函数的周期.
B、，函数的周期.
C、或，函数的周期.
2.函数的值域
（1）.函数的值域周期性倍增
若函数满足或（），那么此函数的图像会以，值域每次经过一个T，都会周期性变大A倍；
（2）.函数的值域周期性倍减
若函数满足或（），那么此函数的图像会以，值域每次经过一个T，都会周期性变大A倍；
（3）.函数的周期性
若函数满足或，那么此函数的图像会以，用周期函数的性质求解即可。
三、题型分析
(一) 函数周期性的应用
例1．（1）（2019·银川市·宁夏大学附属中学高三月考（理））已知奇函数满足，且时，，则关于的方程在区间上的所有根之和是．
A．10 B．8 C．6 D．4
（2）．（2020·安庆市第七中学高三其他模拟（文））已知定义在上的偶函数，满足，当时，，则__________．
【变式训练1-1】．（2019·江苏南京市·南京师大附中高二开学考试）已知函数对任意的，都有，函数是奇函数，当时，，则方程在区间内的所有零点之和为_____________．
【变式训练1-2】．（2020·武邑宏达学校（文））已知定义在上的函数对任意都满足，且当时，，则函数的零点个数为
A．2 B．3 C．4 D．5
(二) 函数值域倍减
例2.（1）、设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
（2）、（2020·四川（文））已知函数满足：当时，，且当时，；当时，且).若函数的图象上关于原点对称的点恰好有4对，则的值是（ ）
A．625 B．9 C．4 D．64
【变式训练2-1】．（2020·石嘴山市第三中学高三其他模拟（理））对于函数．现有下列结论：①任取，，都有；②函数有3个零点；③函数在上单调递增；④若关于的方程有且只有两个不同的实根，，则．其中正确结论的序号为______．（写出所有正确命题的序号）
【变式训练2-2】．（2020·江苏泰州市·泰州中学高三月考）设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是______.
(三) 函数值域倍增
例3.（1）、设函数的定义域为，且满足，当时，，若时，的最大值为1，则实数的取值范围是_________
（2）、（2021·全国高一专题练习）设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2】、（2021·全国高三专题练习）设定义在上的函数满足，且当时，.若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
四、迁移应用
A组 基础巩固
1．（2021·山东威海·高二期末）定义在上的偶函数满足，且在处的导数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2020·全国高三专题练习（理））定义在R上的函数满足：，当时，；当时，，则　　
A．336 B．337 C．338 D．339
3．（2019·贵州贵阳·高一期末）已知函数满足，且时，，则的零点个数为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
4．（2020·全国高三专题练习（理））已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
5．（2020·安徽六安一中高三月考（文））设定义在上的函数满足任意都有，且时，，则、、的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021·玉林市第十一中学（理））已知定函数，则
A． B． C． D．
7．（2020·西藏拉萨中学高三月考（理））已知是定义是上的奇函数，满足，当时， ，则函数在区间上的零点个数是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
8．（2020·广西南宁三中高二期末（文））定义在上的奇函数满足，并且当时，，则
A． B． C． D．
10．（2021·九龙坡·重庆市育才中学高三月考）定义在上的函数满足，且当时，，，对，，使得，则实数的取值范围为
A． B．
C． D．
11．（2019·湖南怀化·（文））定义在上的偶函数满足，当时，则函数在上的零点个数为________.
12．（2020·江苏高三二模）已知周期为的函数满足，当时，，则当时（为自然对数的底数），关于的不等式在区间上的整数解的个数为______．
13．（2019·吉林长春市实验中学高二期末（文））奇函数的定义域为.若为偶函数，且，则_____．
14．（2020·江苏）已知定义在上的函数满足：，且当时，.若对任意的，恒成立，则实数的最大值为___________.
15．（2019·浙江高二期末）设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意的，都有，则的取值范围是________.
B组 能力提升
16．（2021·全国高一专题练习）设是定义在上的偶函数，且，当时，，若在区间内关于的方程（且）有且只有5个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
17．（2021·全国高一专题练习）已知定义在上的偶函数满足：当时，，且对一切恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
18．（2021·全国高三专题练习）已知函数y=f（x），若给定非零实数a，对于任意实数x∈M，总存在非零常数T，使得af（x）=f（x+T）恒成立，则称函数y=f（x）是M上的a级T类周期函数，若函数y=f（x）是[0，+∞）上的2级2类周期函数，且当x∈[0，2）时，f（x）=，又函数g（x）=﹣2lnx+x2+x+m．若 x1∈[6，8]， x2∈（0，+∞），使g（x2）﹣f（x1）≤0成立，则实数m的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，] B．（﹣∞，] C．[） D．[）
19．（2019·陕西汉中市·高三月考（文））定义在 上的函数 满足 ，且当 时，，则函数 在 上的零点个数为
A．5 B．6 C．7 D．8
20．（2019·广东汕头·金山中学高一月考）已知定义域为的函数满足，当时，，设在上的最大值为，且的前项和为，若对任意的正整数均成立，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
21．（2018·河南高三二模（理））定义在上的函数满足，当时，，函数.若对任意，存在，不等式成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
22．（2020·全国高三专题练习（理））定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是______.专题02 值域倍增或倍减
一、考情分析
值域倍增或倍减是高考函数与导数一个新的考查导数的方向。在2019年全国卷2的选择题12题已经出现了，是以压轴题的形式出现的。考查学生对分段函数以及函数的周期性，结合图像去处理。数形结合思想是我们去处理这只能怪题型的一个必备手段。处理步骤分为：①审题，找出分段函数的部分图像，找到伪周期，值域倍增或倍减得范围；②结合函数，画出图像；③整理，分析，得出结论。
二、经验分享
1.函数的周期
对于函数，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有都成立，那么就把函数叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。
【常用结论】
A、 ，函数的周期.
B、，函数的周期.
C、或，函数的周期.
2.函数的值域
（1）.函数的值域周期性倍增
若函数满足或（），那么此函数的图像会以，值域每次经过一个T，都会周期性变大A倍；
（2）.函数的值域周期性倍减
若函数满足或（），那么此函数的图像会以，值域每次经过一个T，都会周期性变大A倍；
（3）.函数的周期性
若函数满足或，那么此函数的图像会以，用周期函数的性质求解即可。
三、题型分析
(一) 函数周期性的应用
例1．（1）（2019·银川市·宁夏大学附属中学高三月考（理））已知奇函数满足，且时，，则关于的方程在区间上的所有根之和是．
A．10 B．8 C．6 D．4
【答案】C
【分析】
根据函数的性质,且已知时,,可画出对应的函数图像,再分析在区间上的所有根之和即可.
【详解】
由题,,则,故周期为4.
又奇函数关于对称,且,故关于对称,
又时,则可画出区间上对应的函数图像.
易得即在区间上的根分别关于-3,1,5对称,故零点之和为.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了根据函数的关系推导函数性质以及函数图像的问题.需要先根据时,,画出的图像,再根据函数性质补全图像.再利用图像求得零点之和.属于中等题型.
（2）．（2020·安庆市第七中学高三其他模拟（文））已知定义在上的偶函数，满足，当时，，则__________．
【答案】
【解析】
分析：由可知，函数的周期为2，利用周期性与奇偶性把所给的两个自变量转化到区间上，代入求值即可.
详解：由可知，函数的周期为2，又为偶函数
∴
故答案为
点睛：本题重点考查了奇偶性与周期性的应用，考查了转化的思想方法，属于中档题.
【变式训练1-1】．（2019·江苏南京市·南京师大附中高二开学考试）已知函数对任意的，都有，函数是奇函数，当时，，则方程在区间内的所有零点之和为_____________．
【答案】4
【解析】
∵函数是奇函数
∴函数的图象关于点对称
∴把函数的图象向右平移1个单位可得函数的图象，即函数的图象关于点对称，则.
又∵
∴，从而
∴，即
∴函数的周期为2，且图象关于直线对称.
画出函数的图象如图所示：
∴结合图象可得区间内有8个零点，且所有零点之和为.
故答案为4.
点睛：函数零点的求解与判断：
(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
【变式训练1-2】．（2020·武邑宏达学校（文））已知定义在上的函数对任意都满足，且当时，，则函数的零点个数为
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【详解】
当时，则，
此时有，
∵，
∴，
∴函数是周期为2的周期函数．
令，则，
由题意得函数的零点个数即为函数的图象与函数的图象交点的个数．
在同一坐标系内画出函数和函数的图象（如图所示），
结合图象可得两函数的图象有三个交点，
∴函数的零点个数为3.选B．
点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法
(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．
(二) 函数值域倍减
例2.（1）、设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
当时，，
当时，，，
当时，，，
当时，由解得或，
若对任意，都有，则．
故选B．
（2）、（2020·四川（文））已知函数满足：当时，，且当时，；当时，且).若函数的图象上关于原点对称的点恰好有4对，则的值是（ ）
A．625 B．9 C．4 D．64
【答案】A
【分析】
作出函数的图象，问题转化为函数在的图象关于原点对称的图象与在的图象有4个交点，这样由图形可得出结论．
【详解】
先作出在时的图象，当时，，即，这样可由的图象得出的图象，再得的图象，依此类推可得时的图象，
如图所示，
作出的图象，再作出的图象关于原点对称的图象，
由图可知，当时，对称后的图象不可能与在上有4个交点，
当时，使得对称后的图象与在上有4个交点，
则，解得．
故选：A．
【点睛】
本题考查函数的图象交点问题，解题关键是作出函数图象，把问题简化为的一部分（的部分）的图象关于原点的对称图象与另一部分（的部分）的交点个数问题，数形结合思想可得．
【变式训练2-1】．（2020·石嘴山市第三中学高三其他模拟（理））对于函数．现有下列结论：①任取，，都有；②函数有3个零点；③函数在上单调递增；④若关于的方程有且只有两个不同的实根，，则．其中正确结论的序号为______．（写出所有正确命题的序号）
【答案】①②④
【分析】
作出函数的图象，求出时的最大值和最小值，可判断①；由图可直接判断②③④，进而可得答案.
【详解】
的图象如图所示：
①当时，的最大值为，最小值为，
∴任取，，都有恒成立，故①正确；
②如图所示，函数和的图象有3个交点，即有3个零点，故②正确；
③函数在区间上的单调性和上的单调性相同，则函数在区间上不单调，故③错误；
④当时，函数关于对称，若关于的方程有且只有两个不同实根，，则，则成立，故④正确；
故答案为：①②④.
【点睛】
本题考查命题的真假判断，涉及函数的性质，利用分段函数的表达式，作出函数的图象是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度.
【变式训练2-2】．（2020·江苏泰州市·泰州中学高三月考）设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是______.
【答案】
【分析】
可结合图像大致特点，当函数区间由右移，函数值逐渐减小，当函数区间由左移，函数值逐渐增大，则确定应是比2大的一个值，再由可推出通式，令可解得，再由图像可确定的临界值应为，即可求解
【详解】
由题可知
，
则可得一般规律：，可画出大致函数图像，如图：
由图可知，当时，，则，，
此时，由图像可知，要对任意，都有，则的最大值只能取，故
故答案为：
【点睛】
本题考查由函数的递推式找出一般函数图像规律，数形结合思想，属于难题
(三) 函数值域倍增
例3.（1）、设函数的定义域为，且满足，当时，，若时，的最大值为1，则实数的取值范围是_________
【答案】
【解析】
【方法技巧梳理】倍域问题
定义在上的满足，即自变量增加一，函数值变为2倍.
根据时解析式画出函数草图.
由于时，函数
令，则.
由于时，1，故必满足.
①首先时，1
②其次时，无最大值.
③而当时，最大值为2.
综上知：.
（2）、（2021·全国高一专题练习）设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据题设条件可得当时，，其中，结合函数在上的解析式和函数在的图象可求的取值范围.
【详解】
当时，，故，
因为，
故当时，，，
同理，当时，，
依次类推，可得当时，，其中.
所以当时，必有.
如图所示，因为当时，的取值范围为，
故若对任意，都有，则，
令，或，
结合函数的图象可得，
故选：D.
【点睛】
思路点睛：此类问题考虑函数的“类周期性”，注意根据已知区间上函数的性质推证函数在其他区间上的性质，必要时应根据性质绘制函数的图象，借助形来寻找临界点.
【变式训练3-1】【2018届河南天一大联考】
【变式训练3-2】、（2021·全国高三专题练习）设定义在上的函数满足，且当时，.若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
当时，可得恒成立，再利用递推关系式探讨时适合，当时，并不恒满足题意，画出函数草图，令，解出，结合图形即可得结果.
【详解】
由已知，当时，恒成立，
可得当时，，
恒成立；
当时，，
.
画出函数草图，令，
化简得，解得，，
由图可知，当时，不等式恒成立.
故选：B.
【点睛】
本题考查函数恒成立问题，考查等价转化思想与综合运算能力，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属于难题.
四、迁移应用
A组 基础巩固
1．（2021·山东威海·高二期末）定义在上的偶函数满足，且在处的导数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据给定条件探求出函数的性质，由此求出，再借助复合函数求导问题求出即可得解.
【详解】
上的偶函数满足，则当时，，
，于是得，即f(x)是周期函数，周期为4，则有，
对两边求导得，即，于是当时，，
曲线在点处的切线方程为，即.
故选：A
【点睛】
结论点睛：函数y=f(x)是区间D上的可导函数，则曲线y=f(x)在点处的切线方程为：.
2．（2020·全国高三专题练习（理））定义在R上的函数满足：，当时，；当时，，则　　
A．336 B．337 C．338 D．339
【答案】C
【分析】
根据函数的周期性，将函数值进行转化即可．
【详解】
解：∵f（x+6）＝f（x），
当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）＝﹣（x+2）2
当﹣1≤x＜3时，f（x）＝x，
∴f（1）＝1，f（2）＝2，f（3）＝f（﹣3）＝﹣1，
f（4）＝f（﹣2）＝0，f（5）＝f（﹣1）＝﹣1，f（6）＝f（0）＝0，
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）＝1，
∵f（x+6）＝f（x），∴f（x）的周期为6，
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）
＝336+f（1）+f（2）+f（3）
＝338．
故选C．
【点睛】
本题主要考查函数值的计算，根据函数的周期性，进行转化是解决本题的关键．
3．（2019·贵州贵阳·高一期末）已知函数满足，且时，，则的零点个数为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】B
【分析】
由已知可得为周期为2的函数,通过且时，,做出函数图象, 的零点个数即为与图象交点个数,通过数形结合即可得到答案.
【详解】
因为为周期为2的函数,通过且时，,做出函数图象如图所示:
的零点个数即为与图象交点个数,由图象可知共有6个交点.
故选:B.
【点睛】
本题考查函数的图象和性质,考查函数的零点个数问题,考查学生数形结合的能力,属于中档题.
4．（2020·全国高三专题练习（理））已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
【答案】B
【分析】
根据f（x）是R上的奇函数，并且f（x+1）=f（1-x），便可推出f（x+4）=f（x），即f（x）的周期为4，而由x∈[0，1]时，f（x）=2x-m及f（x）是奇函数，即可得出f（0）=1-m=0，从而求得m=1，这样便可得出f（2019）=f（-1）=-f（1）=-1．
【详解】
∵是定义在R上的奇函数，且；
∴；
∴；
∴的周期为4；
∵时，；
∴由奇函数性质可得；
∴；
∴时，；
∴.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性和周期性求值，此类问题一般根据条件先推导出周期，利用函数的周期变换来求解，考查理解能力和计算能力，属于中等题.
5．（2020·安徽六安一中高三月考（文））设定义在上的函数满足任意都有，且时，，则、、的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据先确定是周期为4的函数，进而可得，，，再构造函数，结合条件判断其单调性，即可得出结果.
【详解】
因为函数满足任意都有，所以，则是周期为4的函数.则有，，.
设，则导数为，
又由时，，则，所以函数在上单调递增；则有，即，即，
变形可得.
故选A
【点睛】
本题主要考查函数的周期性和利用导数研究函数的单调性，结合题意构造函数，对新函数求导，判断出其单调性，即可求解，属于常考题型.
6．（2021·玉林市第十一中学（理））已知定函数，则
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先根据函数的解析式判断出当时函数的周期，将转化为的函数，由此求得相应的函数值.
【详解】
当时， .依次类推，当时，，即.故当时，函数的周期为，所以 .故选D.
【点睛】
本小题主要考查分段函数的性质，考查函数的周期性，考查对数的知识，属于中档题.
7．（2020·西藏拉萨中学高三月考（理））已知是定义是上的奇函数，满足，当时， ，则函数在区间上的零点个数是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】D
【分析】
根据是定义是上的奇函数，满足，可得函数的周期为3，再由奇函数的性质结合已知可得 ，利用周期性可得函数在区间上的零点个数．
【详解】
∵是定义是上的奇函数，满足， ，可得，
函数的周期为3，
∵当时， ，
令，则，解得或1，
又∵函数是定义域为的奇函数，
∴在区间上，有．
由，取，得 ，得，
∴．
又∵函数是周期为3的周期函数，
∴方程=0在区间上的解有 共9个，
故选D．
【点睛】
本题考查根的存在性及根的个数判断，考查抽象函数周期性的应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属于中档题．
8．（2020·广西南宁三中高二期末（文））定义在上的奇函数满足，并且当时，，则
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由题意明确函数的周期性，想方设法把100转化到给定范围上即可.
【详解】
∵，且数为奇函数
∴f（x+）=f（x）=
∴ f（x+）
∴函数的周期为，
，
又当时，，
∴
故选B．
【点睛】
抽象函数给出条件判断周期的常见形式为:
(1) ；
（2）；
（3） .
10．（2021·九龙坡·重庆市育才中学高三月考）定义在上的函数满足，且当时，，，对，，使得，则实数的取值范围为
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
由题知问题等价于函数在上的值域是函数在上的值域的子集．
当时，，
由二次函数及对勾函数的图象及性质，得此时，由，可得，
当时，．则在的值域为．
当时，，则有，解得，
当时，，不符合题意；
当时，，则有，解得．
综上所述，可得的取值范围为 ．
故选：．
点睛：求解分段函数问题应对自变量分类讨论，讨论的标准就是自变量与分段函数所给出的范围的关系，求解过程中要检验结果是否符合讨论时的范围．讨论应该　不重复不遗漏．
11．（2019·湖南怀化·（文））定义在上的偶函数满足，当时，则函数在上的零点个数为________.
【答案】4
【分析】
根据函数为偶函数，可得，从而可得函数的周期为，令，可得，令，求出函数的表达式，作出函数在一个周期内的图像即可求解.
【详解】
因为为偶函数，则，∴
，∴
令，则，
∴，
如图
故答案为：4
【点睛】
本题考查了利用函数的性质求函数的零点个数，考查了数形结合的思想，属于难题.
12．（2020·江苏高三二模）已知周期为的函数满足，当时，，则当时（为自然对数的底数），关于的不等式在区间上的整数解的个数为______．
【答案】
【分析】
根据抽象函数满足的关系式和周期可知关于、对称，结合导数可求得在上的单调性，并得到的值及函数的图象；由的范围可将不等式化为，可确定在的整数解个数，结合周期性和对称性可得上的其他整数解，进而得到结果.
【详解】
由得：关于对称，
又是周期为的周期函数，关于对称，
当时，，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
，且，，，，
由此可得图象如下图所示：
当时，，等价于，
当时，整数解为：和；
当时，整数解为：、、、和；
综上所述：不等式在区间上的整数解的个数为个.
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用函数的周期性、对称性和单调性求解不等式的问题，关键能够利用函数周期性、对称性和单调性确定函数的图象，从而利用数形结合的方式确定函数整数解的个数.
13．（2019·吉林长春市实验中学高二期末（文））奇函数的定义域为.若为偶函数，且，则_____．
【答案】
【分析】
由题设条件，推得，得到，即函数是周期为12的周期函数，利用周期性、奇偶性和，即可求解．
【详解】
由题意， 函数的定义域为的奇函数，则且，
又由为偶函数，,
代换
则有，
因为为奇函数，可得，，
综上可得，则有，
即函数是周期为12的周期函数，则，
所以．
【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性，周期性的性质及其应用，其中解答中根据函数的基本性质，求得函数是周期为12的周期函数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．
14．（2020·江苏）已知定义在上的函数满足：，且当时，.若对任意的，恒成立，则实数的最大值为___________.
【答案】
【分析】
直接利用关系式可得出当时，，结合题意可得且解出不等式即可求出结果.
【详解】
当时，，由可得，
当时，；
当时，，…，
当时，，
因为，，且对任意的，恒成立，
所以且，解得，
故实数的最大值为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查的知识要点：直接利用关系式的应用，定义域的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于难题.
15．（2019·浙江高二期末）设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意的，都有，则的取值范围是________.
【答案】
【分析】
由，得，分段求解析式，结合图象可得m的取值范围．
【详解】
解：，，
时，，
时，；
时，；
时，；
当时，由，解得或，
若对任意，都有，则．
故答案为．
【点睛】
本题考查函数与方程的综合运用，训练了函数解析式的求解及常用方法，考查数形结合的解题思想方法，属中档题．
B组 能力提升
16．（2021·全国高一专题练习）设是定义在上的偶函数，且，当时，，若在区间内关于的方程（且）有且只有5个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
求得函数是周期函数，且周期，依题意，只需使函数的图象与函数的图象在上有5个交点即可.在同一坐标系中分别作出与的图象，数形结合可得结果.
【详解】
因为是上的偶函数，所以，对，，
所以函数是周期函数，且周期.
，
依题意，只需使函数的图象与函数的图象在上有5个交点即可.
在同一坐标系中分别作出与的图象，
由图可知，实数满足，解得，即实数的取值范围是.
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是：在同一坐标系中分别作出与的图象，数形结合得到满足.
17．（2021·全国高一专题练习）已知定义在上的偶函数满足：当时，，且对一切恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意，可得的解析式，分别求得当时，时，时，和的表达式，结合题意，即可求得a的范围，综合即可得答案.
【详解】
由题意知：
当时，，
所以，所以，
因为，所以；
当时，，
所以，所以；
当时，
所以，所以，
综上.
故选：C
【点睛】
解题的关键是根据题意求得的解析式，分类讨论，将和进行转化，考查分类讨论的思想，属中档题.
18．（2021·全国高三专题练习）已知函数y=f（x），若给定非零实数a，对于任意实数x∈M，总存在非零常数T，使得af（x）=f（x+T）恒成立，则称函数y=f（x）是M上的a级T类周期函数，若函数y=f（x）是[0，+∞）上的2级2类周期函数，且当x∈[0，2）时，f（x）=，又函数g（x）=﹣2lnx+x2+x+m．若 x1∈[6，8]， x2∈（0，+∞），使g（x2）﹣f（x1）≤0成立，则实数m的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，] B．（﹣∞，] C．[） D．[）
【答案】B
【分析】
根据题意，由函数f（x）在[0，2）上的解析式，分析可得函数f（x）在[0，2）上的最值，结合a级类周期函数的含义，分析可得f（x）在[6，8]上的最大值，对于函数g（x），对其求导分析可得g（x）在区间（0，+∞）上的最小值，将原问题转化为
的问题求解．
【详解】
根据题意，对于函数f（x），当x∈[0，2）时，，
可得：当0≤x≤1时，f（x）=1-x2，有最大值f（0）=1，最小值f（1）=0，
当1＜x＜2时，f（x）=f（2-x），函数f（x）的图象关于直线x=1对称，则此时有0＜f（x）＜1，
又由函数y=f（x）是定义在区间[0，+∞）内的2级类周期函数，且T=2；
则在x∈[6，8）上，f（x）=23 f（x-6），则有0≤f（x）≤4，
则f（8）=2f（6）=4f（4）=8f（2）=16f（0）=8，
则函数f（x）在区间[6，8]上的最大值为8，最小值为0；
对于函数，
有 ，
得在（0，1）上，g′（x）＜0，函数g（x）为减函数，
在（1，+∞）上，g′（x）＞0，函数g（x）为增函数，
则函数g（x）在（0，+∞）上，由最小值
若 x1∈[6，8]， x2∈（0，+∞），使g（x2）-f（x1）≤0成立，
必有g（x）min≤f（x）max，即
解可得 ，即m的取值范围为
故选B．
【点睛】
本题考查函数的最值问题，考查数学转化思想方法，训练了利用导数求最值，是中档题．
19．（2019·陕西汉中市·高三月考（文））定义在 上的函数 满足 ，且当 时，，则函数 在 上的零点个数为
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】
由f（x+2）＝3f（x），得到函数在其他区间的解析式，作出函数的图象，将问题转化为直线与函数在上的图象的交点的个数，即可求出零点个数．
【详解】
设，则.因为时， ，所以.因为，所以当时，
同理可得当时，；
当时，，此时最大值为x=-3时，f(x)=,
因为函数 在 上的零点个数等价于直线与函数 在上的图象的交点的个数，
结合的图象（如图），
直线与函数在上的图象有7个交点，即函数在上有7个零点.
故选C.
【点睛】
本题主要考查函数零点的个数及函数解析式的求解方法，考查了数形结合思想，利用f（x+2）＝3f（x）求解解析式是解决本题的关键．
20．（2019·广东汕头·金山中学高一月考）已知定义域为的函数满足，当时，，设在上的最大值为，且的前项和为，若对任意的正整数均成立，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据函数的解析式，求得当时，的最大值为，再根据，利用归纳法，得到当时，的最大值为，由等比数列的前n项和公式，求得，根据，即可求解，
【详解】
由题意，可得当时，；时，，
∴当时，的最大值为；
又由，∴当时，的最大值为；
当时，的最大值为，…，
所以当时，的最大值为，
由等比数列的前n项和公式，得.
若对任意的正整数成立，则，故选B.
【点睛】
本题主要考查了数列与函数的综合应用，其中解答中根据分段函数的解析式，利用归纳法得到数列的通项公式，再利用等比数列的求和公式，列出不等式求解是解答的关键，试题有一定的综合性，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力．
21．（2018·河南高三二模（理））定义在上的函数满足，当时，，函数.若对任意，存在，不等式成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
分析：先求出函数f(x)在的值域，再根据，求出函数f(x)在x时的值域和最小值,再利用导数求函数g(x)的最小值即得解.
详解：由题得函数在[0,1]上的值域为，
函数在[1,上是减函数，在上是增函数，
所以函数在上的值域为.
所以函数在的值域为∪.
因为定义在上的函数满足，
所以函数在的值域为∪.
所以函数在的值域为∪.
所以函数f(x)在的最小值为-12.
∵函数g（x）=x3+3x2+m，
∴=3x2+6x，
令3x2+6x＞0，所以x＞0或x＜﹣2，
令3x2+6x＜0，所以﹣2＜x＜0，
∴函数g（x）=x3+3x2+m，在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）单调递增．在（﹣2，0）单调递减，
∴ t∈[﹣4，﹣2），g（t）最小=g（﹣4）=m﹣16，
∵不等式f（s）﹣g（t）≥0，
∴﹣12≥m﹣16，
故实数满足m≤4，
故答案为A
点睛：（1）本题主要考查了函数的图像和性质，考查了不等式的存在性和任意性问题，意在考查学生对这些知识的掌握能力、分析推理能力和计算能力. (2)解答本题有三个关键，其一是要能利用复合函数判断函数的单调性，其二是要能够求出f(x)在的值域为∪，其三是要能够根据推理出在的值域为∪.
22．（2020·全国高三专题练习（理））定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是______.
【答案】
【分析】
由分段函数根据单调性求得在的最小值，根据求出，的最小值，将问题转化为解不等式即可得出结果.
【详解】
根据已知，当时，，
则当时，在处取到最小值，
当时，在处取到最小值，
所以在时在处取到最小值,
又因为，
可知当时，在时取到最小值，且，则.
为使当时，恒成立，需，
当时，可整理为，解得；
当时，可整理为，解得.
综上，实数的取值范围是
故答案为：
【点睛】
本题考查分段函数的应用，考查函数的单调性，将恒成立问题转化为函数的最值问题是解题的关键，属于难题.

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