资源简介

2023年高考总复习之三角换元求范围及值域
换元是通过换元将原来比较复杂的、非标准的形式转化为简单的、标准的形式，以利于揭示问题的本质、题目的分析和解决。三角换元法是众多换元法中的一种，它以三角函数为“元”，将代数问题转化为易于应用三角函数性质求解的问题，三角换元法在求解方程、不等式、解析几何和函数最值等方面都有着广泛的应用。一般情况下，在运用三角换元的题目中，往往在表达式的形式或字母的取值范围等方面明显反映出三角函数式的特征，这一点给三角换元法的应用提供了线索。
1.具体表现在该方法对于含有被开方式为二次式的二次根式问题能起到除去二次根式的作用，因为二次根式总是可以转化为、或的形式，其中x为变量，k为非常数.
2.二元二次曲线(二元二次方程)或者多元变量的最值问题，也可以转换成利用三角换元的方法进行求解。
例如：，
等，均可以用三角换元来解决。
【典例精析】（三角换元与不等式）
（2020年4月温州二模）已知实数满足的最大值
为 .
【解析之三角换元】
由于，
令，则原式
备注：
1、本题由于，因而
2、此处可利用柯西不等式直接得到，也可用三角函数的辅助角公式.
3、其他解法不在此处赘述.
【举一反三 1】
若，则的最小值为 .
【解析之三角换元】
原式
化简得：
故
【举一反三 2】实数满足，且
当时，则的取值范围是 .
【解析之三角换元】
本题直接求解较为复杂，若令由可得，于是问题转化为：“已知，且求的取值范围”，
令，
则
由得 ∴
∴当时，
当或时，
∴
故的取值范围是。
备注：已知，且求的取值范围”，也可用直线与圆的方法进行求解.
【举一反三 3】实数满足，则的取值范围是 .
【解析之三角换元】
故令，原式=
故
类型二：三角换元在求值域问题中的应用
【典例精析】求函数的值域.
【解析之三角换元】
原式可化为
令 ，则
其中， 所以， 因此，
故值域为
【举一反三】求函数的值域.
【解析之三角换元】
原式=
其中.
，
类型三：结合其他知识专题考查范围问题
【典例精析】（2020年5月台州二模）
在等差数列中，若则数列的前10项和的最大值为 .
【解析之三角换元】
依题，令
故.
【举一反三 1】
*已知，则的取值范围 .
【解析之三角换元】
不妨令
由题意知：
化简得：
故
【举一反三 2】
恒成立，则实数k的取值范围是 .
【解析之三角换元】
考虑到，故设
【实战演练】
1、若，，则的最大值为 ．（）
2、如图，已知，，M为BC的中点，D是以AC为直径的圆上一动点，则的最大值是 .()
3、（2015浙江）若实数满足，则的最小值为______.(3)
4、已知实数满足，则的最大值是 .()
5、函数的值域为 .

展开更多......

收起↑