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函数与导数 专题测试卷（A卷 基础巩固）
数学
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共12小题，每个小题5分，共60分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知函数则的值为（ ）
A．24 B．16
C．12 D．8
【来源】第四章 指数与对数（选拔卷）-【单元测试】2021-2022学年高一数学尖子生选拔卷（苏教版2019必修第一册）
【答案】A
【分析】
由题知，进而，再结合已知求解即可.
【详解】
解：因为，
所以.
故选：A
2．若函数在上为单调增函数，则m的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【来源】专题02 《导数及其应用》中的易错题-2021-2022学年高二数学同步培优训练系列（苏教版2019选择性必修第一册）
【答案】C
【分析】
求出函数的导函数，进而在上恒成立，然后求出m的范围.
【详解】
由函数在上为单调增函数，可得在上恒成立，即在上恒成立，即，令，．所以当时，，所以．
故选：C．
3．如下图，一个“心形”由两个函数的图象构成，则“心形”上部分的函数解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
【来源】山东2021-2022学年高三上学期12月名校大联考数学试题
【答案】C
【分析】
根据心形”上部分的函数图象关于y轴对称，排除部分选项，再根据函数的最大值判断.
【详解】
由函数图象知：“心形”上部分的函数图象关于y轴对称，而，，不满足；
的图象过（0，0），（-2，0），（2，0），当时，，当且仅当，即时，等号成立，不符合要求；
的图象过（0，0），（-2，0），（2，0），当时，，当时，函数取得最大值1，符合要求；
故选：C
4．已知定义在R上的函数满足，且有，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【来源】河南省2021-2022学年高三上学期第五次联考文科数学试题
【答案】A
【分析】
构造，应用导数及已知条件判断的单调性，而题设不等式等价于即可得解.
【详解】
设，则，
∴在R上单调递增.
又，则.
∵等价于，即，
∴，即所求不等式的解集为.
故选：A.
5．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）．
A． B． C． D．
【来源】云南省几市2022届高三上学期“3 3 3”高考备考诊断性联考数学（理）试题（一）
【答案】D
【分析】
根据题中a，b，c的形式构造函数，利用二次求导的方法判断函数的单调性，根据单调性即可比较大小.
【详解】
因为，，，
所以令，则，
令，则，
∴在上单调递减，，
∴恒成立，∴在上单调递减．
∵，∴，
即，所以，
所以，即，
故选：D．
6．若对任意，不等式恒成立，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【来源】贵州省名校联盟2022届高三12月联考数学（理）试题
【答案】B
【分析】
令，，首先利用导数说明的单调性，即可得到，再对分类讨论，当时显然成立，当时，利用导数说明函数的单调性，即可判断；
【详解】
解：令，，则对任意的恒成立，所以在上单调递增，从而.
①若，则当时，恒成立，符合题意.
②若，，易知在上单调递增，
因为，所以，所以，即，
所以.
因为，，所以，，所以.
因为在上单调递增，其图象是一条连续的曲线，
且，所以存在唯一的，使得，
当时，，所以函数在上单调递减，，不符合题意，舍去.
综上，实数a的取值范围为.
故选：B
7．若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【来源】江西省景德镇大联考市2021-2022学年高一12月月考数学试题
【答案】B
【分析】
根据求出的范围，然后根据充分条件与必要条件的定义判断即可.
【详解】
，在上单调递减.
，，
，，
故“”是“”的必要不充分条件．
故选：B
8．已知定义在上的函数，满足，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【来源】百校联盟2022届高三上学期12月联考数学（理科）试题
【答案】C
【分析】
根据题意可知函数是奇函数，进而推导的周期，然后求出函数值即可.
【详解】
,,是奇函数，,.
,,
由,，的周期为.
..
故选：C
9．已知关于x的不等式有解，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【来源】2022年全国高中名校名师原创预测卷（二）
【答案】D
【分析】
由题可知有解，利用导数求出的最大值即得解.
【详解】
解：由题可知有解，
设，则，
当时，，当时，，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴,
∴，
故选：D.
10．设函数，，b均为正整数，若的极小值点为2，则的极大值点为（ ）
A．1 B．3 C．1或3 D．不确定
【来源】2022届高三普通高等学校招生全国统一考试数学信息卷（四）
【答案】B
【分析】
求导函数，令，由极值点的定义得，方程必有一根为2，且2是的极小值点， 由二次函数的性质建立不等式可得答案.
【详解】
解：求导得，令，得，则方程必有一根为2．
代入，有，解得，则．
因为2是的极小值点，又，所以为方程的较小根，从而，故．
又a为正整数，故a＝1．所以的极大值点为，
故选：B．
11．设函数在区间上存在零点，则的最小值为（ ）
A． B． C．7 D．
【来源】第5章《导数及其应用》 培优测试卷（一）-2021-2022学年高二数学同步培优训练系列（苏教版2019选择性必修第一册）
【答案】B
【分析】
设t为在上的零点，可得，转化为点在直线上，根据的几何意义，可得，令，利用导数求得函数的单调性和最值，即可得答案.
【详解】
设t为在上的零点，则，所以，即点在直线，
又表示点到原点距离的平方，则，即，
令，可得，
因为，所以，得在上为单调递增函数，
所以当t=1是，，
所以，即的最小值为.
故选：B.
【点睛】
解题的关键是根据的几何意义，将方程问题转化为求距离问题，再构造新函数，利用导数求解，分析、计算难度大，属难题.
12．已知是定义在上的奇函数，当时，，若关于的方程恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为（ ）
A． B．4 C．8 D．或8
【来源】山东省学情2021-2022学年高三上学期12月质量检测（联考）数学试题
【答案】D
【分析】
根据函数的解析式作出函数在时图象，换元解方程可得或，利用图象求出交点对应横坐标，注意利用函数为奇函数图象关于原点对称，分与两种情况讨论，数形结合即可求解.
【详解】
作出函数在时的图象，如图所示，
设，
则关于的方程的方程等价于
解得：或，
如图，
当t=1时，即对应一个交点为，方程恰有4个不同的根，可分为两种情况:
（1），即对应3个交点，且 ，
此时4个实数根之和为8；
（2），即对应3个交点，且 ，
此时4个实数根之和为.
故选：D
【点睛】
解决此类问题的关键有两点，第一换元后对方程等价转化求解或，
第二结合函数图象处理方程有四个根，即要转化为数形结合，看图象交点的个数及横坐标即可求解.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知函数是定义在R上的偶函数，且在上是减函数，，则不等式的解集为______________.
【来源】山东省济南市章丘区章丘区第四中学2021-2022学年高三上学期期中数学试题
【答案】
【分析】
结合函数的奇偶性和单调性的关系，将不等式进行等价转化，进行求解即可．
【详解】
是定义在上的偶函数，且在上是减函数，，
，则不等式等价为不等式，
∴，即，可得，即不等式的解集为.
故答案为：.
14．函数的单调递减区间为_____．
【来源】江苏省镇江市扬中高级中学2021-2022学年高一上学期12月月考数学试题
【答案】
【分析】
令，则.根据复合函数单调性的判断方法即可得出答案.
【详解】
令，则，
由，得或，故函数的定义域为.
因为在单调递增，在单调递减，
所以函数的单调递减区间为.
故答案为：．
15．设函数．若恰有2个零点，则实数a的取值范围是______．
【来源】沪教版（2020） 必修第一册 领航者 一课一练 第5章 单元测试
【答案】
【分析】
根据解析式分析的性质，讨论、、，结合指数函数和二次函数的性质判断恰有2个零点情况下a的取值范围.
【详解】
由解析式知：在上且单调递增；在上，的对称轴为且开口向上，
∴1、当，即时，则在上递增，，此时无零点；
2、当时，上存在一个零点，要使恰有2个零点，则在上也只有一个零点，而且，
∴当，即，只需，可得；
当，即，只需，可得；
∴此时，时恰有2个零点；
3、当时，上无零点，要使恰有2个零点，则在上有两个零点即可，而且，，
∴在上恒有两个零点.
综上，a的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：根据在的零点情况讨论a的范围，并确定上零点个数，结合二次函数性质求参数范围.
16．已知函数，则以下结论正确的是___________（填正确结论的序号）.
①在上为增函数；
②当时，方程有且只有3个不同实根；
③的值域为；
④若，则.
【来源】云南省昭通市第一中学2022届高三上学期开学考试数学（理）试题
【答案】②③④
【分析】
根据的解析式，数形结合处理①②③；对④分类讨论，利用导数研究函数单调性和最值，从而求得参数的取值范围.
【详解】
根据题意，画出的图象如下所示：
数形结合可知：在上没有单调性，的值域为，
故①错误，③正确.
对②：当时，，
若时，，
令，则，
故在单调递增，在单调递减.
又，则，故在无零点；
又，故在存在一个零点.
也即在有一个交点；
若，此时，
故的交点是；
若，，
解得，
故的交点是.
综上所述，当时，有三个交点，故②正确；
对④：，
则当时，；当时，，
当时，，即，恒过点，
设过与相切的切线的切点为，
故切线的斜率，解得，
故当时，的的取值范围为；
当时，，即，
设过点与相切的切线的切点为，
，
故切线的斜率，解得，
故当时，的的取值范围为，
综上所述，的取值范围是.故④正确.
故选：②③④.
【点睛】
本题考察函数性质以及利用导数研究不等式恒成立求参数范围的问题，本题④，事实上，是采用了半分离参数，利用导数的几何意义，处理了恒成立问题，属综合困难题.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知二次函数，且，．
（1）求函数的解析式；
（2）若函数，，求函数的最小值．
【来源】江西省赣州市兴国县将军中学2021-2022学年高一上学期期中数学试题
【答案】
（1）；
（2）.
【分析】
(1)由给定条件列式求出b，c即可得解；
(2)求出二次函数，再分类讨论求出在上的最小值即可.
（1）
由，则，又，解得，
∴函数的解析式为.
（2）
由(1)知，， 其对称轴，而，
当，即时，在上单调递增，，
当，即时，在上单调递减，，
当时，，
∴.
18．已知函数．
（1）若有两个极值点，求实数a的取值范围；
（2）当时，证明：．
【来源】云南省几市2022届高三上学期“3 3 3”高考备考诊断性联考数学（理）试题（一）
【答案】
（1）
（2）证明见解析
【分析】
（1）由题意在上有两解，构造函数，利用导数得出其单调性，由的图象与直线有两个交点得出实数a的取值范围；
（2）令，利用导数得出其单调性进而证明不等式.
（1）
解：的定义域为，，
由题意在上有两解，
即，即有两解．
令，即的图象与直线有两个交点．
，得，
当时，，递增；
当时，，递减，
∴，．
时，；时，，
∴，∴，∴a的取值范围是．
（2）
证明：当时，，
即证，即证，
令，，
令，则，
当时，，∴在递增．
，，
∴存在唯一的，使得，
当时，，递减；
当时，，递增，
∴．
又∵，，∴，
∴，
∴，∴．
19．已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）是否存在负实数k，使得函数的极大值等于？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由，
【来源】北京龙门育才学校2022届高三12月月考数学试题
【答案】
（1）答案见解析
（2）
【分析】
（1）求出函数的导函数，再对分类讨论，分别求出函数的单调区间；
（2）由（1）分情况求出函数的极大值，令其为，然后解即可，注意的取值范围；
（1）
解：因为，所以的定义域为，
，即．
显然，令，解得：或．
当时，令，解得，令，解得或，所以在上单调递增，在和上单调递减，
当时，
①当时，，故的单调递增区间是；
②当时，，随的变化情况如下：
0 0
极大值 极小值
所以，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是．
③当时，，随的变化情况如下：
0 0
极大值 极小值
所以，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是．
综上，当时，在上单调递增，在和上单调递减；当时，的单调递增区间是；当时，的单调递增区间是和，单调递减区间是；当时，的单调递增区间是和，单调递减区间是．
（2）
解：①当时，无极大值．
②当时，的极大值为，
令，即，解得或（舍．
③当时，的极大值为．
因为，，所以．
因为，所以的极大值不可能等于，
综上所述，当时，的极大值等于．
20．已知函数．
（1）若，求曲线的斜率为0的切线方程．
（2）若，函数有最大值．
①求实数t的取值范围；
②设的最大值为，证明：．
【来源】河南省名校联盟2021-2022学年高三上学期12月考文科数学试题
【答案】
（1）；
（2）① ；②证明见解析.
【分析】
（1）利用导数求出切点的横坐标，即得解；
（2）①先求出，再对分和两种情况结合导数讨论得解；②等价于证明，设，证明即得证.
（1）
解：若，则，，
令，得，
又，所以所求的切线方程为．
（2）
解：①若，则，．
若，则，在R上单调递减，不符合条件；
若，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故有最大值，为
故的取值范围是．
②由①可知，
所以，，
待证命题即为．
设，即，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以．
故原命题得证．
21．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若函数与的图像有两个不同的公共点，求的取值范围.
【来源】河南省名校联盟2021-2022学年高三上学期12月考理科数学试题
【答案】
（1）答案见解析
（2）
【分析】
（1）、先求出，对分类讨论判断导函数的正负即可得到单调区间;
（2）、由题意将问题转化为有两个不同的实根，构造，判断的单调性；要使有两个不同的实根，则需有两个不同的实根；构造，对分类讨论判断的单调性，判断的零点，得出的取值范围.
（1）
，，.
①、当，，函数在上单调递增；
②、当，令，得，
时，；时，，
在上单调递减，在上单调递增.
综上所述：当，的单调递增为，无单调递减区间；
当，的单调递增为，的单调递减为.
（2）
根据题意可知：方程，即有两个不同的实根.
由可得：.
令，时，，所以在上单调递增，
要使有两个不同的实根，则需有两个不同的实根.
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
.
①、若，则，没有零点；
②、若，则，当且仅当时取等号，只有一个零点；
③、若，则，，.
令，则当时，，即在上单调递增，
所以，即.
故此时在上有一个零点，在上有一个零点，符合条件.
综上可知，实数的取值范围是.
22．已知函数.
（1）求函数在处的切线方程；
（2）求函数的单调区间；
（3）若对任意都有，求实数的取值范围.
【来源】新疆克拉玛依克拉玛依市独山子第二中学2022届高三12月数学试题
【答案】
（1）
（2）单调递增区间为，单调递减区间为
（3）
【分析】
（1）求可得在处的切线斜率，由得出切点坐标，代入点斜式方程可得答案；
（2）由、可得函数的单调区间；
（3）转化为对任意都有成立，令，利用导数可得的最大值.
（1）
（1）函数，
切线斜率，
，
所以函数在处的切线方程为，
即.
（2）
，
令得，单调递增，
令得，单调递减，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（3）
若对任意都有，
即任意都有成立，令，
，
因为，都有，令，
，所以在上是单调递增函数，
因为，所以存在使得，
即在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
由，得，
所以，
所以实数.函数与导数 专题测试卷（A卷 基础巩固）
数学
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共12小题，每个小题5分，共60分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知函数则的值为（ ）
A．24 B．16
C．12 D．8
2．若函数在上为单调增函数，则m的取值范围（ ）
A． B． C． D．
3．如下图，一个“心形”由两个函数的图象构成，则“心形”上部分的函数解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
4．已知定义在R上的函数满足，且有，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）．
A． B． C． D．
6．若对任意，不等式恒成立，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知定义在上的函数，满足，，且，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知关于x的不等式有解，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．设函数，，b均为正整数，若的极小值点为2，则的极大值点为（ ）
A．1 B．3 C．1或3 D．不确定
11．设函数在区间上存在零点，则的最小值为（ ）
A． B． C．7 D．
12．已知是定义在上的奇函数，当时，，若关于的方程恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为（ ）
A． B．4 C．8 D．或8
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知函数是定义在R上的偶函数，且在上是减函数，，则不等式的解集为______________.
14．函数的单调递减区间为_____．
15．设函数．若恰有2个零点，则实数a的取值范围是______．
16．已知函数，则以下结论正确的是___________（填正确结论的序号）.
①在上为增函数；
②当时，方程有且只有3个不同实根；
③的值域为；
④若，则.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知二次函数，且，．
（1）求函数的解析式；
（2）若函数，，求函数的最小值．
18．已知函数．
（1）若有两个极值点，求实数a的取值范围；
（2）当时，证明：．
19．已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）是否存在负实数k，使得函数的极大值等于？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由，
20．已知函数．
（1）若，求曲线的斜率为0的切线方程．
（2）若，函数有最大值．
①求实数t的取值范围；
②设的最大值为，证明：．
21．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若函数与的图像有两个不同的公共点，求的取值范围.
22．已知函数.
（1）求函数在处的切线方程；
（2）求函数的单调区间；
（3）若对任意都有，求实数的取值范围.

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