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2022-2023学年天津南开翔宇学校八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）.
1．如图是科学防控新冠知识的图片．其中的图案是轴对称图形（　　）
A． B．
C． D．
2．下列图形中具有稳定性的是有（　　）
A．①② B．③④ C．②③ D．①②③
3．下列命题是真命题的是（　　）
A．五边形的内角和是720°
B．内错角相等
C．三角形三条高的交点一定在三角形的内部
D．三角形的任意两边之和大于第三边
4．正多边形的一个外角不可能是（　　）
A．20° B．36° C．60° D．175°
5．根据下列已知条件．能唯一画出△ABC的是（　　）
A．AB＝2，BC＝5，AC＝9 B．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4
C．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° D．∠C＝90°，AB＝6
6．如图，在△ABC中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（　　）
A．AF＝BF B．AE＝AC
C．∠DBF+∠DFB＝90° D．∠BAF＝∠EBC
7．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝55°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB＝（　　）
A．40° B．30° C．20° D．10°
8．如图，l1、l2、l3是三条两两相交的公路，现需建一个仓库，要求仓库到三条公路距离相等，则仓库的可能地址有（　　）处．
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边AC，BD，CE的中点，且阴影部分图形面积等于4平方厘米，则△ABC的面积为（　　）
A．8平方厘米 B．12平方厘米 C．16平方厘米 D．18平方厘米
10．如图所示，在四边形ABCD中．AD∥BC，AC＝1，BD＝，直线MN为线段AD的垂直平分线，P为MN上的一个动点．则PC+PD的最小值为（　　）
A．1 B． C． D．3
11．如图，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形最多有（　　）个．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
12．如图，△ABC中，∠B4C＝90°，AB＝AC、BM是AC边的中线，有AD⊥BM；垂足为点E交BC于点D．且AH平分∠BAC交BM于N．交BC于H．连接DM．则下列结论：
①∠AMB＝∠CMD；
②HN＝HD；
③BN＝AD；
④∠BNH＝∠MDC；
错误的有（　　）个．
A．0 B．1 C．3 D．4
二、境空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分，请将答案直接填在答题纸中对应的横线上。
13．已知点M（x，3）与点N（﹣2，y）关于x轴对称，则x+y＝　 　．
14．如图，在△ABC中∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点D，过点D作DE∥AB交BC于点E，DF∥AC交BC于点F，若BC＝a，AB＝c．AC＝b，刚△DEF的周长为 　 　．
15．如图，在△ABC中，AB和AC的垂直平分线分别交BC于E、F，若∠BAC＝130°，则∠EAF＝　 　．
16．如图，△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，点E，F分别在线段BD、CD上，点G在EF的延长线上，△EFD与△EFH关于直线EF对称，若∠A＝60°，∠BEH＝84°，∠HFG＝n°，则n＝　 　．
17．如图，已知长方形ABCD的边长AB＝20cm，BC＝16cm，点E在边AB上，AE＝6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当△BPE与△CQP全等时，时间t为　 　s．
18．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点C（0，4），点Q在x轴的负半轴上，且S△CQA＝12，分别以AC、CQ为腰，点C为直角顶点在第一、第二象限作等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM，连接MN交y轴于P点，则OP的值为 　 　．
三、解答题（本大题共6小题，共46分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E，若∠B＝35°，∠ACB＝85°．
（1）求∠DAC的度数；
（2）求∠E的度数．
20．如图在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（4，0），B（﹣1，4），C（﹣3，1）．
（1）请在图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC关于x轴对称，点A、B、C的对应点分别为A′、B′、C′；
（2）请写出A′、B′、C′的坐标；
（3）求△ABC的面积．
21．如图，AD是△ABC的中线，BE⊥AD，垂足为E，CF⊥AD，交AD的延长线于点F，G是DA延长线上一点，连接BG．
（1）求证：BE＝CF；
（2）若BG＝CA，求证：GA＝2DE．
22．（1）在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将三角形的周长分成27和18两部分．求这个等腰三角形的腰长及底边长；
（2）已知等腰角形一腰上的高与另一腰的夹角为42°，求这个等腰三角形底角的度数．
23．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）说明BE＝CF的理由；
（2）如果AB＝9，AC＝5，求AE、BE的长．
24．已知，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为点A（3，0），点B（0，b），将线段AB绕点A顺时针旋转α°得到AC，连接BC．
（1）若α＝90，
①如图1，b＝1，求出点C的坐标；
②如图2，D为BC中点，连接OD，求证：OD平分∠AOB；
（2）如图3，若点E（3﹣b，0），F（0，b+3），且0＜b＜1，线段AB与线段EF交于点P，直接写出∠BPE的度数．
参考答案
一、选择题本大愿共12小题每小题3分共36分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图是科学防控新冠知识的图片．其中的图案是轴对称图形（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．下列图形中具有稳定性的是有（　　）
A．①② B．③④ C．②③ D．①②③
【分析】根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性．
解：根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性．
显然②③两个图形具有稳定性，而①④中含有四边形，不具有稳定性．
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中．
3．下列命题是真命题的是（　　）
A．五边形的内角和是720°
B．内错角相等
C．三角形三条高的交点一定在三角形的内部
D．三角形的任意两边之和大于第三边
【分析】利用多边形的内角和定理、平行线的性质、三角形的高的定义及三角形的三边关系列式计算即可．
解：A、五边形的内角和为540°，故错误，是假命题，不符合题意；
B、两直线平行，内错角相等，故错误，是假命题，不符合题意；
C、三角形的三条高的交点可能在三角形的外部或直角顶点上，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、三角形的任意两边之和大于第三边，正确，是真命题，符合题意．
故选：D．
【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解多边形的内角和定理、平行线的性质、三角形的高的定义等知识，难度不大．
4．正多边形的一个外角不可能是（　　）
A．20° B．36° C．60° D．175°
【分析】多边形的外角和等于360°，正多边形的外角和一定能被一个外角的度数整除．
解：正多边形的外角和一定能被一个外角的度数整除，
而360不能被175整除，
故选：D．
【点评】本题考查正多边形的有关知识，关键是掌握：正多边形的外角和一定能被一个外角的度数整除．
5．根据下列已知条件．能唯一画出△ABC的是（　　）
A．AB＝2，BC＝5，AC＝9 B．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4
C．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° D．∠C＝90°，AB＝6
【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
解：A．由AB+BC＜AC，则不能画出三角形，故本选项不符合题意；
B．符合全等三角形的判定定理，能画出唯一的一个三角形，故本选项符合题意；
C．不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的一个三角形，故本选项不符合题意；
D．不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的一个三角形，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
6．如图，在△ABC中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（　　）
A．AF＝BF B．AE＝AC
C．∠DBF+∠DFB＝90° D．∠BAF＝∠EBC
【分析】由图中尺规作图痕迹可知，BE为∠ABC的平分线，DF为线段AB的垂直平分线，结合角平分线的定义和垂直平分线的性质逐项分析即可．
解：由图中尺规作图痕迹可知，
BE为∠ABC的平分线，DF为线段AB的垂直平分线．
由垂直平分线的性质可得AF＝BF，
故A选项不符合题意；
∵DF为线段AB的垂直平分线，
∴∠BDF＝90°，
∴∠DBF+∠DFB＝90°，
故C选项不符合题意；
∵BE为∠ABC的平分线，
∴∠ABF＝∠EBC，
∵AF＝BF，
∴∠ABF＝∠BAF，
∴∠BAF＝∠EBC，
故D选项不符合题意；
根据已知条件不能得出AE＝AC，
故B选项符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查尺规作图，熟练掌握垂直平分线的性质是解答本题的关键．
7．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝55°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB＝（　　）
A．40° B．30° C．20° D．10°
【分析】在直角三角形ABC中，由∠ACB与∠A的度数，利用三角形的内角和定理求出∠B的度数，再由折叠的性质得到∠CA′D＝∠A，而∠CA′D为三角形A′BD的外角，利用三角形的外角性质即可求出∠A′DB的度数．
解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝55°，
∴∠B＝180°﹣90°﹣55°＝35°，
由折叠可得：∠CA′D＝∠A＝55°，
又∵∠CA′D为△A′BD的外角，
∴∠CA′D＝∠B+∠A′DB，
则∠A′DB＝55°﹣35°＝20°．
故选：C．
【点评】此题考查了直角三角形的性质，三角形的外角性质，以及折叠的性质，熟练掌握性质是解本题的关键．
8．如图，l1、l2、l3是三条两两相交的公路，现需建一个仓库，要求仓库到三条公路距离相等，则仓库的可能地址有（　　）处．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点．把三条公路的中心部位看作三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求．
解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；
（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．
故选：D．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质，这是一道生活联系实际的问题，解答此类题目时最直接的判断就是三角形的角平分线，很容易漏掉外角平分线，解答时一定要注意，不要漏解，难度适中．
9．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边AC，BD，CE的中点，且阴影部分图形面积等于4平方厘米，则△ABC的面积为（　　）
A．8平方厘米 B．12平方厘米 C．16平方厘米 D．18平方厘米
【分析】本题利用中线平分面积这一结论，由F为CE的中点，可以得到△AEC的面积为8，因为D是AC的中点，可以得到△ADE的面积，同理，得到△ABE和△BEC的面积，问题即可解决．
解：∵F为CE的中点，
∴EF＝CF，
∵阴影部分图形面积等于4平方厘米，
∴S△AEC＝2S△AEF＝8平方厘米，
∵D是AC的中点，
∴AD＝CD，
∴S△AED＝S△CED＝4平方厘米，
∵E为BD的中点，
∴S△AEB＝S△AED＝4平方厘米，
同理，S△BEC＝S△CED＝4平方厘米，
∴△ABC的面积为：S△ABE+S△BEC+S△AEC＝4+4+8＝16（平方厘米），
故选：C．
【点评】本题是一道三角形的面积题目，考查了中线平分三角形的面积这一结论的应用，利用题目中的中点条件，将面积进行转化是解决本题的关键．
10．如图所示，在四边形ABCD中．AD∥BC，AC＝1，BD＝，直线MN为线段AD的垂直平分线，P为MN上的一个动点．则PC+PD的最小值为（　　）
A．1 B． C． D．3
【分析】根据轴对称的性质即可得到结论．
解：∵直线MN为线段AD的垂直平分线，P为MN上的一个动点，
∴点A与点D关于直线MN对称，
∴AC与这些MN的交点即为点P，PC+PD的最小值＝AC的长度＝1，
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路径问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
11．如图，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形最多有（　　）个．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】直接利用轴对称图形的性质结合题意得出答案．
解：如图所示：都是符合题意的图形．
故在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有4个，
故选：C．
【点评】此题主要考查了轴对称的性质，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．
12．如图，△ABC中，∠B4C＝90°，AB＝AC、BM是AC边的中线，有AD⊥BM；垂足为点E交BC于点D．且AH平分∠BAC交BM于N．交BC于H．连接DM．则下列结论：
①∠AMB＝∠CMD；
②HN＝HD；
③BN＝AD；
④∠BNH＝∠MDC；
错误的有（　　）个．
A．0 B．1 C．3 D．4
【分析】作KC⊥CA交AD的延长线于K．通过证明△BHN≌△AHD，△ABM≌△CAK，△CDM≌△CDK即可解决问题．
解：如图，作KC⊥CA交AD的延长线于K．
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AH平分∠BAC，
∴AH⊥BC，BH＝CH，
∴AH＝BH＝CH，
∵AD⊥BM，
∴∠BHN＝∠AEN＝∠AHD＝90°，
∵∠BNH＝∠ANE，
∴∠HBN＝∠DAH，
∴△BHN≌△AHD（ASA），
∴HN＝DH，BN＝AD，∠BNH＝∠ADH＝∠CDK，故②③正确，
∵∠BAM＝∠ACK＝90°，
∴∠BAE+∠CAK＝90°，∴∠BAE+∠ABM＝90°，
∴∠ABM＝∠CAK，
∵AB＝AC，
∴△ABM≌△CAK（ASA），
∴∠AMB＝∠K，AM＝CK＝CM，
∵∠DCM＝∠DCK＝45°，CD＝CD，
∴△CDM≌△CDK（SAS），
∴∠CDK＝∠CDM，∠K＝∠CMD，
∴∠AMB＝∠CMD，∠BNH＝∠MDC，故①④正确．
故选：A．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
二、境空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分，请将答案直接填在答题纸中对应的横线上。
13．已知点M（x，3）与点N（﹣2，y）关于x轴对称，则x+y＝　﹣5　．
【分析】利用关于x轴对称的点的坐标特点可得x、y的值，进而可得答案．
解：∵点M（x，3）与点N（﹣2，y）关于x轴对称，
∴x＝﹣2，y＝﹣3，
∴x+y＝﹣5，
故答案为：﹣5．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称的点的坐标，关键是掌握关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．
14．如图，在△ABC中∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点D，过点D作DE∥AB交BC于点E，DF∥AC交BC于点F，若BC＝a，AB＝c．AC＝b，刚△DEF的周长为 　a　．
【分析】根据角平分线的定义可得∠ABD＝∠EBD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠ABD＝∠EDB，然后求出∠EBD＝∠EDB，根据等角对等边的性质可得BE＝DE，同理可得CF＝DF，然后求出△DEF的周长＝BC，代入数据即可得解．
解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠EBD，
∵DE∥AB，
∴∠ABD＝∠EDB，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝DE，
同理可得：CF＝DF，
∴△DEF的周长＝DE+EF+DF＝BE+EF+CF＝BC，
∵BC＝a，
∴△DEF的周长＝a．
故答案为：a．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质与判定，主要利用了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
15．如图，在△ABC中，AB和AC的垂直平分线分别交BC于E、F，若∠BAC＝130°，则∠EAF＝　80°　．
【分析】由在△ABC中，AB和AC的垂直平分线分别交BC于E、F，易得∠B＝∠BAE，∠C＝∠CAF，又由∠BAC＝130°，可求得∠B+∠C的度数，继而求得答案．
解：∵在△ABC中，AB和AC的垂直平分线分别交BC于E、F，
∴AE＝BE，AF＝CF，
∴∠B＝∠BAE，∠C＝∠CAF，
∵∠BAC＝130°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝50°，
∴∠BAE+∠CAF＝50°，
∴∠EAF＝∠BAC﹣（∠BAE+∠CAF）＝130°﹣50°＝80°．
故答案为：80°．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．注意掌握整体思想的应用是解此题的关键．
16．如图，△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，点E，F分别在线段BD、CD上，点G在EF的延长线上，△EFD与△EFH关于直线EF对称，若∠A＝60°，∠BEH＝84°，∠HFG＝n°，则n＝　78　．
【分析】直接利用角平分线的定义以及三角形外角的性质得出∠D的度数，再利用轴对称图形的性质得出∠DEG度数，进而得出答案．
解：∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，
∴∠ABD＝∠DBC，∠ACD＝∠DCM，
设∠ABD＝∠DBC＝x，∠ACD＝∠DCM＝y，
∵∠A+∠ABC＝∠ACM，
∴∠A+∠ABC＝∠ACM，
即30°+x＝y，
∵∠D+∠DBC＝∠DCM，
∴∠D+x＝y，
∴∠D＝30°，
∵EFD与△EFH关于直线EF对称，∠BEH＝84°，
∴∠DEG＝∠HEG＝＝48°，
∴∠HFG＝n°＝∠DFG＝48°+30°＝78°
则n＝78．
故答案为：78．
【点评】此题主要考查了轴对称图形的性质以及三角形外角，正确得出∠DEG的度数是解题关键．
17．如图，已知长方形ABCD的边长AB＝20cm，BC＝16cm，点E在边AB上，AE＝6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当△BPE与△CQP全等时，时间t为　1或4　s．
【分析】由条件分两种情况，当△BPE≌△CQP时，则有BE＝PC，由条件可得到关于t的方程，当△BPE≌△CPQ，则有BP＝PC，同样可得出t的方程，可求出t的值．
解：
∵AB＝20cm，AE＝6cm，BC＝16cm，
∴BE＝14cm，BP＝2tcm，PC＝（16﹣2t）cm，
当△BPE≌△CQP时，则有BE＝PC，即14＝16﹣2t，解得t＝1，
当△BPE≌△CPQ时，则有BP＝PC，即2t＝16﹣2t，解得t＝4，
故答案为：1或4．
【点评】本题主要考查全等三角形的性质，由条件分两种情况得到关于t的方程是解题的关键．
18．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点C（0，4），点Q在x轴的负半轴上，且S△CQA＝12，分别以AC、CQ为腰，点C为直角顶点在第一、第二象限作等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM，连接MN交y轴于P点，则OP的值为 　7　．
【分析】过N作NH∥CM，交y轴于H，再△HCN≌△QAC（ASA），得出CH＝AQ，HN＝QC，然后根据点C（0，4），S△CQA＝12，求得AQ＝6，最后判定△PNH≌△PMC（AAS），得出CP＝PH＝CH＝3，即可求得OP＝3+4＝7．
解：过N作NH∥CM，交y轴于H，则∠CNH+∠MCN＝180°，
∵等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM，
∴∠MCQ+∠ACN＝180°，
∴∠ACQ+∠MCN＝360°﹣180°＝180°，
∴∠CNH＝∠ACQ，
又∵∠HCN+∠ACO＝90°＝∠QAC+∠ACO，
∴∠HCN＝∠QAC，
在△HCN和△QAC中，
，
∴△HCN≌△QAC（ASA），
∴CH＝AQ，HN＝QC，
∵QC＝MC，
∴HN＝CM，
∵点C（0，4），S△CQA＝12，
∴×AQ×CO＝12，即×AQ×4＝12，
∴AQ＝6，
∴CH＝6，
∵NH∥CM，
∴∠PNH＝∠PMC，
在△PNH和△PMC中，
，
∴△PNH≌△PMC（AAS），
∴CP＝PH＝CH＝3，
又∵CO＝4，
∴OP＝CP+OC＝3+4＝7．
故答案为7．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积计算以及等腰直角三角形的性质的综合应用．证明△HCN≌△QAC及△PNH≌△PMC是解题的关键．
三、解答题（本大题共6小题，共46分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E，若∠B＝35°，∠ACB＝85°．
（1）求∠DAC的度数；
（2）求∠E的度数．
【分析】（1）利用三角形内角和定理得出∠BAC的度数，根据角平分线的定义即可得到结论；
（2）进而得出∠ADC的度数，再利用三角形内角和定理和外角性质得出即可．
解：（1）∵∠B＝35°，∠ACB＝85°，
∴∠BAC＝60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝BAC＝30°，
（2）∵∠BAD＝BAC＝30°，
∴∠ADC＝35°+30°＝65°，
∵∠EPD＝90°，
∴∠E的度数为：90°﹣65°＝25°．
故答案为：25°．
【点评】此题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的性质和三角形外角的性质，根据已知得出∠BAD度数是解题关键．
20．如图在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（4，0），B（﹣1，4），C（﹣3，1）．
（1）请在图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC关于x轴对称，点A、B、C的对应点分别为A′、B′、C′；
（2）请写出A′、B′、C′的坐标；
（3）求△ABC的面积．
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）由图可得答案．
（3）利用割补法求三角形的面积即可．
解：（1）如图，△A′B′C′即为所求．
（2）由图可得，点A'（4，0），B'（﹣1，﹣4），C'（﹣3，﹣1）．
（3）△ABC的面积为7×4﹣﹣﹣＝．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
21．如图，AD是△ABC的中线，BE⊥AD，垂足为E，CF⊥AD，交AD的延长线于点F，G是DA延长线上一点，连接BG．
（1）求证：BE＝CF；
（2）若BG＝CA，求证：GA＝2DE．
【分析】（1）利用AAS证明△BED≌△CFD，得BE＝CF；
（2）利用HL证明Rt△BGE≌Rt△CAF，得GE＝AF，从而解决问题．
【解答】证明：（1）∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠BED＝∠F，
在△BED和△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴BE＝CF；
（2）在Rt△BGE和Rt△CAF中，
，
∴Rt△BGE≌Rt△CAF（HL），
∴GE＝AF，
∴AG＝EF．
∵△BED≌△CFD，
∴DE＝DF，
∴GA＝2DE．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，利用HL证明Rt△BGE≌Rt△CAF是解题的关键．
22．（1）在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将三角形的周长分成27和18两部分．求这个等腰三角形的腰长及底边长；
（2）已知等腰角形一腰上的高与另一腰的夹角为42°，求这个等腰三角形底角的度数．
【分析】（1）根据三角形中线的定义可得AD＝CD＝AC，再设AB＝AC＝2x，BC＝y，则AD＝CD＝x，然后分两种情况：分别进行计算即可解答；
（2）分两种情况：当∠A＜90°时，当∠A＞90°时，然后利用直角三角形和等腰三角形的性质进行计算即可解答．
解：（1）∵BD是AC边上的中线，
∴AD＝CD＝AC，
∵AB＝AC，
∴设AB＝AC＝2x，BC＝y，则AD＝CD＝x，
分两种情况：
①，
解得：，
∴AB＝AC＝18，
∴这个等腰三角形的腰长为18，底边长为9，
②，
解得：，
∴AB＝AC＝12，
∴这个等腰三角形的腰长为12，底边长为21，
综上所述：这个等腰三角形的腰长为8，底边长为9或腰长为12，底边长为21，
（2）分两种情况：
当∠A＜90°时，如图：
∵BD⊥AC，
∴∠BDA＝90°，
∵∠ABD＝42°，
∴∠A＝90°﹣∠ABD＝48°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝70°，
∴这个等腰三角形的底角的度数为66°；
当∠A＞90°时，如图：
∵BD⊥AC，
∴∠BDA＝90°，
∵∠ABD＝42°，
∴∠DAB＝90°﹣∠ABD＝48°，
∴∠BAC＝180°﹣∠DAB＝132°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣132°）＝24°，
∴这个等腰三角形的底角的度数为24°；
综上所述：这个等腰三角形的底角的度数为66°或24°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键．
23．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）说明BE＝CF的理由；
（2）如果AB＝9，AC＝5，求AE、BE的长．
【分析】（1）连接BD，CD，由AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线的性质，即可得DE＝DF，又由DG⊥BC且平分BC，根据线段垂直平分线的性质，可得BD＝CD，继而可证得Rt△BED≌Rt△CFD，则可得BE＝CF；
（2）首先证得△AED≌△AFD，即可得AE＝AF，然后设BE＝x，由AB﹣BE＝AC+CF，即可得方程9﹣x＝5+x，解方程即可求得答案．
解：（1）连接BD，CD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴BD＝CD，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝CF；
（2）在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE＝AF，
设BE＝x，则CF＝x，
∵AB＝9，AC＝5，AE＝AB﹣BE，AF＝AC+CF，
∴9﹣x＝5+x，
解得：x＝2，
∴BE＝2，AE＝AB﹣BE＝9﹣2＝7．
【点评】此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，利用方程思想与数形结合思想求解．
24．已知，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为点A（3，0），点B（0，b），将线段AB绕点A顺时针旋转α°得到AC，连接BC．
（1）若α＝90，
①如图1，b＝1，求出点C的坐标；
②如图2，D为BC中点，连接OD，求证：OD平分∠AOB；
（2）如图3，若点E（3﹣b，0），F（0，b+3），且0＜b＜1，线段AB与线段EF交于点P，直接写出∠BPE的度数．
【分析】（1）①过点C作CH⊥x轴于点H．证△AOB≌△CHA（AAS），得OB＝AH＝1，CH＝OA＝3，即可得出结论；
②过点D作DM⊥OA于点M，DN⊥OB于点N，证△DNB≌△DMA（AAS），得DM＝DN，即可得出结论；
（2）将线段AB绕点A顺时针旋转，90°得到AC，连接BC，过C作CH⊥x轴于点H，过B作BR⊥CH于点R，由（1）可知，C（3+b，3），∠ABC＝∠ACB＝45°，R（3+b，b），再证△FOE≌△BRC（SAS），得∠OFE＝∠RBC，然后证∠PQB＝90°，即可解决问题．
【解答】（1）①解：如图1，过点C作CH⊥x轴于点H．
∵∠AOB＝∠BAC＝∠AHC＝90°，
∴∠BAO+∠CAH＝90°，∠CAH+∠ACH＝90°，
∴∠OAB＝∠ACH，
在△AOB和△CHA中，
，
∴△AOB≌△CHA（AAS），
∴OB＝AH，CH＝OA，
∵B（0，1），A（3，0），
∴OB＝1，OA＝3，
∴AH＝1，CH＝3，
∴OH＝OA+AH＝4，
∴C（4，3）；
②证明：如图2，过点D作DM⊥OA于点M，DN⊥OB于点N．
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝CD，
∴AD⊥BC，AD＝BC＝BD＝CD，∠DAB＝∠DAC＝45°，
∵∠DMO＝∠DNO＝∠MON＝90°，
∴∠MDN＝∠ADB＝90°，
∴∠BDN＝∠ADM，
∵∠ADB＝∠AOB＝90°，
∴∠DAM+∠DBO＝180°，
∵∠DBO+∠DBN＝180°，
∴∠DBN＝∠DAM，
在△DNB和△DMA中，
，
∴△DNB≌△DMA（AAS），
∴DM＝DN，
∵DM⊥OA，DN⊥OB，
∴OD平分∠AOB；
（2）解：如图3，将线段AB绕点A顺时针旋转，90°得到AC，连接BC，过C作CH⊥x轴于点H，过B作BR⊥CH于点R，
由（1）可知，C（3+b，3），∠ABC＝∠ACB＝45°，R（3+b，b），
∴CR＝3﹣b，BR＝3+b，
∵点E（3﹣b，0），F（0，b+3），
∴OE＝3﹣b，OF＝3+b，
∴BR＝OF，CR＝OE，
又∵∠FOE＝∠BRC＝90°，
∴△FOE≌△BRC（SAS），
∴∠OFE＝∠RBC，
∵∠RBC+∠FBQ＝90°，
∴∠OFE+∠FBQ＝90°，
∴∠BQF＝90°，
∴∠PQB＝90°，
∴∠BPE＝∠PQB+∠ABC＝90°+45°＝135°．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，角平分线的判定等知识，本题综合性强，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

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