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分类讨论含参函数的单调性
1 导数与函数单调性的关系
在某个区间内，若，则函数在这个区间内单调递增；
若，则函数在这个区间内单调递减．
2 对含参函数单调性的分析思路
(1) 如何分析原函数的单调性？
答：分析原函数的单调性等价于分析导函数的正负性.
(2) 那如何分析导函数的正负性呢？。
答：数形结合，若能得到导函数的“穿线图”（即解导数不等式，与其零点有莫大关系)），看图“说话”便可，进而得出原函数的“趋势图”（即原函数的大致趋势）也不难了(看下图).
(导函数看“零点”，原函数看单调性)
(3) 那要得到导函数的“穿线图”，要注意什么呢？
答：掌握“一次函数”型、“二次函数”型、“指数函数”型常见模型，画“穿线图”思考以下问题：
① 导函数是否存在零点；
② 若存在，有几个零点呢？若有两个以上，哪个零点大？
③ 零点是否在定义域内？
(4) 怎么做到准确的分类讨论呢？
答：① 熟悉模型，确定分类讨论的标准；
② 做到分类讨论“不漏不重”，把每项分类看成一个集合，每个集合的交集为空集则“不重”，所有集合的并集为参数的全集则为“不漏”.
3 各模型分类讨论的标准
分类讨论要确定每步分类的标准，做到有根有据.
“一次函数”型：是否一次函数，直线斜率大于0还是小于0，函数零点与定义域端点的大小；
“二次函数”型：确定是否二次函数，开口方向，判别式(是否有零点)，零点比较大小，零点与定义域端点的大小；
“指数函数”型：是否存在零点；利用导函数正负性的等价可转化为二次函数讨论.
【题型一】原函数图象与导函数图象间的转化
【典题1】设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象可能是(　　)
A． B．
C． D．
1 (★) 函数的图象如图所示，则导函数的图象可能是 (　 )
2 (★) 已知函数的图象如图所示(其中是函数的导函数)，
则的图象可能是(　　)
【题型二】 “一次函数”型
【典题1】求函数的单调区间.
1 (★★) 求函数的单调区间.
2 (★★) 已知是实数，求函数的单调区间.
3 (★★)求函数的单调区间.
【题型三】 “二次函数”型
【情况1】讨论开口方向
已知函数， 当时，讨论函数的单调性.
【情况2】 讨论判别式
求函数的单调性.
【情况3】 讨论零点大小
求函数的单调区间.
【综合题型】
讨论的单调性.
1 (★★) 讨论函数的单调性.
2 (★★★) 若函数，求函数的单调区间.
3 (★★★★) ，若对任意的恒成立，求实数的取值范围.
【题型四】 “指数函数”型
【典题1】举一个与导函数的正负性一致的导函数： .
【典题2】已知函数求函数的单调区间.
【典题3】求函数其中的单调性.
1. (★) 以下哪个导函数的正负性与导函数的正负性一致 ( )
2. (★★) 求函数的单调性.
3. (★★★) 求函数的单调性.
4 (★★★★) 讨论函数的单调性.
【题型五】 “二次求导”型
【典题】求的单调性.
1(★★) 求函数，，的单调区间.
2(★★★) 求函数的单调性．分类讨论含参函数的单调性
1 导数与函数单调性的关系
在某个区间内，若，则函数在这个区间内单调递增；
若，则函数在这个区间内单调递减．
2 对含参函数单调性的分析思路
(1) 如何分析原函数的单调性？
答：分析原函数的单调性等价于分析导函数的正负性.
(2) 那如何分析导函数的正负性呢？。
答：数形结合，若能得到导函数的“穿线图”（即解导数不等式，与其零点有莫大关系)），看图“说话”便可，进而得出原函数的“趋势图”（即原函数的大致趋势）也不难了(看下图).
(导函数看“零点”，原函数看单调性)
(3) 那要得到导函数的“穿线图”，要注意什么呢？
答：掌握“一次函数”型、“二次函数”型、“指数函数”型常见模型，画“穿线图”思考以下问题：
① 导函数是否存在零点；
② 若存在，有几个零点呢？若有两个以上，哪个零点大？
③ 零点是否在定义域内？
(4) 怎么做到准确的分类讨论呢？
答：① 熟悉模型，确定分类讨论的标准；
② 做到分类讨论“不漏不重”，把每项分类看成一个集合，每个集合的交集为空集则“不重”，所有集合的并集为参数的全集则为“不漏”.
3 各模型分类讨论的标准
分类讨论要确定每步分类的标准，做到有根有据.
“一次函数”型：是否一次函数，直线斜率大于0还是小于0，函数零点与定义域端点的大小；
“二次函数”型：确定是否二次函数，开口方向，判别式(是否有零点)，零点比较大小，零点与定义域端点的大小；
“指数函数”型：是否存在零点；利用导函数正负性的等价可转化为二次函数讨论.
【题型一】原函数图象与导函数图象间的转化
【典题1】设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象可能是(　　)
A． B．
C． D．
【解析】由的图象可知，函数的增区间为，；
减区间为，；观察选项可知，只有选项符合题意；故选：．
【点拨】导函数的零点才影响到导函数的正负性，从而影响到原函数单调性，而没影响！充分理解导函数的穿线图与原函数的趋势图之间的关系.
1 (★) 函数的图象如图所示，则导函数的图象可能是 (　 )
【答案】D
2 (★) 已知函数的图象如图所示(其中是函数的导函数)，
则的图象可能是(　　)
【答案】 B
【题型二】 “一次函数”型
【典题1】求函数的单调区间.
【解析】的定义域是，(优先讨论函数定义域)
，
(通分，，则的正负性等价于的正负性)
(判断的函数类型，分和)
(1)当时，，在上递增；
(2)当时，令，解得，
(一次函数的斜率正数还是负数会影响导函数的正负性，分和讨论；同时注意零点与定义域端点的比较，结合图像就容易理解)
①当时，，在上，，递增；
②当时，，
在上，，递增；在上，，递减；
综上所述，
当时，在上递增；当时，在上递增，在上递减.
【点拨】
① 本题分类讨论的思考：
；
② “一次函数”型要注意的是：是否一次函数，直线斜率大于0还是小于0，函数零点与定义域端点的大小！
③ 本题对于导函数的分类讨论，您还可以有两个角度:
(1)从代数角度，，则时，而时有零点；
(2) 看成分式函数上下平移得到，则时图象与轴相离且，而时与轴相交，即有零点.故分类的角度可以多样的，要灵活处理.
1 (★★) 求函数的单调区间.
【答案】若，在上为增函数；
若，则在上为减函数，在上为增函数；
若，则在上为增函数，在上为减函数.
【解析】
　令，即　(这里需要对方程的类型讨论)
(1)若时，，在上为增函数，
(2)若时，则由得 (这里需要对的斜率讨论)
① 若时，
当时，，递减；当当时，，递增；
② 当时，
当时，，递增；当时，，递减；
综上所述：若，在上为增函数；
若，则在上为减函数，在上为增函数；
若，则在上为增函数，在上为减函数.
2 (★★) 已知是实数，求函数的单调区间.
【答案】当时，在递增；
当时，在递减，在递增.
【解析】函数的定义域为，
，由得.
(考虑是否落在导函数的定义域内，需对参数的取值分及两种情况进行讨论)
(1)当时，则在上恒成立，所以的单调递增区间为.
(2)当时，由，得；由，得.
因此，当时，的单调递减区间为，的单调递增区间为.
综上所述
当时，在递增；
当时，在递减，在递增.
3 (★★)求函数的单调区间.
【答案】若时，在上递增；
若时，在上递增，在递减.
【解析】；(求导后通分)
的定义域是，
与的符号是一致的.
(那我们只需要在各区间符号问题，注意数形结合)
(1)若时，在上递增；(判断的函数类型)
(2)若时，令，得；
①若时，当时，，递增；
②若时，
当时，，递增；当时，，递减；
综上所述
若时，在上递增；
若时，在上递增，在递减.
(该题把导函数看成反比例函数的图像进行更容易些)
【题型三】 “二次函数”型
【情况1】讨论开口方向
已知函数， 当时，讨论函数的单调性.
【解析】的定义域为，
，
(因为，所以的正负性等价于的正负性；先确定函数类型，分和)
(1)若时，，故在单调递增；
(2)若时，
(抛物线的开口方向会影响导函数的正负性，分和)
①若时，，故在单调递增；
②若时，令，解得，
则当时，，递增；当时，，递减.
综上所述
当时，在单调递增；
当时，在单调递增，在单调递减.
【点拨】
① 本题分析函数的正负性，先确定是否二次函数，再确定二次函数开口方向.
② 从代数的角度，也可知当时，时有零点，分和
两种情况讨论便可.
【情况2】 讨论判别式
求函数的单调性.
【解析】，其判别式为，
(不一定能在实数内因式分解，故思考导函数是否存在零点，由判别式决定，分和讨论)
(1)若，即时，在上递增；
(2)若，即或时，
令，解得或，其中，
当时，递减；当或时，递增.
综上所述，当时，在上递增；
当或时，在上递减，
在递增.
【点拨】对于“二次函数”型，求导后要思考下能否可以因式分解，若不能，则对判别式进行讨论，确定导函数零点存在情况！
【情况3】 讨论零点大小
求函数的单调区间.
【解析】的定义域为
(求导后通分、因式分解，确保有零点存在)
令，得，
(对导函数零点与定义域端点三者比较大小，先比较与的大小，分和)
(1)若时，
当时，，递减；当时，，递增；
(2)若时，
(判断导函数零点的大小，分、、三种情况)
①时，
，递增；(不要遗忘零点相等的情况)
②时，
当或时，，递增；当时，，递减；
③时，
当或时，，递增；当时，，递减.
综上所述
当时，递减区间为，递增区间为；
当时，递增区间为；
当时，递增区间为或，递减区间为；
当时，递增区间为或，递减区间.
【点拨】
① 求导后能够因式分解，说明导函数存在零点；
② 若函数存在零点，需要注意零点的大小比较，并且零点是否在定义域范围内，结合图象会更容易得到分类讨论的标准！
【综合题型】
讨论的单调性.
【解析】的定义域为，(注意函数的定义域)
，(通分，因式分解)
令，此时与符号相同.
(第一步：讨论函数类型)
(1)当时，
当时，，即，函数单调递增；
当时，，即，函数单调递减；
(2)当时，由，解得；
(第二步：讨论开口方向)
①当时，抛物线开口向下，
由于 留意导函数零点和定义域的大小)
时，，即，函数单调递增；
时，，即，函数单调递减.
②当时，抛物线开口向上，
(第三步：比较导函数零点大小)
ⅰ 当时，，恒成立，即，函数在上单调递增；
ⅱ 当时，，，
或时，，即，函数单调递增；
时，，即，函数单调递减；
ⅲ 当时，
或时，，函数单调递增；
时，，即，函数单调递减；
ⅳ 当时，，
时，，即，函数单调递减；
时，，即，函数单调递增；
综上所述：
当时，函数在上单调递增；函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递增；函数在上单调递减，
在上单调递增，
当时，函数在单调递减，在单调递增；
当时，函数在单调递减；在单调递增.
【点拨】
①求导后，通分，因式分解是个好习惯，能因式分解说明不需要讨论.
② 分类讨论思路
③“二次函数”型，经常分类讨论的标准有：确定是否二次函数，开口方向，判别式(是否有零点)，零点比较大小，零点与定义域端点的大小；
④分类讨论的次序不是固定的，本题中也可以先讨论零点大小，再讨论零点与定义域端点的大小；
⑤在讨论繁琐时，建议以思维导图形式，画“导函数穿线图和原函数趋势图”梳理思路.
1 (★★) 讨论函数的单调性.
【答案】当时，在上递增；当时，在上递减；
当时，在上递增，在上递减．
【解析】的定义域为，.
(1)当时，，在上递增；
(2)当时，
①若，，在上递增；
②若
ⅰ若，，在上递减；
ⅱ若，令，解得，
则当时，；当时，；
故在上单调递增，在上单调递减．
综上所述；
当时，在上递增；
当时，在上递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
2 (★★★) 若函数，求函数的单调区间.
【答案】时，的递减区间为，
递增区间为：；
时，递减区间为，递增区间为；
时，的减区间为，增区间为.
【解析】的定义域,，
设,，
(1)当时，，
,,即，所以在单调递减；
,，即，所以在单调递增；
(2)当时，因为,，
①若,即时，在上即，
所以在单调递减.
②若时，令得，此时
当或时，，递减；
当时，，递增.
(3)当时，因为,，
所以有一正一负两根，解得,
当时，，递减；
当时，，递增.
综上所述：
时，的减区间为,增区间为：;
时， 递减区间为，递增区间为;
时， 的减区间为，增区间为.
3 (★★★★) ，若对任意的恒成立，求实数的取值范围.
【答案】.
【解析】的定义域为,
设
设
(求导后因式分解，最好用十字相乘法，只要判别式一定不小于，那就一定可以因式分解，比如本题，若判别式是完全平方式最好了.)
令，和的符号保持一致)
(第一：对函数类型的讨论)
(1)若, ，则，
所以在上为增函数，，不符合要求；
(2)若,令，得，
(第二：对开口方向进行讨论，同时注意对两零点的大小，定义域的端点的大小)
①当时，，不满足题意；
注意到了，能避免很多讨论)
②当时，
，在上，，，所以在上为增函数，
若要满足题意只需要，解得；
综上所述：的取值范围为.
【题型四】 “指数函数”型
【典题1】举一个与导函数的正负性一致的导函数： .
【解析】导函数由和相乘，
而，的正负性分别与，的正负性一致，
则导函数的正负性与的正负性一致，
在为负，在为正.
【点拨】若能把“指数函数”型转化为“二次函数”型，那在画“导函数穿线图”上会显得更简单.
【典题2】已知函数求函数的单调区间.
【解析】，
若时，在上递增；
若时，令，解得
当时，递增；当递减.
综上所述：
若时，在上递增；
若时，在递增，在递减.
【点拨】
①导函数的图象可以看成是由上下平移而来，当时，图象向上平移，不产生零点；当时，图象向下平移，存在一个零点.
②不要一开始就令，误认为导函数一直存在零点，其实看下，也可知当时，才有意义！
【典题3】求函数其中的单调性.
【解析】由题意得，
(求导因式分解，知道存在零点，那要分析的正负性)
(1)若时，
当时，，递减；当时，，递增；
(2)若时，令 或；
(比较两个零点的大小，此时正负性等价于的正负性)
①当时，，，在上递增；
②若时，，
当时，，递减；
当或时，，递增.
③若时，，
当时，，递减；
当或时，，递增.
综上所述
当时，在递减，在递增；
当时，在上递增；
当时，，在递减， 在递增；
当时，在递减， 在递增.
【点拨】
① 求导后的因式分解很重要，从而确定零点个数；
② 当时，导函数正负性转化为二次函数
的正负性，转为熟悉模型，更容易分析！
1. (★) 以下哪个导函数的正负性与导函数的正负性一致 ( )
【答案】 D
2. (★★) 求函数的单调性.
【答案】当时，在上单调递增；
当时，时单调递减，时单调递增；
当时，时单调递减，时单调递增．
【解析】，
(1)若时，，此时在上单调递增；
(2)若时，令，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
(3)若时，令，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
综上，当时，在上单调递增；
当时，时，单调递减，时单调递增；
当时，时，单调递减，时单调递增．
3. (★★★) 求函数的单调性.
【答案】当时，在递减；在递增；
当时，在上递增；
当时，在，递增，在递减；
当时，在，递增；在递减．
【解析】，
(1)若时，
当时，，递减；当时，，递增；
(2)若时，由，解得或，
①若时，,，在上递增；
②若时，
当时，，递减；
当或时，，递增.
③若时，,
当时，，递减；
当或时，，递增.
综上：当时，在递减；在递增；
当时，在上递增；
当时，在，递增，在递减；
若时，在，递增；在递减．
4 (★★★★) 讨论函数的单调性.
【答案】当时，在递减，在递增；
当时，在上递减；
当时，在递增， 在递减；
当时，在递增， 在递减.
【解析】．
(1)若时，,
当时，，递减；当时，，递增;
(2)若时，
令，解得
①若时，，，在内单调递减;
②若时，，
当或时，，递减；
当时，，递增.
则函数f(x)在(－∞，1)内单调递减，在(1，x0)内单调递增，在(x0，+∞)内单调递减．
③若时，，
当或时，，递减；
当时，，递增.
综上所述
当时，在递减，在递增；
当时，在上递减；
当时，在递增, 在,递减；
当时，，在递增, 在,递减.
【题型五】 “二次求导”型
【典题】求的单调性.
【解析】 ，
令，故，
当时，，故在上单调递增，
(要注意三角函数有界性)
(此时，分析导函数是否有零点，分和讨论.)
①当时，，即，
故在上单调递增；
②当时，，且，
故存在，使得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上先减后增.
【点拨】
① 当一次求导后的导函数不属于前面三种情况，形式比较复杂，若能分析出的图象，分析其正负性时就容易些，那函数可以“二次求导”分析的单调性、最值从而得到函数图象.
② 解题思考图如下
③ 解题的整体思想还是数形结合，有些复杂题型可能还要三次求导.
1(★★) 求函数，，的单调区间.
【答案】的单调递减区间是，没有单调递增区间．
【解析】根据题意，，则．
令 ，，则 ．
所以在区间上单调递减，
因为 ，所以，即 ，
所以的单调递减区间是，没有单调递增区间．
2(★★★) 求函数的单调性．
【答案】当时，在递增；当时在上先增后减再增.
【解析】的定义域是，，
令，则
令，解得．
当时，，递减；当时，，递增；
,
① 若，即时，则，即，递增．
② 若，即时，，．
所以，使得；
且当时，，即，递减；
当时，，
综上所述，当时，在递增；当时在上先减后增.

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