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专题13 最大整数与最小整数问题
一、考情分析
导数是高中数学选修板块中重要的部分，应用广泛，教材中重点介绍了利用导数求切线、判断单调性、求极值、最值等基础知识，但是高考数学是以能力立意，所以往往以数列、方程、不等式为背景，综合考察学生转化和化归、分类讨论、数形结合等数学思想的应用能力，面对这种类型的题目，考生会有茫然，无所适从的感觉，究其原因是没有认真分析总结这种题目的特点和解题思路，本文介绍导数里面涉及最大整数与最小整数问题的解题思路，以飨读者.
二、题型突破
例1．（2021·四川自贡·高二期末（理））函数，其中，若有且只有一个整数，使得，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
依题意有且只有一个整数解，令，，在同一坐标系中分别作出其图象，数形结合可得结果.
【详解】
已知函数， 则有且只有一个整数解.
令，则，
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以当时，取得最小值.
设，则恒过点.
在同一坐标系中分别作出和的简图，
因为，所以，所以，
依题意得即，解得，又，所以.
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是：数形结合得到.
【变式训练1-1】、（2021·全国·）在关于的不等式(其中为自然对数的底数)的解集中，有且仅有一个大于2的整数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
原不等式可化为，令，在坐标平面中画出它们的图象，结合图象可得所求的参数的取值范围.
【详解】
等价于，
令，
故的图象在图象的上方有且只有一个横坐标大于且为整数的点.
又，
当时，，当时，，当时，，
故在为减函数，在为增函数，在为减函数，
而恒成立，的图象为过的动直线，
故、的图象如图所示：
其中，，，
当时，，故，
因为的图象在图象的上方有且只有一个横坐标大于且为整数的点，
故.
当时，的图象在图象的上方有无穷多个横坐标大于且为整数的点，
此时不合题意，舍.
故选：B.
【点睛】
方法点睛：较为复杂的函数不等式的整数解问题，可根据不等式的结构特点转化为转化为两个函数图象的位置关系问题（其中一个函数的图象为动直线），图象刻画时注意利用导数研究其性质.
例2．（2021·陕西·韩城市象山中学（理））已知对任意实数都有，，若不等式（其中）的解集中恰有两个整数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由可得，构造函数，可得，再结合已知可求出，画出图象，设，只需满足，求解即可.
【详解】
设，
所以为常数），得，
，
当时，，当时，，
所以的递增区间是，递减区间是，
，
设，可知该函数恒过点，
画出的图象，如下图所示，
不等式（其中）的解集中恰有两个整数，
则这两个整数解为，所以，
即，解得.
故选：C.
【点睛】
本题考查导数在研究函数中的应用、函数的概念与性质以及解不等式，考查直观想象、逻辑推理能力，属于较难题.
【变式训练2-1】、（2021·全国·）已知不等式的解集中仅有2个整数，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
原不等式等价于，设，利用导数研究函数的图象特征，再利用图象可得，且，解不等式，即可得答案.
【详解】
原不等式等价于，设，
，
令，得.
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
又时，因此与的图像如下，
当时，显然不满足条件，
当时，只需满足，
，.
故选：D.
【点睛】
本题考查根据不等式的整数解个数求参数的取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意借助函数图象的直观性进行分析问题.
例3．（2021·浙江省桐庐中学）已知函数，，若存在，，，（其中为自然对数的底数，），使得成立，已知在单调递减，单调递增.则正整数的最大值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】
由题意可得，构造函数，利用导数求出函数的最大值、最小值，可得，进而求解.
【详解】
由，
则，
即，
设，可得存在，
使，
又，
当时，，为减函数，
当时，，为增函数，
，，
即，
，
的最大值为.
故选：B
【变式训练3-1】、（2021·河北·衡水市冀州区第一中学）已知函数，，若存在，使得成立，则正整数的最大值为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】A
【分析】
利用导数求出函数在区间上的最大值和最小值，由此可得出，由此可得出的最大值.
【详解】
，则，定义域为，
当时，.所以，函数在区间上单调递增，
故函数，.
由于存在、、、，使得成立，
则，得，，则的最大值为7.
故选:A.
【点睛】
本题考查函数最值的应用，同时也考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，解题的关键就是将题意转化为函数的最值来处理，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
例4．（2021·江苏镇江·）已知函数，.
（1）若在处的切线也是的切线，求的值；
（2）若，恒成立，求的最小整数值.
【答案】
（1）
（2）7
【分析】
（1）先用导数法求得在处的切线，再根据在处的切线也是的切线，将切线方程与联立，利用判别式法求解；
（2）令，将，恒成立，转化为，对恒成立，利用导数法求解.
（1）
因为函数，
所以，
则，
所以在处的切线方程为，
由，得，
因为在处的切线也是的切线，
所以，解得；
（2）
令，
因为，恒成立，
所以，对恒成立，
令，
则，
令，
则，
所以在上递减，
又，
所以存在，有，即，
因为在递增，在上递减，
所以，
又，
所以，
令，由，得，
所以，
所以
故的最小整数值是7.
例5．（2021·江苏·扬州中学）已知函数．
（1）若函数的图象在点处的切线在轴上的截距为，求；
（2）当时，关于的不等式恒成立，求满足条件的示数的最大整数值．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）求，利用导数的几何意义求得在点处切线方程，由在轴上的截距为列方程即可得的值；
（2）由所给的不等式分离可得，令，利用导数判断的单调性和最小值，由即可求解.
（1）
函数的定义域为，，
则在点处切线的斜率为，又，
所以函数的图象在点处的切线方程为：，
即，所以，
因为其在轴上的截距为，所以，解得．
（2）
即，
又，所以，可得对于恒成立，
当时，令，则．
再令，则，
所以在上单调递增；
又，，
所以使，即，使，
当时，，；当时，，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，又因为，所以实数的最大整数值是．
【点睛】
方法点睛： 若不等式（是实参数）恒成立，将转化为或恒成立，进而转化为或，求的最值即可.
例6．（2021·宁夏·银川一中（理））已知函数，.
（1）当时，求函数在点处的切线方程；
（2）令，若在恒成立，求整数的最大值.（参考数据：，）.
【答案】（1）； （2）.
【分析】
（1）（1）当时，得到，求得，得出，且，结合直线的点斜式方程，即可求解.
（2）把在转化为在恒成立，令，利用导数求得函数的额单调性，零点的存在定理得到在上递减，在上递增，从而求得，即可求得整数的最大值.
【详解】
（1）（1）当时，可得，则，
可得，且，
即函数在点处的切线的斜率，
所以切线方程为，即，
函数在点处的切线方程.
（2）由，
因为在恒成立，即在恒成立，
即在恒成立，
令，可得，
令，可得在上单调递增，且，
所以存在，使得，
从而在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因为在恒成立，所以，
所以整数的最大值为.
【点睛】
对于利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.
三、迁移应用
一、单选题
1．（广东省2022届高三上学期一轮复习联考（四）数学试题）已知函数有两个零点，则a的最小整数值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】
先将函数化为，令，进而只需说明在R上有两个零点，然后对函数求导，讨论出函数的单调区间和最值，最后通过放缩法解决问题.
【详解】
，
设，，即函数在上单调递增，易得，于是问题等价于函数在R上有两个零点，，
若，则，函数在R上单调递增，至多有1个零点，不合题意，舍去；
若，则时，，单调递减，时，，单调递增.
因为函数在R上有两个零点，所以，
而，
限定 ，记，，即在上单调递增，于是，则时 ，，此时，因为，所以，于是时，.
综上：当时，有两个交点，a的最小整数值为2.
故选：C.
【点睛】
本题有一定难度，首先这一步的变形非常重要，注意此种变形的运用；其次，运用放缩法说明函数时，用到了（需证明），进而得到，这种处理方法非常普遍，注意归纳总结.
2．（2021·四川·东辰国际学校（文））设，若存在正实数，使得不等式成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由题意可得，可令，则成立，由和互为反函数，可得图象关于直线对称，可得有解，通过取对数和构造函数法，求得导数，单调性和最值，即可得到的最大值．
【详解】
不等式，
即为，
即有，
可令，
则成立，
由和互为反函数，可得图象关于直线对称，
可得有解，
则，即，
可得，导数为，
可得时，函数递减，时，函数递增，
则时，取得最大值，
可得即有，
可得，
即的最大值为．
故选：A．
3．（2021·新疆乌鲁木齐·（文））设，其中，若仅存在一个整数，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
令，，利用导数可得单调性，判断出满足条件的整数为1，即可得出求解.
【详解】
令，，
由仅存在一个整数，使得，可得仅存在一个整数，使得，
，
令，可得；令，可得，
在单调递减，在单调递增，
，所以满足条件的整数为1，
由可得为减函数，
所以，即，解得.
故选：B.
【点睛】
关键点睛：解题的关键是构造函数，，利用导数判断单调性，得出.
4．（2021·北京·）函数，，若存在使得成立，则整数的最小值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【分析】
判断为偶函数，运用导数求得当时，的单调性和最值；判断为偶函数，推得当时，的单调性和最值，画出的图象，由题意可得在上有解，由对称性，可考虑时，成立，设，求得导数和单调性，可得的最小值，进而得到的范围，求得最小整数．
【详解】
由函数，可得，即为偶函数，
当时，，导数为，
当时，递增，可得的最小值为，则在上的最小值为0；
由，即为为偶函数，
当时，递增，可得的最小值为，则在上的最小值为，
的图象如图，
存在使得成立，在上有解，
由对称性，可考虑时，成立，
设，可得导数为，
当时，递增；当时，递减，
可得在处取得极小值，且为最小值，
则，而，
可得整数的最小值为0．
故选：B．
【点睛】
本题考查分段函数的图象和性质，考查不等式有解的条件，注意运用导数判断单调性 最值，考查运算能力和数形结合思想，属于中档题．
5．（2020·江西·（理））若对任意的，都存在，使不等式成立，则整数的最小值为（提示：）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设，由题意可知对恒成立，由可得出在上有解，令，可得，利用导数求得函数在区间上的最小值，由此可求得整数的最小值.
【详解】
设，由题意可知对恒成立，
则在上有解，
即在上有解.
设，则，
设，则，则函数在区间上单调递减，
因为，所以，则在上单调递减.
因为，，所以，，
则在上单调递增，在上单调递减.
因为，，
所以，
则，即，故，
因为，所以的最小值是.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用函数不等式恒成立与能成立求参数，考查利用导数求得函数的最值是解答的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.
6．（2021·江苏·苏州市相城区陆慕高级中学）若关于的不等式有正整数解，则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据题意可将转化为，令，利用导数，判断其单调性即可得到实数的最小值．
【详解】
因为不等式有正整数解，所以，于是转化为， 显然不是不等式的解，当时，，所以可变形为．
令，则，
∴函数在上单调递增，在上单调递减，而，所以
当时，，故，解得．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查不等式能成立问题的解法，涉及到对数函数的单调性的应用，构造函数法的应用，导数的应用等，意在考查学生的转化能力，属于中档题．
7．（2021·全国·高三开学考试）若存在，使得，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由已知可得，令，，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得到答案
【详解】
解：由，得，令，，
则，
当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，
所以当时，取得极大值即最大值，
因为当时，，
所以，
所以，所以，
所以实数的最大值为，
故选：B
【点睛】
关键点点睛：此题考查导数的应用，考查函数与方程的应用，考查利用导数求函数的最值，解题的关键是将，化为，令，构造函数，然后利用导数求出函数的值域，从而可得的范围，进而可求出实数的范围，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题
8．（2021·海南·海港学校）密位制是度量角与弧的常用制度之一，周角的称为密位.用密位作为角的度量单位来度量角与弧的制度称为密位制.在密位制中，采用四个数字来记角的密位，且在百位数字与十位数字之间加一条短线，单位名称可以省去.如密位记为“”，个平角，个周角.已知函数，，则函数的最小值用密位制表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用导数求出的最小值，再根据密位制的定义即可得出答案.
【详解】
由题知，，
令得
在上单调递增，在上单调递递减
又，，即
的最小值为
设的密位为
由密位制的定义可得：
解得：
的最小值用密位制表示为.
故选：A.
9．（2021·全国·）设函数，.若对任意的，，不等式恒成立，则正数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
当时，，利用基本不等式可求的最小值，对函数求导，利用导数研究函数的单调性，进而可求的最大值，由恒成立且，则，可求
【详解】
解：当时，，
时，函数有最小值，
，
，
当时，，则函数在上单调递增，
当时，，则函数在上单调递减，
时，函数有最大值（1），
则有，
恒成立且，
.
故选：B.
10．（2022·全国·高三专题练习（理））若不等式恰好有两个整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设，，研究函数的单调性，利用数形结合及分类讨论进行转化求解即可．
【详解】
由题意知：，所以，
当时，不等式的解集为，不合题意；
令，，则，
所以在单调递减，在单调递增.
当时，，的大致图像如图：
由图可得满足的整数解只有一个，即，所以不合题意；
当时，，的大致图像如图：
由图可得若满足的整数解恰好有两个，则应该为和，
所以，代入得，解得，
，
故选：．
【点睛】
方法点睛：利用转化思想将问题转化为研究两个函数与的图像问题，利用导函数研究函数的单调性，数形结合进行分析求解．
11．（2021·全国·高三专题练习）设，若存在正实数x，使得不等式成立，则的最大值为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由题意可得，可令，则成立，由和互为反函数，可得图象关于直线对称，可得有解，通过取对数和构造函数法，求得导数，单调性和最值，即可得到的最大值．
【详解】
不等式，
所以，
即为，
即有，
可令，
则成立，
由和互为反函数，可得图象关于直线对称，
可得有解，
则，即，
可得，导数为，
可得时，函数递减，时，函数递增，
则时，取得最大值，
可得即有，所以，
可得，
即的最大值为．
故选：A
【点睛】
关键点睛：解答本题有两个关键，其一，是得到有，想到令换元，则成立，；其二，通过转化得到有解，再利用导数解答.
12．（2021·四川攀枝花·一模（文））在关于x的不等式(其中为自然对数的底数)的解集中，有且仅有两个大于2的整数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
对不等式进行变形，构造两个函数，利用导数，结合数形结合思想、导数进行求解即可.
【详解】
，
设，原问题转化为：不等式的解集中，有且仅有两个大于2的整数，函数恒过点，，
，当时，单调递减，当时，单调递增，故，两个函数的图象在同一直角坐标系内如下图所示：
要想不等式的解集中，有且仅有两个大于2的整数，只需满足：
，
故选：D
【点睛】
方法点睛：对于不等式有整数解问题，往往构造函数，利用数形结合思想、导数的性质进行求解.
13．（2021·江西·模拟预测（理））已知关于x的不等式对任意的都成立，则实数k的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
将给定不等式等价转化，再利用导数中常用不等式结论即可作答.
【详解】
令，则，于是有时时，则在上递减，在上递增，
，即(当且仅当x=0时取“=”)，
因，当且仅当，即时取“=”，
而，，于是有，
从而得，又时，，解得，
所以实数k的最大值为.
故选：C
14．（2021·全国·高二期末）已知函数，若存在唯一的正整数，使得，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
将存在唯一的正整数，使得转化为存在唯一的正整数，使得，然后构造函数，然后利用导数研究函数的性质，进而数形结合即可得出结果.
【详解】
因为存在唯一的正整数，使得，则因为存在唯一的正整数，使得，令，所以存在唯一的正整数，使得，，所以，，所以单调递减；，，所以单调递增，所以，恒过定点，所以当时，有无穷多个整数，使得，当时，函数单调递增，作出函数图象：
记上，所以，所以
实数a的取值范围是，
故选：C.
【点睛】
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
二、填空题
15．（2021·江苏常州·高三期中）已知函数，对于任意，恒成立，则整数a的最大值为___________.
【答案】0
【分析】
根据题意，知，令，则原问题转化为，恒成立，结合导数，判断单调性求出最值，即可求解.
【详解】
由题意得，，
令，易知，则，恒成立.
令，由，得，
因此在上单调递减，在上单调递增，
故，因此，
因为且，故，
因为，所以.
下证：.
即证，易证：，
所以，
由，
得在上递减，在上递增，因此，故，
故.
故答案为：0
【点睛】
导数求参数常用的两种转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
16．（2021·辽宁·大连市第一中学高三期中）关于不等式恰有一个整数解，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【分析】
根据题意，构造函数，通过讨论的范围可得函数的单调性，再结合图像与已知条件即可求解.
【详解】
①当时，原不等式不成立；
②当时，由恰有一个整数解，得恰有一个整数解.
令，则，因此函数在区间上单调递减，易得不可能只有一个整数解，故不满足；
③当时，由恰有一个整数解，得恰有一个整数解.
由②可知，易得函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故.
又因，且恰有一个整数解，所以，即.
综上，.
故答案为：.
【点睛】
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
17．（2021·辽宁·东北育才学校高二期末）设函数，若存在唯一的整数．使得，则实数的取值范围______．
【答案】．
【分析】
由题意可得，设，讨论，，判断函数的单调性，以及函数的图象和直线的斜率的变化，可得所求范围．
【详解】
由，可得，即为，
设，
当时，，单调递增，存在无数个整数，使得，不符合题意；
当时，由于，所以，
，，当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值也是最大值为，且时，，时，，
所以作出函数和的大致图象，如图，
过点的直线介于，之间时满足条件，
直线过点时，的值为2，直线过点时，的值为，
由图可知，的取值范围是．故答案为：．
【点睛】
本题的解题的关键是利用函数和的大致图象，数形结合处理函数不等式问题.
18．（2021·四川眉山·高二期末（理））若为整数，且对，不等式恒成立，则整数的最大值为________．
【答案】
【分析】
利用参变量分离法可知，不等式在时恒成立，利用导数求出函数在上的最小值，即可得出整数的最大值.
【详解】
对，，不等式，
可得在时恒成立，
令，其中，则，
令，其中，则对恒成立，
所以，函数在上单调递增，
因为，，
由零点存在定理可知，存在，使得，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，，
则，，因此，整数的最大值为.
故答案为：.
【点睛】
结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
19．（2021·重庆八中高三阶段练习）设函数，若在上有且只有一个正整数，使得，则a的取值范围是_______________.
【答案】
【分析】
由题设可得，令、，则在上有且只有一个正整数使，即、的交点横坐标之间只有一个正整数(除交点)即可，利用导数研究的单调性，由解析式判断的定点，应用数形结合的思想确定参数a的范围.
【详解】
由，，得，
令，.
由，在上，单调递减；在上，单调递增，
由经过定点，斜率为.
∴在上有且只有一个正整数使，即、的交点横坐标之间只有一个正整数(除交点)，
如下图，、，的斜率，的斜率，
∴时，符合题意，即.
故答案为：.
20．（2021·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末（理））设函数，若不等式，恰有两个整数解，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【分析】
求出函数的定义域，化简不等式，构造新函数，结函数的图像求解即可
【详解】
解：函数的定义域为，
由，得，
两边同除以，得，
令，直线恒过点，
由，得，当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，，
所以函数图像如图所示，
将不等式，恰有两个整数解，转化为函数图像上恰有2个横坐标为整数的点落在直线的上方，
由图可知，这两个点为，可得，
即，解得，
故答案为：，
【点睛】
关键点点睛：此题考查函数与方程的应用，考查不等式能成立问题，考查导数的应用，解题的关键是将不等式，恰有两个整数解，转化为函数图像上恰有2个横坐标为整数的点落在直线的上方，然后画出函数图像，根据图像求解即可，属于中档题
21．（2021·全国·高二课时练习）已知对任意，都有，则实数的取值范围为_________．
【答案】
【分析】
首先将不等式转化为，再利用对数的运算法则转化为，构造函数，应用导数研究函数的单调性得到其在单调递增，不等式可以转化为，所以，所以，根据在单调递增，在单调递减，得到，从而求得的取值范围.
【详解】
因为，
所以①，
令，则，
所以，
当时，，当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
所以，
所以在单调递增，
因为①式可化为，
所以，所以，
令，
所以可求得在单调递增，在单调递减，
所以，所以，
故答案为：.
【点睛】
该题考查的是有关应用导数解决不等式成立时参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有构造新函数，利用导数研究函数的单调性和求函数的最值，恒成立问题向最值靠拢，属于较难题目.
22．（2021·全国·高三专题练习（理））若对，不等式恒成立，则实数的最大值为______.
【答案】
【分析】
令，即，利用导数研究函数的性质，由递增，由零点存在性定理可知存在使，可得，，代入，得关于的不等式，再通过构造函数，利用函数的单调性求得的取值范围，再由，求的最大值.
【详解】
令，所有，
有意义，所以，所以在单调递增，
因为当时，，且，
所以使得，
并且当时，，当时，，
所以函数在单调递减，在单调递增，
所以，且
所以，，
所以，
，
所以，
考虑函数，
其中，
根据复合函数单调性可知在上单调递减，
因为，所以解，得到，所以，
因为在上单调递增，所以的最大值为.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查导数的计算，和导数在研究函数中的应用，重点考查逻辑分析问题的能力，推理能力，运算能力，属于难题.
23．（2020·陕西·西安中学高二期末（理））已知函数在上的图象是连续不断的一条曲线，并且关于原点对称，其导函数为，当时，有不等式成立，若对，不等式恒成立，则正整数的最大值为_______.
【答案】
【分析】
令先判断函数g(x)的奇偶性和单调性，得到在R上恒成立，再利用导数分析解答即得解.
【详解】
因为当时，有不等式成立，
所以，
令所以函数g(x)在（0，+∞）上单调递增，
由题得
所以函数g(x)是奇函数，所以函数在R上单调递增.
因为对，不等式恒成立，
所以，
因为a>0,所以当x≤0时，显然成立.
当x＞0时，，
所以，所以函数h(x)在（0,1）单调递减，在（1，+∞）单调递增.
所以，
所以a＜e,
所以正整数的最大值为2.
故答案为2
【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性及其应用，考查函数单调性的判断及其应用，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.属于中档题.
24．（2020·江苏姜堰·模拟预测）已知函数，若不等式有解，则整数的最小值为________.
【答案】
【分析】
由函数解析式及不等式，分离参数并构造函数，经过两次求导，可判断的单调性，结合零点存在定理可知存在使得，再求出的范围，进而由不等式有解，即可求得整数的最小值.
【详解】
函数，，
且不等式有解，
所以，即有解，
只需，
令，，
则，设
则，
即在内单调递增，
而，
，
所以存在使得，
而当时单调递减，当时单调递增，
所以在处取得极小值，即为最小值.
此时，
，
设，
恒成立，
单调递增，
，即，
又因为，即
而，所以整数的最小值为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了导数与函数单调性、极值与最值的综合应用，零点存在定理的应用，由不等式有解求参数的值，属于中档题.
三、解答题
25．（2021·黑龙江·大庆中学高三期中（理））已知，.
（1）求在处的切线方程；
（2）若不等式对任意成立，求的最大整数解.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）对函数求导，求与，再代入点斜式求解切线方程；（2）利用参变分离法，将不等式变形，令新函数，求导得，再令新函数，判断单调性与零点所在区间，求解的最小值并化简得到所在区间，从而求解出的最大整数解.
（1）
，所以定义域为，
，，，所以切线方程为；
（2）
时，等价于，
令，则，记，时，，
所以为上的递增函数，且，，
所以，使得，即，
所以在上递减，在上递增，
且，
，所以的最大整数解为；
【点睛】
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理．
26．（2021·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（文））已知函数.
（1）判断函数的单调性；
（2）若有且仅有两个整数解，求实数的取值范围.
【答案】
（1）在上单调递减，在上单调递增
（2）
【分析】
（1）通过对函数求导，再对函数的导函数进行二次求导，进而讨论函数的单调性；
（2）分离参数，讨论的单调性，根据不等式有且仅有两个整数解，求解实数的取值范围.
（1）
的定义域为，，令，则，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，
当时，，，所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增.
（2）
由（1）知，，若，则，令，
则，令，则在上单调递减.又，，
所以存在唯一一个，使得，
所以当时，，时，，
即时，，时，，
所以在上单调递增，在上单调递减.
又，，，，且，
所以若有且仅有两个整数解，即有且仅有两个整数解，所以，
所以满足条件的实数的取值范围为.
【点睛】
本题考查用导数确定函数的单调性，根据不等式的解确定参数范围，确定参数的核心思想：
根据函数零点个数确定参数取值范围的核心思想是“数形结合”，即通过函数图象与轴的交点个数，或者两个相关函数图象的交点个数确定参数满足的条件，进而求得参数的取值范围，解决问题的步骤是“先形后数”.
27．（2021·四川·双流中学（理））已知函数．
（1）求函数在处的切线方程
（2）证明：在区间内存在唯一的零点；
（3）若对于任意的，都有，求整数的最大值．
【答案】
（1）y＝－1；
（2）见解析；
（3）3﹒
【分析】
(1)根据导数的几何意义即可切线；
(2)先利用导数证明在上单调递增，再结合零点存在定理，得证；
(3)参变分离得，令，原问题转化为求在上的最小值，结合(2)中结论和隐零点的思维，即可得解．
（1）
，
，，
，
在处的切线为；
（2）
证明：，
，
当时，，
在上单调递增，
（3），（4），
在区间内存在唯一的零点．
（3）
，且，
，
令，则，，
由（2）知，在上单调递增，且在区间内存在唯一的零点，
设该零点为，则，
故当时，，即，在上单调递减，
当，时，，即，在，上单调递增，
，
，
故整数的最大值为3．
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的零点，以及不等式问题，考查转化与划归思想，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．专题13 最大整数与最小整数问题
一、考情分析
导数是高中数学选修板块中重要的部分，应用广泛，教材中重点介绍了利用导数求切线、判断单调性、求极值、最值等基础知识，但是高考数学是以能力立意，所以往往以数列、方程、不等式为背景，综合考察学生转化和化归、分类讨论、数形结合等数学思想的应用能力，面对这种类型的题目，考生会有茫然，无所适从的感觉，究其原因是没有认真分析总结这种题目的特点和解题思路，本文介绍导数里面涉及最大整数与最小整数问题的解题思路，以飨读者.
二、题型突破
例1．（2021·四川自贡·高二期末（理））函数，其中，若有且只有一个整数，使得，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-1】、（2021·全国·）在关于的不等式(其中为自然对数的底数)的解集中，有且仅有一个大于2的整数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例2．（2021·陕西·韩城市象山中学（理））已知对任意实数都有，，若不等式（其中）的解集中恰有两个整数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-1】、（2021·全国·）已知不等式的解集中仅有2个整数，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例3．（2021·浙江省桐庐中学）已知函数，，若存在，，，（其中为自然对数的底数，），使得成立，已知在单调递减，单调递增.则正整数的最大值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式训练3-1】、（2021·河北·衡水市冀州区第一中学）已知函数，，若存在，使得成立，则正整数的最大值为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
例4．（2021·江苏镇江·）已知函数，.
（1）若在处的切线也是的切线，求的值；
（2）若，恒成立，求的最小整数值.
例5．（2021·江苏·扬州中学）已知函数．
（1）若函数的图象在点处的切线在轴上的截距为，求；
（2）当时，关于的不等式恒成立，求满足条件的示数的最大整数值．
例6．（2021·宁夏·银川一中（理））已知函数，.
（1）当时，求函数在点处的切线方程；
（2）令，若在恒成立，求整数的最大值.（参考数据：，）.
三、迁移应用
一、单选题
1．（广东省2022届高三上学期一轮复习联考（四）数学试题）已知函数有两个零点，则a的最小整数值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2021·四川·东辰国际学校（文））设，若存在正实数，使得不等式成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·新疆乌鲁木齐·（文））设，其中，若仅存在一个整数，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021·北京·）函数，，若存在使得成立，则整数的最小值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
5．（2020·江西·（理））若对任意的，都存在，使不等式成立，则整数的最小值为（提示：）
A． B． C． D．
6．（2021·江苏·苏州市相城区陆慕高级中学）若关于的不等式有正整数解，则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·全国·高三开学考试）若存在，使得，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·海南·海港学校）密位制是度量角与弧的常用制度之一，周角的称为密位.用密位作为角的度量单位来度量角与弧的制度称为密位制.在密位制中，采用四个数字来记角的密位，且在百位数字与十位数字之间加一条短线，单位名称可以省去.如密位记为“”，个平角，个周角.已知函数，，则函数的最小值用密位制表示为（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·全国·）设函数，.若对任意的，，不等式恒成立，则正数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·全国·高三专题练习（理））若不等式恰好有两个整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．（2021·全国·高三专题练习）设，若存在正实数x，使得不等式成立，则的最大值为 （ ）
A． B． C． D．
12．（2021·四川攀枝花·一模（文））在关于x的不等式(其中为自然对数的底数)的解集中，有且仅有两个大于2的整数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
13．（2021·江西·模拟预测（理））已知关于x的不等式对任意的都成立，则实数k的最大值为（ ）
A． B． C． D．
14．（2021·全国·高二期末）已知函数，若存在唯一的正整数，使得，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
15．（2021·江苏常州·高三期中）已知函数，对于任意，恒成立，则整数a的最大值为___________.
16．（2021·辽宁·大连市第一中学高三期中）关于不等式恰有一个整数解，则实数的取值范围是__________．
17．（2021·辽宁·东北育才学校高二期末）设函数，若存在唯一的整数．使得，则实数的取值范围______．
18．（2021·四川眉山·高二期末（理））若为整数，且对，不等式恒成立，则整数的最大值为________．
19．（2021·重庆八中高三阶段练习）设函数，若在上有且只有一个正整数，使得，则a的取值范围是_______________.
20．（2021·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末（理））设函数，若不等式，恰有两个整数解，则实数的取值范围是__________.
21．（2021·全国·高二课时练习）已知对任意，都有，则实数的取值范围为_________．
22．（2021·全国·高三专题练习（理））若对，不等式恒成立，则实数的最大值为______.
23．（2020·陕西·西安中学高二期末（理））已知函数在上的图象是连续不断的一条曲线，并且关于原点对称，其导函数为，当时，有不等式成立，若对，不等式恒成立，则正整数的最大值为_______.
24．（2020·江苏姜堰·模拟预测）已知函数，若不等式有解，则整数的最小值为________.
三、解答题
25．（2021·黑龙江·大庆中学高三期中（理））已知，.
（1）求在处的切线方程；
（2）若不等式对任意成立，求的最大整数解.
26．（2021·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（文））已知函数.
（1）判断函数的单调性；
（2）若有且仅有两个整数解，求实数的取值范围.
27．（2021·四川·双流中学（理））已知函数．
（1）求函数在处的切线方程
（2）证明：在区间内存在唯一的零点；
（3）若对于任意的，都有，求整数的最大值．

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