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第五章 三角函数
5.4.2正弦函数、余弦函数的性质（第2课时）
学案
一、学习目标
1.理解正弦函数、余弦函数的单调性具有周期性变化规律，通过一个周期内的单调性进而研究在整个定义域上的性质.
2.能够利用单调性解决一些问题，比如比较大小，求最值等.
二、基础知识
观察正弦函数的图像.
1. 函数值的变化有什么特点？
2. 推广到整个定义域呢？
观察余弦函数的图像.
3. 余弦函数在上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？
推广到整个定义域：
4. 正弦函数、余弦函数的单调区间分别是什么？
5. 继续观察图像，当正弦函数、余弦函数取最值时，x的取值有何规律？
对于正弦函数，有
对于余弦函数有
6. 下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出最大值、最小值时自变量x的集合，并求出最大值、最小值.
（1）（2）
方法总结：（1）求解例题的基本依据是正弦函数、余弦函数的最大（小）值.
（2）对于形如的函数，一般通过变量代换（如设）化归为的形式，然后利用正弦函数的最大（小）值求解.
（3）余弦函数类似.
7. 不通过求值，比较下列各组数的大小：
（1）与；（2）与.
8. 求函数的单调递增区间.
9. 你能求出函数的单调区间吗？
三、习题检测
1.函数，的单调递增区间是( )
A. B. C. D.
2.已知函数在上是减函数，则的取值范围是( ).
A. B. C. D.
3.函数，的值域是( )
A. B. C. D.
4.已知函数，则( )
A.的最大值为2 B.的最小正周期为π
C.为奇函数 D.的图象关于直线对称
5.设函数，则下列结论正确的是( )
A.的一个周期为 B.的图像关于直线对称
C.的一个零点是 D.在上单调递增
6.与的大小关系为_________.
7.函数的单调递减区间是___________.
8.已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数在区间上的最小值和最大值.
答案以及解析
基础知识
1. 当时，曲线逐渐上升，是增函数，的值由-1增大到1；
当时，曲线逐渐下降，是减函数，的值由1减小到-1.
2. 当时，正弦函数y=是增函数，函数值由-1增大到1.
当时，正弦函数y=是减函数，函数值由1减小到-1.
3. 当时，曲线逐渐上升，是增函数，的值由-1增大到1.
当时，曲线逐渐下降，是减函数，的值由1减小到-1.
当时，余弦函数是增函数，的值由-1增大到1.
当时，余弦函数是减函数，函数值由1减小到-1.
4. 正弦函数的增区间为，减区间为.
余弦函数的增区间为，减区间为
5. 当且仅当时，取得最大值1；当且仅当时，取得最小值-1
当且仅当时，取得最大值1；当且仅当时，取得最小值-1.
6. 解：容易知道，这两个函数都有最大值、最小值
（1）使函数取得最大值的x的集合，就是使函数取得最大值的x的集合；
使函数取得最小值的x的集合，就是使函数取得最小值的x的集合.
函数的最大值是；最小值是.
（2）令，使函数取得最大值的z的集合，就是使取得最小值的z的集合.
由，得.所以，使函数取得最大值的x的集合是.
同理，使函数取得最小值的x的集合是.
函数的最大值是3，最小值是-3.
7. 解：（1）因为，正弦函数在区间上单调递增，所以.
（2），.
因为，且函数在区间上单调递减，所以，
即.
8. 解：令，则.
因为的单调区间是，且由，得.所以，函数的单调区间是
9.解：令.由于是的减函数，因此函数的减区间就是原函数的增区间.
函数的单调递减区间是
由于
得
设，,
.
的单调递增区间是.
习题检测
1.答案：B
解析：本题考查正弦型函数的单调区间.令，解得，当时，，即函数的单调递增区间是.
2.答案：C
解析：，，.
函数在上单调递减，
周期，解得.
的减区间满足，，
取，得且，解得.故选C.
3.答案：D
解析：∵，∴，∴，
所以函数的值域为．
故选：D.
4.答案：D
解析：易知的最大值为，因此A错误；的最小正周期，因此B错误；，
，
则，即不是奇函数，因此C错误；令，，得的图象的对称轴方程为，，当时，，因此D正确.故选D.
5.答案：B
解析：本题考查余弦型函数的周期性、对称性、零点和单调性.由可知的最小正周期选项A错误；因为所以的图像关于直线对称，选项B正确，选项C错误；因为的最小正周期为所以在上不可能是单调的，选项D错误.故选B.
6.答案：
解析：本题考查利用正弦函数性质比较大小.，，，，从而，即.
7.答案：
解析：令，，
得，，
即的单调递减区间是
.
8.答案：（1）令，得；
令，得.
故函数的单调递增区间为；单调递减区间为.
（2）当时，，
当，即时，取得最大值，；
当，即时，取得最小值，.
∴函数在区间上的最小值和最大值分别为.
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