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函数的值域与最值
【考纲解读】
理解函数值，函数值域和函数最值的定义；
掌握求函数值，函数值域和函数最值的基本方法；
了解抽象函数的定义和求抽象函数值的基本方法；
能够熟练运用函数值，函数值域和函数最值解答相关的数学问题。
【知识精讲】
一、函数值：
函数值的定义：在函数y=f(x)中，与自变量x的值对应的y的值称为函数值。
求函数值的基本方法：
（1）已知函数的解析式，求函数值：基本方法是：①把给定的自变量x的值代入函数解析式；②通过运算求出函数的值；
（2）已知分段函数的解析式，求函数值：基本方法是：①确定给定的自变量属于哪一段，在此基础上确定函数符合的解析式；②把自变量代入确定的解析式，并通过运算求出函数值；
（3）抽象函数在R上满足的恒等式，求函数值：基本方法是赋值法，其具体步骤为：①确定求所求函数值需要求出哪些自变量的函数值；②确定求各个自变量函数值时需要赋的值；③求出所求自变量的函数值。
二、函数的值域：
1、函数值域的定义：所有函数值构成的数集，叫做函数的值域；
2、函数值域的求法：
（1）运用基本函数的值域求函数值域：基本方法是：①把函数解析式化为某一基本函数关于y的解析式；②根据基本函数的值域得到关于y的不等式（或不等式组）；③求解不等式（或不等式组）求出y的取值范围；④得出函数的值域；
（2）常数分离法求函数值域：基本方法是：①确定分离的常数；②把函数解析式化为确定的常数与某个式子的和的形式；③根据式子的值恒不为零，得到函数的值不等于常数；④得出函数的值域；
（3）判别式法求函数值域：基本方法是：①把函数解析式化为关于自变量x的一元二次方程；②根据自变量x是实数和一元二次方程根的判别式，得到关于函数y的不等式；③求解不等式求出y的取值范围；④得出函数的值域；
（4）配方法求函数值域：这种方法值适用于求一元二次函数的值域；基本方法是：①运用数学配方法对一元二次函数进行配方；②根据实数的平方为非负数，求出函数y的取值范围；③得出函数的值域；
（5）换元法求函数值域：基本方法是：①设出新元（若根号下是一元一次式，则设新元为整个二次根式；若根号下是一元二次式，则设新元为某一三角函数）；②求出新元的取值范围，同时进行换元；③求出换元后函数的值域（注意新元的取值范围）；④得出原函数的值域。
（6）运用基本不等式求函数值域：基本方法是：①注意观察，确定具有基本不等式条件的部分；② 运用基本不等式求出该部分的取值范围；③根据②中的结果确定函数的取值范围；④得出函数的值域。
（7）数形结合法求函数值域：基本方法是：①作出问题中函数的图像；②运用函数图像确定
函数的最值；得求出函数的值域；
（8）运用函数的单调性求函数值域：基本方法是：①判断函数在定义域上的单调性；②根据函数的单调性求函数在定义域上的最值；③确定函数的取值范围；④得出函数的值域。
三、函数的最值：
1、函数最值的定义：
（1）函数最大值的定义：设函数f(x)的定义域是A，如果对任意的自变量x∈A，都有f(x)≤M成立，且存在∈A，使f()=M，则称M是函数f(x)的最大值；
（2）函数最小值的定义：设函数f(x)的定义域是A，如果对任意的自变量x∈A，都有f(x)≥N成立，且存在∈A，使f()=N，则称N是函数f(x)的最小值 。
2、函数最值的求法：
求函数最值的基本方法是：①求出函数的值域；②确定函数的最值。
【探导考点】
考点1求函数值的基本方法：热点①分段函数值的求法；热点②复合函数值的求法；热点③已知函数值，求解析式中参数（或自变量x）的值；
考点2求函数值域的基本方法：热点①已知函数解析式，求函数在给定区间上的值域；热点②分段函数值域的求法；热点③运用函数导函数求函数的值域；
考点3求函数最值的基本方法：热点①已知函数解析式，求函数在给定区间上的最值；热点②分段函数最值的求法；热点③运用函数导函数求函数的最值。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、设函数f(x)= 3x-1，x＜1，则满足f(f(a))= ，的a的取值范围是（ ）
，x≥1，
A ［，1］ B ［0，1］ C ［，+） D ［1，+）
2、设函数f(x)= +1，x1，则f(f(3))=（ ）
A ，x＞1，B 3 C D
3、已知函数f(x)= -2（a+2）x+，g(x)=-+2（a-2）x-+8，设（x）=max{ f(x)，g(x)}，（x）=min{ f(x)，g(x)}，max{ p，q}表示p，q中的较大值，min{ p，q}表示p，q中的较小值，记（x）的最小值为A，（x）的最大值为B，则A-B=（ ）
A 16 B -16 C -2a-16 D +2a-16
4、已知实数a0，函数f(x)= 2x+a，x＜1，若f(1-a)=f(1+a)，则实数a的值为 ；
-x-2a，x≥1，
5、已知函数f(x)= +1，x≥0，若f(x)=10，则x= ；
-2x，x＜0，
6、已知函数f(x)= ，那么f(1)+f(2)+f()+f(3)+f()+f(4)+f()= ；
7、已知函数f(x)=a- ，a为一个正的常数，且f(f())=-，则a的值为 ；
8、设函数f(x)= 2+2，g(x)= ，则g(f(2))= ；
『思考问题1』
（1）【典例1】是函数求值的问题，解答这类问题需要理解函数值的定义，掌握分段函数求值的基本方法；
（2）已知函数的解析式，求函数值的基本方法是：①把给定的自变量x的值代入函数解析式；②通过运算求出函数的值；
（3）分段函数求值的基本方法是：①确定给定的自变量属于哪一段，在此基础上选定函数求值时符合的解析式；②把自变量代入选定的解析式，并通过运算求出函数的值。
〔练习1〕解答下列各题：
1、根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为f(x)= ，x＜A，
，x≥A，（A，c为常数），已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是（ ）
A 71,25 B 75,16 C 60,25 D 60，16
2、已知f(x)=（1-2a）x+3a，x＜1，的值域为R，那么a的取值范围是（ ）
A（-，-1］ lnx，x≥1，B （-1，） C ［-1，） D （0，）
3、设函数f(x)= ，x≥1，则使得f(x) 2成立的x的取值范围是 ；
，x＜1，
4、已知函数f(x)= 。
（1）判断点（3,14）是否在f(x)的图像上；
（2）当x=4时，求f(x)的值；
（3）当f(x)=2时，求x的值。
【典例2】解答下列问题：
1、求函数y=的值域；
2、求函数y= 的值域；
3、求函数y= 的值域；
4、求函数y= 的值域。
『思考问题2』
（1）【典例2】1，2小题的共同特点是：①函数解析式是分式；②分式分子，分母中只含自变量x的二次项；
（2）【典例2】3小题的特点是：①函数的解析式是分式；②分式分子，分母中含有三角函数；
（3）【典例2】4小题的特点是：①函数的解析式是分式；②分式分子，分母中含有指数函数；
（4）【典例2】1，2小题求值域利用了基本函数f(x)=的值域，【典例2】3小题求值域利用了基本函数f(x)=sinx的值域，③【典例2】4小题求值域利用了基本函数f(x)= 的值域；
(5) 【典例2】求值域的方法是利用基本函数的值域求函数值域，它的基本方法是：①将函数的解析式化为关于某一基本函数关于y的解析式；②根据该基本函数的值域得到关于y的不等式（或不等式组）；③求解不等式（或不等式组）求出y的取值范围；④得出原函数的值域。
〔练习2〕解答下列各题：
1、求函数y=的值域；
2、求函数y= 的值域；
3、求函数y=的值域；
4、求函数y= 的值域。
【典例3】解答下列问题：
1、求函数y= 的值域；
2、求函数y=的值域。
『思考问题3』
（1）【典例3】中两个函数的共同特点是：①函数解析式是分式；②分式分子，分母中只含自变量x的一次项；
(2) 【典例3】求函数值域的方法称为分离常数法；它的基本方法是：①确定分离的常数（一般是一个分数，分数分子是解析式中分子含x项的系数，分母是解析式中分母含x项的系数）；②对解析式的分子提取确定的常数的公因式，使括号中的两项与解析式的分母相同；③将函数的分式写出两个分式的和，从而分离出常数；④求出余下分式的值域，得到函数的值域。
〔练习3〕解答下列各题：
1、求函数y= 的值域；
2、求函数y=的值域。
【典例4】解答下列问题：
1、求函数y= 的值域；
2、求函数y= 的值域。
『思考问题4』
（1）【典例4】中两个函数的共同特点是：①函数的解析式是分式式；②分式的分子，分母
既含自变量x的二次项，又含自变量x的一次项；
（2）求这种函数的值域主要采用判别式法，它的基本方法是：①将函数y视为常数，把函
数的解析式化为关于自变量x的一元二次方程；②根据自变量x是实数，得到判别式0关
于函数y的不等式（或不等式组）；③求解不等式（或不等式组）；④求出函数的值域（注意
验证二次项系数为0时，函数y的值是否成立）。
〔练习4〕解答下列各题：
1、求函数y= 的值域；
2、求函数y= 的值域。
【典例5】解答下列问题：
1、求函数y=1-x（1-x）的值域；
2、求函数y=-2+4x+2的值域；
3、求函数y=+3x+1的值域；
4、求函数y=-+x+3的值域。
『思考问题5』
（1）【典例5】几个函数的共同特点是：解析式是关于自变量x的一元二次式，求这类函数
值域的基本方法是配方法；
（2）配方法的基本方法是：①将二次项的系数提到括号外面并在括号内加上一次项系数一
半的平方使括号内的二次三项式能够配成完全平方式，在括号外减去二次项系数与括号内常
数的乘积；②把括号中的二次三项式配成完全平方式；③根据实数的平方为非负数，得到函
数的取值范围；④求出函数的值域。
〔练习5〕解答下列各题：
1、求函数y=1+x（1-x）的值域；
2、求函数y=2-3x+2的值域；
3、求函数y=-3x+1的值域；
4、求函数y=-+2x+3的值域；
5、求函数y=2+3x+2的值域。
【典例6】解答下列问题：
1、求函数y=2x-1- 的值域；
2、求函数y=4 x-1+的值域；
3、求函数y=x+ 的值域；
4、已知函数f(x)的值域为，则函数g(x)=f(x)+的值域为 。
『思考问题6』
【典例6】几个函数的共同特点是解析式中含有二次根式，求这类函数值域主要采用换
元法；
（2）换元法的基本方法是：①设出新元（若根号下是一元一次式，则设新元为整个二次根
式；若根号下是一元二次式，则设新元为某一三角函数）；②求出新元的取值范围，同时进
行换元；③求出换元后函数的值域（注意新元的取值范围）；④得出原函数的值域。
〔练习6〕解答下列各题：
1、求函数y=2x- 的值域；
2、求函数y=x+1+的值域；
3、求函数y=x+ 的值域；
4、求函数y=x- 的值域。
【典例7】解答下列问题：
1、设x，y为实数，若4++xy=1，则2x+y的最大值是 。
2、求函数y= -1的值域；
『思考问题7』
(1) 【典例7】两个函数的共同特点是解析式中某部分具有基本不等式的条件，求这类函数
值域时主要运用基本不等式求值域；
（2）运用基本不等式求值域的基本方法是：①注意观察，确定具有基本不等式条件的部分；② 运用基本不等式求出该部分的取值范围；③根据②中的结果确定函数的取值范围；④得出函数的值域。
〔练习7〕解答下列各题：
1、已知函数f(x)= 的值域为R，则m的取值范围是（ ）
A （- ,-2） B （-2,2） C〔2,+ ） D（- ,+ ）
2、已知x＞0，y＞0，且4xy-x-2y=4，则xy的最小值为（ ）
A B 2 C D 2
【典例8】解答下列问题：
1、已知a＞0，设函数f(x)= （x）的最大值为M，最小值为N，那么M+N= ；
2、求函数y= 的值域.。
『思考问题8』
(1) 【典例8】中几个函数的共同特点是函数在定义域上的单调性容易判断，求这类函数值域时主要运用函数的单调性；
（2）利用函数的单调性求函数值域的基本方法是：①判断函数在定义域上的单调性；②根据函数的单调性求函数在定义域上的最值；③确定函数的值域；④得出函数的值域。
〔练习8〕解答下列各题：
1、已知g(x)=- -4，f(x)为二次函数，满足：f(x)+g(x)+f(-x)+g(-x)=0，且f(x)在〔-1,2〕上的最大值为7，则f(x)= 。
2、设二次函数f(x)=a-4x+c的值域为〔0,+ ），则u=的最小值为
。
3、求函数y= 的值域；
【典例9】解答下列问题：
1、用min｛a，b，c｝表示a，b，c 三个数中的最小值，设f(x)=min｛,x+2,10-x｝ (x≥0)，则f(x)的最大值为 ；
2、求函数y= ，x 〔2,5〕的值域；
3、求函数y= 的值域。
『思考问题9』
（1）【典例9】中1求值域的方法是数形结合法，它的基本方法是：①作出问题中函数的
图像；②运用函数图像确定函数的最值；③求出函数的值域；
（2）【典例9】中2求值域的方法是逐层求值法，它的基本方法是：①把函数的解析式分成几个部分；②求出其中某个部分的值域；③将②中求得的结果代入函数解析式求出函数的取值范围；④求出函数的值域；
（3）【典例9】中3求值域的方法是运用韦达定理构造一元二次方程，根据一元二次方程
的相关知识求函数值域的方法，它的基本方法是：①设出两个新元（每一个二次根式为一
个新元）；②根据条件求出两个新元的和与积；③运用韦达定理构造一个一元二次方程；④
由两个新元为非负数的条件得到关于函数y的不等式（或不等式组）；⑤求解不等式（或不
等式组）求出y的取值范围；⑥求出函数的值域。
〔练习9〕解答下列各题：
1、已知函数f(x)= （x∈〔2,6〕），求函数的值域；
2、对于每个实数x，f(x)是y=4x+1，y=x+2和y=-2x+4三个函数中的最小值，求函数f(x)的最大值；
3、求函数y= 的值域；
【典例10】解答下列问题：
1、设直线x=t与函数f(x)= ，g(x)=lnx的图像分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（ ）
A 1 B C D
2、求函数y=-2+5在区间〔-2,2〕上的最大值与最小值；
3、已知函数f(x)= -ax-1。
（1）若函数f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）是否存在实数a，使函数f(x)在（-1,1）上单调递减？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由。
4、已知函数f(x)=ln(x+a)-x(a＞0)。
（1）求（x）；
（2）求函数f(x)在区间〔0,2〕的最小值。
5、已知函数f(x)=ax- ，x∈（0,2〕。
（1）若函数f(x) 在区间（0,2〕上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）求函数f(x) 在区间（0,2〕上的最大值。
『思考问题10』
【典例10】几个函数的共同特点是函数不是简单函数 ；求这类函数值域时，需要采用
导函数法；
（2）导函数法求函数值域的理论依据是最值存在定理：如果函数f(x)在闭区间〔a,b〕上连
续，则函数f(x)在闭区间〔a，b〕上一定存在最大值与最小值；
（3）导函数法求函数值域的基本方法是：①根据函数求导公式，法则和基本方法求出函数
的导函数；②运用导函数判断函数在区间上的单调性；③根据函数的单调性求出函数在区间
上的最值；④求出函数的值域。
〔练习10〕解答下列各题：
1、设函数f(x)= +2+x+1，试求函数f(x)在区间〔-1，1〕上的最大值与最小值；
2、已知a≥0,函数f(x)=( -2ax) ，求函数f(x)的最小值；
3、已知函数f(x)=2ax-，x∈(0,1〕。
（1）若函数f(x)在(0,1〕上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）求函数f(x)在(0,1〕上的最大值。
【典例11】解答下列问题：
1、已知函数f(x)= ， x≤1，则f(f(-2))= ,f(x)的最小值是 ；
x+-6，x＞1，
2、“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望它达到最高点时爆裂，如果烟花距地面的高度h/m与时间t/s之间的关系为h(t)=-4.9+14.7t+18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少(精确到1m)？
3、已知函数f(x)= （x∈〔2,6〕），求函数的最大值和最小值；
4、设实数x，y满足等式=3，求的最值；
5、求函数f(x)=x+2+的最值；
6、函数f(x)= -+2，x＜1，的最大值为 ；
，x≥1,
7、已知函数y=的最大值为M，最小值为m，求的值；
8、已知非负实数x，y，z满足x+y+z=30，x-2y+3z=20，求x+2y+4z的最大值和最小值；
9、对于每个实数x，f(x)是y=4x+1，y=x+2和y=-2x+4三个函数中的最小值，求函数f(x)的最大值；
10、设a＞1，求函数f(x)= 在区间〔2,4〕上的最大值和最小值；
11、已知≤a≤1,若f(x)= 在区间〔1,3〕上的最大值为M(a)，最小值为N（a），令g(a)=M(a)-N(a)。
（1）求g(a)的函数表达式；
（2）判断g(a)的单调性并求出g(a)的最小值。
12、已知函数f(x)= ，x∈［1，+），且a≤1。
（1）当a=时，求函数f(x)的最小值；
（2）若对任意x∈［1，+），f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围。
『思考问题11』
（1）【典例11】是求函数的最大值与最小值的问题，解答这类问题需要理解函数最大值与最小值的定义，掌握求函数最大值与最小值的基本方法；
（2）函数的最值实际上就是函数值域的端点值，求函数最值的基本方法是：①求出函数的值域；②确定函数的最值；
（3）根据函数最值与函数值域之间的关系，求函数值域的方法也是求函数最值的方法，解决这类问题关键是要掌握求函数值域各种类型的特点和处理的方法。
〔练习11〕解答下列各题：
1、某汽车租赁公司的月收益y元与每辆汽车的月租金x元之间的关系为y= -+162x-21000，那么，每辆汽车的月租金多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
2、如图所示，动物园要建造一面靠墙的2间面
积相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料
总长是30m，那么宽x（单位：m）为多少才能使所 x
建造的每间熊猫居室面积最大？每间熊猫居室的最大
面积是多少？
3、已知函数函数f(x)= -2x（x∈〔2,4〕），求f(x)的最小值；
4、函数f(x)=x+ 的最小值为 ；
5、函数f(x)= （x＞1）的最小值为 ；
6、设k∈R，函数f(x)= ，求f(x)的最大值和最小值；
7、已知实数x，y满足y=，求的最大值和最小值；
8、若函数f(x)= 。
（1）若f(x)的定义域是R，求实数m的取值范围；（答案：若f(x)的定义域是R，则实数m的取值范围是（1，+∞））
（2）当m＞1时，求函数f(x)的最小值。
【追踪考试】
【典例12】解答下列问题：
已知函数f(x)= ，x>0，若f(f(-1))=4，且a>-1，则a=（）（成都市2020级高三零诊）
+a，x0，
A - B 0 C 1 D 2
2、已知函数f(x)= （2-x），x<1，则f(-2)+ f(ln4)=（ ）（成都市2019级高三零诊）
A 2 ，x 1， B 4 C 6 D 8
3、已知函数f(x)= |x-1|，x0，则f(f())=（ ）（2021成都市高三零诊）
A 0 lnx， x>0， B 1 C e-1 D 2
4、函数f(x)= -x，x＜1，若f(a)=2，则a的值为 。（2021成都市高三二诊）
+1，x1,
5、下列函数最小值为4的是（ ）（2021全国高考乙卷）
A y=+2x+4 B y=|sinx|+ C y=+ D y=lnx+
6、函数f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值为 （2021全国高考新高考I）
7、设函数f(x)= +2，x<3，则f(f(0))的值为（ ）（成都市高2021级2020-2021学年度上期
（-1），x 3，期末调研考试）
A 2 B 3 C -1 D -1
8、设函数f(x)=lg- ，g(x)= f(2x-1)- f()，若g(x)的值不小于0，则x的取值范围是（ ）（成都市高2021级2020-2021学年度上期期末调研考试）
A [-，0） B [-，-）（-，） C （0，] D （0，）（，]
『思考问题12』
（1）【典例12】是近几年高考（或高三诊断考试或高一上期期末调研考试）试卷中关于函数值（或函数值域或函数追踪）的问题，归结起来主要包括：①验证函数解析式，求函数值；②已知函数解析式和函数值，求函数解析式中参数（或自变量x）的值；③求函数在的值域；
④求函数的最值；
（2）解答这类问题的基本方法是：①确定问题所属的类型；②归结该类型问题的解题思路和解答的基本方法实施解答；③得出问题的结果。
〔练习12〕解答下列各题：
1、已知函数f(x)= sin(x+)，x0，则f(-2)+ f(1)=（ ）（2020成都市高三零诊）
+1， x>0，
A B C D
2、已知函数f(x)=| -1|，<0，>0，函数f(x)在点A（，f()）和B（，f()）的
两条切线互相垂直，且分别交Y轴于M，N两点，则取值范围是 （2021全国高考新高考II）
3、设函数f(x)= +1，x 0，则f(f(2))的值为 。（成都市高2020级2019-2020
x-2，x>0，学年度上期期末调研考试）
4、已知函数f(x)= |lnx|，x>0，和g(x)=a（aR且为常数），有以下结论：①当a=4时，存
-+mx，x0，在实数m，使得关于x的方程f(x)=g(x)有四个不同的
实数根；②存在m[3，4]，使得关于x的方程f(x)=g(x)有三个不同的实数根；③当x>0时，若函数h(x)= (x)+bf(x)+c恰有三个不同的零点，，，则=1；④当m=-4时，关于x的方程f(x)=g(x)有四个不同的实数根，，，，且<<<，
若函数f(x)在[，]上的最大值为ln4，则sin(3+3+5+4)=1，其中正确结论的个数是（ ）（成都市高2019级2018-2019学年度上期期末调研考试）
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
函数的值域与最值
【考纲解读】
理解函数值，函数值域和函数最值的定义；
掌握求函数值，函数值域和函数最值的基本方法；
了解抽象函数的定义和求抽象函数值的基本方法；
能够熟练运用函数值，函数值域和函数最值解答相关的数学问题。
【知识精讲】
一、函数值：
函数值的定义：在函数y=f(x)中，与自变量x的值对应的y的值称为函数值。
求函数值的基本方法：
（1）已知函数的解析式，求函数值：基本方法是：①把给定的自变量x的值代入函数解析式；②通过运算求出函数的值；
（2）已知分段函数的解析式，求函数值：基本方法是：①确定给定的自变量属于哪一段，在此基础上确定函数符合的解析式；②把自变量代入确定的解析式，并通过运算求出函数值；
（3）抽象函数在R上满足的恒等式，求函数值：基本方法是赋值法，其具体步骤为：①确定求所求函数值需要求出哪些自变量的函数值；②确定求各个自变量函数值时需要赋的值；③求出所求自变量的函数值。
二、函数的值域：
1、函数值域的定义：所有函数值构成的数集，叫做函数的值域；
2、函数值域的求法：
（1）运用基本函数的值域求函数值域：基本方法是：①把函数解析式化为某一基本函数关于y的解析式；②根据基本函数的值域得到关于y的不等式（或不等式组）；③求解不等式（或不等式组）求出y的取值范围；④得出函数的值域；
（2）常数分离法求函数值域：基本方法是：①确定分离的常数；②把函数解析式化为确定的常数与某个式子的和的形式；③根据式子的值恒不为零，得到函数的值不等于常数；④得出函数的值域；
（3）判别式法求函数值域：基本方法是：①把函数解析式化为关于自变量x的一元二次方程；②根据自变量x是实数和一元二次方程根的判别式，得到关于函数y的不等式；③求解不等式求出y的取值范围；④得出函数的值域；
（4）配方法求函数值域：这种方法值适用于求一元二次函数的值域；基本方法是：①运用数学配方法对一元二次函数进行配方；②根据实数的平方为非负数，求出函数y的取值范围；③得出函数的值域；
（5）换元法求函数值域：基本方法是：①设出新元（若根号下是一元一次式，则设新元为整个二次根式；若根号下是一元二次式，则设新元为某一三角函数）；②求出新元的取值范围，同时进行换元；③求出换元后函数的值域（注意新元的取值范围）；④得出原函数的值域。
（6）运用基本不等式求函数值域：基本方法是：①注意观察，确定具有基本不等式条件的部分；② 运用基本不等式求出该部分的取值范围；③根据②中的结果确定函数的取值范围；④得出函数的值域。
（7）数形结合法求函数值域：基本方法是：①作出问题中函数的图像；②运用函数图像确定
函数的最值；得求出函数的值域；
（8）运用函数的单调性求函数值域：基本方法是：①判断函数在定义域上的单调性；②根据函数的单调性求函数在定义域上的最值；③确定函数的取值范围；④得出函数的值域。
三、函数的最值：
1、函数最值的定义：
（1）函数最大值的定义：设函数f(x)的定义域是A，如果对任意的自变量x∈A，都有f(x)≤M成立，且存在∈A，使f()=M，则称M是函数f(x)的最大值；
（2）函数最小值的定义：设函数f(x)的定义域是A，如果对任意的自变量x∈A，都有f(x)≥N成立，且存在∈A，使f()=N，则称N是函数f(x)的最小值 。
2、函数最值的求法：
求函数最值的基本方法是：①求出函数的值域；②确定函数的最值。
【探导考点】
考点1求函数值的基本方法：热点①分段函数值的求法；热点②复合函数值的求法；热点③已知函数值，求解析式中参数（或自变量x）的值；
考点2求函数值域的基本方法：热点①已知函数解析式，求函数在给定区间上的值域；热点②分段函数值域的求法；热点③运用函数导函数求函数的值域；
考点3求函数最值的基本方法：热点①已知函数解析式，求函数在给定区间上的最值；热点②分段函数最值的求法；热点③运用函数导函数求函数的最值。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、设函数f(x)= 3x-1，x＜1，则满足f(f(a))= ，的a的取值范围是（ ）
，x≥1，
A ［，1］ B ［0，1］ C ［，+） D ［1，+）
【解析】
【知识点】①求函数值的基本方法；②分段函数的定义与性质；③求分段函数值的基本方法；
④指数的定义与性质；⑤参数分类讨论的原则与基本方法。
【解题思路】①当a＜时，根据f(a)=3a-1＜1，得到 f(f(a))=f(3a-1)=3(3a-1)-1=-9a-4 ，②当 a＜1时，根据f(a)=3a-1＞1，得到 f(f(a))=f(3a-1)= =，③当a≥1，根据f(a)= ＞1，得到 f(f(a))=f()==，从而得到当f(f(a))= 时，实数a的取值范围。
【详细解答】①当a＜时，由f(a)=3a-1＜1， f(f(a))=f(3a-1)=3(3a-1)-1=-9a-4 ，②当 a＜1时，由f(a)=3a-1＞1， f(f(a))=f(3a-1)= =，③当a≥1，由f(a)= ＞1， f(f(a))=f()==，综上所述，当f(f(a))= 时，实数a的取值范围是［，+），C正确，选C。
2、设函数f(x)= +1，x1，则f(f(3))=（ ）
A ，x＞1，B 3 C D
【解析】
【知识点】①求函数值的基本方法；②分段函数的定义与性质；③求分段函数值的基本方法。
【解题思路】根据3＞1，得到 f(3)=，根据＜1，得到 f()=+1= ，求出 f(f(3))=的值就可得出选项。
【详细解答】3＞1，f(3)=，＜1，f()=+1= ，即 f(f(3))= f()=+1=，D正确，选D。
3、已知函数f(x)= -2（a+2）x+，g(x)=-+2（a-2）x-+8，设（x）=max{ f(x)，g(x)}，（x）=min{ f(x)，g(x)}，max{ p，q}表示p，q中的较大值，min{ p，q}表示p，q中的较小值，记（x）的最小值为A，（x）的最大值为B，则A-B=（ ）
A 16 B -16 C -2a-16 D +2a-16
【解析】
【知识点】①函数图像的定义与作法；②分段函数的定义与性质；③求分段函数最值的基本方法；④一元二次函数的定义与性质；⑤求函数最值的基本方法；⑥数形结合的数学思想及运用。
【解题思路】在同一直角坐标系中作出函数f(x) y
与g(x)的图像如图所示：由函数f(x)图像的顶点
坐标为（a+2，-4a-4），函数g(x)图像的顶点坐标
为（a-2，-4a+12），且每个函数图像的顶点都在另
一个函数的图像上，由A，B分别是二次函数f(x)， g(x) f(x)
g(x)的顶点的纵坐标，求出 A-B的值就可得出选项。
【详细解答】在同一直角坐标系中作出函数f(x)与 0 x
g(x)的图像如图所示：函数f(x)图像的顶点坐标为
（a+2，-4a-4），g(x)图像的顶点坐标为（a-2，-4a+12），且每个函数图像的顶点都在另一个函数的图像上，由题意可知A，B分别是二次函数f(x)，g(x)的顶点的纵坐标， A-B=-4a-4-(-4a+12)=-16，B正确，选B。
4、已知实数a0，函数f(x)= 2x+a，x＜1，若f(1-a)=f(1+a)，则实数a的值为 ；
-x-2a，x≥1，
【解析】
【知识点】①求函数值的基本方法；②分段函数的定义与性质；③求分段函数值的基本方法；
④求解方程的基本方法；⑤参数分类讨论的原则与基本方法。
【解题思路】根据a0，①当a＞0时，1-a＜1, f(1-a)=3(1-a)-1=-3a+2，1+a＞1，f(1+a)=-(1+a)-2a=-3a-1，f(1-a)=f(1+a)，-3a+2=-3a-1，2=-1不成立，②当a＜0时，1-a＞1，f(1-a)=-(1-a)-2a=-a-1，1+a＜1，f(1+a)=3(1+a)-1=3a+2，f(1-a)=f(1+a)，-a-1=3a+2，a=- ，综上所述，当f(1-a)=f(1+a)时，a=- 。
【详细解答】 a0，①当a＞0时，1-a＜1, f(1-a)=3(1-a)-1=-3a+2，1+a＞1，f(1+a)=-(1+a)-2a=-3a-1，f(1-a)=f(1+a)，-3a+2=-3a-1，2=-1不成立，②当a＜0时，1-a＞1，f(1-a)=-(1-a)-2a=-a-1，1+a＜1，f(1+a)=3(1+a)-1=3a+2，f(1-a)=f(1+a)，-a-1=3a+2，a=- ，综上所述，当f(1-a)=f(1+a)时，a=- 。
5、已知函数f(x)= +1，x≥0，若f(x)=10，则x= ；
-2x，x＜0，
【解析】
【知识点】①求函数值的基本方法；②分段函数的定义与性质；③求分段函数值的基本方法。
【解题思路】根据f(x)=10，①若x≥0，+1=10，x=3；②若x＜0，-2x=10，x=-5，从而得到当f(x)=10时，x=3或x=-5。
【详细解答】 f(x)=10，①若x≥0，+1=10，x=3；②若x＜0，-2x=10，x=-5，综上所述，当f(x)=10时，x=3或x=-5。
6、已知函数f(x)= ，那么f(1)+f(2)+f()+f(3)+f()+f(4)+f()= ；
【解析】
【知识点】①倒数的定义与性质；②函数值定义与性质；③求函数值的基本求法。
【解题思路】根据2与，3与，4与互为倒数，f(x)+f（）=+=
+=1，就可求出f(1)+f(2)+f()+f(3)+f()+f(4)+f()的值。
【详细解答】2与，3与，4与互为倒数，f(x)+f（）=+=
+=1， f(1)+f(2)+f()+f(3)+f()+f(4)+f()=f(1)+3=+3=。
7、已知函数f(x)=a- ，a为一个正的常数，且f(f())=-，则a的值为 ；
【解析】
【知识点】①函数值定义与性质；②求函数值的基本方法；③求解方程的基本方法。
【解题思路】根据函数值的性质和求函数值的基本方法，结合问题条件得到关于a的方程，运用求解方程的基本方法求解方程，就可求出a的值。
【详细解答】 f()=a-=2a-， f()=f（2a-）=a-=
4-4+2a-=-，4-4+2a=0，a=0或a=，a＞0， a=。
8、设函数f(x)= 2+2，g(x)= ，则g(f(2))= ；
【解析】
【知识点】①函数值定义与性质；②复合函数定义与性质；③求函数值的基本方法。
【解题思路】根据函数值的性质和求函数值的基本方法，求出f(2)的值，运用复合函数的性质，就可求出 g(f(2))的值。
【详细解答】 f(2)=2+2=10， g(f(2))=g（10）= = 。
『思考问题1』
（1）【典例1】是函数求值的问题，解答这类问题需要理解函数值的定义，掌握分段函数求值的基本方法；
（2）已知函数的解析式，求函数值的基本方法是：①把给定的自变量x的值代入函数解析式；②通过运算求出函数的值；
（3）分段函数求值的基本方法是：①确定给定的自变量属于哪一段，在此基础上选定函数求值时符合的解析式；②把自变量代入选定的解析式，并通过运算求出函数的值。
〔练习1〕解答下列各题：
1、根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为f(x)= ，x＜A，
，x≥A，（A，c为常数），已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是（ ）（答案：D）
A 71,25 B 75,16 C 60,25 D 60，16
2、已知f(x)=（1-2a）x+3a，x＜1，的值域为R，那么a的取值范围是（ ）（答案：A）
A（-，-1］ lnx，x≥1，B （-1，） C ［-1，） D （0，）
3、设函数f(x)= ，x≥1，则使得f(x) 2成立的x的取值范围是 ；
，x＜1，（答案：使得f(x) 2成立的x的取值范围是（-，8］）
4、已知函数f(x)= 。
（1）判断点（3,14）是否在f(x)的图像上；（答案：点（3,14）不在f(x)的图像上）
（2）当x=4时，求f(x)的值；（答案：f(4)=-3）
（3）当f(x)=2时，求x的值。（答案：当f(x)=2时，x=14）
【典例2】解答下列问题：
1、求函数y=的值域；
【解析】
【知识点】①分式的定义与性质，②一元二次函数的定义与性质；③求解不等式或不等式组的基本方法。
【解题思路】由2+2， y= 2y+y=1，=，根据0，0，0＜y，函数y= 的值域为（0，］。
【详细解答】2+2， y= 2y+y=1，=，0，0，0＜y，函数y= 的值域为（0，］。
2、求函数y= 的值域；
【解析】
【知识点】①分式的定义与性质，②正弦函数的定义与性质；③不等式或不等式组的解法。
【解题思路】由1+1， y= y+y=1-，=，根据0，
0，-1＜y1，函数y= 的值域为（-1，1］。
【详细解答】1+1， y= y+y=1-，=，0，
0，-1＜y1，函数y= 的值域为（-1，1］。
3、求函数y= 的值域；
【解析】
【知识点】①分式的定义与性质，②一元二次函数定义与性质；③不等式或不等式组的解法。
【解题思路】由12-cosx3， y= ，2y-ycosx=sinx，sin（x+）=，根据| sin（x+）|1，得到 ||1，求解不等式求出y的取值范围就可求出函数y= 的值域。
【详细解答】12-cosx3， y= ，2y-ycosx=sinx，sin（x+）=，| sin（x+）|1，||1，-y，函数y= 的值域为［-，］。
4、求函数y= 的值域。
【解析】
【知识点】①分式的定义与性质，②指数函数的定义与性质；③不等式或不等式组的解法。
【解题思路】由1+＞1， y= y+y=1-，=，根据＞0，
＞0，-1＜y＜1，函数y= 的值域为（-1，1）。
【详细解答】1+＞1， y= y+y=1-，=，＞0，
＞0，-1＜y＜1，函数y= 的值域为（-1，1）。
『思考问题2』
（1）【典例2】1，2小题的共同特点是：①函数解析式是分式；②分式分子，分母中只含自变量x的二次项；
（2）【典例2】3小题的特点是：①函数的解析式是分式；②分式分子，分母中含有三角函数；
（3）【典例2】4小题的特点是：①函数的解析式是分式；②分式分子，分母中含有指数函数；
（4）【典例2】1，2小题求值域利用了基本函数f(x)=的值域，【典例2】3小题求值域利用了基本函数f(x)=sinx的值域，③【典例2】4小题求值域利用了基本函数f(x)= 的值域；
(5) 【典例2】求值域的方法是利用基本函数的值域求函数值域，它的基本方法是：①将函数的解析式化为关于某一基本函数关于y的解析式；②根据该基本函数的值域得到关于y的不等式（或不等式组）；③求解不等式（或不等式组）求出y的取值范围；④得出原函数的值域。
〔练习2〕解答下列各题：
1、求函数y=的值域；（答案：函数y的值域为（0，］）
2、求函数y= 的值域；（答案：函数y的值域为［-，］）
3、求函数y=的值域； （答案：函数y的值域为（-1，］）
4、求函数y= 的值域。（答案：函数y的值域为（0，））
【典例3】解答下列问题：
1、求函数y= 的值域；
【解析】
【知识点】①分式的定义与性质，②分离常数的确定；③分离常数法的基本方法。
【解题思路】由解析式中分子，分母一次项的系数可得分离的常数为， y=
= =+，根据0，y，函数y= 的值域为（-，）（，+）。
【详细解答】解析式中分子，分母一次项的系数可得分离的常数为， y=
= =+，0，y，函数y= 的值域为（-，）（，+）。
2、求函数y=的值域。
【解析】
【知识点】①分式的定义与性质，②确定分离常数的基本方法；③分离常数法的基本方法。
【解题思路】根据分子的性质和确定分离常数的基本方法，结合问题条件得到分离的常数，运用分离常数法的基本方法就可求出函数y= 的值域。
【详细解答】由解析式中分子，分母一次项的系数可得分离的常数为， y==
=+， 0，y，函数y= 的值域为（-，）（，+）。
『思考问题3』
（1）【典例3】中两个函数的共同特点是：①函数解析式是分式；②分式分子，分母中只含自变量x的一次项；
(2) 【典例3】求函数值域的方法称为分离常数法；它的基本方法是：①确定分离的常数（一般是一个分数，分数分子是解析式中分子含x项的系数，分母是解析式中分母含x项的系数）；②对解析式的分子提取确定的常数的公因式，使括号中的两项与解析式的分母相同；③将函数的分式写出两个分式的和，从而分离出常数；④求出余下分式的值域，得到函数的值域。
〔练习3〕解答下列各题：
1、求函数y= 的值域； （答案：函数y的值域为 （-，1）（1，+））
2、求函数y=的值域。（答案：函数y的值域为 （-，）（，+））
【典例4】解答下列问题：
1、求函数y= 的值域；
【解析】
【知识点】①分式定义与性质，②数学配方法及运用；③一元二次方程根的判别式及运用；④判别式法求函数值域的基本方法。
【解题思路】根据分式的性质和数学配方法，得到-x+1=+，从而得到 y= ，y（-x+1）=-x，（y-1）-（y-1）x+y=0，运用一元二次方程根的判别式，得到 =-4y（y-1）0，求解不等式求出 -y1，验证y=1时，方程（y-1）-（y-1）x+y=0是否成立，从而求出y的取值范围，就可求出函数y= 的值域。
【详细解答】-x+1=+， y= ，y（-x+1）=-x，（y-1）-（y-1）x+y=0，x是实数，=-4y（y-1）0，-y1，
当y=1时，方程 （y-1）-（y-1）x+y=0，0-0+1=0显然不成立，-y＜1，即函数y= 的值域为［-，1）。
2、求函数y= 的值域。
【解析】
【知识点】①分式的定义与性质，②配方法的基本方法；③一元二次方程根的判别式及运用；④判别式法的基本方法。
【解题思路】根据分式的性质和数学配方法，得到+2x+3=+22，从而得到 y= ，y（+2x+3）=2+4x，（y-2）+2（y-2）x+3y=0，运用一元二次方程根的判别式，得到= 4-12y（y-2）0，求解不等式求出 -1y2，验证当y=2时，方程（y-2）+2（y-2）x+3y=0是否成立，从而求出 y的取值范围，就可求出函数y= 的值域。
【详细解答】+2x+3=+22， y= ，y（+2x+3）=2+4x，
（y-2）+2（y-2）x+3y=0，x是实数，= 4-12y（y-2）0，-1y2，
当y=2时，方程（y-2）+2（y-2）x+3y=0，0+0+6=0显然不成立，-1y＜2，即函数y= 的值域为［-1，2）。
『思考问题4』
（1）【典例4】中两个函数的共同特点是：①函数的解析式是分式式；②分式的分子，分母
既含自变量x的二次项，又含自变量x的一次项；
（2）求这种函数的值域主要采用判别式法，它的基本方法是：①将函数y视为常数，把函
数的解析式化为关于自变量x的一元二次方程；②根据自变量x是实数，得到判别式0关
于函数y的不等式（或不等式组）；③求解不等式（或不等式组）；④求出函数的值域（注意
验证二次项系数为0时，函数y的值是否成立）。
〔练习4〕解答下列各题：
1、求函数y= 的值域；（答案：函数y的值域为（2，］）
2、求函数y= 的值域。（答案：函数y的值域为［-，1））
【典例5】解答下列问题：
1、求函数y=1-x（1-x）的值域；
【解析】
【知识点】①一元二次函数定义与性质；②求一元二次函数值域的基本方法。③数学配方法及运用。
【解题思路】根据一元二次函数的性质和配方法的基本方法，得到y=1-x（1-x）=-x+1=+，就可求出函数y=1-x（1-x）的值域。
【详细解答】 y=1-x（1-x）=-x+1=+，函数y=1-x（1-x）的值域为
［，+）。
2、求函数y=-2+4x+2的值域；
【解析】
【知识点】①一元二次函数定义与性质；②求一元二次函数值域的基本方法；③数学配方法及运用。
【解题思路】根据一元二次函数的性质和配方法的基本方法，得到y=-2+4x+2=-2（+2x+1）+4=-2+44，就可求出函数y=-2+4x+2的值域。
【详细解答】 y=-2+4x+2=-2（-2x+1）+4=-2+44，函数y=-2+4x+2的值域为（-，4］。
3、求函数y=+3x+1的值域；
【解析】
【知识点】①一元二次函数定义与性质；②求一元二次函数值域的基本方法；③数学配方法及运用。
【解题思路】根据一元二次函数的性质和配方法的基本方法，得到y=+3x+1=（+6x+9）-=--，就可求出函数y=+3x+1的值域。
【详细解答】 y=+3x+1=（+6x+9）-=--，函数y=+3x+1的值域为［-，+）。
4、求函数y=-+x+3的值域。
【解析】
【知识点】①一元二次函数定义与性质；②求一元二次函数值域的基本方法；③数学配方法及运用。
【解题思路】根据一元二次函数的性质和配方法的基本方法，得到 y=-+x+3=-(-4x
+4)+4=-+44，就可求出函数y=-+x+3的值域。
【详细解答】 y=-+x+3=-(-4x+4)+4=-+44，函数y=-+x+3的值域为（-，4］。
『思考问题5』
（1）【典例5】几个函数的共同特点是：解析式是关于自变量x的一元二次式，求这类函数
值域的基本方法是配方法；
（2）配方法的基本方法是：①将二次项的系数提到括号外面并在括号内加上一次项系数一
半的平方使括号内的二次三项式能够配成完全平方式，在括号外减去二次项系数与括号内常
数的乘积；②把括号中的二次三项式配成完全平方式；③根据实数的平方为非负数，得到函
数的取值范围；④求出函数的值域。
〔练习5〕解答下列各题：
1、求函数y=1+x（1-x）的值域； （答案：函数y的值域为（-，］）
2、求函数y=2-3x+2的值域；（答案：函数y的值域为［，+））
3、求函数y=-3x+1的值域； （答案：函数y的值域为［-，+））
4、求函数y=-+2x+3的值域；（答案：函数y的值域为（-，7］）
5、求函数y=2+3x+2的值域。（答案：函数y的值域为［，+））
【典例6】解答下列问题：
1、求函数y=2x-1- 的值域；
【解析】
【知识点】①二次根式定义与性质；②数学换元法及运用；③配方法及运用。
【解题思路】设t=，t［0，+），得到x=，从而得到 y=2-1-t，运用配方法的基本方法求出函数y=2-1-t的值域，就可求出函数y=2x-1- 的值域。
【详细解答】设t=，t［0，+），x=， y=2-1-t=-（+2t+1）+6=-+6，函数y在［0，+）上单调递减，y=-+6-+6，即函数y=2x-1- 的值域为（-，］。
2、求函数y=4 x-1+的值域；
【解析】
【知识点】①二次根式定义与性质；②数学换元法及运用；③求一元二次函数值域的基本方法。
【解题思路】设t=，t［0，+），得到x=，从而得到 y=4-1+t=2
+t+5，运用配方法的基本方法求出函数y=2+t+5的值域，就可求出函数y=4 x-1+的值域。
【详细解答】设t=，t［0，+），x=， y=4-1+t=2（+t+）+=2+，函数y=2+在［0，+）上单调递增， y=2+
5，即函数y=4 x-1+的值域为［5，+）。
3、求函数y=x+ 的值域；
【解析】
【知识点】①二次根式定义与性质；②数学换元法及运用；③求三角函数值域的基本方法。
【解题思路】设x=sin，x［-，］，得到y=sin+cos，运用求三角函数值域的基本方法求出函数y=sin+cos的值域，就可求出函数y=x+ 的值域。
【详细解答】设x=sin，x［-，］，y=sin+cos=sin(+)，
-y，即函数y=x+ 的值域为［-，］。
4、已知函数f(x)的值域为，则函数g(x)=f(x)+的值域为 。
【解析】
【知识点】①二次根式定义与性质；②数学换元法及运用；③求一元二次函数值域的基本方法。
【解题思路】设t=，根据f(x) ［，］，得到t［，］，f(x) =，
从而得到y=+t=-+t+，运用配方法的基本方法求出函数y=-+t+在t［，］上的值域，就可求出函数y=f(x)+的值域。
【详细解答】设t=，f(x) ［，］， t［，］，f(x) =，函数y=+t=-(-2t+1)+1=-+1在［，］上单调递增， y，即函数g(x)=f(x)+的值域为［，］。
『思考问题6』
【典例6】几个函数的共同特点是解析式中含有二次根式，求这类函数值域主要采用换
元法；
（2）换元法的基本方法是：①设出新元（若根号下是一元一次式，则设新元为整个二次根
式；若根号下是一元二次式，则设新元为某一三角函数）；②求出新元的取值范围，同时进
行换元；③求出换元后函数的值域（注意新元的取值范围）；④得出原函数的值域。
〔练习6〕解答下列各题：
1、求函数y=2x- 的值域； （答案：函数y的值域为［，+））
2、求函数y=x+1+的值域；（答案：函数y的值域为［，+））
3、求函数y=x+ 的值域； （答案：函数y的值域为［-2，2］）
4、求函数y=x- 的值域。（答案：函数y的值域为（-，］）
【典例7】解答下列问题：
1、设x，y为实数，若4++xy=1，则2x+y的最大值是 。
【解析】
【知识点】①完全平方式及运用；②基本不等式及运用。
【解题思路】根据基本不等式，得到 4+4xy，从而得到 4++xy=15xy，求出 xy的取值范围，运用完全平方式得到4++xy=-3xy=1，求出
=1+3xy1+=，得到 |2x+y|的取值范围，就可求出2x+y的最大值。
【详细解答】 x，y为实数，4+4xy，4++xy=15xy，xy，
4++xy=-3xy=1，=1+3xy1+=， |2x+y|，-2x+y，即 2x+y的最大值为。
2、求函数y= -1的值域；
【解析】
【知识点】①对数函数定义与性质；②基本不等式及运用。
【解题思路】①当x＞1时，根据x＞0，3＞0，运用基本不等式得到 x+32
，从而得到 y= -12-11；②当0＜x＜1时，根据-x＞0，-3＞0，运用基本不等式得到 x+3=-（-x-3）-2
，从而得到 y= -1-2-1-3；综上所述，就可求出函数y= -1的值域。
【详细解答】①当x＞1时，x＞0，3＞0，x+32， y=-12-11；②当0＜x＜1时，-x＞0，-3＞0， x+3=-（-x-3）-2， y= -1
-2-1-3；综上所述，当x＞1时，函数y= -1的值域为［1，+）；当0＜x＜1时，函数y= -1的值域为（-，-3］。
『思考问题7』
(1) 【典例7】两个函数的共同特点是解析式中某部分具有基本不等式的条件，求这类函数
值域时主要运用基本不等式求值域；
（2）运用基本不等式求值域的基本方法是：①注意观察，确定具有基本不等式条件的部分；② 运用基本不等式求出该部分的取值范围；③根据②中的结果确定函数的取值范围；④得出函数的值域。
〔练习7〕解答下列各题：
1、已知函数f(x)= 的值域为R，则m的取值范围是（ ）（答案：C）
A （- ,-2） B （-2,2） C〔2,+ ） D（- ,+ ）
2、已知x＞0，y＞0，且4xy-x-2y=4，则xy的最小值为（ ）（答案：D）
A B 2 C D 2
【典例8】解答下列问题：
1、已知a＞0，设函数f(x)= （x）的最大值为M，最小值为N，那么M+N= ；
【解析】
【知识点】①分式的定义与性质；②判断函数单调性的基本方法；③运用函数单调性求函数值域的基本方法。
【解题思路】根据f(x)= = =2012- ，运用判断函数单调性的基本方法判断函数f(x)= 2012- 在上的单调性，利用函数单调性求出函数f(x) 在上的值域，从而得到M，N的值就可求出M+N的值。
【详细解答】 f(x)= = =2012- ，任取，，且＜，f（）-f(）=2012--2012+=
=＜0，函数f(x)= 在上单调递增，M=f(a)= 2012- ，N=f(-a)= 2012- =2012- ，M+N=2012- +2012- =4024-2=4022。
2、求函数y= 的值域.。
【解析】
【知识点】①分式的定义与性质；②二次根式的定义与性质；③判断函数单调性的基本方法；④运用函数单调性求函数值域的基本方法。
【解题思路】根据y= = = + ，设t=，t［2，+），得到函数y=t+，运用判断函数单调性的基本方法判断函数y=t+在［2，+）上的单调性，利用函数单调性就可求出函数y= 的值域。
【详细解答】 y= = = + ，设t=，t［2，+），y=t+，任取，［2，+），且＜，f()-f()=+--=(-)
(1-)＜0，函数y=t+在［2，+）单调递增， =2+=，函数y= 的值域为［，+）。
『思考问题8』
(1) 【典例8】中几个函数的共同特点是函数在定义域上的单调性容易判断，求这类函数值域时主要运用函数的单调性；
（2）利用函数的单调性求函数值域的基本方法是：①判断函数在定义域上的单调性；②根据函数的单调性求函数在定义域上的最值；③确定函数的值域；④得出函数的值域。
〔练习8〕解答下列各题：
1、已知g(x)=- -4，f(x)为二次函数，满足：f(x)+g(x)+f(-x)+g(-x)=0，且f(x)在〔-1,2〕上的最大值为7，则f(x)= 。（答案：f(x)= -2x+4）
2、设二次函数f(x)=a-4x+c的值域为〔0,+ ），则u=的最小值为
。（答案：u的最小值为1）
3、求函数y= 的值域；（答案：函数y的值域为［4，+））
【典例9】解答下列问题：
1、用min｛a,b,c｝表示a、b、c 三个数中的最小值，设f(x)=min｛,x+2,10-x｝ (x≥0)，则f(x)的最大值为 ；
【解析】
3、【知识点】①一次函数的定义与性质；②指数函数的定义，图像与性质；③分段函数的定义与性质；④分段函数最值的求法；
【解题思路】在同一直角坐标系中作出函数g(x)= ，h（x）=x+2，u(x)=10-x的图像如图所示，由图可得：，0x2，根据0x2时， y
f(x)= x+2，2＜x4，函数f(x)单调递
10-x，x＞4，增，得到当0x2
时，= f（2）==4；当2＜x4时，函数f(x)
单调递增，得到当2＜x4时，=f（4）=4+2 0 x
=6；当x＞4时，函数f(x)单调递减，得到当 x＞4时，＜f（4）=10-4=6，运用分段函数求最值的基本方法就可求出函数f(x)的最大值。
【详细解答】在同一直角坐标系中作出函数g(x)= ，h（x）=x+2，u(x)=10-x的图像如图所示，由图可得： ，0x2，当0x2时，函数f(x)单调递增， 0x2时，
f(x)= x+2，2＜x4，=f（2）==4；当2＜x4时，函数f(x)单调
10-x，x＞4，递增，2＜x4时，=f（4）=4+2=6；当x＞4时，函数f(x)单调递减， x＞4时，＜f（4）=10-4=6，综上所述，当x≥0时，=f（4）=4+2=6。
2、求函数y= ，x 〔2,5〕的值域；
【解析】
【知识点】①分式的定义与性质；②一元一次函数的定义与性质；③函数逐层求值域的基本方法。
【解题思路】根据分母为1-2x在〔2,5〕上单调递减，得到当x 〔2,5〕时，-9 1-2x -3， 运用函数逐层求值域的基本方法就可求出函数y= ，x 〔2,5〕的值域。
【详细解答】分母为1-2x在〔2,5〕上单调递减，当x 〔2,5〕时，-9 1-2x -3，--，函数y= 在x 〔2,5〕上的值域为［-，-］。
3、求函数y= 的值域。
【解析】
【知识点】①二次根式的定义与性质；②数学换元法及运用；③一元二次方程根与系数的关系定理及运用；④一元二次方程根的判别式及运用；⑤判别式法求函数值域的基本方法。
【解题思路】设t=，t〔0,+ ），u=，u〔0,+ ），得到+ =1-2x+2x+3=4，根据t+u=y，得到 =+2tu+ =4+2tu，从而得到t，u是一元二次方程-yx+-2=0的两个正根，运用一元二次方程根与系数的关系定理和判别式得到关于y的不等式组，求解不等式组就可求出函数y= 的值域。
【详细解答】设t=，t〔0,+ ），u=，u〔0,+ ），+ =1-2x+2x+3=4，t+u=y，=+2tu+ =4+2tu，tu=-2，t，u是一元二次方程-yx+-2=0的两个正根， y= t+u 0①，=-4（-2）=-+80②， tu= -20③，联立①②③解得：2y2，函数y= 的值域为［2，2］。
『思考问题9』
（1）【典例9】中1求值域的方法是数形结合法，它的基本方法是：①作出问题中函数的
图像；②运用函数图像确定函数的最值；③求出函数的值域；
（2）【典例9】中2求值域的方法是逐层求值法，它的基本方法是：①把函数的解析式分成几个部分；②求出其中某个部分的值域；③将②中求得的结果代入函数解析式求出函数的取值范围；④求出函数的值域；
（3）【典例9】中3求值域的方法是运用韦达定理构造一元二次方程，根据一元二次方程
的相关知识求函数值域的方法，它的基本方法是：①设出两个新元（每一个二次根式为一
个新元）；②根据条件求出两个新元的和与积；③运用韦达定理构造一个一元二次方程；④
由两个新元为非负数的条件得到关于函数y的不等式（或不等式组）；⑤求解不等式（或不
等式组）求出y的取值范围；⑥求出函数的值域。
〔练习9〕解答下列各题：
1、已知函数f(x)= （x∈〔2,6〕），求函数的值域；（答案：函数f(x)的值域为［，2］）
2、对于每个实数x，f(x)是y=4x+1，y=x+2和y=-2x+4三个函数中的最小值，求函数f(x)的最大值；（答案：函数f(x)的最大值为）
3、求函数y= 的值域；（答案：函数y的值域为［，2］）
【典例10】解答下列问题：
1、设直线x=t与函数f(x)= ，g(x)=lnx的图像分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（ ）
A 1 B C D
【解析】
【知识点】①一元二次函数的定义，图像与性质；②对数函数的定义，图像与性质；③导数的定义与求法；④运用导数求最值的基本方法。
【解题思路】根据题意可得|MN|=-lnx，设h(x)= -lnx，运用求函数导函数的基本方法求出函数h(x)的导函数（x），利用导函数求函数最值的基本方法求出函数h(x)的最小值，从而求出当|MN|取最小值时t的值，就可得出选项。
【详细解答】根据题意可得|MN|=-lnx，设h(x)= -lnx，（x）=2x-=，令（x）=0得x=，x∈（0, ）时，（x）＜0，x∈（，+ ）时，（x）＞0，函数h(x)在（0, ）上单减，在（，+ ）上单增，=h()，当x=，即t=时，|MN|达到最小值，D正确，选D。
2、求函数y=-2+5在区间〔-2,2〕上的最大值与最小值；
【解析】
【知识点】①函数求导公式，法则和基本方法；②函数最值存在定理及运用；③运用函数导函数求函数最值的基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式，法则和基本方法求出函数f(x)的导函数（x），运用函数最值存在定理和函数导函数求函数最值的基本方法就可求出函数y=-2+5在区间〔-2,2〕上的最大值与最小值。
【详细解答】（x）=4-4x=4x（x+1）（x-1），令（x）=0解得：x=-1或x=0或x=1， x，（x），f(x)在［-2，2］上的变化情况如表所示：
x -2 （-2，-1） -1 （-1，0） 0 （0，1） 1 （1，2） 2
（x） - - 0 + 0 - 0 + +
f(x) 13 4 5 4 13
当x∈［-2，2］时，=4，=13。
3、已知函数f(x)= -ax-1。
（1）若函数f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）是否存在实数a，使函数f(x)在（-1,1）上单调递减？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由。
【解析】
【知识点】①函数求导公式，法则和基本方法；②运用导数判断函数单调性的基本方法；③求解探索性问题的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数f(x)在R上单增，得到 （x）=3-a0在R恒成立，从而得到 3a在R上恒成立，运用g(x)= 30，得到 =0就可求出实数 a的求值范围；（2）设存在实数a，使函数f(x)在（-1,1）上单调递减，由（1）知（x）=3-a，根据函数f(x)在（-1,1）上单调递减，得到 （-1）=3 -a=3-a0①，（1）=3 -a=3-a0②，联立①②求出实数a求值范围，从而得到存在实数a，使函数f(x)在
（-1,1）上单调递减。
【详细解答】（1）函数f(x)在R上单增，（x）=3-a0在R恒成立，3a在R上恒成立，设g(x)= 30，=0，当函数f(x)在R上单增时，实数a的取值范围是（-，0］；（2）设存在实数a，使函数f(x)在（-1,1）上单调递减，由（1）知（x）=3-a，函数f(x)在（-1,1）上单调递减， （-1）=3 -a=3-a0①，（1）=3 -a=3-a0②，联立①②解得：a3，存在实数a∈［3，+），使函数f(x)在（-1,1）上单调递减。
4、已知函数f(x)=ln(x+a)-x(a＞0)。
（1）求（x）；
（2）求函数f(x)在区间〔0,2〕的最小值。
【解析】
【知识点】①函数求导公式，法则和基本方法；②函数最值存在定理及运用；③运用函数导函数求函数最值的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式，法则和基本方法，就可求出函数f(x)的导函数 （x）；（2）令（x）=0解得：x=1-a，①当1-a＜0，即a＞1时，（x）＜0在［0，2］上恒成立，得到 f(x)在［0，2］单调递减，求出函数f(x)在区间〔0，2〕上的最小值 =f(2)
=ln(2+a)-2；②当0＜1-a＜2，即0＜a＜1时，x∈［0,1-a）时，（x）＞0，x∈（1-a，2］时，（x）＜0，根据 f(0) =lna，f(2)=ln(2+a)-2，f(2) -f(0)=ln(x+a)-2-lna=ln -2，若ln -20，即， xa（-1）时，=f(0)=lna；若ln -2＜0，即＜，x＜a（-1）时，=f(2)= =ln(2+a)-2；综上所述，就可求出函数f(x)在区间〔0,2〕的最小值。
【详细解答】（1）（x）=-1=；（2）令（x）=0解得：x=1-a，①当1-a＜0，即a＞1时，（x）＜0在［0，2］上恒成立，函数f(x)在［0，2］上单调递减，=f(2)=ln(2+a)-2；②当0＜1-a＜2，即0＜a＜1时，x∈［0,1-a）时，（x）＞0，x∈（1-a，2］时，（x）＜0， f(0) =lna，f(2)=ln(2+a)-2，f(2) -f(0)=ln(x+a)-2-lna
=ln -2，若ln -20，即，xa（-1）时，=f(0)=lna；
若ln -2＜0，即＜，x＜a（-1）时，=f(2)= =ln(2+a)-2；综上所述，当x∈［0, a（-1））（1，+ ）时，=f(2)= =ln(2+a)-2；当x∈（ a（-1），1］时，=f(0)=lna。
5、已知函数f(x)=ax- ，x∈（0,2〕。
（1）若函数f(x) 在区间（0,2〕上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）求函数f(x) 在区间（0,2〕上的最大值。
【解析】
【知识点】①函数求导公式，法则和基本方法；②函数最值存在定理及运用；③运用函数导函数求函数最值的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数f(x)在（0，2］上单调递增，得到 （x）=a+ = 0在（0，2］恒成立，a+10在（0，2］上恒成立，a-在（0，2］上恒成立，设g(x)= -，根据g(x) 在（0，2］上单调递增，得到 =g(2)=- ，从而求出实数 a的求值范围；（2）由（1）知，①当a-时，函数f(x) 在（0，2］上单增，得到 =f(2)=2a-；②当a＜-时，令（x）=0解得：x=， x∈（0，）时，（x）＞0，x∈（，2］时，（x）＜0，得到函数f(x)在（0，）单调递增，在（，2］单调递减，求出 = f()=a-=-2，综上所述，求出函数f(x) 在区间（0,2〕上的最大值。
【详细解答】（1）函数f(x)在（0，2］上单增，（x）=a+ = 0在（0，2］恒成立，a+10在（0，2］上恒成立，a-在（0，2］上恒成立，设g(x)= -，函数g(x) 在（0，2］上单调递增，=g(2)=- ，a-，函数f(x)在（0，2］上单增时，实数a的取值范围为［-，+）；（2）由（1）知，①当a-时，函数f(x) 在（0，2］上单调递增，=f(2)=2a-；②当a＜-时，令（x）=0解得：x=， x∈（0，）时，（x）＞0，x∈（，2］时，（x）＜0，函数f(x)在（0，）单调递增，在（，2］单调递减，= f()=a-
=-2，综上所述，当a-时，=f(2)=2a-；当a＜-时，
= f()=-2。
『思考问题10』
【典例10】几个函数的共同特点是函数不是简单函数 ；求这类函数值域时，需要采用
导函数法；
（2）导函数法求函数值域的理论依据是最值存在定理：如果函数f(x)在闭区间〔a,b〕上连
续，则函数f(x)在闭区间〔a，b〕上一定存在最大值与最小值；
（3）导函数法求函数值域的基本方法是：①根据函数求导公式，法则和基本方法求出函数
的导函数；②运用导函数判断函数在区间上的单调性；③根据函数的单调性求出函数在区间
上的最值；④求出函数的值域。
〔练习10〕解答下列各题：
1、设函数f(x)= +2+x+1，试求函数f(x)在区间〔-1，1〕上的最大值与最小值；（答案：函数f(x)在区间〔-1，1〕上的最大值为，最小值为--2）
2、已知a≥0,函数f(x)=( -2ax) ，求函数f(x)的最小值；（答案：函数f(x)的最小值为2（1-））
3、已知函数f(x)=2ax-，x∈(0,1〕。
（1）若函数f(x)在(0,1〕上是增函数，求实数a的取值范围；（答案：实数a的取值范围是［-1，+））
（2）求函数f(x)在(0,1〕上的最大值。（答案：当a≥-1时，函数f(x)在(0,1〕上的最大值为2a-1)
【典例11】解答下列问题：
1、已知函数f(x)= ， x≤1，则f(f(-2))= ,f(x)的最小值是 ；
x+-6，x＞1，
【解析】
【知识点】①分段函数的定义与性质；②求分段函数值的基本方法；③求分段函数最值的基本方法。
【解题思路】根据-2≤1，得到 f(-2)= =4，根据4 ＞1，得到 f(f(-2)) =f(4) =4+
-6=-，①当x≤1时，函数f(x)在（-，0）上单调递减，在（0，1］单调递增，得到 =f（0）=0；②当x＞1时，函数f(x)在（1，）上单调递减，在（，+）上单调递增，得到 =f（）=+-6=2-6＜0，从而得到 =f（）=+-6=2-6。
【详细解答】-2≤1， f(-2)= =4，4 ＞1， f(f(-2))=f(4)=4+-6=-；
①当x≤1时，函数f(x)在（-，0）上单减，在（0，1］单增，=f（0）=0；②当x＞1时，函数f(x)在（1，）上单减，在（，+）上单增，=f（）
=+-6=2-6＜0，=f（）=+-6=2-6。
2、“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望它达到最高点时爆裂，如果烟花距地面的高度hm与时间ts之间的关系为h(t)=-4.9+14.7t+18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少(精确到1m)？
【解析】
【知识点】①一元二次函数的定义，图像与性质；②求一元二次函数最值的基本方法。
【解题思路】由h(t)=-4.9+14.7t+18，可知当t=- =1.5（s）时，为爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度是h(1.5)=-4.9 +14.71.5+18=29.1（m）。
【详细解答】 h(t)=-4.9+14.7t+18，当t=- =1.5（s）时，为爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度是h(1.5)=-4.9 +14.71.5+18=29.1（m）。
3、已知函数f(x)= （x∈〔2,6〕），求函数的最大值和最小值；
【解析】
【知识点】①分式的定义与性质；②分层求值域值域的基本方法；③求函数最值的基本方法。
【解题思路】根据x∈〔2,6〕得到1x-15，从而得到 f(x)= 2，求出 =2，=。
【详细解答】 x∈〔2,6〕1x-15， f(x)= 2，=2，=。
4、设实数x，y满足等式=3，求的最值；
【解析】
【知识点】①数学换元法及运用；②一元二次方程根的判别式及运用；③求函数最值的基本方法。
【解题思路】设k=，y=kx，根据x，y满足等式=3，得到（1+）-4x+1=0，
根据x∈R, 得到关于k的不等式，求解不等式求出k的取值范围，就可求出的最值。
【详细解答】设k=，y=kx，x，y满足等式=3，（1+）-4x+1=0，
x∈R, =-4（1+）=-4+120，-k，=，
=-。
5、求函数f(x)=x+2+的最值；
【解析】
【知识点】①二次根式的定义与性质；②数学换元法及运用；③求函数最值的基本方法。
【解题思路】设t=，t∈〔0,+ ），x=2- ，根据 f(x)=x+2+ f(t)=2-+2+t=- +，得到 =，无最小值。
【详细解答】设t=，t∈〔0,+ ），x=2- ，f(x)=x+2+ f(t)=2-+2+t=
- +，=，无最小值。
6、函数f(x)= -+2，x＜1，的最大值为 ；
【解析】 ，x≥1,
【知识点】①分段函数的定义与性质；②求分段函数最值的基本方法；③求函数最值的基本方法。
【解题思路】①当x≥1时, 根据函数f(x)在〔1,+ ）上单调递减，得到 =f(1)=1；②当x＜1时，根据函数f(x)在（- ，0）上单调递增，在（0，1）单调递减，得到 =f(0)=-0+2=2，由2＞1，从而得到 =f(0)=-0+2=2，无最小值。
【详细解答】①当x≥1时, 函数f(x)在〔1,+ ）上单减，=f(1)=1；②当x＜1时，函数f(x)在（- ，0）上单增，在（0，1）单减，=f(0)=-0+2=2，由2＞1，=f(0)=-0+2=2，无最小值。
7、已知函数y=的最大值为M，最小值为m，求的值；
【解析】
【知识点】①二次根式的定义与性质；②一元二次方程根与系数的关系定理及运用；③一元二次方程根的判别式及运用；④判别式法求函数值域的基本方法；⑤求函数最值的基本方法。
【解题思路】设t=，t［0,2］，u=，u［0,2］，根据+ =1-2x+2x+3=4，t+u=y，得到 =+2tu+ =4+2tu，tu=-2，从而得到 t，u是一元二次方程-yx+-2=0的两个非负实数根，得到关于y的不等式组 , 求解不等式组得到 2y2，求出函数y= 的值域为［2，2］，得到M=2，m=2，求出 ==。
【详细解答】设t=，t［0,2］，u=，u［0,2］，+=1-2x+2x+3=4，
t+u=y，=+2tu+ =4+2tu，tu=-2， t，u是一元二次方程-yx+-2=0的两个非负实数根，y0①，=-4（-2）=-+80②，-20③，联立①②③解得： 2y2，函数y= 的值域为［2，2］，M=2，m=2，==。
8、已知非负实数x，y，z满足x+y+z=30，x-2y+3z=20，求x+2y+4z的最大值和最小值；
【解析】
【知识点】①求解二元一次方程组的基本方法；②转换数学思想及运用；③一元一次函数的定义，图像与性质；④求函数最值的基本方法。
【解题思路】由 x+y+z=30①,x-2y+3z=20②，联立①②解得： y=14-x，z=16-x，根据y，z是非负实数，求出非负实数x的求值范围，从而得到f(x)=- x+92，x［0, ］,运用判断函数单调性的基本方法判断函数f(x)在［0, ］上单调递减，就可求出
=f(0)=92，= f()=-+92=-+92=。
【详细解答】 x+y+z=30, y=14-x，x+2y+4z f(x)=- x+92，x［0, ］,
x-2y+3z=20， z=16-x，函数f(x)在［0, ］上单调递减，
=f(0)=92，= f()=-+92=-+92=。
9、对于每个实数x，f(x)是y=4x+1，y=x+2和y=-2x+4三个函数中的最小值，求函数f(x)的最大值；
【解析】
【知识点】①分段函数的定义与性质；②求分段函数最值的基本方法；③一元一次函数的定义，图像与性质；④求函数最值的基本方法。
【解题思路】在同一直角坐标系中作出函数y=4x+1， y y=x+2
y=x+2和y=-2x+4图像如图所示，根据图像得到函数
f(x)的解析式，判断函数f(x)在（- ，），［，）， y=-2x+4
［，+）上的单调递，分别求出函数f(x)在 y=4x+1
（- ，），［，），［，+）上的最值， 0 x
运用分段函数求最值的基本方法就可求出函数f(x)的最大值。
【详细解答】在同一直角坐标系中作出函数y=4x+1，y=x+2和y=-2x+4图像如图所示，由图可知函数 4x+1，x＜， 函数f(x)在（- ，）单调递增，＜f()=+
f(x)= x+2，x＜， 2=； 函数f(x)在［，）上单调递增，
-2x+4，x，＜f()=+2=； 函数f(x)在［，+）上单调递减，= f()=+2=，综上所述函数f(x)的最大值为= f()=+2=。
10、设a＞1，求函数f(x)= 在区间〔2,4〕上的最大值和最小值；
【解析】
【知识点】①对数函数的定义，图像与性质；②判断复合函数单调性的基本方法；③求函数最值的基本方法。
【解题思路】设g(x)=a-x，作出函数g(x)的图像 y
如图所示，由图可知，函数f(x)的定义域为（-，0）
（，+），函数g(x)在（-，0）上单调递减，在
（，+）上单调递增，根据a＞1，得到函数f(g(x))在，
（-，0），（，+）上单调递增，从而得到函数f(x) 在 0
（-，0）上单调递减，在（，+）上单调递增，函数f(x) 在区间〔2,4〕上单调递增，
求出当x〔2,4〕时，= f(4)= （16a-4），= f(2)= （4a-2）。
【详细解答】设g(x)=a-x，作出函数g(x)的图像如图所示，由图可知，函数f(x)的定义域为（-，0）（，+），函数g(x)在（-，0）上单减，在（，+）上单增，
根据a＞1，函数f(g(x))在（-，0），（，+）上单增，函数f(x) 在（-，0）上单减，在（，+）上单增，函数f(x) 在区间〔2,4〕单增，当x〔2,4〕时，= f(4)= （16a-4），= f(2)= （4a-2）。
11、已知≤a≤1,若f(x)= 在区间〔1,3〕上的最大值为M(a)，最小值为N（a），令g(a)=M(a)-N(a)。
（1）求g(a)的函数表达式；
（2）判断g(a)的单调性并求出g(a)的最小值。
【解析】
【知识点】①一元二次函数的定义，图像与性质；②求一元二次函数在闭区间上最值的基本方法；③求函数最值的基本方法；④参数分类讨论的原则和基本方法；
【解题思路】（1）根据x=-=，≤a≤1, 得到1≤≤3，从而得到 N（a）= f()==1-，根据f(1)=a-1，f(3)=9a-5，f(3)- f(1)=8a-4，①当≤a≤1时, f(3)- f(1) 0，得到 M(a)=9a-5；②当≤a＜时, f(3)- f(1) ≤0，得到M(a)=a-1；从而得到 当≤a≤1时，g(a)=M(a)-N(a)= 9a+-6， 当≤a＜时，g(a)=M(a)-N(a)= a+-2，（2）①当≤a≤1时,任取，［，1］，且＜，由f()-f()=9+-6-9-+6=（-）（9-）＜0，得到函数 g(a)在［，1］上单调递增；②当≤a＜时, 任取，［，），且＜，由f()-f()=+-2--+2=（-）（1-）＞0，得到函数 g(a)在［，）上单调递减；求出 = g()=9+2-6=。
【详细解答】（1）由x=-=，≤a≤1, 1≤≤3， N（a）= =1-，根据f(1)=a-1，f(3)=9a-5，f(3)- f(1)=8a-4，①当≤a≤1时, f(3)- f(1) 0，
M(a)=9a-5；②当≤a＜时, M(a)=a-1； g(a)=M(a)-N(a)= 9a+-6，≤a≤1，
a+-2，≤a＜；
（2）①当≤a≤1时,任取，［，1］，且＜，f()-f()=9+-6-9
-+6=（-）（9-）＜0， 函数g(a)在［，1］上单调递增；②≤a＜时, 任取，［，），且＜，f()-f()=+-2--+2=（-）（1-）＞0，函数 g(a)在［，）上单调递减；函数g(a)的最小值为= g()=9
+2-6=。
12、已知函数f(x)= ，x∈［1，+），且a≤1。
（1）当a=时，求函数f(x)的最小值；
（2）若对任意x∈［1，+），f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围。
【解析】
【知识点】①分式的定义与性质；②基本不等式及其运用；③求函数最值的基本方法；④区间上不等式恒成立的意义及运用。
【解题思路】（1）根据a=，得到 f(x)= =x+2+，当x∈［1，+）时，得到 f(x)= =x+2+，判断函数f(x)在［1，+）上的单调性，就可求出函数f(x)的最小值；（2）根据对任意x∈［1，+），f(x)= ＞0恒成立，对任意x∈［1，+），+2x+a＞0恒成立，运用一元二次函数的性质得到关于a的不等式，求解不等式就可求出
实数a的求值范围。
【详细解答】（1）当a=+时， f(x)= =x+2+，x∈［1，+），任取，（0，+∞），且<，f（）-f（）=+2+（-）--2=（-）（2-）＜0， 函数f(x)在在［1，+）上的单调递增， = f(1)=1+2+2+=；（2）由对任意x∈［1，+），f(x)= ＞0恒成立，对任意x∈［1，+），+2x+a＞0恒成立，对任意x∈［1，+），a＞--2x恒成立，设g(x)= --2x，函数g(x)在［1，+）上单调递减，= g(1)=-3， a＞-3，a1，对任意x∈［1，+），f(x)＞0恒成立，实数a的求值范围是（-3，1］。
『思考问题11』
（1）【典例11】是求函数的最大值与最小值的问题，解答这类问题需要理解函数最大值与最小值的定义，掌握求函数最大值与最小值的基本方法；
（2）函数的最值实际上就是函数值域的端点值，求函数最值的基本方法是：①求出函数的值域；②确定函数的最值；
（3）根据函数最值与函数值域之间的关系，求函数值域的方法也是求函数最值的方法，解决这类问题关键是要掌握求函数值域各种类型的特点和处理的方法。
〔练习11〕解答下列各题：
1、某汽车租赁公司的月收益y元与每辆汽车的月租金x元之间的关系为y= -+162x-21000，那么，每辆汽车的月租金多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？（答案：每辆汽车的月租金为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是307050元）
2、如图所示，动物园要建造一面靠墙的2间面
积相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料 x
总长是30m，那么宽x（单位：m）为多少才能使所
建造的每间熊猫居室面积最大？每间熊猫居室的最大
面积是多少？（答案：宽为5m时，才能使所建造的每间熊猫居室面积最大，每间熊猫居室的最大面积是37.5）
3、已知函数函数f(x)= -2x（x∈〔2,4〕），求f(x)的最小值；（答案：f(x)的最小值为0）
4、函数f(x)=x+ 的最小值为 ；（答案：函数f(x)=x+ 的最小值为1）
5、函数f(x)= （x＞1）的最小值为 ；（答案：函数f(x)= （x＞1）的最小值为8）
6、设k∈R，函数f(x)= ，求f(x)的最大值和最小值；（答案：f(x)的最大值为+（k＞1）；最小值为+（k＜1））
7、已知实数x，y满足y=，求的最大值和最小值；（答案：的最大值为+，最小值为-）
8、若函数f(x)= 。
（1）若f(x)的定义域是R，求实数m的取值范围；（答案：若f(x)的定义域是R，则实数m的取值范围是（1，+∞））
（2）当m＞1时，求函数f(x)的最小值。（答案：当m＞1时，函数f(x)的最小值为（m+ ））
【追踪考试】
【典例12】解答下列问题：
已知函数f(x)= ，x>0，若f(f(-1))=4，且a>-1，则a=（）（成都市2020级高三零诊）
+a，x0，
A - B 0 C 1 D 2
【解析】
【考点】①分段函数定义与性质；②幂函数定义与性质；③指数函数定义与性质；④分段函数求值的基本方法。
【解题思路】根据分段函数，幂函数和指数函数的性质，运用分段函数求值的基本方法，结合问题条件得到关于a的方程，求解方程求出a的值就可得出选项。
【详细解答】 f(-1)=1+a，a>-1，1+a >0，f(f(-1))= =4=，1+a=2，即a=1，
C正确，选C。
2、已知函数f(x)= （2-x），x<1，则f(-2)+ f(ln4)=（ ）（成都市2019级高三零诊）
A 2 ，x 1， B 4 C 6 D 8
【解析】
【考点】①分段函数定义与性质；②求分段函数值的基本方法。
【解题思路】根据分段函数的性质，运用求分段函数值的基本方法，结合问题条件求出f(-2)+ f(ln4)的值就可得出选项。
【详细解答】 -2<1， f(-2)= （2+2）=4=2，ln4>1， f(ln4)= =4，f(-2)+ f(ln4)=2+4=6，C正确，选C。
3、已知函数f(x)= |x-1|，x0，则f(f())=（ ）（2021成都市高三零诊）
A 0 lnx， x>0， B 1 C e-1 D 2
【解析】
【考点】①分段函数的定义与性质；②分段函数求值的基本方法。
【解答思路】根据分段函数的性质和求分段函数值的基本方法，结合问题条件求出f(f())的函数值就可得出选项。
【详细解答】 f()=ln=-1， f(-1)=|-1-1|=2， f(f()) =2，D正确，选D。
4、函数f(x)= -x，x＜1，若f(a)=2，则a的值为 。（2021成都市高三二诊）
【解析】 +1，x1,
【考点】①一元二次函数的定义与性质；②指数函数的定义与性质；③求函数值的基本方法。
【解题思路】根据一元二次函数和指数函数的性质，运用求函数值的基本方法求得到关于a的方程，求解方程就可求出a的值。
【详细解答】①当a＜1时， f(a)= -a=2，a=-1或a=2， a=-1，②当a1时, f(a)= +1=2，a=0＜1，此时无解，综上所述，若f(a)=2，则a的值为-1。
5、下列函数最小值为4的是（ ）（2021全国高考乙卷）
A y=+2x+4 B y=|sinx|+ C y=+ D y=lnx+
【解析】
【考点】①一元二次函数定义与性质；②基本不等式及运用；③指数函数定义与性质；④对数函数定义与性质；⑤求函数最值的基本方法。
【解答思路】根据一元二次函数，指数函数，对数函数的性质和基本不等式，运用求函数最值的基本方法，分别求出各选项函数的最小值就可得出选项。
【详细解答】对A，函数y=+2x+4当且仅当x=- =-1时，=1+2 （-1）+4=3
4，排除A；对B，由|sinx|=，得|sinx|=2，而|sinx|1，等号不能成立，函数y=|sinx|+不存在最小值，排除B，对C，+=+2224，当且仅当=，即x=1时，等号成立，函数y=+最小值为4，C正确，选C。
6、函数f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值为 （2021全国高考新高考I）
【解析】
【考点】①分段函数定义与性质；②对数函数定义与性质；③求函数最值的基本方法。
【解答思路】根据分段函数和对数函数的性质；运用求函数最值的基本方法就可求出函数f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值。
【详细解答】①当x时，f(x)=|2x-1|-2lnx=2x-1-2lnx，x，（x）=2-=，
令（x）=0得：x=1，x[，1）时，（x）<0，x[1，+ ）时，（x）0，
函数f(x)在[，1）上单调递减，在[1，+ ）上单调递增，= f(x)=21-1-2ln1=1；②当0f()=1-2-2ln=2ln2>2ln>2>1，综上所述，函数f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值为1。
7、设函数f(x)= +2，x<3，则f(f(0))的值为（ ）（成都市高2021级2020-2021学年度上期
（-1），x 3，期末调研考试）
A 2 B 3 C -1 D -1
【解析】
【考点】①分段函数定义与性质；②指数函数定义与性质；③对数函数定义与性质；④求分段函数函数值的基本方法。
【解题思路】根据分段函数，指数函数和对数函数的性质，运用求分段函数函数值的基本方法求出f(f(0))的值就可得出选项。
【详细解答】0<3， f(0)= +2=1+2=3，33， f(f(0))= f(3)= （9-1）=8
=3，B正确，选B。
8、设函数f(x)=lg- ，g(x)= f(2x-1)- f()，若g(x)的值不小于0，则x的取值范围是（ ）（成都市高2021级2020-2021学年度上期期末调研考试）
A [-，0） B [-，-）（-，） C （0，] D （0，）（，]
【解析】
【考点】①对数函数定义与性质；②函数定义域定义与性质；③函数值域定义与性质。
【解题思路】根据对数函数和函数定义域的性质，求出函数g(x)的解析式，运用函数值的性质，结合问题条件得到关于x的不等式组，求解不等式组求出x的取值范围就可得出选项。
【详细解答】 f(2x-1)=lg-=lg-(2x-1)，f()=lg
- =lg-， g(x)= f(2x-1)- f()=lg-(2x-1)- lg+=lg
+ -2x，函数g(x)的定义域为（0，）（，1），值域为[0，+ ），1，
且-2x 0，0『思考问题12』
（1）【典例12】是近几年高考（或高三诊断考试或高一上期期末调研考试）试卷中关于函数值（或函数值域或函数追踪）的问题，归结起来主要包括：①验证函数解析式，求函数值；②已知函数解析式和函数值，求函数解析式中参数（或自变量x）的值；③求函数在的值域；
④求函数的最值；
（2）解答这类问题的基本方法是：①确定问题所属的类型；②归结该类型问题的解题思路和解答的基本方法实施解答；③得出问题的结果。
〔练习12〕解答下列各题：
1、已知函数f(x)= sin(x+)，x0，则f(-2)+ f(1)=（ ）（2020成都市高三零诊）
+1， x>0，（答案：C）
A B C D
2、已知函数f(x)=| -1|，<0，>0，函数f(x)在点A（，f()）和B（，f()）的
两条切线互相垂直，且分别交Y轴于M，N两点，则取值范围是 （2021全国高考新高考II）（答案：取值范围是（0，1））
3、设函数f(x)= +1，x 0，则f(f(2))的值为 。（成都市高2020级2019-2020
x-2，x>0，学年度上期期末调研考试）（答案：f(f(2))的值为1）
4、已知函数f(x)= |lnx|，x>0，和g(x)=a（aR且为常数），有以下结论：①当a=4时，存
-+mx，x0，在实数m，使得关于x的方程f(x)=g(x)有四个不同的
实数根；②存在m[3，4]，使得关于x的方程f(x)=g(x)有三个不同的实数根；③当x>0时，若函数h(x)= (x)+bf(x)+c恰有三个不同的零点，，，则=1；④当m=-4时，关于x的方程f(x)=g(x)有四个不同的实数根，，，，且<<<，
若函数f(x)在[，]上的最大值为ln4，则sin(3+3+5+4)=1，其中正确结论的个数是（ ）（成都市高2019级2018-2019学年度上期期末调研考试）（答案：C）
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个

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