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数学归纳法
1 数学归纳法的概念
一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当时命题成立；
(2)(归纳递推)以“当时命题成立”为条件，推出“当时命题也成立”；
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法.
PS 用数学归纳法证明，两个步骤缺一不可.
2 数学归纳法的运用
数学归纳法证明的对象是与正整数有关的命题，比如：与正整数有关的等式或不等式的证明，求数列的通项公式，与数列有关的不等关系证明，整除问题，函数不等式等.
在运用数学归纳法证明时要注意以下几点
① 第一步归纳奠基中的不一定是；
② 当证明从到时，所证明的式子不一定只增加一项；
③ 在证明第二步中，强调两个“凑”，一是“凑”假设，在时的式子中凑出的式子(确定两个式子的“差项”；二是“凑”结论，明确时要证明的目标，在这个过程中常用到比较法、分析法等，不等式证明中还会用到放缩法)；
④ 要注意“观察---归纳—猜想---证明”的思维模式和由特殊到一般的数学思想.
【题型一】 对数学归纳法的理解
【典题1】用数学归纳法证明“对于的正整数都成立”时，第一步证明中的起始值应取 .
【典题2】用数学归纳法证明命题“当是正奇数时，能被整除”，在第二步时，正确的证法是 (　　)
A．假设，证明命题成立
B．假设(是正奇数)，证明命题成立
C．假设，证明命题成立
D．假设(是正奇数)，证明命题成立
【典题3】 用数学归纳法证明：时，在第二步证明从到
成立时，左边增加的项数是 .
巩固练习
1 (★) 用数学归纳法证明不等式时，以下说法正确的是(　　)
A．第一步应该验证当时不等式成立
B．从“到”左边需要增加的代数式是
C．从“到”左边需要增加项
D．从“到”左边需要增加项
2 (★)用数学归纳法证明时，第二步应假设(　　)
A．时， B．时，
C．时， D．时，
3(★) 用数学归纳法证明“”时，假设时命题成立，则当时，左端增加的项为(　　)
A． B． C． D．
4(★) 用数学归纳法证明“能被整除”，在假设时命题成立之后，需证明时命题也成立，这时除了用归纳假设外，还需证明的是余项(　　)能被整除．
A． B． C． D．
【题型二】 等式的证明
【典题1】 用数学归纳法证明：.
【典题2】 观察下列等式：
；；；…
(1)请写出第个、第个等式，猜想出第个等式；
(2)用数学归纳法证明你的猜想．
巩固练习
1 (★★) 证明：.
2 (★★) 证明
3(★★) 证明：
4 (★★★) 给出下列等式：
1，
1，
1，
…
(1)由以上等式推测出一个一般性的结论；(2)证明你的结论．
5 (★★★) 证明
【题型三】 不等式的证明
【典题1】 已知前三个式子分别为：，，，…．
照此规律，写出第个不等式，并证明．
【典题2】证明：当时，．
【典题3】证明：．
巩固练习
1 (★★) 证明：．
2 (★★) 当，时，求证：1．
3 (★★) 证明：．
4 (★★★) 设，证明对任意的正整数，都有．
5 (★★★) 已知，，，．证明：．
【题型四】 数列与数学归纳法
【典题1】 已知数列的前项和．
(1)计算，并猜的通项公式；(2)证明(1)中的猜想．
【典题2】 设正项数列满足，，，求数列的通项公式．
【典题3】 由正实数组成的数列满足证明：对任意，都有．
【典题4】已知数列的各项都是正数，且满足：，．
证明.
巩固练习
1 (★★) 在数列，中，，，且，，成等差数列，成等比列，求与的值，由此猜测，的通项公式，并证明你的结论．
2 (★★) 已知数列的前项和，且，．
求；猜想的表达式，并用数学归纳法证明．
3 (★★★) 已知数列满足，，．
计算的值；
猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明．
4(★★★) 已知数列满足，；
猜想数列的单调性，并证明你的结论；
证明：．
5 (★★★★) 设数列满足，．
当时，求，并由此猜想出的一个通项公式；
当时，证明对所有，有：①；②．
【题型五】整除问题
【典题1】用数学归纳法证明：)能被整除．
巩固练习
1 (★★) 用数学归纳法证明：能被整除．
2(★★) 用数学归纳法证明：可以被整除．
3 (★★) 证明：对一切正整数，能被整除．
【题型六】 其他应用
【典题1】 平面内条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点．
设这条直线互相分割成条线段或射线，猜想的表达式并给出证明；
求证：这条直线把平面分成个区域．
【典题2】 若已知，求证：且．
巩固练习
1 (★★) 平面内有个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆都没有共同的交点，试证明这个圆把平面分成了个区域．
2 (★★) 如图，曲线：与直线：相交于，作交轴于，作交曲线于，……，以此类推．
(1)写出点和的坐标；
(2)猜想的坐标，并用数学归纳法加以证明．
3(★★) 设为虚数单位，为正整数，．
(1)用数学归纳法证明：；
(2)已知，试利用(1)的结论计算．
4(★★) 如图，平面上已有一个边长为的正方形，现按如图规律作正方形：第一步向右作一个边长也为的正方形；第二步向下以上面两个正方形的边长之和为边作正方形；第三步向右以左面两个正方形的边长之和为边长作正方形，…，记第步所作正方形的边长为，
(1)求和的值；
(2)试猜想的结果，并用数学归纳法证明．数学归纳法
1 数学归纳法的概念
一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当时命题成立；
(2)(归纳递推)以“当时命题成立”为条件，推出“当时命题也成立”；
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法.
PS 用数学归纳法证明，两个步骤缺一不可.
2 数学归纳法的运用
数学归纳法证明的对象是与正整数有关的命题，比如：与正整数有关的等式或不等式的证明，求数列的通项公式，与数列有关的不等关系证明，整除问题，函数不等式等.
在运用数学归纳法证明时要注意以下几点
① 第一步归纳奠基中的不一定是；
② 当证明从到时，所证明的式子不一定只增加一项；
③ 在证明第二步中，强调两个“凑”，一是“凑”假设，在时的式子中凑出的式子(确定两个式子的“差项”；二是“凑”结论，明确时要证明的目标，在这个过程中常用到比较法、分析法等，不等式证明中还会用到放缩法)；
④ 要注意“观察---归纳—猜想---证明”的思维模式和由特殊到一般的数学思想.
【题型一】 对数学归纳法的理解
【典题1】用数学归纳法证明“对于的正整数都成立”时，第一步证明中的起始值应取 .
【解析】根据数学归纳法的步骤，首先要验证当取第一个值时命题成立；
结合本题，要验证时，左边，右边，不成立，
时，左边，右边，不成立，
时，左边，右边，成立，
时，左边，右边，成立，
…
因为成立，所以恒成立．
故.
【点拨】数学归纳法第一步中的不一定是，一般是满足题意的最小的正整数.
【典题2】用数学归纳法证明命题“当是正奇数时，能被整除”，在第二步时，正确的证法是 (　　)
A．假设，证明命题成立
B．假设(是正奇数)，证明命题成立
C．假设，证明命题成立
D．假设(是正奇数)，证明命题成立
【解析】中，不一定表示奇数，只有中为奇数，为奇数．故答案：
【点拨】注意第二步中不一定是，要注意题目对的要求.
【典题3】 用数学归纳法证明：时，在第二步证明从到
成立时，左边增加的项数是 .
【解析】用数学归纳法证明的过程中，
假设时，左侧，
当成立时，左侧，
从到时，左边增加，
共有项．
【点拨】数学归纳法第二步中从到成立时，增加的项数不一定是只有项，要式子变化的规律去判断，这在证明题中有助于关于“两个凑”的思考.
巩固练习
1 (★) 用数学归纳法证明不等式时，以下说法正确的是(　　)
A．第一步应该验证当时不等式成立
B．从“到”左边需要增加的代数式是
C．从“到”左边需要增加项
D．从“到”左边需要增加项
【答案】D
【解析】由于，
所以第一步应该是验证当时不等式成立，
从“到”左边需要增加的代数式是，共项．
故选：．
2 (★)用数学归纳法证明时，第二步应假设(　　)
A．时， B．时，
C．时， D．时，
【答案】C
【解析】根据证明的结论，，
故第二步的假设应写成：假设时命题正确，即正确．
故选：．
3(★) 用数学归纳法证明“”时，假设时命题成立，则当时，左端增加的项为(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】时，不等式的左边等于，且，
当时，不等式的左边等于，
当时，不等式的左边比时增加．
故选：．
4(★) 用数学归纳法证明“能被整除”，在假设时命题成立之后，需证明时命题也成立，这时除了用归纳假设外，还需证明的是余项(　　)能被整除．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】假设时命题成立，即能被9整除，
那么，当时，
，
能被整除，
要证上式能被9整除，还需证明也能被整除．
故选：．
【题型二】 等式的证明
【典题1】 用数学归纳法证明：.
【解析】 ①当时，左边，右边，左边=右边．
②假设时等式成立，即，
那么当时，
，
即当时，等式成立．
综上，．
【点拨】熟悉数学归纳法的解题步骤.
【典题2】 观察下列等式：
；；；…
(1)请写出第个、第个等式，猜想出第个等式；
(2)用数学归纳法证明你的猜想．
【解析】(1)根据等式可知第个等式为，
第个等式为，
观察个式子，可以猜测第个式子为．
(通过观察法得到，其实其公式即是)
(2)证明：当时，左边右边，此时猜想的等式成立；
当，时，假设成立，
当时，
(这步相当于以“”为已知条件，
证明“成立”，
接着证明)
，
当时，猜想的等式也成立，
综上，等式对任意的都成立．
【点拨】等式的证明主要是对式子进行“通分、因式分解”等基本操作，要明确已知什么证明什么，再利用综合法分析法找到解题思路.
巩固练习
1 (★★) 证明：.
【证明】(1)当时，左边，右边，赞美式成立．
(2)假设当时，等式成立，即
则当时，
即当时，等式成立．
根据(1)、(2)可知，对一切，等式成立．
2 (★★) 证明
【证明】时，左边，右边，左边=右边，命题成立．
(2)假设时，命题成立，
即．
时，即证明成立．
左边右边．
时命题成立．
综上可得：，成立．
3(★★) 证明：
【证明】当时，，等式成立．
假设当时等式成立，
即，
则当时，
，
所以当时等式也成立．
综上所述，等式成立．
4 (★★★) 给出下列等式：
1，
1，
1，
…
(1)由以上等式推测出一个一般性的结论；(2)证明你的结论．
【证明】(1)由以上等式推测出一个一般性的结论为：
．
(2)下面用数学归纳法证明这一结论．
当时，左边，右边，结论成立；
假设当时，结论成立，
即．
则当时，
左边
．
当时也成立．
因此，等式对于一切都成立．
5 (★★★) 证明
【证明】(1)当时，左边
右边，等式成立．
(2)假设当时，等式成立，即
则当时，
由
得
代入式，得
右边
即
这就是说，当时等式成立．
根据(1)、(2)可知，对任意，等式成立．
【题型三】 不等式的证明
【典题1】 已知前三个式子分别为：，，，…．
照此规律，写出第个不等式，并证明．
【解析】第个不等式为，
以下用数学归纳法证明：
当时，左边右边，不等式成立；
假设当且时不等式成立，即，
那么，当时，
即要证明成立，
而
则只需证明 (凑结论)
而显然成立，
(这里用“分析法”进行推导，其过程纯为计算，思考难度不高，“磨灭”掉“技巧性”)
当时不等式成立．
综上所述，不等式对于任意都成立；
【点拨】
① 用数学归纳法证明不等式，使用“分析法”求证，有助于降低“思考难度”；
② 同时也看些“技巧性”的方法：不等式证明中的“放缩”，
，
这里仅仅用到了，看似很简单，但不容易想到，平时也可多尝试，找到一些“巧法”，提高下思考强度；
③ 其实本题还可直接使用“放缩法”
解 ，，
．
与数学归纳法比较下！
【典题2】证明：当时，．
【解析】(1)当时，左边1，不等式成立；
(2)假设时命题成立，即，
那么当时，
，
(凑假设：注意与时不等式左边的关系，看清楚它们的首项与末项)
，
(利用分析法，可知相当于要证明)
，
(这里用放缩：均大于)
.
当时不等式也成立，
综上，由知，原不等式对均成立．
【点拨】
① 注意第二步中与时相同与不同的项；
② 多归纳总结下求证不等式的放缩技巧.
【典题3】证明：．
【解析】当时，不等式的左边，右边，不等式成立；
假设，，
当时，
(这里用到绝对值三角不等式)
(运用三角函数的有界性)
，
即时，不等式也成立．
综上可得，．
【点拨】绝对值三角不等式，不等式右边“”成立的条件是，左边“”成立的条件是，且.
巩固练习
1 (★★) 证明：．
【证明】①当时，左边成立；
②假设当时，结论成立，即
那么时，左边
时，结论成立
综上，由①②可知成立．
2 (★★) 当，时，求证：1．
【证明】(1)当时，左边=11，右边，等式成立．
(2)假设当且)不等式成立，即，
当时，
，
当时，不等式也成立．
对，时，．
3 (★★) 证明：．
【证明】(1)当时，左边，右边，命题成立．
(2)假设当时，成立
当时，左边，
当时命题成立．
由(1)(2)可得，对于任意，都成立．
4 (★★★) 设，证明对任意的正整数，都有．
【证明】当时，由，可得，不等式成立；
假设，，
当时，，
由，可得，
由成立，
可得；
由，可得，
由
成立，
可得，
则时，不等式也成立．
综上可得，对任意的正整数，都有．
5 (★★★) 已知，，，．证明：．
【证明】(1)当时，左边－右边，不等式成立．
(2)假设当时，不等式成立，即．
因为，，，，
所以，
于是．
当时，
．
即当时，不等式也成立．
综合(1)，(2)知，对于，，，，不等式总成立．
【题型四】 数列与数学归纳法
【典题1】 已知数列的前项和．
(1)计算，并猜的通项公式；(2)证明(1)中的猜想．
【解析】(1)根据题意，．
当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，，．
由此猜想；
(2)证明：①当时，，猜想成立．
②假设且时，猜想成立，即，
那么时，，
．
当时，猜想成立．
由①②知猜想成立．
【点拨】
① 求数列的通项公式也可以用数学归纳法求解；
② 可尝试用非数学归纳法的方法求通项公式，比较下它们之间的难易.
【典题2】 设正项数列满足，，，求数列的通项公式．
【解析】，．
可得时，，时，，时，，故猜想，
下面用数学归纳法证明， (体会下“观察---归纳—猜想---证明”思维模式)
①当时，，等式成立．当时成立；
②假设当时，猜想成立，即，
那么当时，，
正项数列，所以，
当时猜想也成立，
由①②可得猜想成立．
【点拨】
① 用数学归纳法求解通项公式，一般是先求出前几项，猜想，再证明；
② 本题数列递推公式较复杂，但用数学归纳法求解得到一个较为简洁的解法.
【典题3】 由正实数组成的数列满足证明：对任意，都有．
【解析】，得
是正项数列，，
，，
下面用数学归纳法证明：
①当时，成立；
(基本不等式的运用，用二次函数也行，前面确定范围很重要)
②当时时，假设命题正确，即
那么
(结合二次函数图象易得)
(这用到放缩，用分析法证明也很容易)
当时，命题也正确
综上所述，对于一切，．
【点拨】在数列中证明不等式，与前面不等式的证明方法差不多，其中有分析法、放缩法等，还需要多注意各变量的取值范围(比如等)，做到步步严谨.
【典题4】已知数列的各项都是正数，且满足：，．
证明.
【解析】 (证明，相当于证明且两步)
方法一 数学归纳法
当时，，，所以，命题正确．
假设时命题成立，即.
则当时，
(因式分解)
而，，
所以
又.
所以时命题成立．
由可知，对一切时有.
方法二 数学归纳法
当时，，，所以；
假设时有成立，
(已知要证明，用到函数思想，递推公式看成为自变量的函数)
令，在上单调递增，
所以由假设有：，
即，
所以当时，成立．
所以对一切，有.
【点拨】
①方法一与方法二都是数学归纳法，但是方法二更能体现出题目的本质，
由递推公式，联想到函数，结合下图能更深入的感受到数列中每一项的变化，及其范围.
这属于蛛网模型.
② 本题也可先求出通项公式，再判断．
巩固练习
1 (★★) 在数列，中，，，且，，成等差数列，成等比列，求与的值，由此猜测，的通项公式，并证明你的结论．
【答案】, ，，
【解析】由条件得，.
又，由此可得，，，
，，猜测
用数学归纳法证明：
①当时，，，结论成立．
②假设当时结论成立，
即，，那么当时，
，
，
当时，结论也成立．
由①②知，对一切正整数都成立．
2 (★★) 已知数列的前项和，且，．
求；猜想的表达式，并用数学归纳法证明．
【答案】(1) (2) ，证明见解析
【解析】(1)，
当时，，
，，
当时，，
，，
当时，，
，
故．
(2)猜想，
证明：①当时，左边，右边，符合要求．
②假设当时，
当时，
即，
，即，
当时，也成立．
根据①②可知，，即得证．
3 (★★★) 已知数列满足，，．
计算的值；
猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明．
【答案】(1) ，， (2) ，证明见解析
【解析】数列满足，，．
时，，时，解得，时，解得．
猜想：．
证明：①当时，，猜想成立；
②假设当时猜想成立，即．
那么，依题可得．
所以，当时猜想成立．
根据①和 ②，可知猜想对任何都成立．
4(★★★) 已知数列满足，；
猜想数列的单调性，并证明你的结论；
证明：．
【答案】(1) 是递减数列，证明见解析 (2) 证明见解析
【解析】(1)由，，
，，…
由猜想：数列是递减数列
下面用数学归纳法证明：
(1)当时，已证命题成立
(2)假设当时命题成立，即
易知，那么
即
也就是说，当时命题也成立，结合(1)和(2)知，命题成立
(2)当时，，结论成立
当时，易知，
5 (★★★★) 设数列满足，．
当时，求，并由此猜想出的一个通项公式；
当时，证明对所有，有：①；②．
【答案】(1) , (2)见解析
【解析】(1)由得
由得
由，得
由此猜想的一个通项公式：
(2)证明：①当n＝1时，a1≥3＝1+2，不等式成立…6分
(2) ①用数学归纳法证明：
当，，不等式成立．
假设当时不等式成立，即，
那么
也就是说，当时，2
根据和，对于所有，有
②证明：由①知，，
即，于是于是，
反复放缩，可得，
．
【题型五】整除问题
【典题1】用数学归纳法证明：)能被整除．
【解析】当时，，能被整除，命题成立．
假设)时，能被整除．
那么时，原式
．
(整个过程就是在时“凑”出假设：(时的式子)，过程有些繁琐)
与均能被整除，
能被整除，
时，命题成立．
综上，)能被整除．
【点拨】在第二步中，也可令(为正整数)，
则，
当时，原式
能被整除．
巩固练习
1 (★★) 用数学归纳法证明：能被整除．
【证明】(1)当时，，显然能被整除，
(2)假设时，能被整除
则当时，，
由于假设能够被整除，而能够被整除，
因此能够被整除，
故当时，能被整除，
由(1)，(2)可知能被整除
2(★★) 用数学归纳法证明：可以被整除．
【证明】时，左边，显然能被整除，
(2)假设时，可以被整除，
即，，
则时，
左边，
能被整除，
综上，可以被整除．
3 (★★) 证明：对一切正整数，能被整除．
【证明】(1)当时，，显然能被整除，
即时，结论成立
(2)假设当，，结论成立，
则能被整除，设，，
当时，
而当，时显然为偶数，设为，，
故)，
也能被整除，故当时结论也成立；
由(1)(2)可知对一切正整数，能被整除．
【题型六】 其他应用
【典题1】 平面内条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点．
设这条直线互相分割成条线段或射线，猜想的表达式并给出证明；
求证：这条直线把平面分成个区域．
【解析】解：，，，
猜想． (体会下“观察---归纳—猜想---证明”思维模式)
以下用数学归纳法证明：
①当时，，猜想正确．
②假设时猜想正确，即，
则当时，这第条直线与原来的条直线分别相交，新增个交点，
它们分别把原来的一条线段或射线一分为二，
使原来的条直线新分割出条线段或射线，
又这个交点还把第条直线分割为条线段或射线，
．
当时，猜想也正确．
根据①②知，对大于的任意自然数，猜想都正确．
证明：①当时，一条直线把平面分为两部分，
而时，时命题正确．
②假设时命题正确，即条直线把平面分成个区域，
则时，第条直线与原来的条直线可交于共个交
点，截成条线段或射线，而每一条线段或射线都把它们所占的一块区域一分为二，
故新增加出块区域，
因此条直线把平面共分成
个区域．
当时命题也成立．
由①②可知，对任意的，命题都成立．
【点拨】
① 若要猜想的表达式，多理解“观察---归纳—猜想---证明”思维模式和从特殊到一般的数学思想；
② 对于平面几何的问题，画图进行分析有助于找到其规律.
【典题2】 若已知，求证：且．
【解析】数学归纳法证明：
当时，，即左边右边，命题成立；
②假设当时，命题成立，即成立，
当时,右边
由知，
令，有，
(感觉有些裂项的效果)
因此有：左边
故左边右边，即当时，命题成立．
综上①②，当且，成立．
【点拨】
① 题中放缩公式可用后面学习的导数证明，故本题直接用放缩法也行；
② 数学归纳法与函数的考核在高考也压轴题型，可先了解下！
巩固练习
1 (★★) 平面内有个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆都没有共同的交点，试证明这个圆把平面分成了个区域．
【证明】(1)当时，一个圆把平面分成两个区域，而，命题成立．
(2)假设时，命题成立，即个圆把平面分成个区域．
当时，第个圆与原有的个圆有个交点，这些交点把第个圆分成了段弧，而其中的每一段弧都把它所在的区域分成了两部分，因此增加了个区域，
共有个区域．
时，命题也成立．
由(1)、(2)知，对任意的，命题都成立．
2 (★★) 如图，曲线：与直线：相交于，作交轴于，作交曲线于，……，以此类推．
(1)写出点和的坐标；
(2)猜想的坐标，并用数学归纳法加以证明．
【答案】(1) ，，，，
(2)
【解析】(1)根据题意，由，求得，
由，求得，
由，求得，
由，求得，
由，求得，
由，求得．
(2)由(1)猜想的坐标为，
设，则直线的方程为，
令，解得，
因为直线的斜率为，即，
所以，整理得；
用数学归纳法证明的坐标如下：
①当时，验证成立；
②当时，假设成立，即，
由递推关系得，
解得；
综上知，．
3(★★) 设为虚数单位，为正整数，．
(1)用数学归纳法证明：；
(2)已知，试利用(1)的结论计算．
【答案】(1) 证明见解析 (2)
【解析】(1)证明：1°当时，左边=右边，所以命题成立；
2°假设当时，命题成立，即，
则当时，
当时，命题成立；
综上，由1°和2°可得，．
(2)2()=2(cosisin)，
4(★★) 如图，平面上已有一个边长为的正方形，现按如图规律作正方形：第一步向右作一个边长也为的正方形；第二步向下以上面两个正方形的边长之和为边作正方形；第三步向右以左面两个正方形的边长之和为边长作正方形，…，记第步所作正方形的边长为，
(1)求和的值；
(2)试猜想的结果，并用数学归纳法证明．
【答案】(1) ，
(2) ，证明见解析
【解析】(1)由题意可得，，，，，
…，，
则；
和；
(2)由；
；
；
；
…，
，
运用数学归纳法证明：
当时，；
时，；
猜想成立；
假设即有，
当为奇数时，，
当为偶数时，．
当时，且为偶数，则奇数，
可得；
且为奇数，则为偶数，
可得；
综上可得时，，
则．

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