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等差数列及其前项和
1定义
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，记为.
代数形式：是常数)
Eg：是公差为的等差数列；
是公差为的等差数列；
不是等差数列.
2 等差中项
若成等差数列，则称与的等差中项，则.
3通项公式
等差数列的首项为，公差为，则. (由定义与累加法可得)
4 前项和
等差数列的首项为，公差为，则其前项和为
(由倒序相加法可证)
5 证明一个数列是等差数列的方法
① 定义法： 是常数，是等差数列；
② 中项法： 是等差数列；
③ 通项公式法： 是常数) 是等差数列；
④ 前项和公式法： 是常数)是等差数列；
注：方法③④不可以在解答题里直接使用.
6 基本性质(其中
若数列是首项为，公差为的等差数列，它具有以下性质：
若, 则；
；
；
下标成等差数列且公差为的项组成公差为的等差数列；
数列(是常数)是公差是的等差数列；
若数列也是等差数列，则数列(为非零常数)也是等差数列；
成等差数列；
.
【题型一】等差数列的基本运算
【典题1】已知为等差数列，若，则 .
【典题2】 已知等差数列的公差不为，其前项和为，且成等差数列，则下列四个选项中正确的有(　　)
A． B． C． D．最小
【典题3】 设为正项等差数列的公差，若，则(　　)
A． B． C． D．
巩固练习
1 (★) 已知数列中，，．若为等差数列，则 .
2 (★) 等差数列满足，，则 .
3 (★) 【多选题】记为等差数列的前项和，若，，则下列正确的是(　　)
A． B． C． D．
4 (★★) 【多选题】设数列是等差数列，是其前项和，且，则(　　)
A． B． C．或为的最大值 D．
5 (★★) 【多选题】等差数列的前项和为，，则下列结论一定正确的是(　　)
A． B．当或时，取最大值 C． D．
6 (★★) 【多选题】已知数列是首项为，公差为的等差数列，则下列判断正确的是(　　)
A． B．若，则 C．可能为 D．可能成等差数列
7 (★★) 【多选题】已知无穷等差数列的公差，且是中的三项，则下列结论正确的是(　　)
A．的最大值是 B． C．一定是奇数 D．一定是数列中的项
8 (★★) 已知等差数列的前项和为，若成等差数列．
(1)求数列的通项公式； (2)求数列的最大项与最小项．
【题型二】等差数列的判断与证明
【典题1】 数列的前项和．
求数列的通项公式； 求证：是等差数列．
【典题2】 已知数列满足：，，
求证：数列等差数列； 求．
【典题3】已知数列的前项和为，，，，其中为常数．
证明：；
是否存在，使得为等差数列？并说明理由．
巩固练习
1 (★) 已知是公差为的等差数列，是公差为的等差数列，且，则{}为(　　)
A．公差为的等差数列 B．公差为的等差数列
C．公比为的等比数列 D．公比为的等比数列
2(★★) 设数列的前项和为，且对任意正整数，．若则数列为(　　)
A．公差为的等差数列 B．公差为的等差数列
C．公比数列为的等比数列 D．公比数列为的等比数列
3 (★★) 数列中，已知，，且，，则此数列为(　　)
A．等差数列 B．等比数列
C．从第二项起为等差数列 D．从第二项起为等比数列
4 (★★) 数列中，，，若存在实数，使得数列为等差数列，则　　．
5 (★★) 已知数列的前项和为，求证数列{}是等差数列．
6 (★★) 已知数列中，，．证明是等差数列，并求的通项公式.
7(★★★) 设数列满足：，，证明数列{}是等差数列并求数列的通项公式.
8(★★★) 已知数列满足，且．
(1)求，的值；
(2)是否存在一个实常数，使得数列为等差数列，请说明理由．
【题型三】等差数列的基本性质及运用
【典题1】 已知等差数列满足，，则 .
【典题2】 已知两个等差数列，的前项和分别为，若对任意的整数，都有，则等于 .
【典题3】 已知是等差数列的前项和，且，给出下列五个命题：
①； ②； ③；④数列中的最大项为； ⑤
其中正确的命题是 .
巩固练习
1 (★) 在等差数列中，，表示数列的前项和，则 ．
2 (★) 已知各项不为的等差数列的前项和为，若，则 ．
3 (★★) 两个等差数列，的前项和分别为，，且，则 ．
4 (★★) 已知等差数列满足．其前项和为，则使成立时最大值为 ．
5 (★★) 设正项等差数列的前项和为，若，则的最小值为 ．
6 (★★) 设等差数列的前项的和为，若，，且，则(　　)
A． B． C． D．
7 (★★) 已知等差数列的前项和为，，，，则(　　)
A．12 B．14 C．16 D．18
8(★★)【多选题】 等差数列的前项和为，若，公差，则下列命题正确的是(　　)
A．若，则必有 B．若，则必有是中最大的项
C．若，则必有 D．若，则必有
9 (★★) 设正项等差数列满足，则(　　)
A．的最大值为 B．的最大值为
C．的最大值为 D．的最小值为等差数列及其前项和
1定义
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，记为.
代数形式：是常数)
Eg：是公差为的等差数列；
是公差为的等差数列；
不是等差数列.
2 等差中项
若成等差数列，则称与的等差中项，则.
3通项公式
等差数列的首项为，公差为，则. (由定义与累加法可得)
4 前项和
等差数列的首项为，公差为，则其前项和为
(由倒序相加法可证)
5 证明一个数列是等差数列的方法
① 定义法： 是常数，是等差数列；
② 中项法： 是等差数列；
③ 通项公式法： 是常数) 是等差数列；
④ 前项和公式法： 是常数)是等差数列；
注：方法③④不可以在解答题里直接使用.
6 基本性质(其中
若数列是首项为，公差为的等差数列，它具有以下性质：
若, 则；
；
；
下标成等差数列且公差为的项组成公差为的等差数列；
数列(是常数)是公差是的等差数列；
若数列也是等差数列，则数列(为非零常数)也是等差数列；
成等差数列；
.
【题型一】等差数列的基本运算
【典题1】已知为等差数列，若，则 .
【解析】(用到通项公式，用前项和公式)
设等差数列的公差为，
由，得，（得到的方程组）
解得，所以．
【点拨】
①首项、公差是等差数列的“基本量”，若知道它们数列其他量就可求.故提示我们，题中用上通项公式，对用上前项和.
② 若已知中三个便可求出其余两个，即“知三求二”，实质是利用方程思想建立方程组进行求解.
【典题2】 已知等差数列的公差不为，其前项和为，且成等差数列，则下列四个选项中正确的有(　　)
A． B． C． D．最小
【解析】设等差数列的公差为，
则，
(把化为关于的式子)
由题意可知：，
即，解得，(得到的关系)
，
对于选项，，项错误，
对于选项，，选项正确，
对于选项，，选项正确．
对于选项，
方法一 ，(利用二次函数性质)
若，则或最小；若，则或最大．选项错误.
方法二 由可知，
若，则数列是增函数，且，从第项开始为正数，即或最小；
若，则数列是减函数，且，从第项开始为负数，即或最大．
故选：．
【点拨】
① 本题充分利用到了方程思想和数列的基本量，把题中的用通项公式表示，用前项和表示，都转化为基本量.
② 求等差数列前项和的最值的方法
(1)求出，再利用二次函数的性质；
(2)求出，知晓数列的单调性判断前项和是求最小值还是最大值，求使得(或)成立时最大的值.
【典题3】 设为正项等差数列的公差，若，则(　　)
A． B．
C． D．
【解析】由题设知：，解得：，(得到的范围)
对于，正确；
对于，正确；
对于，
，错误．
(中均是把涉及的量转化为的式子进行判断)
对于
，
(此处由于，不可能等于，则取不到等号)
正确；故选：．
【点拨】对于不等式的处理，也可以使用基本量的方法求解.
巩固练习
1 (★) 已知数列中，，．若为等差数列，则 .
【答案】
【解析】设等差数列的公差为，
则，即，解得．
则，解得．
2 (★) 等差数列满足，，则 .
【答案】
【解析】设等差数列的公差为，
由，得，解得，
所以．
3 (★) 【多选题】记为等差数列的前项和，若，，则下列正确的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】
【解析】设等差数列的公差为．，，
，
解得：，
故选：．
4 (★★) 【多选题】设数列是等差数列，是其前项和，且，则(　　)
A． B．
C．或为的最大值 D．
【答案】
【解析】且，
，化为：，
可得．
或为的最大值，．
故选：．
5 (★★) 【多选题】等差数列的前项和为，，则下列结论一定正确的是(　　)
A． B．当或时，取最大值
C． D．
【答案】
【解析】等差数列的前项和为，，，
求得．
故，故正确；
该数列的前项和，它的最值，还跟的值有关，
不能推出当或时，取最大值，故错误．
，故有，故错误；
由于，
故 ，故正确，
故选：．
6 (★★) 【多选题】已知数列是首项为，公差为的等差数列，则下列判断正确的是(　　)
A． B．若，则
C．可能为 D．可能成等差数列
【答案】
【解析】由已知可得数列的通项公式为，
当时，1，解得故正确；
若，则，所以，故B错误；
若，则，，故正确；
若成等差数列，则，
即，解得，故可能成等差数列，故正确．
故选：．
7 (★★) 【多选题】已知无穷等差数列的公差，且是中的三项，则下列结论正确的是(　　)
A．的最大值是 B．
C．一定是奇数 D．一定是数列中的项
【答案】
【解析】无穷等差数列的公差，且是中的三项，
设，
解得，
的最大值为，故正确；
，
，故正确；
，当时，，数列可能为，故错误；
，
一定是等差数列中的项，故正确．
故选：．
8 (★★) 已知等差数列的前项和为，若成等差数列．
(1)求数列的通项公式； (2)求数列的最大项与最小项．
【答案】(1) (2) 最大项是第项，值为，最小项是第项，值为．
【解析】设的首项为，公差为，取．
得
解得
当1，时，，，经验证满足条件；
当，时，，，不满足条件，舍去，
综上，数列的通项公式为．
，记，
在与上都是增函数(如图所示)：
对数列，当时，递增且都大于，
当时，递增且都小于，
所以数列的最大项是第项，值为，最小项是第项，值为．
【题型二】等差数列的判断与证明
【典题1】 数列的前项和．
求数列的通项公式； 求证：是等差数列．
【解析】 当时，，
又当时，满足上式，
故的通项为．
证明：．
故数列是以为首项，为公差的等差数列．
【点拨】
① 证明数列方法有定义法: 是常数，
② 通过等差数列的通项公式和前项和公式，也可知道以下两种方法，但在解答题中不能直接使用，
通项公式法：是常数) 是公差为等差数列；
前项和公式法： 是常数)是等差数列.
【典题2】 已知数列满足：，，
求证：数列等差数列； 求．
【解析】(1)证明：记．
由得 ，
则
所以数列等差数列；
(2)由(1)结合，可得，
所以，
故
【点拨】
① 本题是由递推公式求通项公式的题型，题目先求证是等差数列，避免构造新数列，从而降低了难度；
② 利用等差数列的定义法，只需要求证是常数，过程仅仅需要运算化简，没太多的技巧要求.
【典题3】已知数列的前项和为，，，，其中为常数．
证明：；
是否存在，使得为等差数列？并说明理由．
【解析】证明：，
(已知条件是与的关系式，易想到)
，
两式相减可得
，．
解：
假设存在，使得为等差数列，
则成等差数列，即，
(先通过前项成等差数列证明为等差数列的必要条件)
，解得，(得到后还要证明其充分性)
故，(由于是隔项，故分奇偶项进行讨论)
可知数列中偶数项可组成首项为，公差为的等差数列
即；
数列中奇数项可组成首项为，公差为的等差数列
即；
所以，
则，
因此存在使得数列为等差数列.
【点拨】本题求证是否存在，使得数列为等差数列，思路是先利用前项成等差数列证明其必要性，再证明其充分性，过程才完整严谨.
巩固练习
1 (★) 已知是公差为的等差数列，是公差为的等差数列，且，则{}为(　　)
A．公差为的等差数列 B．公差为的等差数列
C．公比为的等比数列 D．公比为的等比数列
【答案】B
【解析】是公差为的等差数列，是公差为的等差数列，且，
，
则．
为公差为的等差数列．
故选：．
2(★★) 设数列的前项和为，且对任意正整数，．若则数列为(　　)
A．公差为的等差数列 B．公差为的等差数列
C．公比数列为的等比数列 D．公比数列为的等比数列
【答案】A
【解析】，，
．
当时，
，
．
，
，数列是公差为的等差数列．
故选：．
3 (★★) 数列中，已知，，且，，则此数列为(　　)
A．等差数列 B．等比数列
C．从第二项起为等差数列 D．从第二项起为等比数列
【答案】D
【解析】由得，又由，得，解得．
+2且，
，
，
且，
时，上式不成立．
故数列从第项起是以为公比的等比数列．
故选：．
4 (★★) 数列中，，，若存在实数，使得数列为等差数列，则　　．
【答案】
【解析】，，
两边同时除以可得，．
数列{}是等差数列，
由题意可得，，
5 (★★) 已知数列的前项和为，求证数列{}是等差数列．
【证明】 数列的前n项和为，
，
数列{}是等差数列．
6 (★★) 已知数列中，，．证明是等差数列，并求的通项公式.
【证明】．
所以是等差数列；，
所以，所以的通项公式；
7(★★★) 设数列满足：，，证明数列{}是等差数列并求数列的通项公式.
【证明】 ，
，
上式两边同除以 (可验证，
化简得 ，
所以是以为首项，为公差的等差数列，
即，
即；
8(★★★) 已知数列满足，且．
(1)求，的值；
(2)是否存在一个实常数，使得数列为等差数列，请说明理由．
【答案】(1) (2)
【解析】 (1)
(2)假设存在一个实常数λ，使得数列为等差数列，
则成等差数列，
所以，
所以，解之得．
因为
又，
所以存在一个实常数，使得数列是首项为，公差为的等差数列．
【题型三】等差数列的基本性质及运用
【典题1】 已知等差数列满足，，则 .
【解析】方法一 设公差为，
则显然也成等差数列，且公差为，
，
，
方法二 ,
(等差数列性质:若, 则)
,
.
【点拨】本题当然可以用方程思想求解，利用等差数列性质起到降低计算量的效果，这需要善于观察小标之间的关系.
【典题2】 已知两个等差数列，的前项和分别为，若对任意的整数，都有，则等于 .
【解析】依题意，数列，均为等差数列，
(等差数列性质:若, 则)
(等差数列性质: )
.
【典题3】 已知是等差数列的前项和，且，给出下列五个命题：
①； ②； ③；
④数列中的最大项为； ⑤
其中正确的命题是 .
【解析】方法一 ，
① 所以①正确；
②，故②正确；
③，故③错误；
④，数列中的最大项为，故④错误；
⑤，，故⑤正确.
综上，①②⑤正确.
方法二 等差数列的前项和，
由题意可知，则它是关于的二次函数，
由，想象下图象，
若图象开口向上，则比和都要离对称轴远，是不可能的；
可得图象开口向下，且对称轴在，(为二次函数零点)，
则，，，数列中的最大项为，.
综上，①②⑤正确.
【点拨】
① 本题是不等式问题，若使用基本量表示，计算量较大，思路显得呆板，利用性质求解更简洁，也更看清楚其本质；
② 处理其项和问题(比如比较大小，求最值等)，利用其对应的函数图象较容易得出结果.
巩固练习
1 (★) 在等差数列中，，表示数列的前项和，则 ．
【答案】
【解析】在等差数列中，
，
，解得，
表示数列的前项和，
则．
2 (★) 已知各项不为的等差数列的前项和为，若，则 ．
【答案】
【解析】由，则．
3 (★★) 两个等差数列，的前项和分别为，，且，则 ．
【答案】
【解析】，．
4 (★★) 已知等差数列满足．其前项和为，则使成立时最大值为 ．
【答案】
【解析】等差数列的首项，，
．
于是0，
．
使成立的最大正整数是．
5 (★★) 设正项等差数列的前项和为，若，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】正项等差数列中，，
，
，
，
6 (★★) 设等差数列的前项的和为，若，，且，则(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由于，，且则，
所以，，，
因此，，
故选：．
7 (★★) 已知等差数列的前项和为，，，，则(　　)
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】B
【解析】因为，所以，
因为，所以，
所以根据等差数列的性质可得：，即．
由等差数列的前项和的公式可得：，并且，
所以解得．
故选：．
8(★★)【多选题】 等差数列的前项和为，若，公差，则下列命题正确的是(　　)
A．若，则必有 B．若，则必有是中最大的项
C．若，则必有 D．若，则必有
【答案】
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于，若，必有，则，，正确；
对于，若，必有，又由，则必有是中最大的项，B正确；
对于，若，则，又由，必有，则，必有，正确；
对于D，若，则，而的符号无法确定，故不一定正确，错误；
故选：．
9 (★★) 设正项等差数列满足，则(　　)
A．的最大值为 B．的最大值为
C．的最大值为 D．的最小值为
【答案】
【解析】正项等差数列满足，
所以．
①，当且仅当时成立，故选项正确．
②由于，所以，≤2，当且仅当时成立，故选项正确．
③，当且仅当时成立，所以的最小值为，故选项错误．
④结合①的结论，有，当且仅当时成立，故选项正确．
故选：．

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