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专题03 函数基本性质的灵活应用
一、考情分析
函数的性质是整个高中数学的核心内容,所有高中数学内容，都可以围绕这一主线考查学生。单调性与奇偶性更是高考的必考内容,在高考命题中函数常与方程、不等式等其他知识结合考查,而且考查的形式不一,简单的题目也有出现，但是压轴题目是肯定会对函数的性质进行考查的。
二、考点梳理
1．周期性的常用结论—对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x),则T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝,则T＝2a(a>0)．
(3)若f(x＋a)＝－,则T＝2a(a>0)．(4)若,则T＝6a(a>0)．
(5)若f(x＋a)＝,则T＝2a(a>0)．(6)若f(x＋a)＝,则T＝4a(a>0)．
2．函数对称性与函数周期性的关系（类比三角函数）
(1)若函数的图象既关于直线对称,又关于直线对称,则是周期函数,且是它的一个周期.
(2)若函数的图象既关于点对称,又关于点对称,则是周期函数,且是它的一个周期.
(3)若函数的图象既关于直线对称,又关于点对称,则是周期函数,且是它的一个周期.
3. 复合函数
设是定义在M上的函数,若与的单调性相反,则在M上是减函数；若与的单调性相同,则在M上是增函数,简称同增异减.
4. 对称性的一般结论
①若,则图像关于直线对称；
②，函数关于点 对称.
三、题型突破
(一) 函数单调性的灵活应用
例1.（1）．（2020·山西大附中（文））已知函数，满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由题意可知函数为上为减函数，可知函数为减函数，且，由此可解得实数的取值范围.
【详解】
由题意知函数是上的减函数，于是有，解得，
因此，实数的取值范围是．
故选：B.
【点睛】
本题考查利用分段函数的单调性求参数，一般要分析每支函数的单调性，同时还要考虑分段点处函数值的大小关系，考查运算求解能力，属于中等题.
（2）．（2021·嘉峪关市第一中学高三（理））函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据复合函数的同增异减原理，只要保证在上单调递增，且满足定义，即可得解.
【详解】
函数为复合函数，
令，
为增函数，
故只要在上为增函数即可，
只要：，解得：，
故选：A.
【点睛】
本题考查了复合函数的同增异减原理，同时注意满足定义域，有一定的计算量，属于基础题.
（3）．（2021·广东汕头·）已知是定义在R上的函数，满足.都有，且在上单调递增.若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
首先判断函数的奇偶性，从而得到，再根据函数的单调性比较函数值的大小即可.
【详解】
因为函数满足，
所以函数是是奇函数，
所以，
又因为，
所以
又在上单调递增，
所以，
即，
故选：B
【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性及单调性的应用，比较函数值的大小，在求解的过程中，要注意对奇偶性的应用，其实就是将自变量的取值放在函数的同一个单调区间上，最后通过单调性比较函数值的大小即可.
【变式训练1-1】若函数是R是的单调递减函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】要使为R上的减函数，则，解得
【变式训练1-2】．（2020·全国高一课时练习）若函数在上是单调增函数，则的取值范围是____________．
【答案】
【分析】
利用复合函数单调性的判断方法,分内层和外层分别判断,解出的取值范围.
【详解】
由题意得，设，根据对数函数及复合函数单调性可知：在上是单调增函数，且，所以，所以．
故答案为:
【点睛】
本题考查复合函数单调性的应用,考查对数函数的性质,考查学生运算求解能力,属于中档题.
【变式训练1-3】．（2021·云南民族中学高三月考（文））已知函数，若，则的大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
先判断函数的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，最后根据对数函数的性质，结合基本不等式、比较法进行判断即可.
【详解】
因为，所以为偶函数，
，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
，
因为，
故
所以，则
故选：
【点睛】
方法点睛：对于判断函数值大小问题一般从判断函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性入手.
(二) 函数奇偶性的灵活应用
例2．（1）（2021·内蒙古包头·高三（文））设函数，则（ ）
A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减
【答案】C
【分析】
首先确定定义域关于原点对称，又有，可知为偶函数；利用复合函数单调性的判定方法可确定时，单调递减，由对称性可知时，单调递增，由此得到结果.
【详解】
由得：，定义域为；
又，
为定义域内的偶函数，可排除BD；
当时，，
在上单调递减，单调递增，在上单调递减，可排除A；
为偶函数且在上单调递减，在上单调递增，C正确.
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：本题对于函数单调性的判断的关键是能够根据的范围得到的解析式，利用复合函数单调性的判断，即“同增异减”的方法确定函数在区间内的单调性.
（2）．（2014·湖南高考真题（理））已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则
A. B. C.1 D.3
【答案】C
【解析】试题分析：分别令和可得和,因为函数分别是定义在上的偶函数和奇函数,所以,即
,则,故选C.
考点：奇偶性
（3）、已知函数,则使得的的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由于,所以函数为偶函数,且在上为减函数.要,则需,解得.
【变式训练2-1】．（2008·重庆高考真题（理））若定义在上的函数满足：对任意有则下列说法一定正确的是
A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数
【答案】C
【详解】
x1=x2=0，则，，
令x1=x，x2=-x，
则，
所以，
即，为奇函数，故选C.
【变式训练2-2】．（2015·全国高考真题（文））设函数,则使成立的的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
试题分析：，定义域为，∵，∴函数为偶函数，当时，函数单调递增，根据偶函数性质可知：得成立，∴，∴，∴的范围为故答案为A.
考点：抽象函数的不等式.
【思路点晴】本题考查了偶函数的性质和利用偶函数图象的特点解决实际问题，属于基础题型，应牢记．根据函数的表达式可知函数为偶函数，根据初等函数的性质判断函数在大于零的单调性为递增，根据偶函数关于原点对称可知，距离原点越远的点，函数值越大，把可转化为，解绝对值不等式即可．
【变式训练2-3】．已知函数是奇函数，则方程的根为（　　）
A． B． C. ， D．，
【答案】B ]
【解析】因为函数为上的奇函数，所以，即，解得.所以.方程，即.当时，有，整理得，解得.综上，方程的根为，故选B.
函数对称性的灵活应用
例3．（1）（2022·全国高三专题练习）已知函数，则
A．在（0，2）单调递增 B．在（0，2）单调递减
C．的图像关于直线x=1对称 D．的图像关于点（1，0）对称
【答案】C
【详解】
由题意知，，所以的图象关于直线对称，故C正确，D错误；又（），由复合函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减，所以A，B错误，故选C．
【名师点睛】如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称轴；如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称中心．
（2）．（2019·甘肃兰州市·兰州一中高三月考（文））函数f（x）=的大数图象为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由函数是奇函数，图象关于原点对称，排除C、D项；再由当时，函数的值小于0，排除B，即可得到答案.
【详解】
由题知，函数满足，所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除C、D项；
又由当时，函数的值小于0，排除B，故选A.
【点睛】
本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中熟练应用函数的奇偶性和函数的取值范围，利用排除法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
（3）．（2019·陕西西安市·高考模拟（文））若定义在上的函数满足且时，，则方程的根的个数是
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由题意作出函数与的图象，两图象的交点个数即为方程的根的个数.
【详解】
因为函数满足，所以函数是周期为的周期函数.
又时，，所以函数的图象如图所示.
再作出的图象，易得两图象有个交点，所以方程有个零点．故应选A．
【点睛】
本题考查函数与方程.函数的零点、方程的根、函数图象与轴交点的横坐标之间是可以等价转化的.
【变式训练3-1】、【2017届湖南师大附中高三上学期月考三】已知两定点和,动点在直线上移动,椭圆以为焦点且经过点,则椭圆的离心率的最大值为（ ）
A． B． C. D．
【答案】A
【解析】关于直线的对称点为,连接交直线于点,则椭圆的长轴长的最小值为,所以椭圆的离心率的最大值为,故选A.
【点评】求解本题的关键是利用对称性求距离的最小值
【变式训练3-2】、（2021·临澧县第一中学高一期末）设函数则使得f()>f(3x-1)成立的x的取值范围是___________.
【答案】
【分析】
先判断函数的奇偶性，求出函数的单调性，由此得到，解不等式即得解.
【详解】
由题得函数的定义域为R. 所以函数是偶函数.
当时，都是增函数，所以是增函数，
所以函数在是增函数，在上是减函数.
因为f()>f(3x-1)，所以.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查抽象不等式的解法，注意对于偶函数，解其不等式时，避免讨论，运用绝对值得出其大小关系，属于中档题.
【变式训练3-3】、（2019·广东中山纪念中学高三月考（文））函数的图像大致为
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
分析：利用函数的奇偶性和函数值的变化趋势，即可作出选择．
详解：由题意可知，函数的定义域为，
且满足，所以为奇函数，图象关于原点对称，排除A、C；
又时，，时，，排除B，故选D．
点睛：本题主要考查了函数的基本性质和函数图象的识别问题，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力．
【变式训练3-4】已知定义在R上的函数满足为奇函数,函数关于直线对称,则下列式子一定成立的是（ ）
B.
C. D.
【答案】B
【分析】由题中函数满足为奇函数,结合奇函数的定义转化可得：,再由条件：函数关于直线对称,结合对称性的规律可得：,最后由周期性的概念可转化为：,可见函数的周期为8,即可求解.
【解析】因为为奇函数,所以,则．又因为关于直线对称,所以关于对称,所以,则,于是8为函数的周期,所以,故选B．
函数周期性的灵活应用
例4．（1）（2021·宜宾市翠屏区天立学校（文））已知函数是定义在上的奇函数，对任意的都有，当时，，则
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据题意，对变形可得，则函数是周期为的周期函数，据此可得，，结合函数的解析式以及奇偶性求出与的值，相加即可得答案．
【详解】
根据题意，函数满足任意的都有，则，
则函数是周期为的周期函数，
，
又由函数是定义在上的奇函数，则，
时，，则，
则；
故；
故选A．
【点睛】
本题考查函数的奇偶性与周期性、对称性的应用，关键是求出函数的周期，属于基础题．
（2）．（2018·新疆乌鲁木齐市·高三（文））奇函数满足，当时，，则
A．-2 B． C． D．2
【答案】A
【详解】
分析：先由题意得到函数的周期为4，确定出的范围，然后根据函数的周期性和奇偶性求解．
详解：∵，
∴，
∴函数的周期为4.
又，
∴
．
故选A．
点睛：本题考查函数的性质及指数、对数的运算，解题的关键是通过函数的周期性将求值问题转化到区间（0,1）内解决．
（3）．（2021·全国高一专题练习）已知定义在R上的函数满足，且为偶函数，若在内单调递减，则下面结论正确的是
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
由题意可判断函数f（x）的周期为6，对称轴为x＝3，所以有f（12.5）＝f（0.5），f（-4.5）＝f（1.5），f（3.5）＝f（2.5），因为0＜0.5＜1.5＜2.5＜3，且函数在（0，3）内单调递减，从而判断大小
【详解】
∵函数满足，∴=，
∴f（x）在R上是以6为周期的函数，∴f（12.5）＝f（12+0.5）＝f（0.5），
又为偶函数，∴f（x）的对称轴为x＝3，∴f（3.5）＝f（2.5），
又∵0＜0.5＜1.5＜2.5＜3，
且在（0，3）内单调递减，∴f（2.5）＜f（1.5）＜f（0.5）
即f（3.5）＜f（-4.5）＜f（12.5）
故选B．
【点睛】
本题主要考查了函数周期性与对称性的推导，考查了周期与单调性的综合运用，利用周期与对称把所要比较的变量转化到同一单调区间，利用函数的单调性比较函数值的大小，是解决此类问题的常用方法，属于中档题．
【变式训练4-1】．（2018·德州跃华学校高中部高考模拟（理））已知定义在R上的函数满足：（1）；（2）；（3）时，.则大小关系
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据已知可得函数 f （x）的图象关于直线x＝1对称，周期为4，且在[1，3]上为减函数，进而可比较f（2018），f（2019），f（2020）的大小．
【详解】
∵函数 f （x）满足：
①f（2﹣x）＝f（x），故函数的图象关于直线x＝1对称；
②f（x+4）＝f（x），故函数的周期为4；
③x1，x2∈[1，3]时，（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0．故函数在[1，3]上为减函数；
故f（2018）＝f（2），
f（2019）＝f（3），
f（2020）＝f（0）＝f（2），
故f（2020）＝f（2018）＞f（2019），
故选C．
【点睛】
本题考查的知识点是函数的对称性，函数的周期性，函数的单调性，从已知的条件中分析出函数的性质，是解答的关键，属于中档题．
【变式训练4-2】．（2020·四川阆中中学）已知函数，则（ ）
A．在单调递增 B．在单调递减
C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称
【答案】C
【分析】
利用复合函数的单调性可判断出A、B选项的正误；利用函数对称性的定义可判断出C、D选项的正误.
【详解】
对于函数，，解得，
则函数的定义域为，且，
由于内层函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
外层函数为增函数，
所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，A、B选项均错；
，
所以，函数的图象关于直线对称，C选项正确；
由上可知不恒为零，所以，函数的图象不关于点对称，
D选项错误.
故选：C.
【点睛】
本题考查对数型复合函数单调性与对称性的判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
【变式训练4-3】．（2021·六盘山高级中学高三（理））已知函数是上的满足，且的图象关于点对称，当时，，则的值为（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】D
【分析】
根据函数的单调性求得函数周期，从而把问题简化为单个周期求值问题.
【详解】
∵，又关于对称，
∴，
∴的周期为4，
由函数解析式及性质易知，，，，，
故选：D.
【点睛】
方法点睛：当求和项较多时，利用函数周期性，结合函数解析式求值.
(五) 函数性质的综合应用
例5．（1）（2022·全国高三专题练习）已知函数，则（ ）
A．4040 B．4038 C．2 D．9
【答案】B
【分析】
根据函数不等式可得，然后分组配对可求和.
【详解】
，则
故选：B
【点睛】
关键点睛：本题考查利用函数性质解决求和问题，解答本题的关键是由，根据，属于中档题.
（2）．（2021·全国高二课时练习）已知是上的奇函数，，，则数列的一个通项公式为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由在上为奇函数，知，令，则，得到．由此能够求出数列的通项公式．
【详解】
由题已知是上的奇函数，
故，
代入得：，
∴函数关于点对称，
令，
则，
得到，
∵，
，
倒序相加可得，
即，
故选：A．
【点睛】
思路点睛：利用函数的性质以及倒序相加法求数列的通项公式问题.
先利用函数的奇偶性得到函数的对称中心，再用换元法得到，最后利用倒序相加法求解数列的通项公式．
【变式训练5-1】．（2022·浙江高三专题练习）设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决．
【详解】
时，，，，即右移1个单位，图像变为原来的2倍．
如图所示：当时，，令，整理得：，（舍），时，成立，即，，故选B．
【点睛】
易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．
【变式训练5-2】．（2020·全国高三（理））已知函数，若，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【分析】
画图分析可得函数是偶函数，且在上单调递减，利用偶函数性质和单调性可解.
【详解】
作出函数的图如下所示，
观察可知，函数为偶函数，且在上单调递增，
在上单调递减，故
，
故实数的取值范围为.
故答案为：
【点睛】
本题考查利用函数奇偶性及单调性解不等式. 函数奇偶性的常用结论：
(1)如果函数是偶函数，那么．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
【变式训练5-3】．（2019·安徽屯溪一中高一月考）已知，且方程无实数根，下列命题：
①方程也一定没有实数根；
②若，则不等式对一切实数都成立；
③若，则必存在实数，使
④若，则不等式对一切实数都成立．
其中正确命题的序号是 ．
【答案】①②④
【详解】
可以看作 ，而已知 无实数根，所以方程 无实根，∴命题①正确；
方程 无实根，∴ 或 ．若 ，则 对一切 成立．∴ ，用 代入，则 ，∴命题②正确；
同理若 ，则有 ，∴命题③错误；
∵ ，∴ ，∴必然归为 ，有 ，∴命题④正确．故答案为①②④
【变式训练5-4】．（2021·全国高三专题练习（文））定义在上的函数满足，当时，.若不等式对任意恒成立，则实数的最小值为___________.
【答案】
【分析】
利用满足得到函数解析式，由解析式探究出函数的性质，结合性质将不等式转化为，进而得到对任意恒成立，讨论得到范围.
【详解】
由已知得，
由函数式可得，
所以不等式可化为，
得到.
因为是上的增函数，所以，
即对任意恒成立，
当时显然不满足对任意恒成立，
所以，即.
故答案为：
四、迁移应用
A组 基础巩固
1．（2021·长春市基础教育研究中心（长春市基础教育质量监测中心）高三（文））已知函数，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
可求得，即可得出.
【详解】
，所以.
故选：D.
2．（2021·河南郑州·高三（理））已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由函数的奇偶性的定义，得到为偶函数，当时，利用导数求得函数在上单调递增，把不等式对任意恒成立，转化为不等式对任意恒成立，得到对任意恒成立，列出不等式组，即可求解.
【详解】
由题意，函数，可得，
所以函数为偶函数，
当时，可得，
令，可得，
所以函数为单调递增函数，
所以，可得，所以在上单调递增，
则不等式对任意恒成立，
等价于不等式对任意恒成立，
即对任意恒成立，即对任意恒成立，
所以对任意恒成立，则对任意恒成立，
所以，解得，
所以实数的取值范围是．
故选：D．
【点睛】
对于利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.
3．（2021·云南昆明一中高三（理））已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
求出函数的定义域，分析函数的奇偶性与单调性，将不等式变形为，根据函数的单调性可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.
【详解】
因为函数的定义域为，
,
所以，函数为奇函数；
，
所以函数在上单调递增，
因为，所以，
所以，，解得.
故选：A.
【点睛】
思路点睛：根据函数单调性求解函数不等式的思路如下：
（1）先分析出函数在指定区间上的单调性；
（2）根据函数单调性将函数值的关系转变为自变量之间的关系，并注意定义域；
（3）求解关于自变量的不等式 ，从而求解出不等式的解集.
4．（2021·嘉峪关市第一中学高三（文））函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
判断函数的奇偶性，再判断函数值的正负，从而排除错误选项，得正确选项.
【详解】
因为
所以.
得，
所以为奇函数，排除C；
在，设，，单调递增，
因此，
故在上恒成立，
排除A、D，
故选：B.
5．（2019·贵州高考模拟（理））已知为偶函数，对任意，恒成立，且当时，.设函数，则的零点的个数为
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由为偶函数，对任意，恒成立，知，所以函数的周期,又知，所以函数关于对称，当时，做出其图象.并做关于的对称图象，得到函数在一个周期上的图象，其值域为，令，得，在同一直角坐标系内作函数在上的图象，由图象可知共有8个交点，所以函数的零点的个数为8个.
点睛：涉及函数的周期性及对称性问题，一般要关注条件中的以及函数的奇偶性，通过变形处理都可以转化为函数的对称性及周期性问题，结合对称性及周期性可研究函数零点个数及图像交点个数问题.
6．（2019·武邑宏达学校高一期中）已知函数在上单调递减，且是偶函数，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先根据条件得到的图象关于直线对称，且在上单调递增，然后通过比较到对称轴距离的大小可得所求结果．
【详解】
由是偶函数可得其图象的对称轴为，
所以函数的图象关于直线对称．
又函数在上单调递减，
所以函数在上单调递增．
因为，
所以，即．
故选D．
【点睛】
比较函数值大小的常用方法：（1）将自变量转化到同一单调区间上，然后根据函数的单调性进行比较；（2）对于图象有对称轴的函数来讲，可将函数值的大小问题转化为自变量到对称轴的距离的大小的问题求解．
7．（2019·贵州贵阳·高考模拟（理））关于函数的下列结论，错误的是
A．图像关于对称
B．最小值为
C．图像关于点对称
D．在上单调递减
【答案】C
【分析】
将函数的解析式写成分段函数的形式，然后结合函数图像考查函数的性质即可.
【详解】
由题意可得：，
绘制函数图像如图所示，
观察函数图像可得：
图像关于对称，选项A正确；
最小值为，选项B正确；
图像不关于点对称，选项C错误；
在上单调递减，选项D正确；
故选C.
【点睛】
本题主要考查分段函数的性质，函数图像的应用，函数的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
8．（2022·全国（文））奇函数满足，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由计算得出实数的值，推导出函数的周期为，可得出，即可得解.
【详解】
因为函数为奇函数，则，解得，
所以，当时，，
由已知条件可得，
所以，函数是以为周期的周期函数，则.
故选：B.
【点睛】
结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论：
（1）若函数的图象关于直线和对称，则函数的周期为；
（2）若函数的图象关于点和点对称，则函数的周期为；
（3）若函数的图象关于直线和点对称，则函数的周期为.
9．（2020·内江市市中区天立学校）已知函数，若，则（ ）
A．2 B．0 C． D．
【答案】D
【分析】
验证为定值，然后求解.
【详解】
因为，
则，
则有，又由，则.
故选：D.
【点睛】
本题考查根据函数的对称性求函数值，难度一般，关键是要找出与的关系.
10．（2020·广东金山中学高三月考）已知函数的定义域为是偶函数，，在上单调递减，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据偶函数判断出的单调性及，把原不等式转化为即可解得.
【详解】
因为是偶函数，所以函数的图象关于直线对称，则.
因为在上单调递减，所以在上单调递增，
故等价于，解得.
故选：D
【点睛】
(1)利用单调性解不等式通常用于： ①分段函数型不等式；②复合函数型不等式；③抽象函数型不等式；④解析式较复杂的不等式；
(2)解题的一般策略是：利用函数的单调性，将函数值的的大小关系转化为自变量的关系，解不等式即可．
11．（2021·全国）若函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先判断函数的单调性，然后解答不等式，在恒成立的条件下求出结果
【详解】
依题意得：函数在上单调递减，
因为，所以，即，在上恒成立，
所以，即，故选B．
【点睛】
本题考查了函数的单调性的应用，结合函数的单调性求解不等式，需要掌握解题方法
12．（2019·黑龙江哈尔滨市·高考模拟（文））已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是
A． B． C． D．或
【答案】C
【分析】
由二次函数和对数函数的单调性，结合单调性的定义，解不等式即可得到所求范围．
【详解】
当时，的对称轴为，
由递增可得，，解得；
当时，递增，可得；
由，递增，即有，解得．
综上可得，的范围是，故选C．
【点睛】
本题考查分段函数的单调性的运用，注意运用定义，同时考查二次函数和对数函数的单调性的运用，属于中档题.
13．（2021·全国高三（理））函数的部分图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
判断函数的奇偶性，再代入特殊点，利用排除法进行判断即可．
【详解】
解：，
则是奇函数，故排除C，D，因为，故排除B.
故选：B．
14．（2014·全国高考真题（文））设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是奇函数 D．是奇函数
【答案】C
【详解】
试题分析：是奇函数，是偶函数，故为奇函数，为偶函数， ||为偶函数，故选C.
考点：函数的奇偶性的判定.
15．（2017·天津高考真题（理））已知奇函数，且在上是增函数.若，，，则a，b，c的大小关系为
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
因为是奇函数，从而是上的偶函数，且在上是增函数，
，
，又，则，所以即，
，
所以，故选C．
【考点】
指数、对数、函数的单调性
【名师点睛】
比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.
16．（2008·全国高考真题（理））设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
由f(x)为奇函数可知，＝<0.而f(1)＝0，则f(－1)＝－f(1)＝0.
当x>0时，f(x)<0＝f(1)；
当x<0时，f(x)>0＝f(－1)．又∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
∴奇函数f(x)在(－∞，0)上为增函数．所以0点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内
17．（2015·天津高考真题（理））已知函数为偶函数，记 ， ，，则的大小关系为 (　　 )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：因为为偶函数，所以，
在上单调递增，并且，因为，，故选C．
考点：函数的单调性
【思路点睛】本题考察的是比较大小相关知识点，一般比较大小我们可以采用作差法、作商法、单调性法和中间量法，本题的题设中有解析式且告诉我们为偶函数，即可求出参数的值，所以我们采用单调性法，经观察即可得到函数的单调性，然后根据可以通过函数的奇偶性转化到同一侧，进而判断出几个的大小，然后利用函数的单调性即可判断出所给几个值的大小．
18．（2021·西藏拉萨中学高三月考（理））已知函数满足和,且当时,则
A．0 B．2 C．4 D．5
【答案】C
【分析】
函数满足和,可函数是以为周期的周期函数，且关于对称，进而可求解答案．
【详解】
函数满足和,
可函数是以为周期的周期函数，且关于对称，
又由当时,，
所以，故选C．
【点睛】
本题主要考查了函数的对称性与函数的周期性的应用问题，其中解答中根据题设条件，得到函数的图象以为周期的周期函数，且关于对称是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．
19．（2019·甘肃省甘谷第一中学高三月考（文））已知定义在上的偶函数对于上任意两个不相等实数和，都满足，若，则的大小关系为
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
分析：根据条件判断出函数的单调性，结合函数的奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可.
详解：因为定义在上的偶函数对于上任意两个不相等实数和，
由都满足，所以函数在上为增函数，
因为是偶函数，所以，
又由，所以，即，故选D.
点睛：本题考查了函数值的比较大小，结合函数的奇偶性和函数的单调性进行合理转化是解答的关键，注重考查了学生分析维问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.
20．（2020·陕西高三（理））函数，若满足恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先由函数的解析式判断出函数的奇偶性和单调性，即可将转化为
，再根据分离参数法，即可求出．
【详解】
因为函数的定义域为，所以，，
，即函数是定义在上单调递增的奇函数．
于是，，
即恒成立，所以实数m的取值范围为．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查函数的性质的应用，涉及奇偶性和单调性的综合运用，以及含参的一元二次不等式恒成立问题的解法，意在考查学生的转化能力，属于基础题．
21．（2019·四川成都市树德协进中学高二期中（理））已知函数，设，，，则
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
首先引入中间量、1、判断、、的绝对值大小，再根据函数的单调性与奇偶性判断函数值的大小.
【详解】
，，
，
当时，，，
函数在上单调递增，
，
又函数在R上为偶函数，
，即.
故选：D
【点睛】
本题考查利用利用函数的奇偶性及单调性比较函数值的大小，属于中档题.
22．（2020·四川省泸县第四中学高三开学考试（理））已知函数，则关于的不等式的解集为_______．
【答案】
【分析】
判断的奇偶性和单调性，原不等式转化为，运用单调性，可得到所求解集．
【详解】
令，易知函数为奇函数，在R上单调递增，
，
即，
∴
∴，即x＞
故答案为
【点睛】
本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：解不等式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
23．（2020·全国）已知函数对任意、，都有，则实数的取值范围为______．
【答案】
【分析】
利用函数的单调性，结合分段函数，列出不等式组，求解即可．
【详解】
由题意，函数在上单调递增，，解得．
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用分段函数的单调性求参数，考查计算能力，属于中等题．
B组 能力提升
24．（2021·广东广州·高二期中）已知函数，则其图像可能是（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【分析】
通过函数奇偶性的定义来判断函数的奇偶性，排除.再利用特殊值进行函数值的正负的判断，从而确定函数的图像.
【详解】
的定义域为,
所以为奇函数，则排除
若,且，
则
若,且，
则
，，
，.
故选：A
【点睛】
判断图像类问题，主要考虑以下几点：
函数的定义域；
函数的奇偶性；
函数的单调性；
图像中的特殊值.
并且通常用到排除法.
25．（2020·贵州毕节·高三（理））若函数为偶函数，对任意，且，都有，则有
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由已知可知的对称轴为，且在上为单调递减函数.由，可确定，从而可选择正确选项.
【详解】
解：因为函数为偶函数，所以的对称轴为；
又对任意，且有，则
在上为单调递减函数.因为，
，，所以，
即.
故选:A.
【点睛】
本题考查了函数的对称性，考查了函数的单调性.本题的关键是由已知条件分析出函数的对称轴以及函数的单调区间.
26．（2021·全国高三专题练习（理））已知定义在上的奇函数满足，，若且时，都有，则下列结论正确的是（ ）
A．图象关于直线对称 B．图象关于点中心对称
C．在上为减函数 D．在上为增函数
【答案】B
【分析】
由是定义在上的奇函数，则结合可得函数的图像关于直线对称和函数为周期函数，从而可判断A,B选项，由条件可得，则所以在上为增函数，结合函数的对称性和周期性可判断C,D.
【详解】
由是定义在上的奇函数，则
所以，则函数的图像关于直线对称.
又，则
所以函数为周期函数， 4为函数的一个周期.
所以的对称轴方程为：，不满足，故A不正确.
由是定义在上的奇函数,则图像关于点成中心对称.
所以的对称中心满足：，所以是函数的一个对称中心，故B正确.
由且时，都有，
则，即
所以在上为增函数, 由是定义在上的奇函数
所以在上为增函数，且，所以在上为增函数
由的图像关于直线对称，所以在上为减函数，
又4为函数的一个周期.
则在上单调递增，在上单调递减.
所以在上为增函数，故C不正确.
在上为增函数,在为减函数，故D不正确.
故选：B
【点睛】
关键点睛：本题考查抽象函数的周期和单调性对称性的综合应用，解答本题的关键是先由函数为奇函数结合，得到和，从而得到函数的对称性和周期性，根据条件得出，得到函数的单调性，属于中档题.
27．（2018·河南信阳市·信阳高中高三（文））已知是定义在上的偶函数，且时，均有，，则满足条件的可以是
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
B容易判断不满足f（3+x）=f（2﹣x），C容易判断不满足2≤f（x）≤8，根据A的表达式即可判断满足f（3+x）=f（2﹣x），2≤f（x）≤8，从而得出正确选项为A．
【详解】
A．x∈Q时，3+x，2﹣x∈Q；
∴f（3+x）=2，f（2﹣x）=2；
即f（3+x）=f（2﹣x）；
同理，x∈ RQ时，有f（3+x）=f（2﹣x）；
显然2≤f（x）≤8，∴A正确；
B．显然f（x）不满足f（3+x）=f（2﹣x），即B错误；
C.3≤f（x）≤9，不满足2≤f（x）≤8，即C错误；
D．f（0）=2，f（5）=8；
不满足f（3+2）=f（2﹣2）；
即不满足f（3+x）=f（2﹣x），∴D错误．
故答案为：A
【点睛】
本题主要考查偶函数的概念，余弦函数的值域，考查了分段函数的概念及分段函数值域的求法，意在考查学生对这些知识的掌握能力和分析推理能力.
28．（2021·全国高三专题练习（文））定义在上的函数满足，对任意的，，，恒有，则关于x的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
构造函数，由题设及单调性和奇偶性的知识易得为奇函数，且在上为增函数，不等式等价于
，即，最后利用的单调性和奇偶性列出不等式组求解即可.
【详解】
设，
因为对任意的，，，恒有，
所以函数在上为增函数，则在上为增函数，
又，而，所以，
所以为奇函数，
综上，为奇函数，且在上为增函数，
所以不等式等价于，
即，亦即，
可得，解得.
故选：B．
【点睛】
关键点睛：本题的解题关键是合理构造函数，从而得出新函数的单调性和奇偶性，最后列出不等式组进行求解.
29．（2020·六安市城南中学高三月考（理））设定义在上的偶函数满足：，且当时，，若，，，则，，的大小关系为
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
由定义在上的偶函数满足可得函数是周期为4的函数，然后将问题转化到同一单调区间上进行比较大小，从而可得所求结论．
【详解】
因为为上的偶函数，
所以，
所以，
所以函数是周期为4的函数，
所以，，．
又当时，，
所以，
所以当时，单调递减，
所以，即．
故选B．
【点睛】
解题时注意两点：一是知道函数的奇偶性、对称性和周期性中的两个性质可推出第三个性质；二是比较函数值的大小时，可将问题转化到同一个单调区间上进行研究，利用单调性得到函数值的大小关系．
30．（2021·云南红河·高三（理））函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
判断图像类问题，首先求定义域，其次判断函数的奇偶性；再次通过图像或函数表达式找特殊值代入求值，时，即，此时只能是；也可通过单调性来判断图像.主要是通过排除法得解.
【详解】
函数的定义域为，
因为，
并且，
所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，可排除；
当时，即，此时只能是，
而的根是，可排除.
故选:
【点睛】
函数的定义域，奇偶性，特殊值，单调性等是解决这类问题的关键，特别是特殊值的选取很重要，要结合图像的特征来选取.
31．（2020·银川唐徕回民中学高三（理））已知函数的图象在点处的切线的斜率为，则函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
求得，得到函数在点处的切线的斜率为，
得出函数，利用函数的奇偶性和特殊的函数的值，即可求解。
【详解】
由题意，函数，则，
则在点处的切线的斜率为，
即，可得，
所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B、D项，
又由当时，，排除C项，
只有选项A项符合题意。
故选：A。
【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义，函数图象的识别，以及函数的性质的应用，其中解答利用导数的几何意义求得函数的解析式，结合函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。
32．（2020·福建省长乐第一中学高三月考）已知函数且在上单调递增，且关于的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是___________．
【答案】
【分析】
由题意可知在两段上均为增函数，且在上的最小值大于或等于，作出和的图象，根据交点个数判断与3的大小关系，以及直线和抛物线相切的条件，列出不等式组解出．
【详解】
是上的单调递增函数，
在，上单调递增，
可得，
且，即，
作出和的函数草图如图所示：
由图象可知在上有且只有一解，
可得，或，即有△，
即有或；
由，解得，即时，有且只有一解．
则的范围是，．
故答案为，．
【点睛】
本题考查分段函数的单调性，函数零点的个数判断，结合函数图象判断端点值的大小是关键，属于中档题．
33．（2021·全国高一单元测试）已知函数是定义在上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为___________.
【答案】
【分析】
推导出当时，，利用函数的周期性和奇偶性可求得结果.
【详解】
当时，，
又因为函数是定义在上的偶函数，
则，
，
因此，.
故答案为：.
【点睛】
方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；
（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．
（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；
（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.
34．（2020·合肥市第十中学高三月考（理））已知函数是R上的偶函数，对于都有成立，且，当，且时，都有．则给出下列命题：
①；
②函数图象的一条对称轴为；
③函数在[﹣9，﹣6]上为减函数；④方程在[﹣9，9]上有4个根；
其中正确的命题序号是___________.
【答案】①②④
【分析】
①赋值，结合奇偶性可得，可得，得；②由， ，可得 ，可得直线是函数的图象的一条对称轴；③函数在上为减函数，周期为6，从而函数在为增函数；④的周期为6，.
【详解】
①对于任意，都有成立，
令，则，
又是上的偶函数，
，，
，
又由，故，故①正确；
②由①知，的周期为6，
又是上的偶函数，，
而的周期为6，
，
，
直线是函数的图象的一条对称轴，故②正确；
③当，且时，都有，
函数在上为减函数，
是上的偶函数，函数在上为增函数，
而周期为6，函数在为增函数，故③不正确；
④的周期为6，
，
函数在有四个零点，故④正确，
所以，正确的命题序号是①②④，故答案为①②④.
【点睛】
本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查函数的单调性、函数的奇偶性与周期性、函数的对称性，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.
35．（2018·安徽淮南市·高三（文））已知定义在上的函数满足，当时，则__________．
【答案】1
【解析】
分析：推导出f（x+4）==f（x），从而f（2018）=f（504×4+2）=f（2）=f（0），由此能求出结果．
详解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=，
∴f（x+4）==f（x），所以函数f(x)的周期为4,
当x∈[0，2）时，f（x）=x+ex，∴f（2018）=f（504×4+2）=f（2）=f（0）=0+e0=1．
故答案为：1
点睛：本题考查函数值的求法，考查函数的周期性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想.
36．（2019·甘肃高三（理））已知定义在上的偶函数，满足，且在区间上是增函数，
①函数的一个周期为4；
②直线是函数图象的一条对称轴；
③函数在上单调递增，在上单调递减；
④函数在内有25个零点；
其中正确的命题序号是_____（注：把你认为正确的命题序号都填上）
【答案】①②④
【分析】
先求得，由此函数的周期性.通过证明求得函数的对称轴，根据奇偶性、周期性和单调性画出函数的图像，由此判断③④的真假.
【详解】
令得，即，由于函数为偶函数，故.所以，所以函数是周期为的周期函数，故①正确.由于函数为偶函数，故，所以是函数图像的一条对称轴，故②正确.根据前面的分析，结合函数在区间上是增函数，画出函数图像如下图所示.由图可知，函数在上单调递减，故③错误.根据图像可知，，零点的周期为，共有个零点，故④正确.综上所述正确的命题有①②④.
【点睛】
本小题主要考查函数的周期性、单调性、对称性等性质，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
37．（2019·山东省郓城第一中学高考模拟（文））如图，边长为1的正方形ABCD，其中边DA在x轴上，点D与坐标原点重合，若正方形沿x轴正向滚动，先以A为中心顺时针旋转，当B落在x轴上时，再以B为中心顺时针旋转，如此继续，当正方形ABCD的某个顶点落在x轴上时，则以该顶点为中心顺时针旋转．设顶点C（x，y）滚动时形成的曲线为y＝f（x），则f（2019）＝________．
【答案】0
【解析】
【分析】
由题可得：是周期为的函数，将化为，问题得解。
【详解】
由题可得：是周期为的函数，
所以.
由题可得：当时，点恰好在轴上，
所以，所以.
【点睛】
本题主要考查了函数的周期性及转化能力，属于中档题。
38．（2019·哈尔滨德强学校高三期末）已知定义域为的函数，满足，且当时，，则____．
【答案】-1
【分析】
代换得到得到函数周期为，故，代入函数计算得到答案.
【详解】
，函数周期为
故答案为：
【点睛】
本题考查了求函数值，代换求出函数周期是解题的关键.
39．（2020·辽宁辽阳·（理））已知函数，给出以下四个命题：
①的图象关于轴对称；
②在上是减函数；
③是周期函数；
④在上恰有两个零点.
其中真命题的序号是______.（请写出所有真命题的序号）
【答案】①③④
【分析】
对于①利用奇偶性定义判断.对于②，根据，去掉绝对值得到，再利用正弦函数的性质判断.对于③利用周期性定义判断.对于④根据奇偶性，只研究当时即可.
【详解】
对于①，函数的定义域为，且满足，所以是定
义域在上的偶函数，其图象关于轴对称，①为真命题；
对于②，当时，，，
对于，，所以在上先减后增，那么
在上先增后减，②为假命题；
对于③，因为，函数
是周期为的周期函数，③为真命题；
对于④，当时，，，且
，在上恰有一个零点是，又由①知道是定义
在上的偶函数，所以在上有一个零点是，则④为真命题.
故答案为：①③④
【点睛】
本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
40．（2020·全国高三专题练习）已知函数，满足（，均为正实数），则的最小值为_____________
【答案】
【分析】
通过题目发现，然后利用倒序相加法求出，将转化为，展开，利用基本不等式即可求得最值.
【详解】
解：，
，
，
两式相加得：，，
，
故答案为：.
【点睛】
本题考查了利用基本不等式求最值，关键是要发现以及倒序相加求和，难度不大.
41．（2017·江苏高考模拟）已知函数是定义在R上的奇函数，若对任意给定的实数，恒成立，则不等式的解集是_________.
【答案】
【分析】
整理题中不等式可得，从而得函数是R上的减函数，由函数是定义在R上的奇函数，有，结合函数单调性，不等式转化为或，从而得解.
【详解】
对任意给定的实数，恒成立，
整理得：，即.
从而得函数是R上的减函数.
又函数是定义在R上的奇函数，有.
所以当时，，当时，.
所以不等式，有：或.
即或.
解得：.
故答案为.
【点睛】
本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.
42．（2019·四川石室中学）在研究函数的性质时，某同学受两点间距离公式启发将变形为，，并给出关于函数以下五个描述：
①函数的图像是中心对称图形；②函数的图像是轴对称图形；
③函数在[0,6]上是增函数；④函数没有最大值也没有最小值；
⑤无论m为何实数，关于x的方程都有实数根.
其中描述正确的是__________.
【答案】①③④
【解析】
由得
，故函数的图象关于对称，故①正确；由意义知当时，，当时，，故函数的图像是轴对称图形不成立，故②不正确；当时，单调增,单调减，故单调增，故③正确；设，，，由其几何意义可得表示，故当时，，当时，，故函数没有最大值也没有最小值，故④正确；当时，由④可知，方程无解，则⑤错误；故答案为①③④.
点睛：本题综合考查了函数的性质，综合性较强，运算量较大，综合考查学生的分析能力，解题时要注意等价转化思想的合理运用；利用中心对称和轴对称的定义和性质可准确判断出①②的正确性；利用函数单调性的定义可得增减型，结合三角形中两边之差小于第三边，可得到后三者的准确性.
43．（2018·上海市大同中学高三开学考试）已知函数，设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是__________．
【答案】
【详解】
根据题意，函数的 图象如图，
令，其图象与x轴相交于点，
在区间上为减函数，在上为增函数，
若不等式在上恒成立，则函数的图象在上的上方或相交，
则必有，即，可得.
44．（2022·全国高三专题练习）设函数 ，则使得 成立的的取值范围是__________.
【答案】
【分析】
先判断函数的奇偶性与单调性，然后利用函数的性质解不等式，即可求解.
【详解】
因为，所以，所以函数的定义域为且，
又，∴为偶函数.
当时，令，
∵ ，∴在上是增函数，
易知函数在上是增函数，∴在上是增函数.
又为偶函数，∴，
∴由，得，
解得，
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性与单调性及其应用，其中解答中根据根据的解析式得到函数的奇偶性和单调性是解答的关键，着重考查化归与转化能力和运算求解能力，属于中档试题．专题03 函数基本性质的灵活应用
一、考情分析
函数的性质是整个高中数学的核心内容,所有高中数学内容，都可以围绕这一主线考查学生。单调性与奇偶性更是高考的必考内容,在高考命题中函数常与方程、不等式等其他知识结合考查,而且考查的形式不一,简单的题目也有出现，但是压轴题目是肯定会对函数的性质进行考查的。
二、考点梳理
1．周期性的常用结论—对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x),则T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝,则T＝2a(a>0)．
(3)若f(x＋a)＝－,则T＝2a(a>0)．(4)若,则T＝6a(a>0)．
(5)若f(x＋a)＝,则T＝2a(a>0)．(6)若f(x＋a)＝,则T＝4a(a>0)．
2．函数对称性与函数周期性的关系（类比三角函数）
(1)若函数的图象既关于直线对称,又关于直线对称,则是周期函数,且是它的一个周期.
(2)若函数的图象既关于点对称,又关于点对称,则是周期函数,且是它的一个周期.
(3)若函数的图象既关于直线对称,又关于点对称,则是周期函数,且是它的一个周期.
3. 复合函数
设是定义在M上的函数,若与的单调性相反,则在M上是减函数；若与的单调性相同,则在M上是增函数,简称同增异减.
4. 对称性的一般结论
①若,则图像关于直线对称；
②，函数关于点 对称.
三、题型突破
(一) 函数单调性的灵活应用
例1.（1）．（2020·山西大附中（文））已知函数，满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
（2）．（2021·嘉峪关市第一中学高三（理））函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（3）．（2021·广东汕头·）已知是定义在R上的函数，满足.都有，且在上单调递增.若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-1】若函数是R是的单调递减函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【变式训练1-2】．（2020·全国高一课时练习）若函数在上是单调增函数，则的取值范围是____________．
【变式训练1-3】．（2021·云南民族中学高三月考（文））已知函数，若，则的大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
(二) 函数奇偶性的灵活应用
例2．（1）（2021·内蒙古包头·高三（文））设函数，则（ ）
A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减
（2）．（2014·湖南高考真题（理））已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则
A. B. C.1 D.3
（3）、已知函数,则使得的的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-1】．（2008·重庆高考真题（理））若定义在上的函数满足：对任意有则下列说法一定正确的是
A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数
【变式训练2-2】．（2015·全国高考真题（文））设函数,则使成立的的取值范围是
A． B．
C． D．
【变式训练2-3】．已知函数是奇函数，则方程的根为（　　）
函数对称性的灵活应用
例3．（1）（2022·全国高三专题练习）已知函数，则
A．在（0，2）单调递增 B．在（0，2）单调递减
C．的图像关于直线x=1对称 D．的图像关于点（1，0）对称
（2）．（2019·甘肃兰州市·兰州一中高三月考（文））函数f（x）=的大数图象为（　　）
A． B．
C． D．
（3）．（2019·陕西西安市·高考模拟（文））若定义在上的函数满足且时，，则方程的根的个数是
A． B．
C． D．
【变式训练3-1】、【2017届湖南师大附中高三上学期月考三】已知两定点和,动点在直线上移动,椭圆以为焦点且经过点,则椭圆的离心率的最大值为（ ）
A． B． C. D．
【变式训练3-2】、（2021·临澧县第一中学高一期末）设函数则使得f()>f(3x-1)成立的x的取值范围是___________.
【变式训练3-3】、（2019·广东中山纪念中学高三月考（文））函数的图像大致为
A． B．
C． D．
【变式训练3-4】已知定义在R上的函数满足为奇函数,函数关于直线对称,则下列式子一定成立的是（ ）
B.
C. D.
函数周期性的灵活应用
例4．（1）（2021·宜宾市翠屏区天立学校（文））已知函数是定义在上的奇函数，对任意的都有，当时，，则
A． B． C． D．
（2）．（2018·新疆乌鲁木齐市·高三（文））奇函数满足，当时，，则
A．-2 B． C． D．2
（3）．（2021·全国高一专题练习）已知定义在R上的函数满足，且为偶函数，若在内单调递减，则下面结论正确的是
A． B．
C． D．
【变式训练4-1】．（2018·德州跃华学校高中部高考模拟（理））已知定义在R上的函数满足：（1）；（2）；（3）时，.则大小关系
A． B．
C． D．
【变式训练4-2】．（2020·四川阆中中学）已知函数，则（ ）
A．在单调递增 B．在单调递减
C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称
【变式训练4-3】．（2021·六盘山高级中学高三（理））已知函数是上的满足，且的图象关于点对称，当时，，则的值为（ ）
A． B． C．0 D．1
(五) 函数性质的综合应用
例5．（1）（2022·全国高三专题练习）已知函数，则（ ）
A．4040 B．4038 C．2 D．9
（2）．（2021·全国高二课时练习）已知是上的奇函数，，，则数列的一个通项公式为（ ）．
A． B． C． D．
【变式训练5-1】．（2022·浙江高三专题练习）设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是
A． B．
C． D．
【变式训练5-2】．（2020·全国高三（理））已知函数，若，则实数的取值范围为__________．
【变式训练5-3】．（2019·安徽屯溪一中高一月考）已知，且方程无实数根，下列命题：
①方程也一定没有实数根；
②若，则不等式对一切实数都成立；
③若，则必存在实数，使
④若，则不等式对一切实数都成立．
其中正确命题的序号是 ．
【答案】①②④
【详解】
可以看作 ，而已知 无实数根，所以方程 无实根，∴命题①正确；
方程 无实根，∴ 或 ．若 ，则 对一切 成立．∴ ，用 代入，则 ，∴命题②正确；
同理若 ，则有 ，∴命题③错误；
∵ ，∴ ，∴必然归为 ，有 ，∴命题④正确．故答案为①②④
【变式训练5-4】．（2021·全国高三专题练习（文））定义在上的函数满足，当时，.若不等式对任意恒成立，则实数的最小值为___________.
四、迁移应用
A组 基础巩固
1．（2021·长春市基础教育研究中心（长春市基础教育质量监测中心）高三（文））已知函数，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·河南郑州·高三（理））已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·云南昆明一中高三（理））已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·嘉峪关市第一中学高三（文））函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2019·贵州高考模拟（理））已知为偶函数，对任意，恒成立，且当时，.设函数，则的零点的个数为
A． B． C． D．
6．（2019·武邑宏达学校高一期中）已知函数在上单调递减，且是偶函数，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．（2019·贵州贵阳·高考模拟（理））关于函数的下列结论，错误的是
A．图像关于对称
B．最小值为
C．图像关于点对称
D．在上单调递减
8．（2022·全国（文））奇函数满足，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2020·内江市市中区天立学校）已知函数，若，则（ ）
A．2 B．0 C． D．
10．（2020·广东金山中学高三月考）已知函数的定义域为是偶函数，，在上单调递减，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
11．（2021·全国）若函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
12．（2019·黑龙江哈尔滨市·高考模拟（文））已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是
A． B． C． D．或
13．（2021·全国高三（理））函数的部分图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（2014·全国高考真题（文））设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是奇函数 D．是奇函数
15．（2017·天津高考真题（理））已知奇函数，且在上是增函数.若，，，则a，b，c的大小关系为
A． B． C． D．
16．（2008·全国高考真题（理））设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为
A． B．
C． D．
17．（2015·天津高考真题（理））已知函数为偶函数，记 ， ，，则的大小关系为 (　　 )
A． B． C． D．
18．（2021·西藏拉萨中学高三月考（理））已知函数满足和,且当时,则
A．0 B．2 C．4 D．5
19．（2019·甘肃省甘谷第一中学高三月考（文））已知定义在上的偶函数对于上任意两个不相等实数和，都满足，若，则的大小关系为
A． B． C． D．
20．（2020·陕西高三（理））函数，若满足恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
21．（2019·四川成都市树德协进中学高二期中（理））已知函数，设，，，则
A． B． C． D．
22．（2020·四川省泸县第四中学高三开学考试（理））已知函数，则关于的不等式的解集为_______．
23．（2020·全国）已知函数对任意、，都有，则实数的取值范围为______．
B组 能力提升
24．（2021·广东广州·高二期中）已知函数，则其图像可能是（ ）
A．B．C． D．
25．（2020·贵州毕节·高三（理））若函数为偶函数，对任意，且，都有，则有
A． B．
C． D．
26．（2021·全国高三专题练习（理））已知定义在上的奇函数满足，，若且时，都有，则下列结论正确的是（ ）
A．图象关于直线对称 B．图象关于点中心对称
C．在上为减函数 D．在上为增函数
27．（2018·河南信阳市·信阳高中高三（文））已知是定义在上的偶函数，且时，均有，，则满足条件的可以是
A． B．
C． D．
28．（2021·全国高三专题练习（文））定义在上的函数满足，对任意的，，，恒有，则关于x的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
29．（2020·六安市城南中学高三月考（理））设定义在上的偶函数满足：，且当时，，若，，，则，，的大小关系为
A． B．
C． D．
30．（2021·云南红河·高三（理））函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
31．（2020·银川唐徕回民中学高三（理））已知函数的图象在点处的切线的斜率为，则函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
32．（2020·福建省长乐第一中学高三月考）已知函数且在上单调递增，且关于的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是___________．
33．（2021·全国高一单元测试）已知函数是定义在上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为___________.
34．（2020·合肥市第十中学高三月考（理））已知函数是R上的偶函数，对于都有成立，且，当，且时，都有．则给出下列命题：
①；
②函数图象的一条对称轴为；
③函数在[﹣9，﹣6]上为减函数；④方程在[﹣9，9]上有4个根；
其中正确的命题序号是___________.
35．（2018·安徽淮南市·高三（文））已知定义在上的函数满足，当时，则__________．
36．（2019·甘肃高三（理））已知定义在上的偶函数，满足，且在区间上是增函数，
①函数的一个周期为4；
②直线是函数图象的一条对称轴；
③函数在上单调递增，在上单调递减；
④函数在内有25个零点；
其中正确的命题序号是_____（注：把你认为正确的命题序号都填上）
37．（2019·山东省郓城第一中学高考模拟（文））如图，边长为1的正方形ABCD，其中边DA在x轴上，点D与坐标原点重合，若正方形沿x轴正向滚动，先以A为中心顺时针旋转，当B落在x轴上时，再以B为中心顺时针旋转，如此继续，当正方形ABCD的某个顶点落在x轴上时，则以该顶点为中心顺时针旋转．设顶点C（x，y）滚动时形成的曲线为y＝f（x），则f（2019）＝________．
38．（2019·哈尔滨德强学校高三期末）已知定义域为的函数，满足，且当时，，则____．
39．（2020·辽宁辽阳·（理））已知函数，给出以下四个命题：
①的图象关于轴对称；
②在上是减函数；
③是周期函数；
④在上恰有两个零点.
其中真命题的序号是______.（请写出所有真命题的序号）
40．（2020·全国高三专题练习）已知函数，满足（，均为正实数），则的最小值为_____________
41．（2017·江苏高考模拟）已知函数是定义在R上的奇函数，若对任意给定的实数，恒成立，则不等式的解集是_________.
42．（2019·四川石室中学）在研究函数的性质时，某同学受两点间距离公式启发将变形为，，并给出关于函数以下五个描述：
①函数的图像是中心对称图形；②函数的图像是轴对称图形；
③函数在[0,6]上是增函数；④函数没有最大值也没有最小值；
⑤无论m为何实数，关于x的方程都有实数根.
其中描述正确的是__________.
43．（2018·上海市大同中学高三开学考试）已知函数，设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是__________．
44．（2022·全国高三专题练习）设函数 ，则使得 成立的的取值范围是__________.

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