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专题04 导数之二阶导数的应用
一、考情分析
1、在历年全国高考数学试题中，函数与导数部分是高考重点考查的内容，并且在六道解答题中必有一题是导数题。利用导数求解函数的单调性、极值和最值等问题是高考考查导数问题的主要内容和形式，并多以压轴题的形式出现. 常常考查运算求解能力、概括抽象能力、推理论证能力和函数与方程、化归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想的渗透和综合运用，难度较大.
2、而在有些函数问题中，如含有指数式、对数式的函数问题，求导之后往往不易或不能直接判断出原函数的单调性，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，此时解题受阻。需要利用“二次求导”才能找到导数的正负，找到原函数的单调性，才能解决问题. 若遇这类问题，必须“再构造，再求导”。本文试以全国高考试题为例，说明函数的二阶导数在解高考函数题中的应用。
3、解决这类题的常规解题步骤为：
①求函数的定义域；②求函数的导数，无法判断导函数正负；
③构造求，求；④列出的变化关系表；⑤根据列表解答问题。
考点梳理
函数极值的第二判定定理：若在附近有连续的导函数，且，
若则在点处取极大值；
若则在点处取极小值
二阶导数处理的解题步骤：
方法 二次求导
使用情景 对函数一次求导得到之后，解不等式难度较大甚至根本解不出.
解题步骤 设，再求，求出的解，即得到函数的单调性，得到函数的最值，即可得到的正负情况，即可得到函数的单调性.
三、题型突破
(一) 利用二阶导数求函数的极值（极大值或极小值）
例1、（1）已知函数在处有极值10，则等于（ ）
或 B. C. D.或
【答案】C
【解析】，，由函数在处有极值10。利用函数极值的第二判定定理可得，即，
所以，
故选C
(2)、 (2018全国I）已知函数．
(1)设是的极值点．求，并求的单调区间；
(2)证明：当时，．
【解析】(1)函数的定义域为，，，由题意可知
，即 ，又因为，利用函数极值的第二判定理可得是函数的极小值点，所以的单调减区间为，单调增区间为
当时，，设，下面只需证明即可；因为， ，由，
利用函数极值的第二判定定理可得是函数的极小值点，也是最小值点，所以，所以当时，因此，当时，
【变式训练1-1】、设函数，若是的极大值点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，，由是的极大值点，利用函数极值的第二判定定理可得，得
故选B
【变式训练1-2】、(安徽省皖中名校联盟2019届高三10月联考)函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数在区间的最值．
【解析】(1)略
(2),,由，，利用函数极值的第二判定定理可得是的极小值点，所以在的单调递在单调增区间.所以，，又
(二) 利用二阶导数求函数的单调性
例2、已知，若，， ，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】，令，则，
易知在上单调递增，在上单调递减，所以，
所以，又的定义域为，所以在和上单调递减，
又，，，，所以．故选：B．
例3、【2010年高考数学全国卷Ⅱ（22）小题】设函数．
（Ⅰ）证明：当时，；
（Ⅱ）设当时，，求的取值范围．
【命题意图】
本题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式，考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力；同时还要用到迁移转化、构造函数的解题技巧，所以应是全卷最难的一题，均分只有0.74分．
【解法一：官方参考答案】
（Ⅰ）
（Ⅱ）
【解法二：二次求导】
在原解法一第（Ⅱ）问的解答中，用到了放缩代换，对考生的数学素质和解题能力要求很高，极少有考生能达到那样的要求.若用求二阶导数求解，则别有一番天地.
我们也可以运用二阶导数的方法：
【二次求导的巧妙运用】
（Ⅱ）由题设，
若，则当；
若.
令，，
,∵,
∴，∴
即原不等式成立.
当从而当
此时，
∴.
综上可知，.
由以上两个例子可以看出，当需要判定函数的单调性而求导之后不能直接判定导数的符号时（导函数中常含有指数或对数形式），常可以考虑用二阶导数法。
【变式训练3-1】、已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线
在点处的切线与轴平行．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ）设，其中是的导数．
【解析】（Ⅰ）由 = 可得，而，
即，解得；
（Ⅱ），令可得，
当时，；当时，．
于是在区间内为增函数；在内为减函数。
（Ⅲ）
=
因此对任意的，等价于
设
所以
因此时，，时，
所以，故。
设，
则，
∵，∴，，∴，即
∴，对任意的，
证明：对任意的，．
【变式训练3-2】、【华中师大附中2017级高三上期中考试，21题】
（1）已知，证明：当时，；
（2）证明：当时，有最小值，记
最小值为，求的值域.
【解析】（1）证明：在上单调递增，
时，即，时， 成立 .
（2）
由在上单增且
知存在唯一的实数，使得，即
单减；单增
，满足
记，则在上单
所以的值域为
(三) 利用二阶导数求参数的范围
例4、（1）【2020届西南名校联盟高考适应月考卷一，12】（最小整数问题-导数的单调性和恒成立的转化）
已知关于的不等式在上恒成立，则整数的最小值为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B．
【解析】【第一种解法（排除法）（秒杀）】：令时，化简：；
令时，，化简
你还可以在算出3,4，选择题排除法。B为最佳选项。
【第二种解法（二次求导）】：
构造 求导，令，即，
再令，在，，在上是单调递减，
设点，在递减；在递增，
所以=，，，
所以m的最大值是2.
（2）．若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】由，得，又关于的不等式在上有解，
所以在上有解，即，
令，，则，
设，，则，
即在上单调递增，则，
于是有，从而得在上单调递增，
因此，，则，
所以的取值范围是.故选：D
【变式训练4-1】、若不等式对任意的都恒成立，则整数的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】因为变形令
求导：，令求导
在上为增函数；
令=0，零点满足即，
所以在时，是单减，
在时，是单增的
，再令，
,
所以，，取整数，那么的最大值是4
【变式训练4-2】、已知函数，若，使得在恒成立，则的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解析】依题意，，令，则．
令，，∴时，，即单调递增，
∵，，设并记其零点为，
故．且，所以当时，，即，单调递减；当时，即，单调递增，所以，因此，由于且，即，所以，故选:C
(四) 利用二阶导数证明不等式
例5.【全国卷Ⅰ第20题】 已知函数.
若，求的取值范围；
证明：.
【解析】（1）函数的定义域为（0，+∞）， ，， .
令
从而当时，，
故所求的范围是[-1,+∞﹚.
(2)由(1)知,,则
时，；
.
综上可知，不等式成立.
我们也可以运用二阶导数的方法加以证明：
【二次求导的巧妙运用】:令.
因 ，
显然当时，，
当时，，在（0,1﹚递减；
当时，，的符号仍不能判定，求二阶导数得：，
从而在时递增，，在[ 1,+∞﹚递增，
所以当时，，故成立，原不等式成立.
【变式训练5-1】已知函数，曲线在点处的切线方程为．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）证明：当，且时，．
【解析】（Ⅰ）
由于直线的斜率为，且过点，故
即 ，解得，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以
考虑函数，则
所以当时，
当时，
当时，
从而当
【变式训练5-2】已知函数，且．
(1)求；
(2)证明：存在唯一的极大值点，且．
【解析】（1）的定义域为．
设，则，等价于．
因为，，故，而，，得．
若，则．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以是的极小值点，故．综上，．
（2）由（1）知，．
设，则．
当时，；当时，．
所以在单调递减，在单调递增．
又，，，所以在有唯一零点，在有唯一零点1，且当时，；当时，；当时，．
因此，所以是的唯一极大值点．
由得，故．
由得，．
因为是在的最大值点，由，得．
所以．
四、迁移应用
A卷 基础巩固
1．若对任意正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________．
【解析】由，，得，
设，即恒成立，
，，
所以在上单调递减，且，
所以当时，；当时，；
即函数在上单调递增，在单调递减，
故当时，取最大值为，即，所以，故答案为：.
2．已知函数，若，且对任意的恒成立，则的最大值为______．
【解析】由，则对任意的恒成立，即对任意的恒成立，令，则，令，则，
所以函数在单调递增，因为，所以方程在上存在唯一实根，且满足，当时，，即，当时，，即，所以函数在上单调递减，在上单调递增，又，
所以，故，所以，所以实数的最大值为．
3．已知，函数，．
（1）讨论函数的极值；
（2）若，当时，求证：．
【解析】（1）因为，则，
当时，对，，则在是增函数，此时函数不存在极值；
当时，，令，解得，
若，则，若，则，当时，取得极小值，
所以当时，没有极值点，当时，有一个极小值；
（2）时，设，，
求导得，设，，
则，当且仅当时取“=”，
于是得在单调递增，，即，从而得在上单调递增，
因此有，即，所以在上恒成立.
4．函数，，为常数．
（1）当时，若，求的值；
（2）当时，证明：对任意，．
【解析】（1）因为，所以，，解得：．
（2）因为，所以，则
要证，只需证．设
则，
设，，故单调递增．
又因为，，所以存在，使得，
即，所以，当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增．所以当时，取得最小值．
由知，所以，
所以，故，从而．
5．已知函数
（1）当时，求图象在点处的切线方程；
（2）当且时，证明有且仅有两个零点.
【解析】（1）当时，则，
则，又，则图象在点处的切线方程为；
（2）由，
则恒成立，单调递增；
又；，
则必然存在一点，使得，且，，单减，，，单增，即，则，
故若有且仅有两个零点，则，只需最小值点不在处取得即可，
即，即，故当且时，有且仅有两个零点.
6．已知函数，.
（1）若在上为单调递减函数，求的取值范围；
（2）设函数有两个不等的零点，且，若不等式恒成立，求正实数的取值范围．
【解析】（1），由，令，，
当时，；当时，．
在上为单调递增函数，在上为单调递减函数.
，.
（2）函数有两个不等的零点且，
，两式相除得，
若证不等式恒成立，即证，
即证，令，
，.
①时，，在上为单调递减函数，
，在为单调递增函数，， 满足条件.
②时，当时，，在上为单调递增函数，
，在上为单调递减函数．，
不满足条件，舍去.
综上，正实数．
7．已知函数满足，且曲线在处的切线方程为．
（1）求，，的值；
（2）设函数，若在上恒成立，求的最大值．
【解析】（1）由已知得，且函数的图象过点，，
则解得，，．
（2）由（1）得．若在上恒成立，
则在上恒成立，即在上恒成立，
因为，所以，从而可得在上恒成立．
令，则，
令，则恒成立，在上为增函数．
又，，
所以存在，使得，得，且当时，，单调递减；当时，，单调递增．则．
又，所以，代入上式，得．又，所以．
因为，且，所以，故的最大值为3．
8．已知函数.
（1）若，讨论函数的单调性；
（2）已知，若在内有两个零点，求的取值范围.
【解析】（1）的定义域为(0,+∞)，.
①当时，令，得到；令，得到，此时在(0,1)上为减函数，
在(1,+∞)上为增函数；
②当时，令，得到；令，得到或，此时在(a,1)上为减函数，在(0,a)和上为增函数；
③当a=1时,显然恒成立，此时在0,+∞)上为增函数；
④当a>1时,令，得到；令，得到或.此时在(1,a)上为减函数,在(0,1)和(a,+∞)上为增函数.
综上：①当时， 在(0,1)上为减函数，在(1,+∞)上为增函数；
②当时， 在(a,1)上为减函数，在(0,a)和上为增函数；
③当a=1时，在0,+∞)上为增函数；
④当a>1时，在(1,a)上为减函数,在(0,1)和(a,+∞)上为增函数.
（2）在内有两个零点，即关于x方程在上有两个不相等的实数根.
令则，
令，则，
显然在上恒成立,故在上单调递增.
因为p(1)=0，所以当，有，即所以单调递减；
当，有，即所以单调递增；
因为，所以a的取值范围
9．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个极值点，求实数的取值范围．
【解析】（1）由题意得，的定义域为，，
当时，，函数在上单调递增．当时，令，解得，
时，，函数在上单调递减；
时，，函数在上单调递增．
综上所述，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增．
（2）由题意得，求导得，
设，求导可得，
当时，，函数在上单调递增，函数至多有一个极值点，不合题意．
当时，令，解得，
时，，函数在上单调递增，
时，，函数在上单调递减，
所以函数在处取得极大值，也是最大值，为．
因为函数有两个极值点等价于函数有两个不同的零点，
所以，即，解得．
当时，，，，，
令，则，故在上单调递增，
，即，所以，
又在上单调递增，在上单调递减，所以函数有两个极值点，
所以实数的取值范围是．
10．已知函数，．
（1）当时，若在点，切线垂直于轴，求证：；
（2）若，求的取值范围．
【解析】（1）由题意可知，
则，设切点为，，
则由，解得，则，即，故等式得证；
（2）解：因为，其中，
所以对恒成立，令，
则，即，
令，则，其中，
则为上的增函数，
又因为（1），，
所以存在，使得，
即，即，
又因为在上单调递增，故，即，
又当时，，所以为减函数，当时，，所以为增函数，
所以，所以的取值范围为，．
11．已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若对任意的，都有，求的取值范围.
【解析】（1）当时，，，
所以切线的斜率，，切点为，
所以切线方程为：，即
（2）若对任意的，都有，
取，则可得：，
由可得：，
，所以在单调递增，
，，即，因为， ，
所以存在，使得，
所以当时，，当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
若对任意的，都有，只需 解得：，
所以的取值范围是.
12．已知函数．
（1）若对恒成立：求实数a的取值范围；
（2）当时，证明：．
【解析】（1）因为，所以，.
当时，显然，则在上单调递增，所以，不合题意；
当时，由得，则在上单调递增，所以存在，
使，不合题意；
当时，因为，所以，则在上单调递减，所以.
综上可知，实数的取值范围是.
（2）当时，，要证，
只需证，即证（*）.
令（），则，
令（），则，
则在上单调递减，所以，即，
所以在上单调递减.由（*）可知，只需证（）.
令（），则，所以在上单调递增，
所以对任意，，即.故原不等式成立.
B卷 能力提升
13．已知函数.
（1）证明：曲线在点处的切线恒过定点；
（2）若有两个零点，，且，证明：.
【解析】（1）函数的定义域为，由，得，则，又，则曲线在点处的切线的方程为，即，显然恒过定点.
（2）若有两个零点，，则，，得.
因为，令，则，
得，则，
所以.
令，则，
令，则，
则在上单调递增，所以.
所以，则在上单调递增，
所以，即，故.
14．已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，求证：函数存在极小值；
（3）若对任意的实数，恒成立，求实数a的取值范围．
【解析】（1）当时，，所以．
所以．曲线在点处的切线方程为．
（2）由，得．
令，则．当时，，当时，，
所以在区间上是减函数，在区间上是增函数．
所以的最小值为．
当时，，．又在单调递增，
故存在，使得，在区间上，在区间上．
所以，在区间上，在区间上，
所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增，故函数存在极小值．
（3）对任意的实数，恒成立，等价于的最小值大于或等于．
①当时，，由（2）得，所以．
所以在上单调递增，所以的最小值为．
由，得，满足题意．
②当时，由（2）知，在上单调递减，
所以在上，不满足题意．
综上所述，实数a的取值范围是．
15．已知函数.
（1）若函数在区间上为增函数，求的取值范围；
（2）当且时，不等式在上恒成立，求的最大值.
【解析】（1）∵，又函数在区间上为增函数
∴当时，恒成立.∴.
∴的取值范围为.
（2）当时，.故不等式，∴
即对任意恒成立，令，则，
令，（）则，∴在上单增.
又，，
∴存在，使，即当时
即.当时，，即
∴在上单减，在上单增.令，即.
∴，
∴且，即.
16．已知函数.
（1）若在上有两个不同的实根，求实数的取值范围；
（2）若，证明：存在唯一的极大值点，且.
【解析】（1）由，得，即.
令，求导，令，得
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以.易知当时，，当时，，
故可作出函数的大致图象，如图所示：
由图象可知，当时，直线与的图象有两个不同的交点，
故当在上有两个不同的实根，实数的取值范围为.
（2）证明：由题知，求导，
令，求导，令，得
所以在上单调递减，在上单调递增.
又，，，
，由零点存在性定理及的单调性知，方程在上有唯一的根，
设为，则，从而有两个零点和，
当和时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以存在唯一的极大值点，，且，即.
，
当且仅当，即，故等号不成立，所以.
17. 已知函数，其中ｅ是自然数的底数，。
当时，解不等式；
若在［－１，１］上是单调增函数，求的取值范围；
当时，求整数ｋ的所有值，使方程在［ｋ，ｋ＋１］上有解。
【解析】⑴因为，所以不等式即为，
又因为，所以不等式可化为，
所以不等式的解集为．
⑵，
①当时，，在上恒成立，当且仅当时
取等号，故符合要求；
②当时，令，因为，
所以有两个不相等的实数根，，不妨设，
因此有极大值又有极小值．
若，因为，所以在内有极值点，
故在上不单调．
若，可知，
因为的图象开口向下，要使在上单调，因为，
必须满足即所以.
综上可知，的取值范围是
⑶当时, 方程即为，由于，所以不是方程的解，
所以原方程等价于，令，
因为对于恒成立，
所以在和内是单调增函数，
又，，，，
所以方程有且只有两个实数根，且分别在区间和上，
所以整数的所有值为．
18. 已知函数
（1）设曲线在处的切线与直线垂直，求的值
（2）若对任意实数恒成立，确定实数的取值范围
（3）当时，是否存在实数，使曲线C：在点处的切线与轴垂直？若存在，求出的值，若不存在，说明理由
【解析】（1）， 因此在处的切线的斜率为，
又直线的斜率为， ∴（）＝－1，
∴ ＝－1.
（2）∵当≥0时，恒成立，
∴ 先考虑＝0，此时，，可为任意实数；
又当＞0时，恒成立，
则恒成立， 设＝，则＝，
当∈(0,1)时，＞0，在(0,1)上单调递增，
当∈(1,＋∞)时，＜0，在(1,＋∞)上单调递减，
故当＝1时，取得极大值，，
∴ 实数的取值范围为．
（3）依题意，曲线C的方程为，
令＝，则
设，则，
当，，故在上的最小值为，
所以≥0，又，∴＞0，
而若曲线C：在点处的切线与轴垂直，
则＝0，矛盾。
所以，不存在实数，使曲线C：在点处的切线与轴垂直.
19. 已知函数．
（I）求函数的单调递减区间；
（II）若在上恒成立，求实数的取值范围；
（III）过点作函数图像的切线，求切线方程．
【解析】（Ⅰ）得
函数的单调递减区间是；
（Ⅱ）即
设则
当时，函数单调递减；
当时，函数单调递增；
最小值实数的取值范围是；
（Ⅲ）设切点则即
设，当时是单调递增函数
最多只有一个根，又
由得切线方程是.
20．记，为的导函数．若对，，则称函数为上的“凸函数”．已知函数，．
（1）若函数为上的凸函数，求的取值范围；
（2）若函数在上有极值，求的取值范围．
【解析】（1），
若函数为上的凸函数，则，即，
令，，则当时，，
当时，；当时，；
当时，单调递减；当时，单调递增，
，，解得：，的取值范围为.
（2），，
在上有极值，在有变号零点，
，令，则，
，，在上单调递增，；
①当，即时，，在上单调递增，
．即，在无零点，不合题意；
②当，即时，则，使得，
当时，，，单调递减，
又，当时，，在上无零点；
当时，，单调递增，又时，，
在上有零点，且在零点左右两侧符号相反，即该零点为的变号零点，
在上有极值；
综上所述：的取值范围为.专题04 导数之二阶导数的应用
一、考情分析
1、在历年全国高考数学试题中，函数与导数部分是高考重点考查的内容，并且在六道解答题中必有一题是导数题。利用导数求解函数的单调性、极值和最值等问题是高考考查导数问题的主要内容和形式，并多以压轴题的形式出现. 常常考查运算求解能力、概括抽象能力、推理论证能力和函数与方程、化归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想的渗透和综合运用，难度较大.
2、而在有些函数问题中，如含有指数式、对数式的函数问题，求导之后往往不易或不能直接判断出原函数的单调性，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，此时解题受阻。需要利用“二次求导”才能找到导数的正负，找到原函数的单调性，才能解决问题. 若遇这类问题，必须“再构造，再求导”。本文试以全国高考试题为例，说明函数的二阶导数在解高考函数题中的应用。
3、解决这类题的常规解题步骤为：
①求函数的定义域；②求函数的导数，无法判断导函数正负；
③构造求，求；④列出的变化关系表；⑤根据列表解答问题。
考点梳理
函数极值的第二判定定理：若在附近有连续的导函数，且，
若则在点处取极大值；
若则在点处取极小值
二阶导数处理的解题步骤：
方法[来] 二次求导
使用情景 对函数一次求导得到之后，解不等式难度较大甚至根本解不出.
解题步骤 设，再求，求出的解，即得到函数的单调性，得到函数的最值，即可得到的正负情况，即可得到函数的单调性.
三、题型突破
(一) 利用二阶导数求函数的极值（极大值或极小值）
例1、（1）已知函数在处有极值10，则等于（ ）
或 B. C. D.或
(2)、 (2018全国I）已知函数．
(1)设是的极值点．求，并求的单调区间；
(2)证明：当时，．
【变式训练1-1】、设函数，若是的极大值点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【变式训练1-2】、(安徽省皖中名校联盟2019届高三10月联考)函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数在区间的最值．
(二) 利用二阶导数求函数的单调性
例2、已知，若，， ，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
例3、【2010年高考数学全国卷Ⅱ（22）小题】设函数．
（Ⅰ）证明：当时，；
（Ⅱ）设当时，，求的取值范围．
【变式训练3-1】、已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线
在点处的切线与轴平行．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ）设，其中是的导数．
【变式训练3-2】、【华中师大附中2017级高三上期中考试，21题】
（1）已知，证明：当时，；
（2）证明：当时，有最小值，记
最小值为，求的值域.
(三) 利用二阶导数求参数的范围
例4、（1）【2020届西南名校联盟高考适应月考卷一，12】（最小整数问题-导数的单调性和恒成立的转化）
已知关于的不等式在上恒成立，则整数的最小值为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
（2）．若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-1】、若不等式对任意的都恒成立，则整数的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式训练4-2】、已知函数，若，使得在恒成立，则的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
(四) 利用二阶导数证明不等式
例5.【全国卷Ⅰ第20题】 已知函数.
若，求的取值范围；
证明：.
【变式训练5-1】已知函数，曲线在点处的切线方程为．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）证明：当，且时，．
【变式训练5-2】已知函数，且．
(1)求；
(2)证明：存在唯一的极大值点，且．
四、迁移应用
A卷 基础巩固
1．若对任意正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________．
2．已知函数，若，且对任意的恒成立，则的最大值为______．
3．已知，函数，．
（1）讨论函数的极值；
（2）若，当时，求证：．
4．函数，，为常数．
（1）当时，若，求的值；
（2）当时，证明：对任意，．
5．已知函数
（1）当时，求图象在点处的切线方程；
（2）当且时，证明有且仅有两个零点.
6．已知函数，.
（1）若在上为单调递减函数，求的取值范围；
（2）设函数有两个不等的零点，且，若不等式恒成立，求正实数的取值范围．
7．已知函数满足，且曲线在处的切线方程为．
（1）求，，的值；
（2）设函数，若在上恒成立，求的最大值．
8．已知函数.
（1）若，讨论函数的单调性；
（2）已知，若在内有两个零点，求的取值范围.
9．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个极值点，求实数的取值范围．
10．已知函数，．
（1）当时，若在点，切线垂直于轴，求证：；
（2）若，求的取值范围．
11．已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若对任意的，都有，求的取值范围.
12．已知函数．
（1）若对恒成立：求实数a的取值范围；
（2）当时，证明：．
B卷 能力提升
13．已知函数.
（1）证明：曲线在点处的切线恒过定点；
（2）若有两个零点，，且，证明：.
14．已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，求证：函数存在极小值；
（3）若对任意的实数，恒成立，求实数a的取值范围．
15．已知函数.
（1）若函数在区间上为增函数，求的取值范围；
（2）当且时，不等式在上恒成立，求的最大值.
16．已知函数.
（1）若在上有两个不同的实根，求实数的取值范围；
（2）若，证明：存在唯一的极大值点，且.
17. 已知函数，其中ｅ是自然数的底数，。
当时，解不等式；
若在［－１，１］上是单调增函数，求的取值范围；
当时，求整数ｋ的所有值，使方程在［ｋ，ｋ＋１］上有解。
18. 已知函数
（1）设曲线在处的切线与直线垂直，求的值
（2）若对任意实数恒成立，确定实数的取值范围
（3）当时，是否存在实数，使曲线C：在点处的切线与轴垂直？若存在，求出的值，若不存在，说明理由
19. 已知函数．
（I）求函数的单调递减区间；
（II）若在上恒成立，求实数的取值范围；
（III）过点作函数图像的切线，求切线方程．
20．记，为的导函数．若对，，则称函数为上的“凸函数”．已知函数，．
（1）若函数为上的凸函数，求的取值范围；
（2）若函数在上有极值，求的取值范围．

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