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专题10 导数之分离常数法
一、考情分析
不等式恒成立的转化策略一般有以下几种：①分离参数＋函数最值；②直接化为最值＋分类讨论；③缩小范围＋证明不等式；④分离函数＋数形结合。
分离参数的优势在于所得函数不含参数，缺点在于函数结构复杂，一般是函数的积与商，因为结构复杂，导函数可能也是超越函数，则需要多次求导，也有可能不存在最值，故需要求极限，会用到传说中的洛必达法则求极限（超出教学大纲要求）；分离参数主要针对选择填空题。因为图形难以从微观层面解释清楚图像的交点以及图像的高低，这要涉及到图像的连续性以及凸凹性。还有在构作函数图像时，实际上是从特殊到一般，由特殊几点到整个函数图像，实际是一种猜测。 俗话说，形缺数时难入微。
二、考点梳理
1、参变分离：顾名思义，就是在不等式中含有两个字母时（一个视为变量，另一个视为参数），可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧，即不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式.然后可利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围
2、如何确定变量与参数：一般情况下，那个字母的范围已知，就将其视为变量，构造关于它的函数，另一个字母（一般为所求）视为参数.
3、参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则：
（1）已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，则参变分离法可行.但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他方法.例如：，等
（2）要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值），若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值），则也无法用参变分离法解决问题.（可参见”恒成立问题——最值分析法“中的相关题目）
4、参变分离后会出现的情况及处理方法：（假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式）
（1）若的值域为
①，则只需要
，则只需要
②，则只需要
，则只需要
③，则只需要
，则只需要
④，则只需要
，则只需要
（2）若的值域为
① ，则只需要
，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）
② ，则只需要
，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）
③ ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）
，则只需要
④ ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）
，则只需要x/k-+w
5、多变量恒成立问题：对于含两个以上字母（通常为3个）的恒成立不等式，先观察好哪些字母的范围已知（作为变量），那个是所求的参数，然后通常有两种方式处理
（1）选择一个已知变量，与所求参数放在一起与另一变量进行分离.则不含参数的一侧可以解出最值（同时消去一元），进而多变量恒成立问题就转化为传统的恒成立问题了.
（2）将参数与变量进行分离，即不等号一侧只含有参数，另一侧是双变量的表达式，然后按所需求得双变量表达式的最值即可.
三、题型突破
例1．（1）、（2021·北京市第十二中学高三月考）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B． C．或 D．
【答案】C
【分析】
由题可求导函数，利用导函数与单调性的关系可得在恒成立，即求.
【详解】
由题意，在恒成立，则，
又，
∴在恒成立，
∴即在恒成立，∴，
综上，或.
故选：C.
（2）、（2021·全国·高二单元测试）已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
求出函数的导数，问题转化为函数与x轴在上有交点，即求.
【详解】
函数的定义域为，，
令，
若在上不单调，则函数与x轴在上有交点，
又，
则，
解得，
故在上不单调的一个充分不必要条件是．
故选：D．
【变式训练1-1】、（2020·山东·昌乐二中高二月考）已知函数（为自然对数的底数）有两个极值点，则实数的取值范围是______.
【答案】
【分析】
求导，根据函数有两个极值点，则，在上有两个不等实根，即，在上有两个不等实根，再令，研究其图象即可.
【详解】
，
因为函数（为自然对数的底数）有两个极值点，
所以，在上有两个不等实根，
，在上有两个不等实根，
令，
，
当时，，当时，，
所以当时， 的最大值为；
当时，，当时，，
如图所示：
所以实数的取值范围是.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查导数与函数的极值点问题，还考查了转化化归思想和运算求解的能力，属于中档题.
【变式训练1-2】、（2020·江西·南昌县莲塘第一中学高二月考（理））已知函数有两个极值点，则实数m的取值范围为________.
【答案】
【分析】
根据极值点个数可确定根的个数，将问题转化为与有两个不同交点，利用数形结合的方式可求得结果.
【详解】
由题意得：.
有两个极值点，有两个不等实根，
即有两个不等实根，可等价为与有两个不同交点，
，
当时，；当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
；当时，；当时，，
可得图象如下图所示：
由图象可知，若与有两个不同交点，则，
解得：，即实数的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查根据函数极值点的个数求解参数范围的问题，关键是能够将问题转化为导函数为零的方程根的个数，进而进一步转化为两函数交点个数问题的求解，利用数形结合的方式可求得结果.
例2．(1)、（2021·江西·高安中学高二期中（文））不等式恰有两个整数解，则实数a的取值范围为______.
【答案】
【分析】
将问题转化为恰有两个整数解，设，运用导数可知当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，进而利用图象，得出实数的取值范围．
【详解】
解：函数恰有两个整数解，
即恰有两个整数解，
令，得，
令，易知为减函数，
当，，，单调递增；
当，，，单调递减.
即当时，取得极大值，此时，
要使恰有两个整数解，
则这两个整数解只能为，，
即应该满足，
且，，
.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查函数与方程应用，利用参数分离法进行转化，构造函数研究函数的单调性和极值，利用数形结合是解决本题的关键．
（2）、（2019·吉林·吉化第一高级中学校高二期末（文））已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为______.
【答案】
【分析】
根据题意结合导数，将单调性问题转化为不等式恒成立问题，再转化为对应函数最值问题，最后根据函数最值得结果.
【详解】
因为函数在区间上是增函数，
所以在区间上恒成立，即,
因为，当且仅当时取等号，
所以最小值为4，即
故答案为：
【点睛】
本题考查利用导数研究函数单调性以及不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，属基础题.
【变式训练2-1】、（2020·山西·高三月考（理））若在有恒成立，则的取值范围为__________
【答案】
【分析】
分离参数，转化为在上恒成立，利用导数求函数的最小值即可.
【详解】
恒成立即在上恒成立，
令，
则，
∴在递增，在上递减，
，
故在上，
∴.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了不等式的恒成立问题，利用导数求函数的最小值，属于中档题.
【变式训练2-2】、（2021·河南·洛阳市第一高级中学高三月考（文））若关于的不等式在区间（为自然对数的底数）上有实数解，则实数的最大值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
将不等式整理为，令，利用导数可求得，从而分离变量得到，令，将问题转化为；利用导数可求得的单调性，得到，由此可得结论.
【详解】
由得：，
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，，
原不等式可化为在上有实数解，
令，则在有实数解，，
，
当时，，，，，
在上单调递增，，
，即的最大值为.
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：本题考查不等式在区间内有解的问题，解题关键是能够通过分离变量的方式将问题转化为函数最值的求解问题，从而利用导数确定函数单调性，得到所求的函数最值.
【变式训练2-3】、（2021·北京育才学校高三月考）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
求出导函数，题意说明有两个不等实根，转化为，设，即直线与的图象有两个交点，求导分析，即得解
【详解】
由题意有两个不等实根，，
设，，
当时，，递增，当时，，递减，
时，为极大值也是最大值，
时，，且，当时，，
所以当，即时，直线与的图象有两个交点，即有两个不等实根．
故选：B.
例3．（2021·河南许昌·高三月考（文））已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若在区间上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【分析】
（1）求的导函数，讨论参数判断的符号，进而确定的单调性；
（2）由题设可知在上恒成立，构造并利用导数研究单调性，即可求的取值范围.
【详解】
（1）∵，
当时，，由得；由得.
当时，令，令得，.
当时，由得；由得.
当，即时，由得；由得.
当，即时，恒成立.
当，即时，由得，由得.
综上，当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在，上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在上单调递增；
当时，函数在，上单调递增，在上单调递减.
（2）由，故在上恒成立，
即在上恒成立，即在上恒成立，
设，则，
令，则，
，则，
在上单调递减，则，
，则在上单调递减，有，
的取值范围是.
【点睛】
关键点点睛：第二问，问题转化为在上恒成立，构造函数并利用导数研究单调性求值域，进而确定参数范围.
【变式训练3-1】、（2021·河南商丘·高三月考（文））已知函数.
（1）当时，求函数的图象在处的切线方程；
（2）若时，，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）求出导函数，得到切线斜率，利用点斜式写出切线方程；
（2）利用分离参数法得到.令，利用导数求出的最大值，即可求出的取值范围.
【详解】
（1）当时，，则，
由可得，.
所以函数的图象在处的切线方程为，
即.
（2）由及，得.
令，则，
当时，；当时，，
所以在上为增函数，在上为减函数，
所以是的极大值点，也是的最大值点，且.
所以，
故的取值范围为.
【点睛】
（1）已知切线方程求参数通常利用三个条件列方程：①切点在曲线上；②切点在切线上；③斜率相等.
（2）最值的求解方法：①利用函数求最值；②利用基本不等式求最值；③转化为距离，利用几何意义求最值.
例4．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高二期末（文））已知函数，．
（1）当时，求函数的极值；
（2）若时恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）的极小值，无极大值；（2）.
【分析】
（1）对函数进行求导、列表、判断函数的单调性，最后根据函数极值的定义进行求解即可；
（2）对进行常变量分离，然后构造新函数，对新函数进行求导，判断其单调性，进而求出新函数的最值，最后根据题意求出的取值范围即可.
【详解】
（1）函数的定义域为，
当时，.由，得.
当变化时，，的变化情况如下表
- 0 +
单调递减 极小值 单调递增
所以在上单调递减，上单调递增，
所以函数的极小值为，无极大值.
（2）对，恒成立，即对，恒成立.
令，则.由得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，因此.
所以的取值范围是.
【点睛】
方法点睛：构造函数法、常变量分离法，是解决恒成立问题的常见方法.
【变式训练4-1】、（2021·河南南阳·高二期中）已知，是的导数．
（1）求的极值；
（2）令，若的函数图像与轴有三个不同的交点，求实数的取值范围．
【答案】（1）极大值为，极小值为；（2）．
【分析】
（1）求出函数的导数，进而求出函数的单调区间，从而结合极值的概念即可求出结果；
（2）问题转化为有三个不同的解，设，求出导数，根据函数的单调性作出函数图象，数形结合即可求出结果.
【详解】
（1）因为，
令，得，，
当变化时，，的变化如下表所示：
极大值 极小值
由上表可知，函数的极大值为，极小值为．
（2）由（1）知，
由题知需有三个不同的解，即有三个不同的解．
设，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，又当时，，当时，且，且，．
作出函数的简图如图：
数形结合可知：．
【点睛】
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
四、迁移应用
一、单选题
1．（2021·甘肃·静宁县第一中学二模（文））已知函数．若关于x的方程在上有解，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
求出函数在上的值域后可求实数m的取值范围.
【详解】
,
当时，，所以，
故的值域为，
因为在上有解即在上有解，
故即，
故选：C.
2．（2021·天津四十三中高三月考）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
求出函数的导数，问题转化为 而 在 递增，求出 的最小值，从而求出的范围即可 .
【详解】
若在区间内存在单调递增区间，则有解，
故
令
在递增 ,
故
故选：D
3．（2021·辽宁丹东·高三期中）当时，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用分类讨论进行参变分离，然后通过求导函数求最值即得.
【详解】
当时，，，
当时，由得，
令，则，
∴当时，，单调递增，当时，，单调递减，
∴当时，，
∴；
当时，由得，
由上知在上为增函数，所以，
∴；
综上可知，.
故选：D.
4．（2021·福建上杭·高三月考）若在（﹣2，+∞）上是增函数，则b的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣4] B．（﹣4，+∞） C．[﹣4，+∞） D．（﹣∞，﹣4）
【答案】A
【分析】
先求出,然后将问题转化为在上恒成立,转化为求解的取值范围,由二次函数求解即可.
【详解】
解：函数,
则,
因为在上是增函数，
所以在上恒成立,
故在上恒成立,
因为,
所以,
所以的取值范围是.
故选：A.
5．（2021·广西·高三月考（文））已知函数，若对任意的，都有，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由得到，构造函数，由，结合分离常数法以及导数求得的取值范围.
【详解】
对任意的，都有，即，
在上单调通递增，
在上恒成立，即在上恒成立，
令，则，
当时；当时，，
故，所以．
故选：C
6．（2022·全国·高三专题练习）函数在内存在极值点，则( )
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【分析】
求函数在内存在极值点的的的取值范围转化为求函数在无极值点时的的取值范围，然后求其补集，即可求解.
【详解】
由题意，所求的取值范围为函数在无极值点时的的取值范围在上的补集，
若函数在无极值点，
则或在恒成立，
①当在恒成立时，
即在时恒成立，
不妨令，易知在上单调递减，
故，即；
②当在恒成立时，
即在时恒成立，
故，即
综上所述，函数在无极值点时，的取值范围，其在上的补集为，
故函数在时有极值点时，的取值范围为.
故选:A．
7．（2021·云南师大附中高三月考（理））已知函数有且只有一个零点，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由分离常数，构造函数，利用导数研究单调性以及最值，由此求得的取值范围.
【详解】
由题知，方程有且只有一个解，
令，
即直线与曲线有且只有一个交点，
，
当时，，则，在上单调递增，
当时，，则，在上单调递减，
，
当时，，当时，，所以.
故选:C.
8．（2021·山东·新泰市第一中学高三月考）若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
在上是减函数等价于在上恒成立，利用分离参数求解即可.
【详解】
∵在上是减函数，所以在上恒成立，即，即，
∵，∴，
故选：C
9．（2021·河南·高二期末（理））若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据函数的区间单调性，应用导数可得在上恒成立，构造并研究单调性即可求的取值范围.
【详解】
由，得，
由在上单调递减，得在上恒成立，即在上恒成立.
令，在上，
∴在上单调递减，即，
∴，故的取值范围.
故选：.
10．（2021·内蒙古赤峰·高二期末）已知函数，若函数有唯一极值点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由函数有唯一极值点，可分析出在无实根.
记，利用导数求出的最小值为，即可得到.
【详解】
函数的定义域为，.
因为函数有唯一极值点，所以有唯一异号根，
所以在无实根，即在无实根.
记，则，
令，得：；令，得：；
所以在上单减，在上单增，
所以的最小值为.
要使在无实根，只需.
故选：A
【点睛】
已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．
11．（2021·浙江·模拟预测）已知函数，，若方程有4个不同的实数根，，，（），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
作出，的大致图象如图所示，得出，的图象都关于直线对称，从而可得，，根据，解得，即可得出，设，利用导数即可求解.
【详解】
作出，的大致图象如图所示，
可知，的图象都关于直线对称，可得，．
由得，
则，
所以．
设，
则，
所以在上单调递增，所以的取值范围是，
故选：D．
【点睛】
结论点睛：与对称有关的常用结论：
①若点，关于直线对称，则；
②若的图象关于直线对称，则；
③若，则的图象关于直线对称：
④若，则的图象关于点对称．
12．（2020·全国·高三月考（文））函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
求得，转化为在上恒成立，分离参数得到恒成立，再结合三角函数的图象与性质，即可求解．
【详解】
由题意，函数，
可得，
因为函数在上单调增，可得在上恒成立，
即，
令，则，，
所以，因为函数在上是增函数，
所以其最大值为，所以实数的取值范围是．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了三角函数的性质，以及导数的应用与分离变量求参数范围，着重考查了数学运算能力和转化与化归的思想．
13．（2019·山东济宁·高二期末）若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，0] C．（﹣∞，） D．（﹣∞，]
【答案】D
【分析】
因为在上单调递减，等价于在恒成立，求的最小值，即可得到本题答案.
【详解】
因为，所以，
在上单调递减，
等价于在恒成立，
即证明在恒成立，
设，所以，
当时，，在递增，
当时，，在递减，
所以，
所以a的取值范围是.
故选：D
【点睛】
本题主要考查根据函数在某个区间的单调性求参数的取值范围，体现了对转化和化归思想的考查.
14．（2020·山东·高三专题练习）已知函数（e为自然对数底数），若关于x的不等式有且只有一个正整数解，则实数m的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
若不等式有且只有一个正整数解，则的图象在图象的上方只有一个正整数值，利用导数求出的最小值，分别画出与的图象，结合图象可得.
【详解】
解：，
∴，
设，
∴，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
∴，
当时，，当，，
函数恒过点，
分别画出与的图象，如图所示，
，
若不等式有且只有一个正整数解，则的图象在图象的上方只有一个正整数值，
∴且，即，且
∴，
故实数m的最大值为，
故选：A
【点睛】
本题考查考查了不等式恒有一正整数解问题，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了数形结合思想，考查了数学运算能力.
15．（2020·湖南株洲·一模（文））已知对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
先由题意得到，令，得到对任意恒成立；令，对函数求导，用导数的方法研究其单调性，分别讨论，两种情况，即可得出结果.
【详解】
由可得：，
令，，由题可得：对任意恒成立；
令，则，
所以在上显然恒成立，
所以在上单增，
所以，
当时，对恒成立，所以，符合题意.
当时，在上递增可知，使得
且时，，时，.所以在上单减.
所以，综上.
故选D
【点睛】
本题主要考查由不等式恒成立求参数的问题，熟记导数的方法研究函数单调性，最值等，属于常考题型.
16．（2019·河北·三河市第三中学高三月考（理））设函数，有且仅有一个零点，则实数a的值为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先由题意得到方程在上仅有一个实根；令，得到函数与直线在上仅有一个交点；用导数的方法判断单调性，求出最值，结合图像，即可得出结果.
【详解】
因为函数，有且仅有一个零点；
所以方程在上仅有一个实根；
即方程在上仅有一个实根；令，
则函数与直线在上仅有一个交点；
因为，
由得，因为，所以；
由得，因为，所以；
所以，函数在上单调递减，在上单调递增；
因此
作出函数的大致图像如下：
因为函数与直线在上仅有一个交点，
所以，记得.
故选B
【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的零点，通常将函数零点问题，转化为两函数图像交点的问题，结合图像求解即可，属于常考题型.
二、填空题
17．（2021·天津市天津中学高三月考）若函数在区间有三个不同的零点，则实数m的取值范围是___________.
【答案】
【分析】
利用导数可求得在上的单调性 极值和最值，由零点个数可确定大致图象，由此可得不等关系，解不等式可求得结果.
【详解】
∵，
∴当时，；当时，；
∴在上单调递增，在上单调递减，
又，
显然，，
则在区间有三个不同的零点，则其大致图象如下图所示：
∴，解得，即实数m的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】
方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）分离变量法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
18．（2021·宁夏·石嘴山市第一中学高二期中（理））若函数存在单调递增区间，则的取值范围是___.
【答案】
【分析】
将题意转化为：，使得，利用参变量分离得到，转化为
，结合导数求解即可．
【详解】
，其中，则．
由于函数存在单调递增区间，则，使得，
即，，构造函数，则．
，令，得．
当时，；当时，．
所以，函数在处取得极小值，亦即最小值，则，
所以，，故答案为．
【点睛】
本题考查函数的单调性与导数，一般来讲，函数的单调性可以有如下的转化：
（1）函数在区间上单调递增，；
（2）函数在区间上单调递减，；
（3）函数在区间上存在单调递增区间，；
（4）函数在区间上存在单调递减区间，；
（5）函数在区间上不单调函数在区间内存在极值点．
19．（2018·山东·沂水县第一中学一模（文））已知关于的不等式的解集为，则实数的值为__________．
【答案】
【分析】
先作出函数f(x)=|lnx|-ln2的图像，再作出函数g(x)=,再根据不等式的解集为数形结合分析出m的值.
【详解】
先作出函数f(x)=|lnx|-ln2的图像，再作出函数g(x)=,如图所示，
令f(x)=|lnx|-ln2=0得x=或x=2,所以点A的坐标为（），
函数g(x)=是过定点A（）的一条动直线，
当动直线和曲线相切时，满足关于的不等式的解集为，
此时，切线的斜率为所以m=-2.
故答案为-2.
【点睛】
(1)本题主要考查函数的图像和性质，考查导数的几何意义，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2)解答本题的关键是数形结合思想的灵活运用，观察到当动直线和曲线相切时，满足关于的不等式的解集为，再求切线的斜率.
20．（2019·浙江浙江·高三专题练习）当，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【详解】
分析：先分离参数得到a，构造函数f（x）=．利用导数求出函数的最值即可求解实数a的取值范围．
详解：∵x＞1时，不等式（x﹣1）ex+1＞ax2恒成立
∴（x﹣1）ex﹣ax2+1＞0恒成立，
∴a，在（1，+∞）恒成立，
设f（x）=，
f′（x）=
∵
即恒成立，
∴f′（x）＞0，在（1，+∞）恒成立，
∴f（x）在（1，+∞）单调递增，
∴f（x）min＞f（1）=1，
∴a≤1.
故填（﹣∞，1]．
点睛：本题的关键是分离参数得到a，再构造函数f（x）=．利用导数求出函数的最小值即可求解实数a的取值范围．处理参数问题常用分离参数的方法，可以提高解题效率，优化解题.
21．（2011·辽宁·高考真题（文））已知函数f（x）=ex-2x+a有零点，则a的取值范围是___________．
【答案】
【分析】
根据零点定义，分离出 ，构造函数，通过研究的值域来确定 的取值范围．
【详解】
根据零点定义，则
所以
令
则，令
解得
当时，，函数单调递减
当时，，函数单调递增
所以当时取得最小值，最小值为
所以由零点的条件为
所以，即的取值范围为
【点睛】
本题考查了函数零点的意义，通过导数求函数的值域，分离参数法的应用，属于中档题．
三、解答题
22．（2021·河南平顶山·高二期末（文））已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对任意的不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；（2）．
【分析】
（1）先求解的导数，结合导数符号判定的单调性；
（2）先进行参数分离，然后求解的最大值，可得实数的取值范围．
【详解】
（1）由题可知，且定义域为，
．
令，
得．
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增．
（2）对任意，不等式恒成立，等价于恒成立；
令，
则，．
令，则，
，
，
在上单调递减，
当时，，
当时，，
即函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
，从而，即的取值范围为．
【点睛】
求解函数单调性的步骤：①求解定义域；②求解导数；③求解不等式，可得增区间，可得减区间；
恒成立问题一般利用分离参数法，转化为函数最值问题求解.
23．（2021·辽宁铁岭·二模）设函数.
（1）若，求；
（2）当时，，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）求导得函数单调性，利用单调性求得最值得解
（2）分类讨论时，显然成立，时由放缩化简得解
【详解】
（1）定义域为，.
因为，，故，所以.
此时，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以.
综上.
（2）时，等价于.①
若，①式成立.
若，由（1）可知，所以.
当时，.①不成立.
综上的取值范围为.
【点睛】
熟练掌握利用函数的导数解决函数的单调性及最值问题是解题关键
24．（2021·全国·模拟预测（理））已知函数．
（1）若，求函数在处的切线方程；
（2）若恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）根据导数的几何意义进行求解即可；
（2）对不等式进行常变量分离，构造新函数，利用导数进行求解即可.
【详解】
解：（1）时，，，
则，，
故切线方程是：，即；
（2）若恒成立，
则在恒成立，
令，则，，
令，，故在递增，
而时，，时，，
故存在，使得，从而，，
故在递增，在递减，
故在递增，在递减，
故，
故的最小值是3，即的取值范围是．
【点睛】
方法点睛：对于不等式恒成立问题可采用常变量分离构造函数，利用导数的性质进行求解.
25．（2021·湖北·武汉市新洲区城关高级中学高二开学考试）已知函数，是的导数，记．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若在上恒成立，求整数的最大值．
【答案】（1）增区间为，减区间为；（2）4．
【分析】
（1）根据题意得，进而利用导数求解即可.
（2）分离参数，将问题转化为函数最值的问题，利用导数求函数单调性和最值即可.
【详解】
解：（1），当时，
∴，
又∵
∴令得，令得
∴的增区间为：，减区间为
（2）∵恒成立，故在上恒成立，
令，，
∴
令，，
∵，∴在区间上单调递增，
又∵，
∴存在一个零点，且为最小值
∵，∴
，∴
即整数的最大值为4
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性，研究不等式恒成立问题，考查运算求解能力，是难题.本题解题的关键在于利用独立参数的方法得，进而构造函数，结合函数的单调性和零点存在性定理求解即可.
26．（2021·全国·高二课时练习）已知函数.
（1）当时，求函数的极值；
（2）若在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）极小值为，无极大值；（2）.
【分析】
（1）对函数求导，因式分解求得的根，列表判断单调性与极值；（2）将转化为在上恒成立，令新的函数，然后求导以及二次求导以后判断单调性与极值，求出的最小值即可.
【详解】
解：（1） 由，得，定义域为，
，
令，得（或舍去），列表：
单减 极小值 单增
所以的极小值为，无极大值.
（2）由，得，
问题转化为在上恒成立，
记，即在上恒成立，
则，
令，则，
由，知，即，
所以在上单调递增，，
即，所以在上单调递增，，
由在上恒成立，所以.
【点睛】
方法点睛：导函数中两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理．
27．（2021·辽宁朝阳·二模）设函数，其中，曲线在点处的切线经过点.
（1）求的值；
（2）求函数的极值；
（3）证明:.
【答案】（1）；（2）极小值，没有极大值；（3）证明见解析.
【分析】
（1）由题意，结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程，代入已知点的坐标可求；
（2）先对函数求导，结合导数与极值的关系即可求解；
（3）由于等价于，结合（2）可得，故只要证明即可，（需验证等号不同时成立）结合导数可证.
【详解】
解：（1），
则，
故在处的切线方程，
把点代入切线方程可得，，
（2）由（1）可得，
易得，当时，，函数单调递减，当时,，函数单调递增，
故当时，函数取得极小值，没有极大值，
证明：（3）等价于，
由（2）可得（当且仅当时等号成立）①，
所以，
故只要证明即可，（需验证等号不同时成立）
设，则，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
所以，当且仅当时等号成立，②
因为①②等号不同时成立，
所以当时，.
【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义及导数与极值的关系，还考查了利用导数证明不等式，体现了转化思想的应用．专题10 导数之分离常数法
一、考情分析
不等式恒成立的转化策略一般有以下几种：①分离参数＋函数最值；②直接化为最值＋分类讨论；③缩小范围＋证明不等式；④分离函数＋数形结合。
分离参数的优势在于所得函数不含参数，缺点在于函数结构复杂，一般是函数的积与商，因为结构复杂，导函数可能也是超越函数，则需要多次求导，也有可能不存在最值，故需要求极限，会用到传说中的洛必达法则求极限（超出教学大纲要求）；分离参数主要针对选择填空题。因为图形难以从微观层面解释清楚图像的交点以及图像的高低，这要涉及到图像的连续性以及凸凹性。还有在构作函数图像时，实际上是从特殊到一般，由特殊几点到整个函数图像，实际是一种猜测。 俗话说，形缺数时难入微。
二、考点梳理
1、参变分离：顾名思义，就是在不等式中含有两个字母时（一个视为变量，另一个视为参数），可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧，即不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式.然后可利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围
2、如何确定变量与参数：一般情况下，那个字母的范围已知，就将其视为变量，构造关于它的函数，另一个字母（一般为所求）视为参数.
3、参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则：
（1）已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，则参变分离法可行.但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他方法.例如：，等
（2）要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值），若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值），则也无法用参变分离法解决问题.（可参见”恒成立问题——最值分析法“中的相关题目）
4、参变分离后会出现的情况及处理方法：（假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式）
（1）若的值域为
①，则只需要
，则只需要
②，则只需要
，则只需要
③，则只需要
，则只需要
④，则只需要
，则只需要
（2）若的值域为
① ，则只需要
，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）
② ，则只需要
，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）
③ ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）
，则只需要
④ ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）
，则只需要x/k-+w
5、多变量恒成立问题：对于含两个以上字母（通常为3个）的恒成立不等式，先观察好哪些字母的范围已知（作为变量），那个是所求的参数，然后通常有两种方式处理
（1）选择一个已知变量，与所求参数放在一起与另一变量进行分离.则不含参数的一侧可以解出最值（同时消去一元），进而多变量恒成立问题就转化为传统的恒成立问题了.
（2）将参数与变量进行分离，即不等号一侧只含有参数，另一侧是双变量的表达式，然后按所需求得双变量表达式的最值即可.
三、题型突破
例1．（1）、（2021·北京市第十二中学高三月考）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B． C．或 D．
（2）、（2021·全国·高二单元测试）已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-1】、（2020·山东·昌乐二中高二月考）已知函数（为自然对数的底数）有两个极值点，则实数的取值范围是______.
【变式训练1-2】、（2020·江西·南昌县莲塘第一中学高二月考（理））已知函数有两个极值点，则实数m的取值范围为________.
例2．(1)、（2021·江西·高安中学高二期中（文））不等式恰有两个整数解，则实数a的取值范围为______.
（2）、（2019·吉林·吉化第一高级中学校高二期末（文））已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为______.
【变式训练2-1】、（2020·山西·高三月考（理））若在有恒成立，则的取值范围为__________
【变式训练2-2】、（2021·河南·洛阳市第一高级中学高三月考（文））若关于的不等式在区间（为自然对数的底数）上有实数解，则实数的最大值是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-3】、（2021·北京育才学校高三月考）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例3．（2021·河南许昌·高三月考（文））已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若在区间上恒成立，求实数的取值范围.
【变式训练3-1】、（2021·河南商丘·高三月考（文））已知函数.
（1）当时，求函数的图象在处的切线方程；
（2）若时，，求实数的取值范围.
例4．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高二期末（文））已知函数，．
（1）当时，求函数的极值；
（2）若时恒成立，求实数的取值范围．
【变式训练4-1】、（2021·河南南阳·高二期中）已知，是的导数．
（1）求的极值；
（2）令，若的函数图像与轴有三个不同的交点，求实数的取值范围．
四、迁移应用
一、单选题
1．（2021·甘肃·静宁县第一中学二模（文））已知函数．若关于x的方程在上有解，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·天津四十三中高三月考）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·辽宁丹东·高三期中）当时，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·福建上杭·高三月考）若在（﹣2，+∞）上是增函数，则b的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣4] B．（﹣4，+∞） C．[﹣4，+∞） D．（﹣∞，﹣4）
5．（2021·广西·高三月考（文））已知函数，若对任意的，都有，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国·高三专题练习）函数在内存在极值点，则( )
A． B． C．或 D．或
7．（2021·云南师大附中高三月考（理））已知函数有且只有一个零点，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·山东·新泰市第一中学高三月考）若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·河南·高二期末（理））若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·内蒙古赤峰·高二期末）已知函数，若函数有唯一极值点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11．（2021·浙江·模拟预测）已知函数，，若方程有4个不同的实数根，，，（），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．（2020·全国·高三月考（文））函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
13．（2019·山东济宁·高二期末）若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，0] C．（﹣∞，） D．（﹣∞，]
14．（2020·山东·高三专题练习）已知函数（e为自然对数底数），若关于x的不等式有且只有一个正整数解，则实数m的最大值为（ ）
A． B． C． D．
15．（2020·湖南株洲·一模（文））已知对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
16．（2019·河北·三河市第三中学高三月考（理））设函数，有且仅有一个零点，则实数a的值为
A． B． C． D．
二、填空题
17．（2021·天津市天津中学高三月考）若函数在区间有三个不同的零点，则实数m的取值范围是___________.
18．（2021·宁夏·石嘴山市第一中学高二期中（理））若函数存在单调递增区间，则的取值范围是___.
19．（2018·山东·沂水县第一中学一模（文））已知关于的不等式的解集为，则实数的值为__________．
20．（2019·浙江浙江·高三专题练习）当，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．
21．（2011·辽宁·高考真题（文））已知函数f（x）=ex-2x+a有零点，则a的取值范围是___________．
三、解答题
22．（2021·河南平顶山·高二期末（文））已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对任意的不等式恒成立，求实数的取值范围．
23．（2021·辽宁铁岭·二模）设函数.
（1）若，求；
（2）当时，，求的取值范围.
24．（2021·全国·模拟预测（理））已知函数．
（1）若，求函数在处的切线方程；
（2）若恒成立，求的取值范围．
25．（2021·湖北·武汉市新洲区城关高级中学高二开学考试）已知函数，是的导数，记．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若在上恒成立，求整数的最大值．
26．（2021·全国·高二课时练习）已知函数.
（1）当时，求函数的极值；
（2）若在上恒成立，求实数的取值范围.
27．（2021·辽宁朝阳·二模）设函数，其中，曲线在点处的切线经过点.
（1）求的值；
（2）求函数的极值；
（3）证明:.

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