资源简介

专题11 导数之极值点偏移（二）
一、考情分析
函数的极值点偏移问题，是导数应用问题，呈现的形式往往非常简洁，涉及函数的双零点，是一个多元数学问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，解题的策略都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数.
二、考点梳理
1、极值点偏移的判定定理
对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，方程的解分别为，且，
（1）若，则，即函数在区间上极（小）大值点右（左）偏；
（2）若，则，即函数在区间上极（小）大值点右（左）偏.
2、运用判定定理判定极值点偏移的方法
1、极值点偏移处理方法：
（1）求出函数的极值点；
（2）构造一元差函数；
（3）确定函数的单调性；
（4）结合，判断的符号，从而确定、的大小关系.
口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随.
2、答题模板
若已知函数满足，为函数的极值点，求证：.
（1）讨论函数的单调性并求出的极值点；
假设此处在上单调递减，在上单调递增.
（2）构造；
注：此处根据题意需要还可以构造成的形式.
（3）通过求导讨论的单调性，判断出在某段区间上的正负，并得出与的大小关系；
假设此处在上单调递增，那么我们便可得出，从而得到：时，.
（4）不妨设，通过的单调性，，与的大小关系得出结论；
接上述情况，由于时，且，，故，又因为，且在上单调递减，从而得到，从而得证.
（5）若要证明，还需进一步讨论与的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.
此处只需继续证明：因为，故，由于在上单调递减，故.
【说明】
（1）此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；
（2）此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求的单调性、极值点，证明与（或与）的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如或的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题.
三、题型分析
例1、已知函数在其定义域内有两个不同的极值点.
（1）求的取值范围.
（2）设的两个极值点为，证明.
例2、（2021·重庆市开州中学高三月考）设函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，若在定义域内存在两实数，满足且，证明：.
例3、已知，．若有两个极值点，，且，求证：（为自然对数的底数）．
例4、已知函数与的图象在点处有相同的切线．
（Ⅰ）若函数与的图象有两个交点，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若函数有两个极值点，，且，证明：．
例5、（2021·湖北恩施·高三开学考试）已知函数．
（1）判断的单调性；
（2）设方程的两个根为，，求证：．
迁移应用
1、（2021·湖北江岸·高二期末）已知函数，其中为自然对数的底数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，且，证明：.
2、已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)证明:当时，.
3、（2021·江苏·周市高级中学高三开学考试）已知函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）若，且，证明：．
4、（2021·安徽·合肥一中高三月考（理））已知函数．
（1）若恒成立，求实数的取值范围．
（2）若函数的两个零点为，，证明：．
5、（2021·四川·成都外国语学校高三月考（文））已知函数.
（1）证明：曲线在点处的切线恒过定点；
（2）若有两个零点，，且，证明：.
6、（2021·陕西·千阳县中学模拟预测（理））已知．
（1）求的单调区间；
（2）当时，若关于x的方程存在两个正实数根，证明：且．
7、（2021·北京·临川学校高三期末）已知函数．
（1）若函数在定义域内单调递增，求实数的取值范围；
（2）若函数存在两个极值点，求证：．
8、（2021·全国全国·模拟预测）已知函数，其中为自然对数的底数.
（1）求函数的单调区间和极值；
（2）设方程的两个根分别为，，求证：.专题11 导数之极值点偏移（二）
一、考情分析
函数的极值点偏移问题，是导数应用问题，呈现的形式往往非常简洁，涉及函数的双零点，是一个多元数学问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，解题的策略都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数.
二、考点梳理
1、极值点偏移的判定定理
对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，方程的解分别为，且，
（1）若，则，即函数在区间上极（小）大值点右（左）偏；
（2）若，则，即函数在区间上极（小）大值点右（左）偏.
2、运用判定定理判定极值点偏移的方法
1、极值点偏移处理方法：
（1）求出函数的极值点；
（2）构造一元差函数；
（3）确定函数的单调性；
（4）结合，判断的符号，从而确定、的大小关系.
口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随.
2、答题模板
若已知函数满足，为函数的极值点，求证：.
（1）讨论函数的单调性并求出的极值点；
假设此处在上单调递减，在上单调递增.
（2）构造；
注：此处根据题意需要还可以构造成的形式.
（3）通过求导讨论的单调性，判断出在某段区间上的正负，并得出与的大小关系；
假设此处在上单调递增，那么我们便可得出，从而得到：时，.
（4）不妨设，通过的单调性，，与的大小关系得出结论；
接上述情况，由于时，且，，故，又因为，且在上单调递减，从而得到，从而得证.
（5）若要证明，还需进一步讨论与的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.
此处只需继续证明：因为，故，由于在上单调递减，故.
【说明】
（1）此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；
（2）此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求的单调性、极值点，证明与（或与）的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如或的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题.
三、题型分析
例1、已知函数在其定义域内有两个不同的极值点.
（1）求的取值范围.
（2）设的两个极值点为，证明.
【解析】：（1）依题意，函数的定义域为，所以方程在有两个不同根.即方程在有两个不同根.
转化为，函数与函数的图象在上有两个不同交点
又，即时， ， 时，，
所以在上单调增，在上单调减，从而.
又有且只有一个零点是1，且在时，，在时， ，所以由的图象，
要想函数与函数的图象在上有两个不同交点，
只需，即
（2）由（1）可知分别是方程的两个根，即， ，
设，作差得， ，即.
原不等式等价于
令，则，，
设， ，，
∴函数在上单调递增，
∴，
即不等式成立，故所证不等式成立.
【方法总结】：利用导数证明不等式常见类型及解题策略：
构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.
根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.
例2、（2021·重庆市开州中学高三月考）设函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，若在定义域内存在两实数，满足且，证明：.
【答案】(1)函数的单调性见解析；(2)证明见解析.
【分析】
(1)求出函数的定义域及导数，再分类讨论导数值为正、为负的x取值区间即得；
(2)代入m值，构造函数，由此导出并结合函数单调性即可作答.
【详解】
(1)依题意，函数定义域为，，
当时，，在上单调递增，
当时，由得，当时，，当时，，
于是得在上单调递增，在上单调递减，
所以，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减；
(2)当时，，由(1)知在上单调递增，在上单调递减，
因实数，满足且，于是得，
当时，令，
，即在上单调递增，，，即，
而，于是得，显然，又在上单调递减，
因此，，即，
所以.
例3、已知，．若有两个极值点，，且，求证：（为自然对数的底数）．
【解析】（方法一）构造函数现实力
【证明】：由，是方程的两个不同实根得，令，，由于，因此，在，．
设，需证明，只需证明，只需证明，即，即．
即，，故在，故，即．令，则，因为，，在，所以，即．
（方法二）巧引变量
【证明】：设，，则由得，设，则，．欲证，
（方法三）巧引变量
【证明】：设，，则由得，设，则，．
欲证，需证，
即只需证明，
即，
设，，
故在，因此，命题得证．
例4、已知函数与的图象在点处有相同的切线．
（Ⅰ）若函数与的图象有两个交点，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若函数有两个极值点，，且，证明：．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明过程见解析；
（Ⅱ）由题意，函数，其定义域为，
，
令，得，其判别式，
函数有两个极值点， ，等价于方程在内有两不等实根，又，故．
所以，且， ，
，
令， ，
则，
由于，∴，故在上单调递减．
故．
所以，
所以．
【方法总结】：此题主要考查函数导数的几何意义，以及函数单调性、最值在不等式证明中的综合应用能力等有关方面的知识，属于高档题型，也是高频考点.在问题（Ⅰ）中根据导数几何意义建立方程组，求出函数解析式，再由题意构造函数，将问题转化为求函数的零点个数，利用导数求出函数的最值、单调区间，从而求出实数的取值范围；在问题（Ⅱ）中，由（Ⅰ）可求出函数的解析式，依据导数与极值点的关系求出参数的范围，并求出参数与极值点的关系式，根据问题构造新的函数，再用函数的单调性证明不等式成立.
例5、（2021·湖北恩施·高三开学考试）已知函数．
（1）判断的单调性；
（2）设方程的两个根为，，求证：．
【答案】（1）在单调递减，在单调递增；（2）证明见解析．
【分析】
（1）利用求导函数即可判断；
（2）通过构造函数，利用导数判断函数单调性来证明.
【详解】
（1），，那么，，
所以在单调递减，在单调递增．
（2）令，，
则，在单调递减，单调递增，又，不妨设
先证明．只要证明，即只要证明．
因为
令，，则
在单调递减，所以．
从而必有
下面证明．
因为，，所以，
又，所以，
令，，，
令，，在上单调递增，在上单调递减，
故．
综上，．
【点睛】
极值点偏移问题，常用构造对称函数方法如下：①求出函数的极值点；②构造函数；③确定函数的单调性；④结合，判断的符号，从而确定，的大小关系。
迁移应用
1、（2021·湖北江岸·高二期末）已知函数，其中为自然对数的底数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，且，证明：.
【答案】（1）时，递增；时，递减；（2）证明见解析.
【分析】
（1）首先求函数的导数，并判断导数的单调性，结合导函数的零点，判断函数的单调性；（2）首先方程变形为，设，，通过构造函数，，利用导数证明，再分和时，证明.
【详解】
解：（1），是减函数，是增函数，
所以在单调递减，
∵，
∴时，，单调递增；时，，单调递减.
（2）由题意得，，即
，，
设，，则由得，，且.
不妨设，则即证，
由及的单调性知，.
令，，则
，
∵，∴，，
∴，取，则，
又，则，
又，，且在单调递减，∴，.
下证：.
（i）当时，由得，；
（ii）当时，令，，则
，
记，，则，
又在为减函数，∴，
在单调递减，在单调递增，∴单调递减，从而，在单调递增，
又，，
∴，
又，
从而，由零点存在定理得，存在唯一，使得，
当时，单调递减；
当时，单调递增.
所以，，
又，
，
所以，，
显然，，
所以，，即，
取，则，
又，则，
结合，，以及在单调递增，得到，
从而.
【点睛】
关键点点睛：本题第二问要证明不等式成立，换元后转化为，两次构造函数，并转化为极值点偏移问题，证明不等式.
2、已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)证明:当时，.
【解析】 (1) 在上单调递增，在上单调递减；
(2)由(1)知当时，．
不妨设，因为，即，则，
要证明，即，只需证明，即．
而等价于，
令，则，
令，则，
所以单调递减，，即，所以单调递减，
所以，得证．
3.已知函数有两个零点.证明：.
【解析】 参变分离再构造差量函数
由已知得：，不难发现，，
故可整理得：
设，则
那么，当时，，单调递减；当时，，单调递增．
设，构造代数式：
设，
则，故单调递增，有．
因此，对于任意的，．
由可知、不可能在的同一个单调区间上，
不妨设，则必有
令，则有
而，，在上单调递增，因此：
整理得：．
【其他解法】：利用“对数平均”不等式
参变分离得：，由得，，
将上述等式两边取以为底的对数，得，
化简得：，
故
由对数平均不等式得：，
，
从而
等价于：
由，故，证毕.
3、（2021·江苏·周市高级中学高三开学考试）已知函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）若，且，证明：．
【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减；（2）证明见解析．
【分析】
（1）求出，得出当时，；当时即可求解；（2）通过分析法将原问题转化为证明，构造，利用导数研究其单调性即可.
【详解】
（1），，
由得，
当时，；当时，
∴在上单调递增，在上单调递减．
（2）∵，且，
∴由（1）知，不妨设．
要证，只需证明，
而，在上单调递减，
故只需证明．
又，∴只需证明．
令函数，
则.
当时，，，故，
∴在上单调递增，
故在上，
∴成立，故成立．
4、（2021·安徽·合肥一中高三月考（理））已知函数．
（1）若恒成立，求实数的取值范围．
（2）若函数的两个零点为，，证明：．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）分离常数后构造函数，求导后利用函数的单调性求得函数的最小值即可得出结论；（2）要证，即要证，即证．构造函数，求导后利用函数的单调性求解即可.
【详解】
（1）解：因为恒成立，所以，
即恒成立．
令，则，
易知在上单调递增，且．
所以当时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，故．
（2）证明：由题意可知方程的两根为，．
令，则的两个零点为，．
．
当时，，在上单调递增，不存在两个零点；
当时，在上单调递增，在上单调递减，
则，得．
设，则，．
因为，所以，．
要证，即要证，即证．
令
，．
则，所以在上单调递减，所以．
因为，所以．
因为，，且在上单调递减，
所以，即，故成立．
5、（2021·四川·成都外国语学校高三月考（文））已知函数.
（1）证明：曲线在点处的切线恒过定点；
（2）若有两个零点，，且，证明：.
【答案】（1）恒过定点，证明见解析；
（2）证明见解析.
【分析】
（1）利用导数求出曲线在点处的切线方程，进而可证得结论；
（2）令，可得，构造，用导数可证得在上单调递增，则，即，故.
【详解】
（1）函数的定义域为，由，得，则，又，则曲线在点处的切线的方程为，即，显然恒过定点.
（2）若有两个零点，，则，，得.
因为，令，则，
得，则，
所以.
令，则，
令，则，
则在上单调递增，所以.
所以，则在上单调递增，
所以，即，故.
【点睛】
关键点点睛：本题第（2）问的关键点是：构造，用导数证得在上单调递增，进而得到.
6、（2021·陕西·千阳县中学模拟预测（理））已知．
（1）求的单调区间；
（2）当时，若关于x的方程存在两个正实数根，证明：且．
【答案】（1）减区间为：，增区间为：；（2）证明见解析．
【分析】
（1）对函数求导，根据导数与0的关系，判断函数单调区间；
（2）方法一：由条件，分离参数，令，利用导数研究函数单调区间及最值情况，利用数形结合将问题转化为图像交点问题，从而证得参数a的取值范围；令，将证明的结论等价转化为，从而，令，通过导数研究其最大值情况，从而证明结论；
方法二：令，通过导数求得单调区间，若,有两个零点，只需最小值小于0，从而求得参数a取值范围；令，则，变形整理，要证，则只需证，即只要证，结合对数函数的图象可知，只需要证两点连线的斜率要比两点连线的斜率小即可．
【详解】
（1）解：的定义域为，
又由得，
当时，，
当时，，
的减区间为：，增区间为：，
（2）证明：方法一：由存在两个正实数根，
整理得方程存在两个正实数根．
由，知，
令，则，
当时，减函数；当时，增函数．
所以．
因为．所以的值域为，
问题等价于直线和有两个不同的交点．
，且，
所以，从而．
令，则，解得，
，而，
下面证明时，，
令，
则，
令，则，
在为减函数，，
在为减函数，，
在为减函数，，即．
方法二：由存在两个正实数根，
整理得方程存在两个正实数根．
由，知，
令，则，
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减．
所以．
因为有两个零点，即，得．
因为实数是的两个根，
所以，从而．
令，则，变形整理，
要证，则只需证，即只要证，
结合对数函数的图象可知，只需要证两点连线的斜率要比两点连线的斜率小即可．
因为，所以只要证，整理得．
令，则，
所以在上单调递减，即，
所以成立，故成立．
【点睛】
方法点睛：通过导数研究函数的单调区间，最值情况以及交点，零点情况；带参数时，可以分离参数或者带参分类讨论这两种方法来求得参数取值范围；对于双变量问题的证明，一般需要找到两个变量间的关系，利用另一个变量来表示这两个变量，从而转化为函数问题，借助导数证得结论.
7、（2021·北京·临川学校高三期末）已知函数．
（1）若函数在定义域内单调递增，求实数的取值范围；
（2）若函数存在两个极值点，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】
（1）转化条件为在上恒成立，分参后构造新函数，结合导数即可得解；
（2）由极值点的概念结合函数的单调性可得，通过构造新函数，结合导数及函数的单调性可证，即可得证.
【详解】
解：（1）易知的定义域为，
由题意知，即在上恒成立，．
令，则．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，有最小值，
所以；
（2）因为，由知，，
设
则，且在上单调递增，在上单调递减，
所以可令，，．
令，．
则
因为，所以，所以上在单调递减，且，
所以时，．
又，所以
所以．
所以．
因为，，且在上单调递增，
所以，．
【点睛】
关键点点睛：
本题第二问考查极值点偏移问题，构造新函数，通过导数说明单调性，进而可得，再通过的单调性转化的不等关系，即可得证.
8、（2021·全国全国·模拟预测）已知函数，其中为自然对数的底数.
（1）求函数的单调区间和极值；
（2）设方程的两个根分别为，，求证：.
【答案】（1）的单调递增区间为，；单调递减区间为，极大值为，极小值为；（2）证明见解析.
【分析】
（1）求导后，根据的正负可确定的单调区间；由极值的定义可求得极值；
（2）根据的根可确定两根所处的范围；设，利用导数可求得的单调性，从而得到，结合可得到，结合单调性可证得结论.
【详解】
（1）由题意得：，令，解得：，，
当时，；当时，；
的单调递增区间为，；单调递减区间为；
的极大值为；极小值为；
（2）当时，，令，解得：，
当时，方程的两个根在区间内.
设函数，
则
，.
令，，则，
在上为增函数，又，
则当时，；当时，；
当时，，当时，，当时，，
在上单调递减.
不妨设，
在上单调递减，在上单调递增，，
，，又，，
，，由（1）知：在上单调递增，，
.
【点睛】
方法点睛：处理极值点偏移问题中的类似于（为的两根）的问题的基本步骤如下：
①求导确定的单调性，得到的范围；
②构造函数，求导后可得恒正或恒负；
③得到与的大小关系后，将置换为；
④根据与所处的范围，结合的单调性，可得到与的大小关系，由此证得结论.

展开更多......

收起↑