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第六讲 指数与指数函数
【考纲解读】
理解分数指数，无理数指数和实数指数的定义；
了解n次根式的定义，n次根式与分数指数之间的关系，n次根式与分数指数互化的基
本方法；
掌握实数指数的运用性质和基本方法，能够熟练地进行实数指数的运算；
理解指数函数的定义；
掌握指数函数的图像和性质，能够运用指数函数的图像和性质解答相关的数学问题
【知识精讲】
一、指数的概念：
1、n次根式的定义：
（1）n次方根的定义：如果=a(n＞1,且n∈)，那么称x是数a的n次方根；
（2）n次方根的分类：按n的奇偶性不同n次方根分成：①奇次方根；②偶次方根；
（3）奇次方根：奇次方根的典型代表是立方根，奇次方根可表示为，奇次方根被开方数的取值范围是R，奇次方根具有如下性质：①一个正数的奇次方根是一个正数；②零的奇次方根是零；③一个负数的奇次方根是一个负数；④=a；⑤=a；
（4）偶次方根：偶次方根的典型代表是平方根，偶次方根可表示为（a≥0）,偶次方根的被开方数的取值范围是［0，+∞)，偶次方根具有如下性质：①一个正数的偶次方根有两个，它们互为相反数；②零的偶次方根是零；③负数没有偶次方根；④=a(a≥0)；⑤=|a|；⑥正数正的偶次方根称为偶次算术根，表示为（a≥0），0的偶次算术根为零。
(5)n次根式的定义：式子(n＞1,且n∈)，叫做n次根式，这里n是根指数，a是被开方数。
2、分数指数幂的概念：
（1）分数指数幂的定义：①正分数指数幂=（a＞0,n，m，且n＞1），②负分数指数幂=（a＞0,n，m，且n＞1），③0的正分数指数幂=0，0的负分数指数幂没有意义；
（2）指数概念的扩充：有了分数指数幂的定义，指数从整数指数幂 扩充到了有理数指数幂；
（3）有理数指数的运算性质：①=（a＞0,s、rQ），②=（a＞0,s、rQ），③=.（a＞0,b＞0,rQ）。
3、实数指数幂的概念：
（1）无理数指数幂的定义：（a＞0，p是无理数）表示一个确定的实数，则称是数a的无理数指数幂，并且有理数指数的运算性质对无理数指数也成立；
（2）指数概念的扩充：有了无理数指数，指数又从有理数指数幂扩充到了实数指数幂；
（3）实数指数的运算性质：①=（a＞0,s，rR），②=（a＞0,s，rR），③=.（a＞0,b＞0,rR）。
二、指数函数：
1、指数函数的概念：
（1）指数函数的定义：形如y=(a＞0,且a≠1)的函数，叫做指数函数；
（2）理解指数函数定义时应该注意的问题：①指数函数的结构特征；②底数a的限制条件。
『思考问题』
函数y=2.，y=，y=，y=-1都不是指数函数。
2、指数函数的图像：
【问题】解答下列问题：
作出函数y=的图像； （2）函数y=的图像。
y y
0 x 0 x
『思考问题』
（1）指数函数y=(a＞0,且a≠1)图像注意三个关键点：①(1,a),②(0，1)，③（-1，）；
（2）函数y=(a＞1)的图像与【问题】中函数y=的图像类似，这是因为2>1；
（3）函数y=(0＜a＜1)的图像与【问题】中函数y=的图像类似，这是因为0<<1。
3、指数函数的性质：
结合【问题】中的图像把下表的空白处填上适当的内容：
函 数 y=（a＞1） y=（0＜a＜1）
定义域 R R
值 域 (0，+） (0，+）
图像必过点 （0，1） （0，1）
函数的单调性 在R上单调递增 在R上单调递减
x(-∞,0) 值域为（0，1） 值域为(1，+）
x〔0,+∞) 值域为[1，+） 值域为（0，1]
【探导考点】
考点1实数指数的定义及运算：热点①分数指数的定义及运用；热点②实数指数运算性质及运用。
考点2指数函数及运用：热点①指数函数的定义及表示；热点②指数函数的图像及运用；热点③指数函数的性质及运用。
考点3指数方程与不等式：热点①求解指数方程的基本方法；热点②求解指数不等式的基本方法。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、化简的结果为（ ）
A 5 B C - D -5
2、若有意义，则x的取值范围是（ ）
A x R B x 0.5 C x＞0.5 D x＜0.5
3、下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A -= B = - C = D =（x＜0）
4、已知a＞0,且a≠1，对于0 r 8，r∈，式子.能化成关于a的整数指数幂的情形有（ ）种
A 1 B 2 C 3 D 4
5、计算（2）（-3b）（4）得（ ）
A - B C - D
6、下列等式中，错误的是（ ）
A 0.3=10 B （-）（+）=-
C =-1 D =
7、计算2= ；
8、已知=3，则a+= ，= ；
9、计算下列各式（式中的字母都是正数）
（1）； （2）；
（3）.； （4）；
（5）； （6）。
10、化简下列各式：
（1）； （2）
（3）。
『思考问题1』
（1）【典例1】是n次根式，分数指数互化和实数指数幂运算的问题，解答这类问题需要理解n次根式，分数指数，无理数指数和实数指数幂的定义，掌握实数指数幂运算法则和基本方法，分数指数与n次根式之间的互化是解答问题的关键；
（2）在根式和分数指数的运算（或化简）问题中，解答的基本方法是：①把根式化为分数指数；②运用实数指数运算法则和基本方法进行运算；③将运算结果进行化简。
〔练习1〕解答下列各题：
若=2，=3，则= 。
2、若a＞1，b＜0，且+ =2，则- 的值等于 。
3、已知函数f(x)= +（a＞0,且a≠1），f(1)=3，则f(0)+f(1)+f(2)的值为 。
4、若x＞0，则（2+）（2-）-4（x-）= 。
5、计算下列各式：
（1）； （2）； （3）； （4）； （5）（a＞0,b＞0）；
（6）.； （7）++-。
6、化简下列各式：
（1）-+-2+；（2）。
7、若=3，求的值。
8、已知-=，求下列各式的值：
（1）a+； （2）； （3）-。
【典例2】解答下列问题：
1、下列函数：①y=2；②y=；③y=；④y=；⑤y=。其中指数函数的个数是（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
2、若指数函数f(x)的图像经过点（2，4），则f(3)= ；
3、若函数y= 是指数函数，则实数a的取值范围为 ；
4、求下列函数的定义域与值域：
（1）f(x)= ； （2）f(x)= ；
（3）f(x)= + +1； （4）f(x)= (a＞0,且a≠1)。
『思考问题2』
（1）【典例2】是与指数函数定义及运用的问题，解答这类问题需要理解指数函数的定义，注意指数函数的结构特征；
（2）指数函数的结构特征是：①解析式是y=；②底数a是常数，满足a＞0,且a≠1；③指数是自变量x。
〔练习2〕解答下列各题：
若函数f(x)= (a＞0,且a≠1)的图像经过点P（2，），则f(-1)等于（）
A B C D 4
2、已知指数函数f(x)= (a＞0,且a≠1)的图像经过点（3，），求f(0)，f(1)，f(-3)的值；3、若函数y= 是指数函数，则实数a的取值范围为 ；
4、求下列函数的定义域与值域：
（1）f(x)= ； （2）f(x)= ；
（3）f(x)= -+1； （4）f(x)= (a＞0,且a≠1)。
【典例3】解答下列问题： B
1、如右图是指数函数①y=，②y=，③y=， (1) A (2) y (3) C(4)
④y=的图像，则a、b、c、d的大小关系是（ ） D
A a＜b＜1＜c＜d B b＜a＜1＜d＜c 0 x
C 1＜a＜b＜c＜d D a＜b＜1＜d＜c
2、函数y=-a (a＞0,且a≠1)的图像可能是（ ）
y y y y
1 1 1 1
0 1 x 0 1 x 0 1 x 0 1 x
A B C D
3、若函数y=+（b-1）(a＞0,且a≠1)的图像不经过第二象限，则有（ ）
A a＞1且b＜1 B 0＜a＜1且b1 C 0＜a＜1且b＞0 D a＞1且b0
4、函数f(x)= 的图像如图所示，其中a，b为 y
常数，则下列结论正确的是（ ） 1
A a＞1，b＜0 B a＞1，b＞0
C 0＜a＜1，b＞0 D 0＜a＜1， b＜0 0 x
5、设f(x)=|-1|，c＜b＜a,且f(c)＞f(a)＞f(b),则下列关系中一定成立的是（ ）
A ＞ B ＞ C + ＞2 D + ＜2
『思考问题3』
（1）【典例3】是指数函数图像及运用的问题，解答这类问题需要掌握指数函数图像的作法，注意指数函数底数的不同取值对图像的影响；
（2）比较两个指数幂大小时，应尽量化为同底数（或同指数），①底数相同，可运用指数函数的单调性解答问题；②指数相同，可转化为底数相同（或借助函数图像）解答问题；③底数不同，指数也不同，解答问题时需要借助一个中间量；
（3）指数函数的底数a＞0,且a≠1是一个隐含条件，指数函数的单调性与底数的取值相关，实际解答问题时，应该根据问题的条件确定底数的取值范围（不能确定时，应分两种不同情况分别考虑），然后依据指数函数的图像和性质解答问题；
（4）已知函数解析式判断其图像的基本方法是：①取函数的特殊点（一般是三个关键点中的某一点）；②看函数的图像是否经过所取的点；③得出指数函数的图像。
〔练习4〕解答下列问题：
已知实数a，b满足等式=，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a=b。其中不可能成立的关系式有（ ）
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
2、已知函数f(x)= | -1|，a＜b＜c且f(a) ＞f(c) ＞f(b)，则下列结论中一定成立的是（ ）
A a＜0，b＜0，c＜0 B a＜0，b 0，c＞0 C ＜ D +＜2
已知函数f(x)= +2的图像恒过定点A，则A的坐标为（ ）
A （0，1） B （2，3） C （3，2） D （2，2）
4、当x＞0时，函数f(x)= 的值总大于1，则实数a的取值范围是（ ）
A 1＜|a|＜2 B |a|＜1 C |a|＞ D |a|＜
若曲线|y|=+1与直线y=b没有公共点，则b的取值范围是 。
【典例4】解答下列问题：
1、函数y=在［0，1］上的最大值与最小值的和为3，则函数y=2ax-1在［0，1］上的最大值是（ ）
A 6 B 1 C 3 D
2、若0＜x＜1，则，，之间的大小关系是（ ）
A＜＜ B＜＜ C＜＜ D＜＜
3、函数f(x)= -bx+c满足f(1+x)=f(1-x)，且f(0)=3，则f()与f()的大小关系是（ ）
A f()≤f() B f()≥f() C f()＞f() D大小关系随x的不同而不同
4、设a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系是（ ）
A a＜b＜c B b＜a＜c C c＜b＜a D b＜c＜a
5、如果＞(a＞0,且a≠1)，则x的取值范围是 ；
6、比较下列各题中两个值的大小：
（1）； （2）； （3）； （4），。
7、函数y=-+1在区间［-3，2］上的值域是 ；
8、求函数f(x)= 的定义域，单调区间及值域。
9、已知≤，求函数y=的值域；
10、判断函数f(x)= + 的奇偶性；
11、已知函数f(x)=b+ （a，b是常数且a＞0,a≠1）在区间［-，0］上有=3，=，试求a，b的值。
12、已知定义域为R的函数f(x)= 是奇函数。
（1）求a，b的值；
（2）若对任意t R，不等式f(-2t)+f(2-k)＜0恒成立，求k的取值范围。
『思考问题4』
（1）【典例4】是指数函数性质及运用的问题，解答这类问题需要理解并掌握指数函数的性质，注意指数函数底数的不同取值对指数函数性质的影响；
（2）指数函数性质的运用问题主要包括：①指数函数单调性的运用；②判断复合函数的单调性问题；③求函数的值域或最值；
（3）运用指数函数的性质解答问题的基本方法是：①根据问题条件确定底数的取值范围（如果条件不明确，则应该分两种情况分别考虑）；②作出指数函数的大致图像；③分辨问题与指数函数的哪些性质相关；④借助函数的图像，结合指数函数的相关性质解答问题；
（4）判断复合函数单调性问题时，对函数y=的单调性，单调区间都与底数的取值相关，解答问题的基本方法是：①根据问题条件确定底数的取值范围（如果条件不明确，则应该分两种情况分别考虑）；②判断内层函数和外层函数的单调性；③运用复合函数单调性的判断法则得出结果。
〔练习4〕解答下列各题：
1、若不等式- -a 0在［1，2］恒成立，则a的取值范围是（ ）
A ［1，8） B （-，1］ C （-，0］ D ［8，+）
下列各式比较大小正确的是（ ）
A ＞ B ＞ C ＞ D ＜
3、已知函数f(x)= -，ax＜0，的值域是［-8，1］，则实数a的取值范围是（ ）
A （-，-3］ -+2x，0x4，B ［-3，0） C［-3，-1］ D {-3}
4、已知函数f(x)= （m为常数），若f(x)在区间［2，+）是增函数，则m的取值范围是 ；
，x0，
5、设函数f(x)= -7，x＜0，若f(a) ＜1，则实数a的取值范围是 ；
6、函数f(x)= 的单调递减区间为 ；
7、如果函数y=+2-1（a＞0,且a≠1），在〔-1,1〕上的最大值为14，则a的值为 ；8、若函数f(x)= （a R），满足f(1+x)=f(1-x)，且f(x)在［m，+）上单调递增，则实数m的最小值等于 ；
9、若直线y=2a与函数f(x)=| -1|（a＞0且a≠1）的图像有两个公共点，则a的取值范围是 。
10、比较下列各题中两个值的大小：
（1），； （2），； （3），； （4），
已知a＞0,且a≠1，讨论f(x)= 的单调性。
【典例5】解答下列问题：
1、若函数f(x)= 的定义域为R，则a的取值范围为 ；
2、要使函数y=1++a在x∈(-∞,1〕上，y＞0恒成立，求实数a的取值范围；
3、设函数f(x)=a- (a∈R)
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）是否存在实数a使函数f(x)为奇函数？
4、已知函数f(x)=| -1|。
（1）求函数f(x)的单调区间； （2）比较f(x+1)与f(x)的大小；
（3）试确定函数g(x)=f(x)- 零点的个数。
『思考问题5』
（1）【典例5】是指数函数图像与性质的综合应用问题，解答这类问题需要熟悉指数函数的图像，性质，注意指数函数底数对图像，性质的影响；
（2）求解与指数函数相关的指数型函数的定义域，值域（或最值），单调性，奇偶性问题的基本方法是：①把问题化归于指数函数；②运用指数函数的性质并借助于指数函数的图像来解答问题。
〔练习5〕解答下列各题：
若曲线|y|=+1与直线y=b没有公共点，则b的取值范围是 。
2、已知函数f(x)=b+ (a，b 为常数，且a＞0,a≠1)在区间［-,0］上有最大值3，最小值，则a，b的值分别为 。
【典例6】解答下列问题：
1、已知函数f(x)= ，求解方程f(x)=4；
2、解方程+ -2=0；
3、若0＜a＜1，解关于x的不等式＜；
4、设函数f(x)= ，求不等式f(x) ≥2的解集。
『思考问题6』
（1）【典例6】中的1，2题是有关指数函数的方程问题，解答这类问题的基本方法是：①将某一指数幂视为整体未知数通过解方程求出该指数幂的值；②根据指数函数的性质求出自变量x的值；③得出结果；
（2）【典例6】中的3，4题是有关指数函数的不等式问题，解答这类问题的基本方法是：①将不等式中的指数幂化成相同的底数幂；②运用指数函数的性质得到关于自变量x的不等式；③求解不等式并得出结果。
〔练习6〕解答下列各题：
1、不等式 的解集为 ；
2、解方程--12=0；
3、关于x的方程有负根，求实数a的取值范围；
4、若a＞1，解关于x的不等式＜；
5、设函数f(x)= ，求不等式f(x) ≥2的解集。
【追踪考试】
【典例7】解答下列问题：
1、若曲线y=(x+a) 有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 （2022全国高考新高考I卷）
2、已知函数f(x)= 在[1，2]上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）（成都市高2021级2020—2021学年度上期期末调研考试）
A [2，4] B [-2，+） C [-4，-2] D （-，-4]
3、已知函数y=+1(a>0且a1)的图像恒过定点P（，），则的值为 （成
都市高2021级2020—2021学年度上期期末调研考试）
4、+ + ；（成都市高2021级2020—2021学年度上期
期末调研考试）
5、已知函数f(x)=| -1|，<0，>0，函数f(x)在点A（，f()）和B（，f()）的两条切线互相垂直，且分别交Y轴于M，N两点，则取值范围是 （2021全国高考新高考II）
6、已知函数y=- （a>0，且a1）的图像恒过定点P，若点P在幂函数f(x)的图像上，则幂函数f(x)的图像大致是（）（成都市高2020级2019—2020学年度上期期末调研考试）
7、已知关于x的方程-a. +4=0有一个大于22的实数根，则实数a的取值范围为（ ）（成都市高2020级2019—2020学年度上期期末调研考试）
A （0，5） B （4，5） C （4，+ ） D （5，+ ）
8、已知A，B是函数f(x)=| -1|图像上纵坐标相等的两点，线段AB的中点C在函数g(x)= 的图像上，则点C的横坐标的值为 （成都市高2020级2019—2020学年度上期期末调研考试）
9、已知函数f(x)= -1(a>0，且a1)，满足f(1)- f(2)= 。
（1）求a的值；
（2）解不等式f(x)>0（成都市高2020级2019—2020学年度上期期末调研考试）
『思考问题7』
【典例7】是近几年高一上期期末调研考试中与指数和指数函数相关的问题，纵观近几年的考试试卷，归结起来指数和指数函数问题主要包括：①指数的运算；②指数函数概念及运用；③指数函数图像及运用；④指数函数性质及运用；⑤指数函数的综合问题；⑥指数方程（或不等式）的解法等几种类型；
解答这类问题的基本方法是：①根据问题的结构特征分辨清楚问题的类型；②运用解答该类型问题的基本思路和方法解答问题；③得出问题的答案。
〔练习7〕解答下列各题：
计算：+ + （成都市高2019级2018—2019学年度上期期末调研考试）
2、已知定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)，且f(x)+g(x)= 。
（1）求函数f(x)，g(x)的解析式；
（2）设函数F（x）= +1，记H（n）=F（）+ F（）+ F（）+------+ F（）
（n，n2），探究是否存在正整数n(n2)，使得对任意的x[0,1],不等式g(2x)>H
（n）. g(x)恒成立？若存在，求出所有满足条件的正整数n的值；若不存在，请说明理由（成都市高2019级2018—2019学年度上期期末调研考试）
第六讲 指数与指数函数
【考纲解读】
理解分数指数，无理数指数和实数指数的定义；
了解n次根式的定义，n次根式与分数指数之间的关系，n次根式与分数指数互化的基
本方法；
掌握实数指数的运用性质和基本方法，能够熟练地进行实数指数的运算；
理解指数函数的定义；
掌握指数函数的图像和性质，能够运用指数函数的图像和性质解答相关的数学问题
【知识精讲】
一、指数的概念：
1、n次根式的定义：
（1）n次方根的定义：如果=a(n＞1,且n∈)，那么称x是数a的n次方根；
（2）n次方根的分类：按n的奇偶性不同n次方根分成：①奇次方根；②偶次方根；
（3）奇次方根：奇次方根的典型代表是立方根，奇次方根可表示为，奇次方根被开方数的取值范围是R，奇次方根具有如下性质：①一个正数的奇次方根是一个正数；②零的奇次方根是零；③一个负数的奇次方根是一个负数；④=a；⑤=a；
（4）偶次方根：偶次方根的典型代表是平方根，偶次方根可表示为（a≥0）,偶次方根的被开方数的取值范围是［0，+∞)，偶次方根具有如下性质：①一个正数的偶次方根有两个，它们互为相反数；②零的偶次方根是零；③负数没有偶次方根；④=a(a≥0)；⑤=|a|；⑥正数正的偶次方根称为偶次算术根，表示为（a≥0），0的偶次算术根为零。
(5)n次根式的定义：式子(n＞1,且n∈)，叫做n次根式，这里n是根指数，a是被开方数。
2、分数指数幂的概念：
（1）分数指数幂的定义：①正分数指数幂=（a＞0,n，m，且n＞1），②负分数指数幂=（a＞0,n，m，且n＞1），③0的正分数指数幂=0，0的负分数指数幂没有意义；
（2）指数概念的扩充：有了分数指数幂的定义，指数从整数指数幂 扩充到了有理数指数幂；
（3）有理数指数的运算性质：①=（a＞0,s、rQ），②=（a＞0,s、rQ），③=.（a＞0,b＞0,rQ）。
3、实数指数幂的概念：
（1）无理数指数幂的定义：（a＞0，p是无理数）表示一个确定的实数，则称是数a的无理数指数幂，并且有理数指数的运算性质对无理数指数也成立；
（2）指数概念的扩充：有了无理数指数，指数又从有理数指数幂扩充到了实数指数幂；
（3）实数指数的运算性质：①=（a＞0,s，rR），②=（a＞0,s，rR），③=.（a＞0,b＞0,rR）。
二、指数函数：
1、指数函数的概念：
（1）指数函数的定义：形如y=(a＞0,且a≠1)的函数，叫做指数函数；
（2）理解指数函数定义时应该注意的问题：①指数函数的结构特征；②底数a的限制条件。
『思考问题』
函数y=2.，y=，y=，y=-1都不是指数函数。
2、指数函数的图像：
【问题】解答下列问题：
作出函数y=的图像； （2）函数y=的图像。
y y
0 x 0 x
『思考问题』
（1）指数函数y=(a＞0,且a≠1)图像注意三个关键点：①(1,a),②(0，1)，③（-1，）；
（2）函数y=(a＞1)的图像与【问题】中函数y=的图像类似，这是因为2>1；
（3）函数y=(0＜a＜1)的图像与【问题】中函数y=的图像类似，这是因为0<<1。
3、指数函数的性质：
结合【问题】中的图像把下表的空白处填上适当的内容：
函 数 y=（a＞1） y=（0＜a＜1）
定义域 R R
值 域 (0，+） (0，+）
图像必过点 （0，1） （0，1）
函数的单调性 在R上单调递增 在R上单调递减
x(-∞,0) 值域为（0，1） 值域为(1，+）
x〔0,+∞) 值域为[1，+） 值域为（0，1]
【探导考点】
考点1实数指数的定义及运算：热点①分数指数的定义及运用；热点②实数指数运算性质及运用。
考点2指数函数及运用：热点①指数函数的定义及表示；热点②指数函数的图像及运用；热点③指数函数的性质及运用。
考点3指数方程与不等式：热点①求解指数方程的基本方法；热点②求解指数不等式的基本方法。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、化简的结果为（ ）
A 5 B C - D -5
【解析】
【知识点】①n次根式定义与性质；②分数指数定义与性质；③指数运算法则和基本方法。
【解题思路】根据n次根式和分数指数的性质，把n次根式化为分数指数，运用分数指数运算法则和基本方法通过运算化简原式就可得出选项。
【详细解答】=25=，====， B正确， 选B。
2、若有意义，则x的取值范围是（ ）
A x R B x 0.5 C x＞0.5 D x＜0.5
【解析】
【知识点】①n次根式定义与性质；②分数指数定义与性质；③求解不等式的基本方法。
【解题思路】根据n次根式和分数指数的性质把分数指数化为n次根式，运用n次根式的性质得到关于x的不等式，求解不等式求出x的取值范围就可得出选项。
【详细解答】=，有意义，必有>0，1-2x>0，
x<0.5， D正确， 选D。
3、下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A -= B = - C = D =（x＜0）
【解析】
【知识点】①n次根式定义与性质；②分数指数定义与性质；③n次根式与分数指数互化的基本方法。
【解题思路】根据分数指数和n次根式的性质，运用分数指数与n次根式互化的基本方法，对各选项的n次根式（或分数指数）化为分数指数（或n次根式），通过判断就可得出选项。
【详细解答】对A， -=-，A错误；对B， =- -，B错误；对C， ==，C正确；选C。
4、已知a＞0,且a≠1，对于0 r 8，r∈，式子.能化成关于a的整数指数幂的情形有（ ）种
A 1 B 2 C 3 D 4
【解析】
【知识点】①n次根式定义与性质；②分数指数定义与性质；③整数指数定义与性质；④n次根式与分数指数互化的基本方法；⑤指数运算法则和基本方法。
【解题思路】根据分数指数和n次根式的性质，运用n次根式化为分数指数的基本方法，把式子中的根式化为分数指数，利用指数运法则和基本方法通过运算得到分数指数幂，结合问题条件确定指数幂为整数指数幂时r的取值，从而得到整数幂的个数就可得出选项。
【详细解答】=，==，.=.=
=，0 r 8，r∈，当且仅当r=0或r=4或r=8，=4或=1或=-2时，是关于a的整数幂，C正确；选C。
5、计算（2）（-3b）（4）得（ ）
A - B C - D
【解析】
【知识点】①分数指数定义与性质；②指数运算法则和基本方法。
【解题思路】根据分数指数的性质，运用指数运算法则和基本方法通过运算就可得出选项。
【详细解答】（2）（-3b）（4）=2（-3）
=-，A正确；选A。
6、下列等式中，错误的是（ ）
A 0.3=10 B （-）（+）=-
C =-1 D =
【解析】
【知识点】①分数指数定义与性质；②根式定义与性质；③根式与分数指数互化的基本方法；④指数运算法则和基本方法。
【解题思路】根据根式和分数指数的性质，运用根式与分数指数互化的基本方法把式子中的根式化为分数指数，利用指数运算法则和基本方法通过运算对各选项的正确与错误进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A， 0.3=a=3=10，A正确；对B， （-）（+）=（+）（-）=-，B正确；对C，==
=||=|-|=1-1，C错误，选C。
7、计算2= ；
【解析】
【知识点】①n次根式定义与性质；②分数指数定义与性质；③n次根式与分数指数互化的基本方法；④指数运算法则和基本方法。
【解题思路】根据n次根式和分数指数的性质，运用n次根式与分数指数互化的基本方法把n次根式化为分数指数，利用指数运算的法则和基本方法通过运算就可求出结果。
【详细解答】2=2，=，=，2
=2==23=6。
8、已知=3，则a+= ，= ；
【解析】
【知识点】①分数指数定义与性质；②指数运算法则和基本方法。
【解题思路】根据分数指数的性质，运用指数运算法则和基本方法，通过运算就可求出a+，的值。
【详细解答】=3， a+2+=9， a+=9-2=7，+2-2=
-2=49-2=47，=47。
9、计算下列各式（式中的字母都是正数）
（1）； （2）；
（3）.； （4）；
（5）； （6）。
【解析】
【知识点】①分数指数定义与性质；②n次根式定义与性质；③n次根式与分数指数互化的基本方法；④指数运算法则和基本方法。
【解题思路】根据n次根式和分数指数的性质，运用n次根式与分数指数互化的基本方法把n次根式化为分数指数，利用指数运算法则和基本方法通过运算就可求出各式的结果。
【详细解答】（1） = ，=，=，=（-）=-=-5；（2）=，=，==
=；（3）===，===，.=
.=.==；（4）=4（-）=-6a；
（5）=-23（-4）=24y；（6）=-=-=4x-9。
10、化简下列各式：
（1）； （2）
（3）。
【解析】
【知识点】①分数指数定义与性质；②n次根式定义与性质；③n次根式与分数指数互化的基本方法；④指数运算法则和基本方法。
【解题思路】根据n次根式和分数指数的性质，运用n次根式与分数指数互化的基本方法把n次根式化为分数指数，利用指数运算法则和基本方法通过运算就可化简各式。
【详细解答】（1）===
，===，
=+=；（2）
=，=，=
=；（3）==，
==，=，=，
-=-=-=-=
=。
『思考问题1』
（1）【典例1】是n次根式，分数指数互化和实数指数幂运算的问题，解答这类问题需要理解n次根式，分数指数，无理数指数和实数指数幂的定义，掌握实数指数幂运算法则和基本方法，分数指数与n次根式之间的互化是解答问题的关键；
（2）在根式和分数指数的运算（或化简）问题中，解答的基本方法是：①把根式化为分数指数；②运用实数指数运算法则和基本方法进行运算；③将运算结果进行化简。
〔练习1〕解答下列各题：
1、若=2，=3，则= 。（答案：=6。）
2、若a＞1，b＜0，且+ =2，则- 的值等于 。（答案：- 的值等于-2。）
3、已知函数f(x)= +（a＞0,且a≠1），f(1)=3，则f(0)+f(1)+f(2)的值为 。（答案：f(0)+f(1)+f(2)的值为12。）
4、若x＞0，则（2+）（2-）-4（x-）= 。（答案：（2+）（2-）-4（x-）= 1。）
5、计算下列各式：
（1）； （2）； （3）； （4）； （5）（a＞0,b＞0）；
（6）.； （7）++-。
（答案：（1）6；（2）；（3）1-4；（4）2x；（5）；（6）；（7）110+-。）
6、化简下列各式：
（1）-+-2+；（答案：11+）
（2）。（答案：）
7、若=3，求的值。（答案：的值为。）
8、已知-=，求下列各式的值：
（1）a+； （2）； （3）-。（答案：（1）7；（2）47；（3）21；）
【典例2】解答下列问题：
1、下列函数：①y=2；②y=；③y=；④y=；⑤y=。其中指数函数的个数是（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
【解析】
【知识点】①指数函数定义与性质；②判断一个函数是否是指数函数的基本方法。
【解题思路】根据指数函数的性质，运用判断一个是否是指数函数的基本方法对各函数进行判断就可得出选项。
【详细解答】对①， y=2与指数函数的定义不符，①不是指数函数；对②， y==3与指数函数的定义不符，②不是指数函数；对③， y=符合指数函数的定义，③是指数函数；对④，函数y=中，底数x是自变量，指数3是常数，不符合指数函数的定义，④不是指数函数；对⑤，函数y=中，底数-4<0，不符合指数函数的定义，⑤不是指数函数，在已知的5个函数，只有一个函数是指数函数， A正确， 选A。
2、若指数函数f(x)的图像经过点（2，4），则f(3)= ；
【解析】
【知识点】①指数函数定义与性质；②求函数解析式的基本方法；③求函数值的基本方法。
【解题思路】根据指数函数的性质，运用求函数解析式的基本方法，结合问题条件求出函数f(x)的解析式，利用求函数值的基本方法通过运算就可求出f(3)的值。
【详细解答】对①，设指数函数f(x)= (a＞0,且a≠1)，函数f(x)的图像经过点（2，4），
4=，a=2，函数f(x)= ， f(3)= =8。
3、若函数y= 是指数函数，则实数a的取值范围为 ；
【解析】
【知识点】①指数函数定义与性质；②判断一个函数是否是指数函数的基本方法。
【解题思路】根据指数函数的性质，运用判断一个是否是指数函数的基本方法得到关于a的不等式组，求解不等式组就可求出实数a的取值范围。
【详细解答】函数y= 是指数函数，4-3a>0①，且4-3a≠1②，联立①②解得：
04、求下列函数的定义域与值域：
（1）f(x)= ； （2）f(x)= ；
（3）f(x)= + +1； （4）f(x)= (a＞0,且a≠1)。
【解析】
【知识点】①指数函数定义与性质；②求函数定义域的基本方法；③求函数值的基本方法。
【解题思路】根据指数函数的性质，运用求函数定义域和值域的基本方法，结合问题条件就可求出各函数的定义域与值域。
【详细解答】（1） 函数f(x)= 有意义，必有x-4≠0，x≠4，即函数f(x)= 的定义域为（-，4）（4，+）；当x（-，4）（4，+）时，（-，0）（0，+），函数f(x)= 的值域为（0，1）（1，+）；（2）对任意的xR，函数f(x)= 都有意义，函数f(x)= 的定义域为R；对任意的xR，-|x|（-，0]，函数f(x)= 的值域为[1，+）；（3）对任意的xR，函数f(x)= + +1都有意义，函数f(x)= + +1的定义域为R， f(x)= + +1=
，对任意的xR，>1，函数f(x)= + +1的值域为（1，+）；
（4）对任意的xR，函数f(x)= 都有意义，函数f(x)= 的定义域为R；
f(x)= =1-，对任意的xR，-2<-<0，-1=1-2<1-<1+0=1，函数f(x)= 的值域为（-1，1）。
『思考问题2』
（1）【典例2】是与指数函数定义及运用的问题，解答这类问题需要理解指数函数的定义，注意指数函数的结构特征；
（2）指数函数的结构特征是：①解析式是y=；②底数a是常数，满足a＞0,且a≠1；③指数是自变量x。
〔练习2〕解答下列各题：
1、若函数f(x)= (a＞0,且a≠1)的图像经过点P（2，），则f(-1)等于（）（答案：B）
A B C D 4
2、已知指数函数f(x)= (a＞0,且a≠1)的图像经过点（3，），求f(0)，f(1)，f(-3)的值；（答案：f(0)=1；f(1)=；f(-3)=。）
3、若函数y= 是指数函数，则实数a的取值范围为 ；（答案：实数a的取值范围为（-，1）（1，）。）
4、求下列函数的定义域与值域：
（1）f(x)= ； （2）f(x)= ；
（3）f(x)= -+1； （4）f(x)= (a＞0,且a≠1)。
（答案：（1）函数f(x)的定义域为（-，3）（3，+），值域为（0，1）（1，+）；（2）函数f(x)的定义域为R，值域为（0，1]；（3）函数f(x)的定义域为R，值域为[0，+）；函数f(x)的定义域为（-，0）（0，+），值域为（-，-1）（1，+）。）
【典例3】解答下列问题： B
1、如右图是指数函数①y=，②y=，③y=， (1) A (2) (3) C(4)
④y=的图像，则a、b、c、d的大小关系是（ ） D
A a＜b＜1＜c＜d B b＜a＜1＜d＜c C 1＜a＜b＜c＜d D a＜b＜1＜d＜c
【解析】
【知识点】①指数函数定义与性质；②指数函数图像及运用；③已知两个指数函数的底数在同一取值范围和图形比较两个指数函数底数大小的基本方法。
【解题思路】根据指数函数的性质，运用指数函数的图像和已知两个指数函数的底数在同一取值范围和图形比较两个指数函数底数大小的基本方法确定出a、b、c、d的大小关系就可得出选项。
【详细解答】由图知0b，01，d>1，如图作直线x=1与指数函数③y=，④y=分别交于点C，D，点D在点C的下方，12、函数y=-a (a＞0,且a≠1)的图像可能是（ ）
y y y y
1 1 1 1
0 1 x 0 1 x 0 1 x 0 1 x
A B C D
【解析】
【知识点】①指数函数定义与性质；②指数函数图像及运用；③已知指数函数解析式，确定指数函数图像的基本方法。
【解题思路】根据指数函数的性质，运用指数函数图像和指数函数的解析式，根据底数的不同取值，取自变量的特殊值，结合已知函数图像通过判断就可得出选项。
【详细解答】①当0②当a>1时，取x=0，y=-a=1-a<0，A不正确，排除A；取x=1，y=-a=a-a
=0，B正确，选B。
3、若函数y=+（b-1）(a＞0,且a≠1)的图像不经过第二象限，则有（ ）
A a＞1且b＜1 B 0＜a＜1且b1 C 0＜a＜1且b＞0 D a＞1且b0
【解析】
【知识点】①指数函数定义与性质；②指数函数图像及运用；③已知指数函数解析式，确定指数函数图像的基本方法。
【解题思路】根据指数函数的性质，运用指数函数图像和已知指数函数的解析式，根据底数的不同取值，取自变量的特殊值，结合问题条件确定出a，b的取值范围就可得出选项。
【详细解答】函数y=+（b-1）(a＞0,且a≠1)的图像不经过第二象限，a>1①，当
x=0时， y=+（b-1）=1+b-1=b0②，联立①②解得： a>1且b0，D正确，选D。
4、函数f(x)= 的图像如图所示，其中a，b为 y
常数，则下列结论正确的是（ ） 1
A a＞1，b＜0 B a＞1，b＞0
C 0＜a＜1，b＞0 D 0＜a＜1， b＜0 0 x
【解析】
【知识点】①指数函数定义与性质；②指数函数图像及运用；③已知指数函数图像，确定指数函数解析式中参数取值范围的基本方法。
【解题思路】根据指数函数的性质，运用指数函数图像和由指数函数图像，根据底数的不同取值，取自变量的特殊值，结合问题条件确定出a，b的取值范围就可得出选项。
【详细解答】由函数f(x)= 的图像可知，0-b>0，b<0， D正确，选D。
5、设f(x)=|-1|，c＜b＜a,且f(c)＞f(a)＞f(b),则下列关系中一定成立的是（ ）
A ＞ B ＞ C + ＞2 D + ＜2
【解析】
【知识点】①指数函数定义与性质；②指数函数的图像及运用；③已知指数函数解析式，确定指数函数图像的基本方法。
【解题思路】根据指数函数的性质，运用已知指数函数解析式，确定指数函数图像的基本方法，结合问题条件作出函数f(x)的图像，利用指数函数图像得到关于a，c的不等式就可得出选项。
【详细解答】 f(x)=|-1|=-1，x0，作出函数f(x)的图像如图所示，c＜b＜a,且
1-，x<0， f(c)＞f(a)＞f(b), 由图可知c<0，a>0， f(c)=1-，f(a)= -1， f(c)＞f(a)，1->-1，+<2，D正确，选D。
『思考问题3』
（1）【典例3】是指数函数图像及运用的问题，解答这类问题需要掌握指数函数图像的作法，注意指数函数底数的不同取值对图像的影响；
（2）比较两个指数幂大小时，应尽量化为同底数（或同指数），①底数相同，可运用指数函数的单调性解答问题；②指数相同，可转化为底数相同（或借助函数图像）解答问题；③底数不同，指数也不同，解答问题时需要借助一个中间量；
（3）指数函数的底数a＞0,且a≠1是一个隐含条件，指数函数的单调性与底数的取值相关，实际解答问题时，应该根据问题的条件确定底数的取值范围（不能确定时，应分两种不同情况分别考虑），然后依据指数函数的图像和性质解答问题；
（4）已知函数解析式判断其图像的基本方法是：①取函数的特殊点（一般是三个关键点中的某一点）；②看函数的图像是否经过所取的点；③得出指数函数的图像。
〔练习4〕解答下列问题：
1、已知实数a，b满足等式=，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a=b。其中不可能成立的关系式有（ ）（答案：B）
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
2、已知函数f(x)= | -1|，a＜b＜c且f(a) ＞f(c) ＞f(b)，则下列结论中一定成立的是（ ）
A a＜0，b＜0，c＜0 B a＜0，b 0，c＞0 C ＜ D +＜2（答案：D）
已知函数f(x)= +2的图像恒过定点A，则A的坐标为（ ）（答案：B）
A （0，1） B （2，3） C （3，2） D （2，2）
4、当x＞0时，函数f(x)= 的值总大于1，则实数a的取值范围是（ ）
A 1＜|a|＜2 B |a|＜1 C |a|＞ D |a|＜（答案：C）
5、若曲线|y|=+1与直线y=b没有公共点，则b的取值范围是 。（答案：b的取值范围是[-1,1]。）
【典例4】解答下列问题：
1、函数y=在［0，1］上的最大值与最小值的和为3，则函数y=2ax-1在［0，1］上的最大值是（ ）
A 6 B 1 C 3 D
【解析】
【知识点】①指数函数定义与性质；②指数函数性质及运用。
【解题思路】根据指数函数的性质，运用底数的不同取值分别确定函数y=在［0，1］上的最大值与最小值，结合问题条件求出a的值，从而得到函数y=2ax-1在［0，1］上的最大值就可得出选项。
【详细解答】①当0=a，1+a=3，a=2>1，此时无解；②当a>1时，函数y=在［0，1］上单调递增，=a， =1，1+a=3，a=2，函数y=2ax-1=4x-1在［0，1］上单调递增，=41
-1=4-1=3，C正确，选C。
2、若0＜x＜1，则，，之间的大小关系是（ ）
A＜＜ B＜＜ C＜＜ D＜＜
【解析】
【知识点】①指数函数定义与性质；②指数函数性质及运用。
【解题思路】根据指数函数的性质，结合问题条件得出，，之间的大小关系就可得出选项。
【详细解答】0＜x＜1，>1，<<1，<<1，当x=1时，=，
=0.2=，>，当0＜x＜1时，＜＜，D正确，选D。
3、函数f(x)= -bx+c满足f(1+x)=f(1-x)，且f(0)=3，则f()与f()的大小关系是（ ）
A f()≤f() B f()≥f() C f()＞f() D大小关系随x的不同而不同
【解析】
【知识点】①指数函数定义与性质；②一元二次函数图像与性质；③指数函数性质及运用。
【解题思路】根据指数函数和一元二次函数的性质，结合问题条件求出b，c的值，运用指数函数性质得出f()与f()的大小关系就可得出选项。
【详细解答】函数f(x)= -bx+c满足f(1+x)=f(1-x)，且f(0)=3，函数f(x)= -bx+c的图像关于直线x==1对称，f(0)=0+0+c=3，b=2，c=3， f()=f()=-2+
f()=f()=-2+3，f()-f()=-2+3-[-2+3]=（+）（-）-2（-）=（-）（+-2）≤0， f()≤f()，A正确，选A。
4、设a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系是（ ）
A a＜b＜c B b＜a＜c C c＜b＜a D b＜c＜a
【解析】
【知识点】①实数指数定义与性质；②实数指数运算法则和基本方法；③比较实数大小的基本方法。
【解题思路】根据实数指数的性质，运用实数指数运算的法则河基本方法通过运算分别求出a，b，c的值，利用实数大小比较的基本方法进行比较就可得出选项。
【详细解答】1< a==<2，05、如果＞(a＞0,且a≠1)，则x的取值范围是 ；
【解析】
【知识点】①指数函数定义与性质；②运用指数函数性质的基本方法。
【解题思路】根据指数函数的性质，运用底数的不同取值分别得到关于x的不等式，求解不等式就可求出x的取值范围。
【详细解答】①当01；②当a>1时，＞，-5x>2x-7，x<1，综上所述，当01时，若＞，x的取值范围是（- ，1）。
6、比较下列各题中两个值的大小：
（1）； （2）； （3）； （4），。
【解析】
【知识点】①指数函数定义与性质；②运用指数函数性质的基本方法；③比较实数大小的基本方法。
【解题思路】根据指数函数的性质，运用比较实数大小的基本方法，结合问题条件就可得出各小题中两个值的大小关系。
【详细解答】（1）1.7>1，2.5<3，<；（2）0<0.8<1，-0.1>-0.2，<；（3）>1，0<<1，>；（4）=，>1，
=>1，>。
7、函数y=-+1在区间［-3，2］上的值域是 ；
【解析】
【知识点】①指数函数定义与性质；②数学换元法及运用；③一元二次函数的图像与性质；④运用指数函数性质的基本方法。
【解题思路】根据数学换元法把原函数化为关于t的一元二次函数，根据一元二次函数的图像和性质，结合问题条件就可求出函数y=-+1在区间［-3，2］上的值域。
【详细解答】设t=，x［-3，2］， t［，8］，函数y=-t+1在［，］上单调递减，在［，8］上单调递增，=64-8+1=57，=-+1=，函数y=-+1在区间［-3，2］上的值域是［，57］。
8、求函数f(x)= 的定义域，单调区间及值域。
【解析】
【知识点】①指数函数定义与性质；②复合函数定义与性质；③一元二次函数图像与性质；④判断复合函数单调性的基本方法；⑤运用指数函数性质的基本方法。
【解题思路】设g(x)= -5x+4，h(x) =，作出函数g(x)= -5x+4的图像，求出函数f(x)的定义域，运用判断函数单调性的基本方法分别判断函数g(x)，h(x) =在定义域上的单调性，利用判断复合函数单调性的基本方法就可求出函数f(x)的单调区间和值域。
【详细解答】设g(x)= -5x+4，h(x) ，作出函数g(x)= -5x+4的图像如图所示，由图知函数f(x)的定义域为（- ，1] [4，+ ），函数g(x)在（- ，1]上单调递减，在[4，+ ）上单调递增，函数h(x) =在（- ，1] ，[4，+ ）上单调递增，函数h(x)在（- ，1]上单调递减，在[4，+ ）上单调递增，3>1，函数f(x) = 在（- ，1] ，[4，+ ）上单调递增，函数f(x)在（- ，1]上单调递减，在[4，+ ）上单调递增， f(1)= = =1，f(4)= = =1，函数f(x)的值域为[1，+ ）。
9、已知≤，求函数y=的值域；
【解析】
【知识点】①指数函数定义与性质；②运用指数函数性质的基本方法；③判断函数单调性的基本方法；④求函数值域的基本方法。
【解题思路】根据指数函数的性质，结合问题条件得到关于x的不等式，求解不等式得出函数y=的定义域，运用判断函数单调性的基本方法判断函数y=在定义域上的单调性，利用求函数值域的基本方法就可求出函数函数y=的值域。
【详细解答】==，≤，+x≤-2x+4，-4≤x≤1，
函数y=在[-4，1]上单调递增，=2-=，=-=-16=-，
当≤时，函数y=的值域为[-，]。
10、判断函数f(x)= + 的奇偶性；
【解析】
【知识点】①指数函数定义与性质；②运用指数函数性质的基本方法；③判断函数奇偶性的基本方法。
【解题思路】根据指数函数的性质，结合问题条件求出函数f(x)的定义域，运用判断函数奇偶性的基本方法就可判断函数f(x)= + 的奇偶性。
【详细解答】函数f(x)= + 的定义域为（- ，0） （0，+ ）关于原点对称，f(-x)= -=-====+
= f(x)，函数f(x)= + 是偶函数。
11、已知函数f(x)=b+ （a，b是常数且a＞0,a≠1）在区间［-，0］上有=3，=，试求a，b的值。
【解析】
【知识点】①指数函数定义与性质；②运用指数函数性质的基本方法；③判断复合函数单调性的基本方法；④在给定区间上求函数最值的基本方法。
【解题思路】设g(x)= +2x，根据指数函数的性质和判定复合函数单调性的基本方法，运用底数的不同取值，判断函数f(x)=b+ 在区间［-，0］上的单调性，从而求出函数在区间［-，0］的最值，结合问题条件得到关于a，b的方程组，求解方程组就可求出条件求出a，b的值。
【详细解答】①当01时，函数f(g(x))在［-，0］上的单调递增，函数f(x)在［-，-1）上单调递减，在（-1，0］上单调递增，= f(0) =b+ =b+1=3⑤，= f(-1)=b+ =b +=⑥，联立⑤⑥解得：a=2，b=2，综上所述，当01
时，a=2，b=2。
12、已知定义域为R的函数f(x)= 是奇函数。
（1）求a，b的值；
（2）若对任意t R，不等式f(-2t)+f(2-k)＜0恒成立，求k的取值范围。
【解析】
【知识点】①指数函数定义与性质；②运用指数函数性质的基本方法；③奇函数定义与性质；④判断函数单调性的基本方法；⑤求不等式恒成立时，参数取值范围的基本方法。
【解题思路】（1）根据奇函数的性质，结合问题条件得到关于a，b的方程组，求解方程组就可求出a，b的值；（2）根据判断函数单调性的基本方法判断函数f(x)的单调性，运用奇函数的性质得到含参数k关于x的不等式，利用求不等式恒成立时，求参数取值范围的基本方法就可求出实数k的取值范围。
【详细解答】（1）定义域为R的函数f(x)= 是奇函数， f(0)= =0①，
f(-x)= =- f(x)= -，2b-a=0且ab-2=0②，联立①②解得：a=2，b=1；
（2）由（1）知f(x)= = =-+，函数f(x)是R上的减函数，函数f(x)是R上的奇函数，不等式f(-2t)+f(2-k)＜0恒成立 f(-2t)＜f(k-2)恒成立，-2t>(k-2即3-2t>k恒成立，设g(t)= 3-2t， g(t) [- ，+ ），
k<-，若对任意t R，不等式f(-2t)+f(2-k)＜0恒成立，则k的取值范围为（-，-）。
『思考问题4』
（1）【典例4】是指数函数性质及运用的问题，解答这类问题需要理解并掌握指数函数的性质，注意指数函数底数的不同取值对指数函数性质的影响；
（2）指数函数性质的运用问题主要包括：①指数函数单调性的运用；②判断复合函数的单调性问题；③求函数的值域或最值；
（3）运用指数函数的性质解答问题的基本方法是：①根据问题条件确定底数的取值范围（如果条件不明确，则应该分两种情况分别考虑）；②作出指数函数的大致图像；③分辨问题与指数函数的哪些性质相关；④借助函数的图像，结合指数函数的相关性质解答问题；
（4）判断复合函数单调性问题时，对函数y=的单调性，单调区间都与底数的取值相关，解答问题的基本方法是：①根据问题条件确定底数的取值范围（如果条件不明确，则应该分两种情况分别考虑）；②判断内层函数和外层函数的单调性；③运用复合函数单调性的判断法则得出结果。
〔练习4〕解答下列各题：
1、若不等式- -a 0在［1，2］恒成立，则a的取值范围是（ ）（答案：C）
A ［1，8） B （-，1］ C （-，0］ D ［8，+）
2、下列各式比较大小正确的是（ ）（答案：B）
A ＞ B ＞ C ＞ D ＜
3、已知函数f(x)= -，ax＜0，的值域是［-8，1］，则实数a的取值范围是（ ）
A （-，-3］ -+2x，0x4，B ［-3，0） C［-3，-1］ D {-3}（答案：B）
4、已知函数f(x)= （m为常数），若f(x)在区间［2，+）是增函数，则m的取值范围是 ； ，x0，（4、答案：m的取值范围是（-，4］.）
5、设函数f(x)= -7，x＜0，若f(a) ＜1，则实数a的取值范围是 ；（答案：实数a的取值范围是（-3，1).）
6、函数f(x)= 的单调递减区间为 ；（答案：函数f(x)的单调递减区间是（-，1］.）
7、如果函数y=+2-1（a＞0,且a≠1），在〔-1,1〕上的最大值为14，则a的值为 ；（答案：a的值为3或。）
8、若函数f(x)= （a R），满足f(1+x)=f(1-x)，且f(x)在［m，+）上单调递增，则实数m的最小值等于 ；（答案：实数m的最小值等于1。）
9、若直线y=2a与函数f(x)=| -1|（a＞0且a≠1）的图像有两个公共点，则a的取值范围是 。（答案：a的取值范围是（0，).）
10、比较下列各题中两个值的大小：
（1），； （2），； （3），； （4），
（答案：（1）>；（2）>；（3）<；（4）<。）
11、已知a＞0,且a≠1，讨论f(x)= 的单调性。（答案：当a>1时，函数f(x)在（-，）上单调递增，在［，+）上单调递减；当0【典例5】解答下列问题：
1、若函数f(x)= 的定义域为R，则a的取值范围为 ；
【解析】
【知识点】①指数函数的定义与性质；②指数函数性质运用的基本方法；③求函数定义域的基本方法；④不等式恒成立求不等式中参数求证范围的基本方法。
【解题思路】运用求函数定义域的基本方法，结合问题条件得到含参数a关于x的不等式在R上恒成立，利用指数函数的性质和不等式恒成立求不等式中参数求证范围的基本方法就可求出实数a的取值范围。
【详细解答】函数f(x)= 的定义域为R，不等式0在R上恒成立，0在R上恒成立，4+4a0，-1a0，若函数f(x)= 的定义域为R，则a的取值范围为[-1，0]。
2、要使函数y=1++a在x∈(-∞,1〕上，y＞0恒成立，求实数a的取值范围；
【解析】
【知识点】①指数函数的定义与性质；②指数函数性质运用的基本方法；③不等式恒成立求不等式中参数求证范围的基本方法。
【解题思路】运用指数函数的性质，结合问题条件得到参数a与关于x的函数的不等式，利不等式恒成立求不等式中参数求证范围的基本方法就可求出实数a的取值范围。
【详细解答】函数y=1++a在x∈(-∞,1〕上，y＞0恒成立，1++a>0在x∈(-∞,1〕上恒成立，a>--在x∈(-∞,1〕上恒成立，设g(x)= --，函数g(x) 在x∈(-∞,1〕上单调递增，= g(1)=- - =- ，a>- ，要使函数y=1++a在x∈(-∞,1〕上，y＞0恒成立，实数a的取值范围为（-，+∞）。
3、设函数f(x)=a- (a∈R)
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）是否存在实数a使函数f(x)为奇函数？
【解析】
【知识点】①指数函数的定义与性质；②指数函数性质运用的基本方法；③判断函数单调性的基本方法；④奇函数的定义与性质。
【解题思路】（1）运用指数函数的性质和判断函数单调性的基本方法就可得到函数f(x)的单调性；（2）设存在实数a使函数f(x)为奇函数，利用奇函数的性质得到关于a的方程，求解方程就可得出结果。
【详细解答】（1）任取，∈R ，且<，f()-f()=a- - a+
= = <0，函数f(x)=a-在R上单调递增；
（2）设存在实数a使函数f(x)为奇函数，函数f(x)的定义域为R， f(0)=a-
= a-1=0， a=1，存在实数a=1，使函数f(x)为奇函数。
4、已知函数f(x)=| -1|。
（1）求函数f(x)的单调区间； （2）比较f(x+1)与f(x)的大小；
（3）试确定函数g(x)=f(x)- 零点的个数。
【解析】
【知识点】①指数函数的定义与性质；②指数函数性质运用的基本方法；③绝对值的意义与性质；④分段函数的定义与性质；⑤比较实数大小的基本方法；⑥确定函数零点的基本方法。
【解题思路】（1）运用指数函数和绝对值的性质，把函数f(x)化为分段函数，根据分段函数单调性判断的基本方法就可求出函数f(x)的单调区间；（2）根据分段函数的性质，利用比较实数大小的基本方法就可比较比较f(x+1)与f(x)的大小；（3）利用确定函数零点的基本方法就可求出函数g(x)=f(x)- 零点的个数。
【详细解答】（1） f(x)= -1，x0，函数f(x)在[0，+∞）上单调递增，在(-∞,0）
1-，x<0，上单调递减；（2）①当x0时，1+x>x0， f(x+1)>f(x)；②当x<0且x+10即-1x<0时， f(x+1)= 2 -1，f(x)=1-，f(x+1)-f(x)
=2 -1-1+=3-2，若0，若x=，f(x+1)-f(x)= 3-2=0，若-1x<，f(x+1)-f(x)= 3-2<0，综上所述，f(x)，x=时，f(x+1)=f(x)，-1x<时，f(x+1)即x<-1时，x<1+x<0， f(x+1)时，f(x+1)>f(x)；（3） g(x)=f(x)- =0， f(x)=，
设h(x)= ，在同一直角坐标系中作出函数h(x)，f(x)的图像如图所示，由图知函数h(x)，与f(x)的图像有4个交点，函数g(x)=f(x)- 有4个零点。
『思考问题5』
（1）【典例5】是指数函数图像与性质的综合应用问题，解答这类问题需要熟悉指数函数的图像，性质，注意指数函数底数对图像，性质的影响；
（2）求解与指数函数相关的指数型函数的定义域，值域（或最值），单调性，奇偶性问题的基本方法是：①把问题化归于指数函数；②运用指数函数的性质并借助于指数函数的图像来解答问题。
〔练习5〕解答下列各题：
1、若曲线|y|=+1与直线y=b没有公共点，则b的取值范围是 。（答案：b的取值范围是[-1，1]。）
2、已知函数f(x)=b+ (a，b 为常数，且a＞0,a≠1)在区间［-,0］上有最大值3，最小值，则a，b的值分别为 。（答案：a，b的值分别为2，2。）
【典例6】解答下列问题：
1、已知函数f(x)= ，求解方程f(x)=4；
【解析】
【知识点】①指数函数的定义与性质；②指数函数性质运用的基本方法。
【解题思路】运用指数函数的性质，结合问题条件得到关于指数函数的等式，利用指数函数的性质就可求出方程的解。
【详细解答】函数f(x)= ，方程f(x)=4，=4，=0，=0，=3，x=1是方程f(x)=4的解。
2、解方程+ -2=0；
【解析】
【知识点】①指数函数的定义与性质；②指数函数性质运用的基本方法；③换元法及运用。
【解题思路】运用换元法，结合问题条件得到关于t的一元二次方程，求解方程求出t的值，利用指数函数的性质就可求出方程的解。
【详细解答】设t=，t（0，+），方程+ -2=0，+t-2=0，t=-2或t=1，
t>0， t=1，=1，x=0是方程+ -2=0的解。
3、若0＜a＜1，解关于x的不等式＜；
【解析】
【知识点】①指数函数的定义与性质；②指数函数性质运用的基本方法。
【解题思路】运用指数函数的性质，结合问题把原指数函数的不等式转化为关于x的不等式，求解不等式就可求出不等式的解。
【详细解答】0＜a＜1，不等式＜，>x-2，①当x-2<0，即x<2时，2x-10，即x时，≥0，>x-2的解为x<2；②当x-2≥0，即x≥2时，不等式>x-2，2x-1>，-6x+5<0，x<5，
2x-10， 2x-10，综上所述，不等式＜的解为[，5）。
4、设函数f(x)= ，求不等式f(x) ≥2的解集。
【解析】
【知识点】①指数函数的定义与性质；②指数函数性质运用的基本方法。
【解题思路】运用指数函数的性质，结合问题条件把原指数函数的不等式，转化为关于x的不等式，求解不等式就可求出不等式的解。
【详细解答】函数f(x)= ，不等式f(x) ≥2，≥，|x+1|-
|x-1|≥，①当x<-1时，|x+1|-|x-1|=-x-1+x-1=-2，|x+1|-|x-1|≥，-2≥不成立， 此时不等式无解；②当-1x<1时，|x+1|-|x-1|=x+1+x-1=2x，|x+1|-|x-1|≥，2x≥，x≥，x<1；③当x≥1时，|x+1|-|x-1|=x+1-x+1=2，|x+1|-|x-1|≥，2≥成立， x≥1，综上所述，不等式|x+1|-|x-1|≥的解为[，++∞），即不等式f(x) ≥2的解集为[，+∞）。
『思考问题6』
（1）【典例6】中的1，2题是有关指数函数的方程问题，解答这类问题的基本方法是：①将某一指数幂视为整体未知数通过解方程求出该指数幂的值；②根据指数函数的性质求出自变量x的值；③得出结果；
（2）【典例6】中的3，4题是有关指数函数的不等式问题，解答这类问题的基本方法是：①将不等式中的指数幂化成相同的底数幂；②运用指数函数的性质得到关于自变量x的不等式；③求解不等式并得出结果。
〔练习6〕解答下列各题：
不等式 的解集为 ； （答案：不等式 的解集为(-∞,
-3] （0，1]。）
2、解方程--12=0；（答案：解方程--12=0的解为x=6。）
3、关于x的方程有负根，求实数a的取值范围；（答案：实数a的取值范围是(-3，1）。）
4、若a＞1，解关于x的不等式＜；（答案：当a>1时，关于x的不等式＜的解集是（5，+∞）。）
5、设函数f(x)= ，求不等式f(x) ≥2的解集。（答案：不等式f(x) ≥2的解集为[-，+∞）。）
【追踪考试】
【典例7】解答下列问题：
1、若曲线y=(x+a) 有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 （2022全国高考新高考I卷）
【解析】
【考点】①函数导函数定义与性质；②函数求导公式，法则和基本方法；③函数在某点导数的几何意义及运用；④求曲线在某点处切线方程的基本方法。
【解题思路】设f(x)= (x+a) ，根据函数导函数的性质，函数求导公式，法则和基本方法，求出函数f(x)的导函数（x），运用函数在某点导数的几何意义和求曲线在某点处切线方程的基本方法，求出曲线的切线方程，由切线过坐标原点，得到关于点横坐标的一元二次方程，结合问题条件得到关于a的不等式，求解不等式就可求出a的取值范围。
【详细解答】设f(x)= (x+a) ，曲线y= f(x)与切线的切点为（，（+a）），（x）=+ (x+a) = (x+a+1) ，（）=（+a+1），曲线y= f(x)在点（，（+a））处的切线方程为：y-（+a）=（+a+1）(x-)，y=（+a+1）x+（+a）-（+a+1），切线过坐标原点，（--a-++a）=-（+a-a）=0，+a-a=0，过坐标原点的切线有两条，=+4a=a(a+4)>0，a<-4或a>0，若曲线y=(x+a) 有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是（-∞，-4）（0，+∞）。
2、已知函数f(x)= 在[1，2]上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）（成都市高2021级2020—2021学年度上期期末调研考试）
A [2，4] B [-2，+） C [-4，-2] D （-，-4]
【解析】
【考点】①复合函数定义与性质；②指数函数定义与性质；③一元二次函数定义与性质；④判断复合函数单调性的法则和基本方法。
【解题思路】根据指数函数，一元二次函数和复合函数的性质，运用判断复合函数单调性的法则和基本方法，得到关于实数a的不等式，求解不等式求出实数a的取值范围就可得出选项。
【详细解答】设g(x)= +ax-1，0<<1，函数f(g(x))在[1，2]上单调递减，函数f(x)= 在[1，2]上单调递减，函数g(x) 在[1，2]上单调递增，-1，
a-2，即实数a的取值范围是[-2，+），B正确，选B。
3、已知函数y=+1(a>0且a1)的图像恒过定点P（，），则的值为 （成都市高2021级2020—2021学年度上期期末调研考试）
【解析】
【考点】①指数函数定义与性质；②指数函数图像及运用。
【解题思路】根据指数函数的性质，运用指数函数的图像得到关于的方程，求解方程就可求出的值。
【详细解答】函数y=+1(a>0且a1)的图像恒过定点P（，），2-1=0，
=。
4、+ + ；
【解析】
【考点】①实数指数定义与性质；②实数指数运算法则和基本方法。
【解题思路】根据实数指数的性质，运算法则和运算的基本方法通过运算就可求出
+ + 的值。
【详细解答】=1，=-2， =
==1，+ + =1+-2+1=。
5、已知函数f(x)=| -1|，<0，>0，函数f(x)在点A（，f()）和B（，f()）的两条切线互相垂直，且分别交Y轴于M，N两点，则取值范围是 （2021全国高考新高考II）
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②函数在某点导数定义与性质；③求曲线在某点处切线方程的基本方法；④两条直线垂直的充分必要条件及运用；⑤两点之间距离公式及运用。
【解答思路】根据函数求导公式，法则和基本方法求出函数y的导函数，运用函数在某点导数的性质和求曲线在某点处切线方程的基本方法，分别求出曲线y= f(x)在点A，B处的切线方程，从而得到点M，N的坐标，运用两条直线垂直的充分必要条件和两点之间的距离公式得到关于的表示式，利用指数函数的性质就可求出的取值范围。
【详细解答】<0，>0， A（，1-），B（，-1），（）=-，（）=，曲线y= f(x)在点A，B处的切线方程分别为：y=-(x-+1)+1，y= (x-+1)
-1，M(0，-(-+1)+1)，N（0， (-+1)-1），直线AM垂直直线BN，-.
=-1，+=0，|AM|==-，|BN|=
==-，
==，<0，0<<1，即的取值范围是（0，1）。
6、已知函数y=- （a>0，且a1）的图像恒过定点P，若点P在幂函数f(x)的图像上，则幂函数f(x)的图像大致是（）（成都市高2020级2019—2020学年度上期期末调研考试）
【解析】
【考点】①指数函数定义与性质；②幂函数定义与性质；③求函数解析式的基本方法。
【解题思路】根据指数函数的性质，求出定点P的坐标，运用求函数解析式的基本方法，求出幂函数f(x)的解析式，从而得到幂函数f(x)的大致图像就可得出选项。
【详细解答】设幂函数f(x)= ，函数y=- （a>0，且a1）的图像恒过定点P，
P（3，），点P在幂函数f(x)的图像上，=，a=-1，幂函数f(x)= ，其图像大致为A选项的图像，A正确，选A。
7、已知关于x的方程-a. +4=0有一个大于22的实数根，则实数a的取值范围为（ ）（成都市高2020级2019—2020学年度上期期末调研考试）
A （0，5） B （4，5） C （4，+ ） D （5，+ ）
【解析】
【考点】①指数定义与性质；②一元二次方程定义与性质；③数学换元法及运用。
【解题思路】根据指数的性质和数学换元法，得到关于t的一元二次方程，运用一元二次方程的性质，结合问题条件得到关于a的不等式，求解不等式求出实数a的取值范围就可得出选项。
【详细解答】设t=，t（0，+ ）关于x的方程-a. +4=0， -at+4=0，关于x的方程-a. +4=0有一个大于22的实数根，关于t的方程-at+4=0有一个大于4的实数根，=0，且>4，解得：a>5，若关于x的方程-a. +4=0有一个大于22的实数根，则实数a的取值范围为（5，+ ），D正确，选D。
8、已知A，B是函数f(x)=| -1|图像上纵坐标相等的两点，线段AB的中点C在函数g(x)= 的图像上，则点C的横坐标的值为 （成都市高2020级2019—2020学年度上期期末调研考试）
【解析】
【考点】①分段函数定义与性质；②指数函数定义与性质；③线段中点坐标公式及运用。
【解题思路】根据分段函数和指数函数的性质，得到函数f(x)的分段函数解析式，从而求出点A，B纵坐标的和，运用线段中点坐标公式和指数函数的性质，得到关于点C横坐标的方程，求解方程就可求出点C的横坐标的值。
【详细解答】 f(x)=| -1|=-1，x0，A，B是函数f(x)=| -1|图像上纵坐标相等的 1-，x<0，两点，A（，-1），B（，1-），
-1=1-，+=2，线段AB的中点C（，）在函数g(x)=
的图像上，=，==.，-2. +1=（2-）
=2. -，2. -4.+1=0，=1+，==1+-1=
=，=-，点C的横坐标的值为-。
9、已知函数f(x)= -1(a>0，且a1)，满足f(1)- f(2)= 。
（1）求a的值；
（2）解不等式f(x)>0（成都市高2020级2019—2020学年度上期期末调研考试）
【解析】
【考点】①指数函数定义与性质；②求解一元二次方程的基本方法；③求解指数不等式的基本方法。
【解题思路】（1）根据指数函数的性质，得到关于a的一元二次方程，运用求解一元二次方程的基本方法就可求出a的值；（2）由（1）得到关于x的指数不等式，运用求解指数不等式的基本方法就可求出不等式f(x)>0的解。
【详细解答】（1）函数f(x)= -1(a>0，且a1)，f(1)- f(2)=a-1- +1=- +a=，
a=；（2）由（1）得：函数f(x)= -1， f(x)>0，>1，x<0，即不等式f(x)>0的解为（- ，0）。
『思考问题7』
【典例7】是近几年高一上期期末调研考试中与指数和指数函数相关的问题，纵观近几年的考试试卷，归结起来指数和指数函数问题主要包括：①指数的运算；②指数函数概念及运用；③指数函数图像及运用；④指数函数性质及运用；⑤指数函数的综合问题；⑥指数方程（或不等式）的解法等几种类型；
解答这类问题的基本方法是：①根据问题的结构特征分辨清楚问题的类型；②运用解答该类型问题的基本思路和方法解答问题；③得出问题的答案。
〔练习7〕解答下列各题：
计算：+ + （成都市高2019级2018—2019学年度上期期末调研考试）（答案：+ + =。）
2、已知定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)，且f(x)+g(x)= 。
（1）求函数f(x)，g(x)的解析式；（答案： f(x)= ，g(x) = ；）
（2）设函数F（x）= +1，记H（n）=F（）+ F（）+ F（）+------+ F（）
（n，n2），探究是否存在正整数n(n2)，使得对任意的x[0,1],不等式g(2x)>H（n）. g(x)恒成立？若存在，求出所有满足条件的正整数n的值；若不存在，请说明理由（成都市高2019级2018—2019学年度上期期末调研考试）（答案：存在n=2或3，使得对任意的x(0,1],不等式g(2x)> H（n）.g(x)恒成立。）

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