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第五讲 函数的图像及运用
【考纲解读】
理解函数图像的定义；
掌握作函数图像，识图和用图的基本方法；
了解数学图形结合的基本方法，能够熟练地运用函数图像解答相关的数学问题。
【知识精讲】
一、函数图像的定义与作法：
1、函数图象的定义：表示函数y与自变量x之间对应关系的图形，称为函数的图像。
2、函数图象的作法：
（1）函数作图的基本方法有：①直接作图法；②描点作图法；③图像变换作图法；
（２）直接作图法：是指已知函数的解析式是熟悉的基本函数（或对应解析几何中熟悉的曲线）时，可根据这些函数的基本性质（或曲线的基本特征）直接作出函数的图象；
（３）描点作图法：是指通过列表，描点，连线作出函数图像的方法，其的基本方法是：①确定函数的定义域域；②化简函数的解析式式；③ 讨论函数的基本性质（单调性，奇偶性，周期性，最值）；④列表（注意零点，最高点，最低点和与坐标轴的交点）；⑤ 描点，连线画出函数的图像；
（4）图像变换法：是指函数的图像可以由某个基本函数的图像经过平移，伸缩，翻折，对称等变换得到时，根据基本函数的图像，通过变换作出函数图像的方法；需要注意的是：①确定相应基本函数的图像；②图像变换的顺序；③不能直接找到相应基本函数图像时需要先对函数的解析式进行变形。
3、函数图像变换常见的四种形式：
（1）平移变换：平移变换包括：①沿x轴平移（左加右减）；②沿y轴平移（上加下减）；
（2）对称变换：①函数y=f（-x）与函数y=f(x)的图像关于y轴对称；②函数y=-f(x)与函数y=f(x)的图像关于x轴对称；③函数y=-f(-x)与函数y=f(x)的图像关于原点对称；④函数y=f(x)与函数y= (x)的图像关于直线y=x对称；⑤若函数f(x)满足：f(x+m)=f(-x+n)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=对称；⑥若函数f(x)满足：f(x+a)=-f(-x+b)，则函数y=f(x)的图像关于点(，0)对称；
（3）伸缩变换：①函数y=af(x)(a＞0)的图像可将函数y=f(x)的图像上每点的纵坐标伸（a＞1时）或缩（0＜a＜1时）到原来的a倍；②函数y=f(ax)(a＞0)的图像可将函数y=f(x)的图像上每点的横坐标伸（0＜a＜1）或缩（a＞1时）到原来的a倍；
（4）翻折变换：①函数y=|f(x)|的图像可将函数y=f(x)的图像位于x轴下边的部分以x轴为对称轴翻折到x轴的上边；②函数y=f(|x|)的图像可将函数y=f(x)的图像位于y轴左边的部分以y轴为对称轴翻折到y轴右边。
二、函数图像的识辨方法（识图）：
1、给定函数的图像，常用定性分析法来解决这类问题：
（1）知图选式：①从图像的左右，上下分布观察函数的定义域和值域，② 从图像的变化趋势观察函数的单调性，③ 从图像的对称性观察函数的奇偶性，④从图像的循环往复观察函数的周期性；
（2）知式选图：①从函数的定义域判断图像的左右位置，从函数的值域判断图像的上下位置；②从函数的单调性，判断图像的变化趋势；③从函数的奇偶性，判断图像对称性；④从函数的周期性，判断图像的循环往复；⑤从函数的极值点判断函数的拐点。
2、定量计算：
当选项无法排除时，代入特殊值通过定量的计算来分析解决问题；
3、函数模型：
由已知的函数图像的特征，联想相关的函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题。
三、函数图像的运用（用图）：
1、函数图像的相关结论：
（1）若函数f(x)满足：f(x+a)=f(-x+b)(x∈R)，则函数y=f(x)的图像是关于直线x=对称的轴对称图形；
（2）若函数f(x)满足：f(x+a)=-f(-x+b)(x∈R)，则函数y=f(x)的图像是关于点（，0）对称的中心对称图形；
（3）若函数f(x)的图像关于直线x=m及x=n成轴对称，则函数y=f(x)是周期函数，且是它的一个周期。
2、解决函数图像运用问题的常用方法：
（1）定性分析法；（2）定量计算法；（3）函数模型法。
【探导考点】
考点1函数图像的作法：热点①直接作图法；热点②描点作图法；热点③图像变换法；
考点2函数图像的识别：热点①已知函数图像，确定函数的解析式；热点②已知函数解析式，确定函数的图像；
考点3函数图像的运用：热点①运用函数图像，探导函数的性质；热点②运用函数图像，求解不等式；热点③运用函数图像，确定函数的零点。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题： y
1、已知y=f(x)的图像如右图所示，那么函数
Y=f(2-x)的图像是（ ） -2 -1 0 1 2 x
Y y y y
-1 0 1 2 x -2 -1 0 1 x -1 0 1 2 x -2 -1 0 1 x
A B C D
2、下列函数的图像中，经过平移或翻折后不能与函数f(x)=x的图像重合的函数是（ ）
A f(x)= B f(x)= x C f(x)= D f(x)= +1
3、为了得到函数f(x)=lg的图像，只需把函数f(x)=lgx的图像上所有的点（ ）
A 向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B 向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C 向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D 向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 y
4、设奇函数f(x)的定义域是［-5，5］，若当
x［0，5］时，f(x)的图像如图所示，则不
等式f(x)＜0的解集是 ； -2 -1 0 2 5 x
5、作出下列函数的图像：
（1） y=|x-1|(x+1)； （2）y= ； （3） y=|(x+1)|；
（4） y=； （5） y= -2|x|-1； （6） y=3sin(2x- )。
『思考问题１』
（1）【典例1】是求作函数图像的问题，这类问题主要包括：①已知函数解析式，求作函数图像；②函数图像的平移变换；③函数图像的伸缩变换；④函数图像的对称变换；⑤函数图像的翻折变换；⑥函数图像的旋转变换；解答这类问题需要理解函数图像的定义，掌握函数图像的基本作法；函数图像的基本方法有：①直接作图法；②描点作图法；③图像变换法；
（2）面对问题应该选用哪种作图方法，需根据题给条件和所求问题来确定；
（3）应用图像变换法作图需要熟练掌握几种基本函数（一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，幂函数，正弦函数，余弦函数）的图像，注意图像变换的顺序。
〔练习1〕解答下列问题：
1、函数f(x)=1+x与g(x)= 在同一直角坐标系中的图像大致是（ ）
y 2 y 2 y 2 y 2
1 1 1 1
0 1 2 x 0 1 2 x 0 1 2 x 0 1 2 x
A B C D
2、作出下列函数的图像：
（1） y=； （2） y=； （3） y= ； （4） y=；（5） y=3sin(2x+)； （6） y=|x-1| ； （7） y=|x-2|.（x+1）。
【典例2】解答下列问题：
1、函数f(x)=ln(+1)的图像大致是（ ）
y
2、右图中的图像所表示的函数的解析式为（ ） -----------|
A y=|x-1| (0≤x≤2) B y=-|x-1|(0≤x≤2) |
C y=-|x-1| (0≤x≤2) D y=1-|x-1| (0≤x≤2) 0 1 2 x
3、已知函数y=f(x)的大致图像如图所示，则函数 y
y=f(x)的解析式可能为（ ）
A f(x)= lnx B f(x)= ln|x|
C f(x)= ln|x| D f(x)= ln|x| 0 x
4、函数f(x)= 的图像大致为（ ）
y y y y
1 1 1 1
0 1 x 0 1 x 0 1 x 0 1 x
A B C D
5、如图已知，圆心在上，半径为1m的圆O在t=0时与相切于点A，圆O沿以1m/s的速度匀速向上移动，圆被直线所截上方圆弧长记为x，令y=cosx，则y与时间t（0≤t≤1，单位：s）的函数y=f(t)的图像大致为（）
『思考问题2』
(1) 【典例2】是函数图像的识图与辨图问题，这类问题常见的类型有：①已知函数图像，确定函数解析式选；②已知函数解析式，确定函数的图像；
（2）已知函数图像，确定函数解析式的基本方法是：①从图像的左右，上下分布观察函数定义域域和函数的值域；② 从图像的变化趋势观察函数的单调性；③ 从图像的对称性观察函数的奇偶性；④从图像的循环往复观察函数的周期性；
（3）已知函数的解析式，确定函数图像的基本方法是：①从函数的定义域判断图像的左右位置，从函数的值域判断图像上下位置；②从函数的单调性，判断图像的变化趋势；③从函数的奇偶性，判断图像的对称性；④从函数的周期性，判断图像的循环往复；⑤从函数的极值点判断函数的最值点。
〔练习2〕解答下列问题： y
1、已知函数y=f(x)的图像如右图，求函数
Y=f(x)的解析式。 -1 0 1 x
2、若函数f(x)=sinax+b（x＞0），的图像如图所示，则函数g(x)= (x+b)的图像可能是（ ）
y y y y y
1 1 1 1 1
0 2 3 x 0 1 2 3 x 0 1 2 3 x 0 1 2 3 x 0 1 2 3 x
-1 -1 A -1 B -1 C -1 D
3、已知函数y=f(x)和函数y=g(x)的图像如图（1）， y y
（2）所示，则函数F（x）=f(x).g(x)的图像可能
是（ ） 0 x 0 x
y y y （1） y （2）
0 x 0 x 0 x 0 x
A B C D
4、已知lga+lgb=0，则函数f(x)=与函数g(x)= (x+b)的图像可能是（ ）
y y y y
1 1 1 1
0 1 x 0 1 x 0 1 x 0 1 x
A B C D
5、已知函数f(x)= ，则y=f(x)的图像大致为（ ）
y y y y
1 1
1 0 1 x 1 0 1 x
0 1 x 0 1 x
A B C D
6、函数f(x)=-xcosx的部分图像是（ ）
y y y y
0 x 0 x 0 x 0 x
A B C D
【典例3】解答下列问题： y
1、已知f(x)=a+b+cx+d的图像如图所示，则（ ） 0 1 2 x
A b (-∞,0) B b (0,1) C b (1,2) D b (2,+∞)
2、若函数f(x)的反函数为（x），则函数f(x-1)与函数（x-1）的图像可能是（ ）
2 y 2 y 2 y 2 y
1 1 1 1
0 1 2 x 0 1 2 x 0 1 2 x 0 1 2 x
A B C D
3、已知函数y=f(x)的图像是下列四个图像之一，且其导函数y=(x)的图像如图所示，则该函数的图像是（）
4、已知函数y=f(x)的周期为2，当x[-1,1]时，f(x)= ，那么函数y=f(x)的图像与函数y=|lgx|的图像的交点共有（ ）
A 10个 B 9个 C 8个 D 1个
5、已知函数y= 的图像与函数y=kx的图像恰有两个交点，则实数k的取值范围是
；
6、如图，|OA|=2（单位：m），|OB|=1(单位：m)， D
OA与OB的夹角为，以A为圆心，AB为半径 B
作圆弧BDC与线段OA延长线交于点C，甲，乙 0 A C
两质点同时从点O出发，甲先以速率1（单位：m/s）沿线段OB行至点B，再以速率3（单位：m/s）沿圆弧BDC行至点C后停止；乙以速率2（单位：m/s）沿线段OA行至点A后停止，设t时刻甲，乙所到达的两点连线与它们经过的路径所围成的面积为S（t）（S（0）=0），则函数y=S(t)的图像大致是（ ）
y y y y
0 x 0 x 0 x 0 x
A B C D
7、若关于x的不等式＞x+m的解为-≤x＜4，求实数m的值。
『思考问题3』
（1）【典例3】是函数图像的运用问题，这类问题主要包括：①运用函数图像研究函数的性质；②运用函数图像求解不等式；③运用函数图像求函数的零点；
（2）解答函数图像运用问题的常用方法是：①定性分析法；②定量分析法；③函数模型法。
〔练习3〕解答下列问题：
1、已知函数f(x)= (a＞0,且a≠0)在同一直角坐标系中（x）与y=的图像可能是（ ）
2 y 2 y 2 y 2 y
1 --| 1 --- | 1 --- | 1 --- |
| | | |
-10 1 2 x -1 0 1 2 x -1 0 1 2 x -1 0 1 2 x
A B C D
2、如果函数f(x)= +的图像沿x轴向右平移a个单位得到曲线C，设曲线C的方程为y=g(x)，对任意xR,都有g(1+x)=-g(1-x)，试求g(1)+g(-1)的值。
3、a为何值时，方程lg(3-x)+lg(x-1)=lg(a-x)有两解，一解，无解？
【追踪考试】
【典例4】解答下列问题：
1、函数y=（-）cosx在区间[-，]的图像大致为（ ）（2022全国高考甲卷）
2、如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-3，3]的大致图像，则该函数是（ ）（2022全国高考乙卷）
A y= B y= C y= D y=
3、函数f(x)= 的图像大致为（ ）（成都市高2021级2020-2021学年度上期期末调研考试）
4、函数f(x)=cosx.ln(-x)在[-1，1]的图像大致为（ ）（2020成都市高三二诊）
5、函数f(x)= 在［-，］的图像大致为（ ）（2019全国高考新课标I）
A B C D
1，x＞0，
6、定义符号函数sgnx= 0，x=0，则函数f(x)=sinx.sgnx的图像大致是（ ）（2018成都市高 -1，x＜0，三三诊）
7、函数y=-++2的图像大致为（ ）（2018全国高考新课标III卷）
A B C D
『思考问题4』
（1）【典例4】是近几年高考（或高三诊断考试或高一上期期末调研考试）试卷中函数图像的问题，归结起来主要包括：①函数图像的作法；②函数图像的认识；③函数图像的运用等几种类型；
（2）解答这类问题的基本方法是：①根据问题条件确定问题所属的类型；②运用该类型问题的解题思路和解答的基本方法实施解答；③得出问题的解答结果。
〔练习4〕解答下列问题：
1、已知函数y=- （a>0，且a1）的图像恒过定点P，若点P在幂函数f(x)的图像
上，则幂函数f(x)的图像大致是（ ）（成都市高2020级2019-2020学年度上期期末调研
考试）
2、已知函数f(x)= |lnx|，x>0，和g(x)=a（aR且为常数），有以下结论：①当a=4时，存
-+mx，x0，在实数m，使得关于x的方程f(x)=g(x)有四个不同的
实数根；②存在m[3，4]，使得关于x的方程f(x)=g(x)有三个不同的实数根；③当x>0时，若函数h(x)= (x)+bf(x)+c恰有三个不同的零点，，，则=1；④当m=-4时，关于x的方程f(x)=g(x)有四个不同的实数根，，，，且<<<，
若函数f(x)在[，]上的最大值为ln4，则sin(3+3+5+4)=1，其中正确结论的个数是（ ）（成都市高2019级2018-2019学年度上期期末调研考试）
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
3、函数y= 的部分图像大致为（ ）（2017全国高考新课标I卷）
4、函数y=1+x+的部分图像大致为（ ）（2017全国高考新课标III卷）
5、函数y=2-在［-2,2］上的图像大致为（）（2016全国高考新课标I卷）
第五讲 函数的图像及运用
【考纲解读】
理解函数图像的定义；
掌握作函数图像，识图和用图的基本方法；
了解数学图形结合的基本方法，能够熟练地运用函数图像解答相关的数学问题。
【知识精讲】
一、函数图像的定义与作法：
1、函数图象的定义：表示函数y与自变量x之间对应关系的图形，称为函数的图像。
2、函数图象的作法：
（1）函数作图的基本方法有：①直接作图法；②描点作图法；③图像变换作图法；
（２）直接作图法：是指已知函数的解析式是熟悉的基本函数（或对应解析几何中熟悉的曲线）时，可根据这些函数的基本性质（或曲线的基本特征）直接作出函数的图象；
（３）描点作图法：是指通过列表，描点，连线作出函数图像的方法，其的基本方法是：①确定函数的定义域域；②化简函数的解析式式；③ 讨论函数的基本性质（单调性，奇偶性，周期性，最值）；④列表（注意零点，最高点，最低点和与坐标轴的交点）；⑤ 描点，连线画出函数的图像；
（4）图像变换法：是指函数的图像可以由某个基本函数的图像经过平移，伸缩，翻折，对称等变换得到时，根据基本函数的图像，通过变换作出函数图像的方法；需要注意的是：①确定相应基本函数的图像；②图像变换的顺序；③不能直接找到相应基本函数图像时需要先对函数的解析式进行变形。
3、函数图像变换常见的四种形式：
（1）平移变换：平移变换包括：①沿x轴平移（左加右减）；②沿y轴平移（上加下减）；
（2）对称变换：①函数y=f（-x）与函数y=f(x)的图像关于y轴对称；②函数y=-f(x)与函数y=f(x)的图像关于x轴对称；③函数y=-f(-x)与函数y=f(x)的图像关于原点对称；④函数y=f(x)与函数y= (x)的图像关于直线y=x对称；⑤若函数f(x)满足：f(x+m)=f(-x+n)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=对称；⑥若函数f(x)满足：f(x+a)=-f(-x+b)，则函数y=f(x)的图像关于点(，0)对称；
（3）伸缩变换：①函数y=af(x)(a＞0)的图像可将函数y=f(x)的图像上每点的纵坐标伸（a＞1时）或缩（0＜a＜1时）到原来的a倍；②函数y=f(ax)(a＞0)的图像可将函数y=f(x)的图像上每点的横坐标伸（0＜a＜1）或缩（a＞1时）到原来的a倍；
（4）翻折变换：①函数y=|f(x)|的图像可将函数y=f(x)的图像位于x轴下边的部分以x轴为对称轴翻折到x轴的上边；②函数y=f(|x|)的图像可将函数y=f(x)的图像位于y轴左边的部分以y轴为对称轴翻折到y轴右边。
二、函数图像的识辨方法（识图）：
1、给定函数的图像，常用定性分析法来解决这类问题：
（1）知图选式：①从图像的左右，上下分布观察函数的定义域和值域，② 从图像的变化趋势观察函数的单调性，③ 从图像的对称性观察函数的奇偶性，④从图像的循环往复观察函数的周期性；
（2）知式选图：①从函数的定义域判断图像的左右位置，从函数的值域判断图像的上下位置；②从函数的单调性，判断图像的变化趋势；③从函数的奇偶性，判断图像对称性；④从函数的周期性，判断图像的循环往复；⑤从函数的极值点判断函数的拐点。
2、定量计算：
当选项无法排除时，代入特殊值通过定量的计算来分析解决问题；
3、函数模型：
由已知的函数图像的特征，联想相关的函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题。
三、函数图像的运用（用图）：
1、函数图像的相关结论：
（1）若函数f(x)满足：f(x+a)=f(-x+b)(x∈R)，则函数y=f(x)的图像是关于直线x=对称的轴对称图形；
（2）若函数f(x)满足：f(x+a)=-f(-x+b)(x∈R)，则函数y=f(x)的图像是关于点（，0）对称的中心对称图形；
（3）若函数f(x)的图像关于直线x=m及x=n成轴对称，则函数y=f(x)是周期函数，且是它的一个周期。
2、解决函数图像运用问题的常用方法：
（1）定性分析法；（2）定量计算法；（3）函数模型法。
【探导考点】
考点1函数图像的作法：热点①直接作图法；热点②描点作图法；热点③图像变换法；
考点2函数图像的识别：热点①已知函数图像，确定函数的解析式；热点②已知函数解析式，确定函数的图像；
考点3函数图像的运用：热点①运用函数图像，探导函数的性质；热点②运用函数图像，求解不等式；热点③运用函数图像，确定函数的零点。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题： y
1、已知y=f(x)的图像如右图所示，那么函数
Y=f(2-x)的图像是（ ） -2 -1 0 1 2 x
Y y y y
-1 0 1 2 x -2 -1 0 1 x -1 0 1 2 x -2 -1 0 1 x
A B C D
【解析】
【知识点】①函数图像及运用；②函数图像平移变换的基本方法；③函数图像对称变换的基本方法。
【解题思路】根据函数图像的性质和函数图像平移变换，对称变换的基本方法，可知函数Y=f(2-x)的图像是将函数y=f(x)的图像沿Y轴对称变换，再向右平移2个单位长度后得到的图像，从而就可得出选项。
【详细解答】函数Y=f(2-x)的图像是将函数y=f(x)的图像沿Y轴对称变换，再向右平移2个单位长度后得到的图像，选项C的图像符合，C正确，选C。
2、下列函数的图像中，经过平移或翻折后不能与函数f(x)=x的图像重合的函数是（ ）
A f(x)= B f(x)= x C f(x)= D f(x)= +1
【解析】
【知识点】①函数图像及运用；②函数图像平移变换的基本方法；③函数图像翻折变换的基本方法；④指数函数的定义与性质；⑤对数函数的定义与性质。
【解题思路】根据指数函数和对数函数的性质，运用函数图像平移变换和翻折变换的基本方法，对各选项函数的图像通过平移变换或翻折变换能否得到函数f(x)=x的图像进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A，函数f(x)= 的图像与函数f(x)=x的图像关于直线y=x对称，只需把函数f(x)= 的图像沿直线y=x翻折就可得到函数f(x)=x的图像，即A错误；对B，函数f(x)= x的图像与函数f(x)=x的图像关于X轴对称，只需把函数f(x)= x的图像沿X轴翻折就可得到函数f(x)=x的图像，即B错误；对C，函数f(x)= =，无论通过怎样的平移变换或翻折变换都不能得到函数f(x)=x的图像，C正确，选C。
3、为了得到函数f(x)=lg的图像，只需把函数f(x)=lgx的图像上所有的点（ ）
A 向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B 向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C 向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D 向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
【解析】
【知识点】①函数图像及运用；②函数图像平移变换的基本方法；③对数的定义与性质；④对数运算性质及运用。
【解题思路】根据对数的性质和对数的运算性质，得到f(x+3)-1=lg(x+3)-lg10= lg，运用函数图像的性质和函数图像平移变换的基本方法，可知函数函数f(x)=lgx的图像上所有的点向左平移3个单位长度，再向下平移一个单位长度能够得到函数f(x)=lg的图像，从而就可得出选项。
【详细解答】函数f(x+3)-1= lg(x+3)-lg10= lg，函数函数f(x)=lgx的图像上所有的点向左平移3个单位长度，再向下平移一个单位长度能够得到函数f(x)=lg的图像，
C正确，选C。 y
4、设奇函数f(x)的定义域是［-5，5］，若当
x［0，5］时，f(x)的图像如图所示，则不
等式f(x)＜0的解集是 ； -2 -1 0 2 5 x
【解析】
【知识点】①函数图像及运用；②奇函数的定义与性质；③求解不等式的基本方法。
【解题思路】根据奇函数的性质和函数图像，作出函数f(x) x［-5，0］时的图像，运用函数图像和求解不等式的基本方法，结合问题条件得到关于x的不等式，求解不等式就可求出不等式f(x)＜0的解集。
【详细解答】函数f(x)是奇函数，作出函数f(x) x［-5，0］时的图像如图所示，
f(x)＜0，-25、作出下列函数的图像：
（1） y=|x-1|(x+1)； （2）y= ； （3） y=|(x+1)|；
（4） y=； （5） y= -2|x|-1； （6） y=3sin(2x- )。
【解析】
【知识点】①函数图像的定义与性质；②作函数图像的基本方法。
【解题思路】根据函数图像的性质，运用作函数图像的基本方法就可作出各函数的图像。
【详细解答】（1）y=|x-1|(x+1)= -1，x1， （2）y== ，x0，
1-，x<1， =，x<0，
函数y=|x-1|(x+1)的图像如图所示； 函数y=的图像如图所示；
（3） y=|(x+1)|= (x+1)，x0， （4） y===2+
-(x+1)，-1函数y=|(x+1)|的图像如图所示； 函数y=的图像如图所示；
（5）y= -2|x|-1=-2x-1，x0， （6）y=3sin(2x- )=3sin[2（x- )]，
+2x-1，x<0，
函数y= -2|x|-1的图像如图所示； 函数y=3sin(2x- )的图像如图所示。
y y y
1 1
-1 0 1 x -1 0 1 x -1 0 1 x
-1
（1题图） （2题图） （3题图）
y y y
2
1 1
-1 0 1 x -1 0 1 x -1 0 1 x
-1 -1
（4题图） （5题图） （6题图）
『思考问题１』
（1）【典例1】是求作函数图像的问题，这类问题主要包括：①已知函数解析式，求作函数图像；②函数图像的平移变换；③函数图像的伸缩变换；④函数图像的对称变换；⑤函数图像的翻折变换；⑥函数图像的旋转变换；解答这类问题需要理解函数图像的定义，掌握函数图像的基本作法；函数图像的基本方法有：①直接作图法；②描点作图法；③图像变换法；
（2）面对问题应该选用哪种作图方法，需根据题给条件和所求问题来确定；
（3）应用图像变换法作图需要熟练掌握几种基本函数（一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，幂函数，正弦函数，余弦函数）的图像，注意图像变换的顺序。
〔练习1〕解答下列问题：
1、函数f(x)=1+x与g(x)= 在同一直角坐标系中的图像大致是（ ）（答案C）
y 2 y 2 y 2 y 2
1 1 1 1
0 1 2 x 0 1 2 x 0 1 2 x 0 1 2 x
A B C D
2、作出下列函数的图像：
（1） y=； （2） y=； （3） y= ； （4） y=；（5） y=3sin(2x+)； （6） y=|x-1| ； （7） y=|x-2|.（x+1）。（答案：如图）
（1） y （2） y （3） y
1 1
-1 0 1 x 0 x -3 -2 -1 0 x
（4）y （5） y （6） y
2
1 1
0 1 x - 0 0 1 2 x
（7） y
0 1 2 x
【典例2】解答下列问题：
1、函数f(x)=ln(+1)的图像大致是（ ）
【解析】
【知识点】①对数函数的定义，图像与性质；②函数图像及运用；③作函数图像的基本方法。
【解题思路】根据对数函数的性质和图像，运用作函数图像的基本方法，由f(0)=ln(0+1)=0，可以排除B，D，由 f(-x)= =ln[+1]= =ln(+1)= f(x)，得到函数f(x)是偶函数，可以排除C，从而就可得出选项。
【详细解答】函数f(x)=ln(+1)的定义域为R，f(0)=ln(0+1)=0，可以排除B，D，ff(-x)= =ln[+1]= =ln(+1)= f(x)，函数f(x)是偶函数，可以排除C，A正确，选A。 y
2、右图中的图像所表示的函数的解析式为（ ） -----------|
A y=|x-1| (0≤x≤2) B y=-|x-1|(0≤x≤2) |
C y=-|x-1| (0≤x≤2) D y=1-|x-1| (0≤x≤2) 0 1 2 x
【解析】
【知识点】①函数图像及运用；②根据函数图像确定函数解析式的基本方法。
【解题思路】根据函数图像， f(0) =0，可以排除A，C， f(1)= ，可以排除D，从而就可得出选项。
【详细解答】由函数f(x)的图像得：f(0) =0，对A，f(0)= |0-1|=，对C，f(0)= -|0-1|=
-1=，排除A，C； f(1)= ，对D，f(1)=1-|0-1|=1-1=0，排除D，B正确，选B。
3、已知函数y=f(x)的大致图像如图所示，则函数 y
y=f(x)的解析式可能为（ ）
A f(x)= lnx B f(x)= ln|x|
C f(x)= ln|x| D f(x)= ln|x| 0 x
【解析】
【知识点】①函数图像及运用；②根据函数图像确定函数解析式的基本方法。
【解题思路】根据函数图像，可知函数f(x)的定义域为（- ，0）（0，+ ），可排除A；由函数f(x)在（- ，0）上单调递减，在（0，+ ）上单调递增，可排除B；函数y=f(x)不是偶函数，可以排除D，从而就可得出选项。
【详细解答】根据函数图像，可知函数f(x)的定义域为（- ，0）（0，+ ），可排除A；函数f(x)在（- ，0）上单调递减，在（0，+ ）上单调递增，可排除B；函数f(x)不是偶函数， 可以排除D，C正确，选C。
4、函数f(x)= 的图像大致为（ ）
y y y y
1 1 1 1
0 1 x 0 1 x 0 1 x 0 1 x
A B C D
【解析】
【知识点】①函数图像及运用；②根据函数图像确定函数解析式的基本方法。
【解题思路】根据函数f(x)= =1+=1+，可知函数f(x)的定义域为（- ，0）（0，+ ），可排除C，D，由当x>0时，函数f(x)= 1+单调递减，可以排除B，从而就可得出选项。
【详细解答】函数f(x= =1+=1+的定义域为（- ，0）（0，+ ），排除C，D；当x>0时，函数f(x)= 1+单调递减， 排除B，A正确，选A。
5、如图已知，圆心在上，半径为1m的圆O在t=0时与相切于点A，圆O沿以1m/s的速度匀速向上移动，圆被直线所截上方圆弧长记为x，令y=cosx，则y与时间t（0≤t≤1，单位：s）的函数y=f(t)的图像大致为（）
【解析】
【知识点】①函数图像及运用；②圆的定义与性质；③余弦三角函数的定义，性质与图像。
【解题思路】根据圆和余弦三角函数的性质，得到cos==1-t，从而得到y=cosx=2-1(0≤t≤1),确定出函数y=f(t)的图像就可得出选项。
【详细解答】如图， cos==1-t， y=f(t)
= cosx=2-1， f(0)=2-1=1，f(1)=0-1=-1，
B选项的图像符合题意，B正确，选B。
『思考问题2』
(1) 【典例2】是函数图像的识图与辨图问题，这类问题常见的类型有：①已知函数图像，确定函数解析式选；②已知函数解析式，确定函数的图像；
（2）已知函数图像，确定函数解析式的基本方法是：①从图像的左右，上下分布观察函数定义域域和函数的值域；② 从图像的变化趋势观察函数的单调性；③ 从图像的对称性观察函数的奇偶性；④从图像的循环往复观察函数的周期性；
（3）已知函数的解析式，确定函数图像的基本方法是：①从函数的定义域判断图像的左右位置，从函数的值域判断图像上下位置；②从函数的单调性，判断图像的变化趋势；③从函数的奇偶性，判断图像的对称性；④从函数的周期性，判断图像的循环往复；⑤从函数的极值点判断函数的最值点。
〔练习2〕解答下列问题： y
1、已知函数y=f(x)的图像如右图，求函数
Y=f(x)的解析式。（答案f(x)=|x|-1） -1 0 1 x
2、若函数f(x)=sinax+b（x＞0），的图像如图所示，则函数g(x)= (x+b)的图像可能是（ ）
y y y y y
1 1 1 1 1
0 2 3 x 0 1 2 3 x 0 1 2 3 x 0 1 2 3 x 0 1 2 3 x
-1 -1 A -1 B -1 C -1 D（答案C）
3、已知函数y=f(x)和函数y=g(x)的图像如图（1）， y y
（2）所示，则函数F（x）=f(x).g(x)的图像可能
是（ ）（答案A） 0 x 0 x
（1） （2）
y y y y
0 x 0 x 0 x 0 x
A B C D
4、已知lga+lgb=0，则函数f(x)=与函数g(x)= (x+b)的图像可能是（ ）（答案B）
y y y y
1 1 1 1
0 1 x 0 1 x 0 1 x 0 1 x
A B C D
5、已知函数f(x)= ，则y=f(x)的图像大致为（ ）（答案C）
y y y y
1 1
1 0 1 x 1 0 1 x
0 1 x 0 1 x
A B C D
6、函数f(x)=-xcosx的部分图像是（ ）（答案B）
y y y y
0 x 0 x 0 x 0 x
A B C D
【典例3】解答下列问题： y
1、已知f(x)=a+b+cx+d的图像如图所示，则（ ） 0 1 2 x
A b (-∞,0) B b (0,1) C b (1,2) D b (2,+∞)
【解析】
【知识点】①函数图像及运用；②函数零点的定义与性质；③运用函数图像确定函数解析式中参数取值范围的基本方法。
【解题思路】根据函数图像和函数零点的性质，得到关于a,b,c,d 的方程组，求解方程组求出a，c，d关于参数b的表示式，从而得到函数f(x)只含参数b的解析式，运用函数图像确定参数b的取值范围就可得出选项。
【详细解答】f(0)=0+0+0+d=0①，f（1）=a+b+c+d=0②，f(2)=8a+4b+2c+d=0③，联立①②③解得：a=-，c=-，d=0，f(x)=- +b-x=-x(-3x+2)= -x(x-1)(x-2)，
x>2时，f(x)>0恒成立， ->0，即b<0，A正确，选A。
2、若函数f(x)的反函数为（x），则函数f(x-1)与函数（x-1）的图像可能是（ ）
2 y 2 y 2 y 2 y
1 1 1 1
0 1 2 x 0 1 2 x 0 1 2 x 0 1 2 x
A B C D
【解析】
【知识点】①函数图像及运用；②函数反函数的定义与性质；③指数函数的定义与性质；④对数函数的定义与性质；⑤函数图像平移变换的基本方法。
【解题思路】根据函数反函数，指数函数和对数函数的性质，结合图像得到指数函数和对数函数的底数都大于1，运用函数图像平移变换的基本方法确定出符合题意的图像就可得出选项。
【详细解答】指数函数与对数函数互为反函数，由图知指数函数和对数函数的底数都大于1，函数f(x-1)与函数（x-1）的图像是由函数f(x)与函数（x）的图像向右平移一个单位长度而得到，可以排除A，C，D，B正确，选B。
3、已知函数y=f(x)的图像是下列四个图像之一，且其导函数y=(x)的图像如图所示，则该函数的图像是（）
【解析】
【知识点】①函数图像及运用；②函数导函数的定义与性质；③运用函数导函数判断函数单调性的基本方法。
【解题思路】根据函数导函数的图像和运用函数导函数判断函数单调性的基本方法，得到函数y=f(x)在（-1，1）上单调递增，且在（-1，0）上增长速度越来越快，在（0，1）上增长速度越来越慢，可以排除A，C，D，从而就可得出选项。
【详细解答】由导函数y=(x)的图像可知，函数y=f(x)在（-1，1）上单调递增，且在（-1，0）上增长速度越来越快，在（0，1）上增长速度越来越慢，可以排除A，C，D，B正确，选B。
4、已知函数y=f(x)的周期为2，当x[-1,1]时，f(x)= ，那么函数y=f(x)的图像与函数y=|lgx|的图像的交点共有（ ）
A 10个 B 9个 C 8个 D 1个
【解析】
【知识点】①函数图像及运用；②周期函数的定义与性质；③对数函数的定义与性质。
【解题思路】根据周期函数和对数函数的性质，运用作函数图像的基本方法，在同一直角坐标系中作出函数y=f(x)和函数y=|lgx|的图像，由图像确定两个函数图像的交点的个数就可得出选项。 lgx，x1， y
【详细解答】 y=|lgx|= -lgx，0的周期为2，当x[-1,1]时，f(x)= ，在同 -1 0 1 2 x
一直角坐标系中作出函数y=f(x)和函数y=|lgx|的图像如图所示，由图知函数y=f(x)的图像与函数y=|lgx|的图像的交点共有10个，A正确，选A。
5、已知函数y= 的图像与函数y=kx的图像恰有两个交点，则实数k的取值范围是
；
【解析】
【知识点】①函数图像及运用；②绝对值的定义与性质；③一元一次函数的定义与性质；④分段函数的定义与性质；⑤求函数解析式中参数取值范围的基本方法。
【解题思路】根据绝对值的性质，把函数y= 化为分段函数，运用分段函数，一元一次函数的性质和已知函数解析式作函数图像的基本方法，在同一直角坐标系中作出函数y= ，函数y=kx的图像，利用函数图像就可求出实数k的取值范围。
【详细解答】函数y= =x+1，x＜-1或x＞1, y
-x-1，-1≤x＜1,在同一直角坐
标系中作出函数y= ，函数y=kx的图像如图所示， -1 0 1 x
由图知，-1＜-k＜0，或-2＜-k＜-1，0＜k＜1或1＜k＜2，若函数y= 的图像与函数y=kx的图像恰有两个交点，则实数k的取值范围是（0，1）（1，2）。
6、如图，|OA|=2（单位：m），|OB|=1(单位：m)， D
OA与OB的夹角为，以A为圆心，AB为半径 B
作圆弧BDC与线段OA延长线交于点C，甲，乙 0 A C
两质点同时从点O出发，甲先以速率1（单位：m/s）沿线段OB行至点B，再以速率3（单位：m/s）沿圆弧BDC行至点C后停止；乙以速率2（单位：m/s）沿线段OA行至点A后停止，设t时刻甲，乙所到达的两点连线与它们经过的路径所围成的面积为S（t）（S（0）=0），则函数y=S(t)的图像大致是（ ）
y y y y
0 x 0 x 0 x 0 x
A B C D
【解析】
【知识点】①函数图像及运用；②求函数解析式的基本方法；③三角形面积公式及运用；④扇形面积公式及运用。
【解题思路】根据三角形面积公式，扇形面积公式和求函数解析式的基本方法，结合时间点1求出t时刻甲、乙所到达的两点连线与它们经过的路径所围成的面积S（t）的解析式，运用函数解析式确定出函数S（t）的图像就可得出选项。
【详细解答】①当0≤t≤1时， S(t)= t.2tsin=；②1＜1≤（为甲质点到达点C所需的时间）时，S(t)= +3|AB|（t-1）=+（t-1）；③当t＞时，S（t）为一个常数，可以排除C；函数S（t）在[0,1]上单调递增，且函数图像是向下凸的，可以排除B，D，A正确，选A。
7、若关于x的不等式＞x+m的解为-≤x＜4，求实数m的值。
【解析】
【知识点】①函数图像及运用；②幂函数的定义与性质；③求解不等式的基本方法；④求函数解析式中参数值的基本方法。
【解题思路】根据幂函数和一元一次函数的性质，运用已知函数解析式作函数图像的基本方法在同一直角坐标系中作出函数f(x)= ，函数g(x)=x+m的图像，运用函数图像就可求出实数m的值。 y
【详细解答】在同一直角坐标系中作出函数 1
f(x)= ，函数g(x)=x+m的图像如图 -0 4 x
所示，关于x的不等式＞x+m的解为-≤x＜4，由图知函数f(x)与函数g(x)的图像相交于点（4，3），f(4)==3=g(4)=4+m， m=-1，若关于x的不等式＞x+m的解为-≤x＜4，则实数m的值为-1。
『思考问题3』
（1）【典例3】是函数图像的运用问题，这类问题主要包括：①运用函数图像研究函数的性质；②运用函数图像求解不等式；③运用函数图像求函数的零点；
（2）解答函数图像运用问题的常用方法是：①定性分析法；②定量分析法；③函数模型法。
〔练习3〕解答下列问题：
1、已知函数f(x)= (a＞0,且a≠0)在同一直角坐标系中（x）与y=的图像可能是（ ）（答案C）
2 y 2 y 2 y 2 y
1 --| 1 --- | 1 --- | 1 --- |
| | | |
-10 1 2 x -1 0 1 2 x -1 0 1 2 x -1 0 1 2 x
A B C D
2、如果函数f(x)= +的图像沿x轴向右平移a个单位得到曲线C，设曲线C的方程为y=g(x)，对任意xR,都有g(1+x)=-g(1-x)，试求g(1)+g(-1)的值。（答案-8-）
3、a为何值时，方程lg(3-x)+lg(x-1)=lg(a-x)有两解，一解，无解？（答案当3时，原方程无解。）
【追踪考试】
【典例4】解答下列问题：
1、函数y=（-）cosx在区间[-，]的图像大致为（ ）（2022全国高考甲卷）
【解析】
【考点】①指数函数定义与性质；②余弦三角函数定义与性质；③函数奇偶性定义与性质；④判断函数奇偶性的基本方法；④函数图像及运用。
【解题思路】根据指数函数，余弦三角函数和函数奇偶性的性质，运用判断函数奇偶性的基本方法，得到函数y=（-）cosx是奇函数，从而排除B，D；当x（0，]时，->0，cosx>0，从而得到y=（-）cosx>0，可以排除C，就可得出选项。
【详细解答】设f(x)= （-）cosx，区间[-，]关于原点对称，f(-x)=（-）
cos（-x ）=-（-）cosx =- f(x)， 函数f(x)在[-，]上是奇函数，图像关于原点对称，B，D错误；当x（0，]时，->0，cosx,>0， f(x)=（-）cosx>0，C错误，A正确，选A。
2、如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-3，3]的大致图像，则该函数是（ ）（2022全国高考乙卷）
A y= B y= C y= D y=
【解析】
【考点】①函数奇偶性定义与性质；②余弦三角函数定义与性质；③正弦三角函数定义与性质；④幂函数定义与性质；⑤判断函数奇偶性的基本方法；⑥函数图像及运用。
【解题思路】根据函数奇偶性，幂函数，余弦三角函数和正弦三角函数的性质，运用函数图像和判断函数奇偶性的基本方法，对各选项的函数进行判断，就可得出选项。
【详细解答】对A，设f(x)= ， f(-x)= = =-
=- f(x)，函数f(x)奇函数，函数f(x)的图像关于原点对称，与已知图像符合； f(1)
= =1，f(3)= =-<0，与已知图像符合，A正确；对B，设g(x)= ， g(-x) ===-=- g(x)，函数g(x)奇函数，函数g(x)的图像关于原点对称，与已知图像符合； g(1)= =0，，g(3)= =>0，与已知图像不符合，B错误；对C，h(x)= ， h(-x)= = =-=- h(x)，函数f(x)奇函数，函数f(x)的图像关于原点对称，与已知图像符合；0< h(1)= =cos1<1，与已知图像不符合，C错误；对D，u(x)= ， u(-x)= = =-=- u(x)，函数f(x)奇函数，函数f(x)的图像关于原点对称，与已知图像符合；0< u(1)= =sin1<1，与已知图像不符合，D错误，综上所述，A正确，选A。
3、函数f(x)= 的图像大致为（ ）（成都市高2021级2020-2021学年度上期期末调研考试）
【解析】
【考点】①偶函数定义与性质；②判断函数奇偶性的基本方法；③函数图像及运用。
【解题思路】根据偶函数的性质和判断函数奇偶性的基本方法，得到函数f(x)= 是偶函数，运用函数图像确定函数f(x)= 的大致图像就可得出选项。
【详细解答】函数f(x)= 的定义域为（- ，-1）（-1，1）（1，+ ）关于原点对称，f(-x)= = = f(x)，函数f(x)= 是偶函数，可以排除A，B；当x（-1，1）时，<0，>0， f(x)= <0，可以排除D，C正确，选C。
4、函数f(x)=cosx.ln(-x)在[-1，1]的图像大致为（ ）（2020成都市高三二诊）
【解析】
【知识点】①函数图像及运用；②函数奇偶性的定义与性质；③判断函数奇偶性的基本方法；④函数单调性的定义与性质；⑤判断函数单调性的基本方法。
【解题思路】根据函数奇偶性的性质和判断函数奇偶性的基本方法，得到函数f(x)是奇函数，运用函数单调性的性质和判断函数单调性的基本方法，得到函数f(x) 在[0，1]上单调递增，从而确定函数f(x)=cosx.ln(-x)在[-1，1]的图像大致就可得出选项。
【详细解答】 f(-x)=cos（-x）.ln(+x)= cosx ln(+x)= cosx ln[(+x)
. ]= cosx ln()=cosx ln()=-cosx.ln(-x)=- f(x)，函数f(x)是奇函数，排除C，D；当x[0，1]时，函数y= cosx单调递减，函数y=ln
（-x）单调递增，函数f(x) 在[0，1]上单调递减，排除A，B正确，选B。
5、函数f(x)= 在［-，］的图像大致为（ ）（2019全国高考新课标I）
A B C D
【解析】
【知识点】①函数图像及运用；②函数奇偶性的定义与性质；③判断函数奇偶性的基本方法；④求函数值的基本方法。
【解题思路】根据函数奇偶性的性质和判断函数奇偶性的基本方法，结合问题条件得到函数f(x)= 是奇函数，排除A；运用求函数值的基本方法求出f()，f()的函数值，排除B，C就可得出选项。
【详细解答】f(-x)= ==-=- f(x)，函数f(x)是奇函数，排除A； f()==>1，f()==>0，排除B，
C，D正确，选D。
1，x＞0，
6、定义符号函数sgnx= 0，x=0，则函数f(x)=sinx.sgnx的图像大致是（ ）（2018成都市高 -1，x＜0，三三诊）
【解析】
【考点】①正弦三角函数的图像与性质；②函数图像及运用；③符号函数的定义与性质；④函数奇偶性的定义与性质；⑤判断函数奇偶性的基本方法；⑥求函数值的基本方法。
【解题思路】根据正弦三角函数和符号函数的性质，运用函数奇偶性的性质和判断函数奇偶性的基本方法，结合问题条件得到函数f(x)是偶函数，排除A；求出f(-)，f()的值C，D就可得出选项。
【详细解答】 f(-x)= sin（-x）.sgn（-x）=sinx.sgnx，函数f(x)是偶函数，排除A；
f(-)=sin（-）.sgn（-）=（-1）.（-1）=1，f()==sin（）.sgn（）=（-1）.1=-1，选项,C，D错误可排除， B正确，选B。
7、函数y=-++2的图像大致为（ ）（2018全国高考新课标III卷）
A B C D
【解析】
【考点】①函数图像及运用；②数学换元法及运用；③一元二次函数的定义与性质；④求函数值的基本方法。
【解题思路】根据数学换元法和一元二次函数的性质得到函数y图像的对称轴为x= ，排除A，C；运用求函数值的基本方法，求出x=0时，函数y的值，排除B就可得出选项。
【详细解答】设t=， 函数f(t)=- +t+2图像的对称轴为t=，函数y=-++2的图像的对称轴为x= ，排除A，C；当 x=0时，y=-0+0+2=2>0，排除B，D正确，选D。
『思考问题4』
（1）【典例4】是近几年高考（或高三诊断考试或高一上期期末调研考试）试卷中函数图像的问题，归结起来主要包括：①函数图像的作法；②函数图像的认识；③函数图像的运用等几种类型；
（2）解答这类问题的基本方法是：①根据问题条件确定问题所属的类型；②运用该类型问题的解题思路和解答的基本方法实施解答；③得出问题的解答结果。
〔练习4〕解答下列问题：
1、已知函数y=- （a>0，且a1）的图像恒过定点P，若点P在幂函数f(x)的图像
上，则幂函数f(x)的图像大致是（ ）（成都市高2020级2019-2020学年度上期期末调研
考试）（答案：A）
2、已知函数f(x)= |lnx|，x>0，和g(x)=a（aR且为常数），有以下结论：①当a=4时，存
-+mx，x0，在实数m，使得关于x的方程f(x)=g(x)有四个不同的
实数根；②存在m[3，4]，使得关于x的方程f(x)=g(x)有三个不同的实数根；③当x>0时，若函数h(x)= (x)+bf(x)+c恰有三个不同的零点，，，则=1；④当m=-4时，关于x的方程f(x)=g(x)有四个不同的实数根，，，，且<<<，
若函数f(x)在[，]上的最大值为ln4，则sin(3+3+5+4)=1，其中正确结论的个数是（ ）（成都市高2019级2018-2019学年度上期期末调研考试）（答案：C）
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
3、函数y= 的部分图像大致为（ ）（2017全国高考新课标I卷）（答案C）
4、函数y=1+x+的部分图像大致为（ ）（2017全国高考新课标III卷）（答案D）
5、函数y=2-在［-2,2］上的图像大致为（）（2016全国高考新课标I卷）（答案D）
t
O

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