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导数中的二次求导
1 二阶导数的概念
如果函数的导数在处可导，则称的导数为函数在处的二阶导数，记为.
Eg 若函数，则，.
2二阶导数的意义
二阶导数是一阶导数的导数.从原理上看，它表示一阶导数的变化率；从图形上看，它反映的是函数图像的凹凸性.
若在内，则在内为凹函数；若在内，则在内为凸函数；
Eg ，其二次导数，为凹函数；
，其二次导数，为凸函数；
了解函数凹凸性，对于部分题型有助于更快地找到解题思路，特别是在切线放缩.
3 二次求导的运用
① 二阶导数在高中教材中没有介绍，我们不好直接使用二阶导数性质，甚至它的符号.
② 二次求导除了可以判断函数凹凸性，还有一个重要运用，
使用场景：某些函数一次求导后，解和难度较大或甚至解不出(即很难得到的正负性)，则需要进行”二次求导”.
思考：若能知道的图像(或草图)，其正负性是否更好分析呢？那图如何而来 求导便可画图拉，分析其单调性、极值、最值等，这样一想便有了以下解题步骤；
解题步骤：设，对求导，求出和的解，便可得到的单调性，进而求其最值，不难得到的正负性，由图可知原函数的单调性.
若也很难求解呢？那就要三次求导.
【题型一】判断函数的凹凸性
【典题1】判断以下几个超越函数的凹凸性
【解析】，，
故在上凸，在上凹；
(2) ，，故在上凸，在上凹；
(3) ，，故在上凹；
【点拨】对于常见的超越函数，需要了解下它们的图象，特别是凹凸性，日后会经常见到它们的踪影，比如二次求导、求最值.、不等式证明、切线放缩等.
1(★) 判断以下几个超越函数的凹凸性
【答案】
1 (1) 在上凸，在上凹 (2) 在上凸，在上凹
(3) 在上凸，在上凹
【题型二】 二次求导与函数的单调性
【典题1】若函数，，设，试比较的大小.
【解析】(要比较的大小，显然想到单调性)
，设，
(要知道原函数的单调性，则分析的正负性，而它不太好分析，可构造函数二次求导，分析其单调性最值得到其函数图像便利于分析其正负性)
则
当时，，即在上递减，
，(此时得到函数的草图，正负性便确定)
，在上递减，
当，，即.
【点拨】
① 要研究函数的单调性，则需要分析导函数的正负性；
② 当一次求导后，发现导函数不太“友善”(不能转化为常见的“一次型导数”， “二次型导数”，“指数型导数”或其混合型等)，则可考虑构造新函数进行二次求导.
【典题2】求函数的单调性.
【解析】 的定义域是，
，
设，
(导函数的正负性与一致，不能因式分解，函数较为复杂，要判断它的正负性，若能知道它的图象就好了，便想到二次求导)
则，
(此时要分析的正负性，也不容易，则可再次求导分析单调性、最值得到它的图象从而分析正负性)
令，则，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
在处有最大值，而，(注意到，的零点)
函数在上是单调递减，
当时，， 递增；
当时，， 递减；
(注意到，事情就这么巧，分析出正负性了)
的单调增区间是递减区间是.
【点拨】
① 本题的思路是
② 本题中作了“次求导”；当导函数形式较为复杂，利用导数画出导函数的趋势图，数形结合便较容易得到它的正负性了，此时也要注意一些特殊点，比如.
【典题3】求的单调性.
【解析】，
令，(构造函数二次求导)
故，
当时，，故在上单调递增，
(注意三角函数的有界性)
(此时，分析正负性要确定导函数是否有零点，分和讨论.)
①当时，，即，
故在上单调递增；
②当时，，且，
故存在，使得，
(这取点较难，而当，，也可知零点的存在)
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上先减后增.
【点拨】本题是二次求导在处理含参函数单调性中的运用，在分析导函数正负性，要确定是否存在零点，有时要分类讨论.
1 (★★) 求函数的单调性.
【解析】 ，
令，则
令，则，
在递增，，即，
在递增，，即,
在递增.
2 (★★) 求函数在区间的单调性.
【解析】
① 当时，，单调递增；
② 当时，设
则，在内单调递减，
又，
在内存在唯一的，使得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
综上所述，在内先增后减.
3(★★★) 求函数在的单调性.
【解析】，
设，
则，在上递增，；
① 当时，，即，在区间上单调递增，
② 当时，，当时，
则存在使得，
当时，，即，递减；
当时，，
综上所述，当时，在递增；当时在上先减后增.
【题型三】 二次求导与不等式证明
【典题1】已知函数，
若，求的取值范围；
证明.
【解析】，，
题设等价于．(分离参数法)
令，则
当，；当时，，
是的最大值点，，
综上，的取值范围是．
方法1
要证，
只须证明时，；当时，即可
(即需要了解函数的图像)
由(1)可知， (该函数正负性有些难判断，想到可二次求导)
令，则，
显然当时，，当时，，
即在上为减函数，在上为增函数，
，即在为增函数，
由于
(这点关键，解题中多注意“特殊点”，由于要“了解函数的图像”和“证明”的思路也不难想到)
则时，；当时，
.
方法2 由知，，即．
当时，；
当时，，
(这步提出有些“巧妙”)
令，，
所以当时，0 恒成立，
所以当时，，
即时，，
所以当时，，
综上，．
【点拨】比较第二问两种方法，还是方法一的“二次求导”的思路来得自然些，当一次求导后感觉到“解和难度较大或甚至解不出(即很难得到的正负性)”，则可尝试下“二次求导”.在整个过程中，数形结合的思想“如影随形”，不管是原函数还是导函数的图像.
【典题2】设函数，
求的单调区间
若，求证：在时，．
【解析】(1
①当时，在上恒成立，
在上是单调减函数，
②当时，令，解得，
当时，0，单调减，
当时，0，单调增，
综上所述：当时，的单调减区间为；
当时，的单调减区间为，单调增区间为．
(2)证明：当时，要证，即证，
令，只需证，
(求解很难，得不到的正负性，故想到二次求导)
令，
则，函数在单调递增，
又，
在内存在唯一的零点，
(这是“隐零点问题”，得到零点的取值范围较为关键)
即在上有唯一零点，设的零点为 ，
则，即，
当时，，为减函数，
当时，，为增函数，
当时，，
又，，(对勾函数可知)
．
即在时，.
1(★★★) 证明当时，.
【证明】设，
则
令，
则
令，
则仅在处
当时，单调递增，
从而有，即，
当时，单调递增，
,即当时，；
当时，单调递增，
，即.
2 (★★★) 已知函数，，为实常数，
(1)设，当时，求函数的单调区间；
(2)当时，直线与函数的图像共有四个不同的交点，且以此四点为顶点的四边形恰为平行四边形，求证：.
【答案】(1) 的单调递增区间为，无单调递减区间．
(2) 见解析
【解析】(1，其定义域为
而，
当时，，
故的单调递增区间为，无单调递减区间．
(2)证明：因为直线与平行，
故该四边形为平行四边形等价于且．
当时，，
则．令，
则 ，
故在上单调递增；
而，
故时，单调递减；时，单调递增；
而，
故，或，
所以．
3(★★★★) 已知函数，且，
求 证明：存在唯一的极大值点，且.
【答案】(1) (2) 见解析
【解析】因为，
则等价于，求导可知．
则当时，即在上单调递减，
所以当时，，矛盾，故．
因为当时、当时，
所以，
又因为，
所以，解得；
由可知，，
令，可得，记，则，
令，解得，
所以在区间(0，上单调递减，在，+∞)上单调递增，
所以，又，
所以在上存在唯一零点，
所以有解，即存在两根，
且不妨设在上为正、在上为负、在上为正，
所以必存在唯一极大值点，且，
所以，
由可知；
由可知，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以；
综上所述，存在唯一的极大值点，且．导数中的二次求导
1 二阶导数的概念
如果函数的导数在处可导，则称的导数为函数在处的二阶导数，记为.
Eg 若函数，则，.
2二阶导数的意义
二阶导数是一阶导数的导数.从原理上看，它表示一阶导数的变化率；从图形上看，它反映的是函数图像的凹凸性.
若在内，则在内为凹函数；若在内，则在内为凸函数；
Eg ，其二次导数，为凹函数；
，其二次导数，为凸函数；
了解函数凹凸性，对于部分题型有助于更快地找到解题思路，特别是在切线放缩.
3 二次求导的运用
① 二阶导数在高中教材中没有介绍，我们不好直接使用二阶导数性质，甚至它的符号.
② 二次求导除了可以判断函数凹凸性，还有一个重要运用，
使用场景：某些函数一次求导后，解和难度较大或甚至解不出(即很难得到的正负性)，则需要进行”二次求导”.
思考：若能知道的图像(或草图)，其正负性是否更好分析呢？那图如何而来 求导便可画图拉，分析其单调性、极值、最值等，这样一想便有了以下解题步骤；
解题步骤：设，对求导，求出和的解，便可得到的单调性，进而求其最值，不难得到的正负性，由图可知原函数的单调性.
若也很难求解呢？那就要三次求导.
【题型一】判断函数的凹凸性
【典题1】判断以下几个超越函数的凹凸性
1(★) 判断以下几个超越函数的凹凸性
【题型二】 二次求导与函数的单调性
【典题1】若函数，，设，试比较的大小.
【典题2】求函数的单调性.
【典题3】求的单调性.
1 (★★) 求函数的单调性.
2 (★★) 求函数在区间的单调性.
3(★★★) 求函数在的单调性.
【题型三】 二次求导与不等式证明
【典题1】已知函数，
若，求的取值范围；
证明.
【典题2】设函数，
求的单调区间
若，求证：在时，．
1(★★★) 证明当时，.
2 (★★★) 已知函数，，为实常数，
(1)设，当时，求函数的单调区间；
(2)当时，直线与函数的图像共有四个不同的交点，且以此四点为顶点的四边形恰为平行四边形，求证：.
3(★★★★) 已知函数，且，
求 证明：存在唯一的极大值点，且.

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