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对数与对数函数
【考纲解读】
理解对数和对数函数的定义；
掌握对数的性质，运算法则和基本方法；
掌握对数函数的图像和性质，能够运用对数函数图像和性质熟练解答相关的数学问题。
【知识精讲】
一、对数的概念：
1、对数的定义：
（1）对数的定义：如果=N（a＞0,且a≠1）,则称数x是以a为底N的对数；
（2）对数的表示：对数x可表示为x，这里的a是对数的底数，N是对数的真数；
（3）特殊对数：①以10为底的对数称为常用对数，它可表示为lgx；②以e为底的对数称为自然对数，它可表示为lnx。
2、对数的性质：
（1）负数和零没有对数；（2）1的对数等于0；（3）底的对数等于1。
3、理解对数定义应该注意的问题：
注意指数式=N与对数式N的关系，掌握两种式子相互转化的方法。
二、对数的运算：
1、对数的运算法则：
（1）MN=M+N； （2）=M-N；
（3）=nM(其中a＞0,且a≠1，M＞0，N ＞0)。
2、对数的换底公式：
M=(其中a＞0,且a≠1，b＞0,且b≠1，M＞0)；
3、对数问题中常用的关系式：
（1）bc=c； （2）b=； （3）=b；
（4）=N； （5）=N(其中a＞0,且a≠1，b＞0,且b≠1，c，N＞0)。
4、进行对数运算应该注意的问题：
（1）使用运算性质=nM时需要注意条件M＞0，如果问题中没有M＞0的条件，则=n|M|。
（2）注意对数恒等式=N，换底公式N=和=N在解答相关问题时的灵活运用。
三、对数函数：
1、对数函数的概念：
（1）对数函数的定义：形如y=x（a＞0,且a≠1）的函数，叫做对数函数；
（2）对数函数与指数函数的关系：①对数函数与指数函数互为反函数；②对数函数的图像与指数函数的图像关于直线y=x对称。
2、对数函数的图像：
（1）作出函数y=x的图像； （2）作出函数y= x的图像。
y y
0 1 x 0 1 x
『思考问题』
（1）作对数函数图像的三个关键点是：①（，-1），② （1，0），③ （a，1）；
（2）函数y=x(a＞1)的图像与函数x的图像类似，这是因为2>1；
（3）出函数y=x(0＜a＜1)的图像与函数 x的图像类似，这是因为0<<1；
（4）函数y=x与函数y=（a＞0且a≠1）的图像关于x轴对称；函数y=x与函数y= （a＞0且a≠1）的图像关于直线y=x对称。
3、对数函数的性质：
函 数 y=x（a＞1） y=x（0＜a＜1）
定义域 （0，+） （0，+）
值 域 R R
图像必过点 （1，0） （1，0）
函数的单调性 在区间（0，+）上单调递增 在区间（0，+）上单调递减
x(0,1) y （-，0） y（0，+）
x〔1,+∞) y 〔0，+） y（-，0］
【探导考点】
考点1对数的定义和运算：热点①对数定义及性质；热点②对数运算性质，对数换底公式和对数恒等式及运用；热点③ 对数运算的基本方法；
考点2对数函数的定义，图像和性质：热点①对数函数定义及运用；热点②对数函数图像及运用；热点③ 对数函数性质及运用；热点④对数函数图像和性质的综合运用；
考点3对数方程和不等式：热点①对数方程解答的基本方法；热点②对数不等式解答的基本方法。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、若a＞0，a1，x＞0，y＞0，x＞y，则下列式子中正确的个数是（ ）①x.y=（x+y）；②x-y=（x- y）；③ =x÷y；④（xy）=x.y。
A 0 B 1 C 2 D 3
2、计算25. 2. 9的结果为（ ）
A 3 B 4 C 5 D 6
3、22-+8的值为（ ）
A B 2 C 3 D
4、若lg2=a，lg3=b，则lg0.18= ；
5、已知2=m，3=n，则= ；
6、计算：= ；
7、求下列各式的值：
（1）； （2）lg。
（3）计算2+lg5+；
（4）计算；
（5）已知3=a，7=b，求；
，x≥4，
（6）已知函数f(x)= f(x+1)， x＜4，求f(2+3)的值；
8、利用对数的换底公式化简下列各式：
（1）9. 8. 25. 4； （2）b. a；
（3）（5+5）（2+2）。
『思考问题1』
（1）【典例1】是与对数运算相关的问题，解答这类问题应该掌握对数运算的基本性质，对数的换底公式和对数恒等式；
（2）运用对数的基本运算性质解答问题时应该注意：①对数运算性质成立的条件；②灵活运用公式，作为一个公式既要能够从左边用到右边，也要能够从右边用到左边；
（3）对数的换底公式主要用来解决底数不同的对数运算问题，对数的恒等式通常用于指数和对数的混合式子的运算；
（4）面对实际问题，到底是从左边用到右边还是从右边用到左边，必须依据问题给定的条件和需要解决的问题结合起来综合考虑。
〔练习1〕解答下列各题：
.=（ ）
A B C 2 D 4
已知2=a，=5，则用a，b表示为（ ）
A (a+b+1) B （a+b）+1 C (a+b+1) D +b+1
设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（）
A b. b=a B b. a=b
C bc=b. c D (b+c)= b+c
若a=3，则+= ；
5、若4. 8. m=16，则m等于 ；
6、lg+lg的值是 ；
7、利用对数的换底公式化简下列各式：
（1）3. 4. 5. 2； （2）（3+3）（2+2）；
（3）c. a。
8、计算下列各式的值：
（1）+lg50lg2； （2）（2+2）.( 3+3)；
（3）； （4）22-+8-125；
（5）+12-42-1； （6）+lg2.lg50+lg25。
（7）.（lg32-lg2）。
【典例2】解答下列问题：
1、下列函数是对数函数的是（ ）
A y=2x B y=(2x) （a＞0,且a≠1）C y=2x（a＞0,且a≠1）Dy=lnx
2、函数y= 的定义域是（ ）
A（-，2） B（2，+） C （2，3） （3，+） D （2，4） （4，+）
3、设f(x)=lg ，则f()+ f()的定义域为（ ）
A （-4，0）（0，4） B （-4，-1）（1，4）
C （-2，-1）（1，2） D （-4，-2）（2，4）
4、已知对数函数f(x)的图像过点（8，-3），则f(2)= 。
『思考问题2』
（1）【典例2】是对数函数概念及运用的问题，解答这类问题需要理解对数函数的定义，注意对数函数的底数和真数的条件限制，在对数的定义中，底数a必须满足两个条件：①大于0，②不等于1；真数N必须满足大于0的条件限制；
（2）【典例2】中2，3，两题是求对数函数定义域的问题，解答时需要理解函数定义域的定义，掌握求函数定义域的基本求法；
（3）【典例2】中1，4两题可直接运用对数函数的定义求解，在理解对数函数的定义时一定要注意定义中函数解析式的结构特征。
〔练习2〕解答下列各题：
1、已知函数f(x)= 的定义域为M，g(x)=ln(1+x)的定义域为N，则M N=（ ）
A {x|x＞1} B {x|x＜1} C {x|-1＜x＜1} D
若定义在（-1,0）内的函数f(x)= (x+1)＞0,则a的取值范围是（ ）
A (0，) B 〔0，〕 C (, +∞) D (0, +∞)
3、求下列函数的定义域：
（1）y= (-2x-3)； （2）y=； （3）y=（1-x）；
y=； （5）y= （6）y=。
【典例3】解答下列问题：
1、函数y=(x+2) +1（a＞0,且a≠1）的图像过定点（ ）
A （1，2） B （2，1） C （-2，1） D （-1，1）
2、函数y=lg(x+1)的图像大致是（ ）
2 y 2 y 2 y 2 y
1 1 1 1
0 1 2 x -1 0 1 2 x -1 0 1 2 x -1 0 1 2 x
A B C D
3、在同一坐标系中，函数y=x与y=x的图像之间的关系是（ ）
A 关于Y轴对称 B 关于X轴对称 C 关于原点对称 D 关于直线y=x对称
y
4、如图是对数函数y=x的图像，已知a的值为 1 D C B A
，，，，则图像，，，相应 0 1 x
的a值依次是（ ）
A ，，， B，，， C ，，，D ，，，
函数f(x)= 的图像大致是（ ）
2 y 2 y 2 y 2 y
1 1 1 1
0 1 2 x 0 1 2 x -1 0 1 2 x -1 0 1 2 x
A B C D
6、已知函数y=(x+c)（a，c为常数，其中a＞0,a≠1） y
的图像如图所示，则下列结论成立的是（ ） 0 1 x
A a＞1，c＞1 B a＞1，0＜c＜1 C 0＜a＜1，c＞1 D 0＜a＜1，0＜c＜1
7、当0＜x时，＜x，则实数a的取值范围是（ ）
A（0，） B（，1） C （1，） D（，2）
8、已知函数f(x)= |lgx|，0＜a＜b,且f(a)= f(b)，则a+2b的取值范围是（ ）
A （2，+） B［2，+） C（3，+） D ［3，+）
9、已知函数g(x)的图像沿x轴方向向左平移一个单位后，与函数f(x)= 的图像关于直线y=x对称，且g(19)=a+2，则函数y=(0＜x≤1)的值域为 ；
10、函数f(x)= （x+3）-1（a＞0且a≠1），的图像恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0,则+的最小值为 。
『思考问题3』
（1）【典例3】是对数函数的图像及运用的问题，解答这类问题需要熟悉对数函数的图像，注意底数a的不同取值对对数函数图像的影响；
（2）对数函数与指数函数互为反函数，其图像关于直线y=x对称；解答相关问题时注意分辨底数a的取值，确定问题涉及对数函数（或指数函数）图像两种基本类型的哪一种，再根据相关基本类型的特征去解答问题。
〔练习3〕解答下列问题：
若2＜0，（a＞0,且a≠1），则函数f(x)= （x+1）的图像大致是（ ）
y y y y
2 2 2 2
1 1 1 1
-1 0 1 2 x -1 0 1 2 x -1 0 1 2 x -1 0 1 2 x
A B C D
函数f(x)=|lg x|，若 a≠b,且f(a)=f(b)，则a+b的取值范围是（ ）
A （1，+ ） B ［1，+ ） C （2，+ ） D ［2，+ ）
3、已知f(x)= ，g(x)= x，其中a＞0,且a≠1，若f(3).g(3)＜0，则f(x)，g(x)在同一直角坐标系内的图像可能是（ ）
y y y y
2 2 2 2
1 1 1 1
-1 0 1 2 x -1 0 1 2 x -1 0 1 2 x -1 0 1 2 x
A -x+6，x＞10, B C D
4、已知函数f(x)= |lgx|，0＜x≤10，若a，b，c互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，则abc
的取值范围是（ ）
A （1，10） B （5，6） C （10，12） y D（20，24）
5、若函数f(x)= x（a＞0,且a≠1）的图像如图 1----------|
所示，则下列函数图像正确的是（ ） 0 3 x
y3 ------| y= y y= y y= y y=(-x)
2 | 2 2 2
1 | 1 ----| 1 --| 1
-1 0 1 2 x -1 0 1 2 x -1 0 1 2 x -3 | ---0 1 2 x
A B C | -1 D
【典例4】解答下列问题：
1、若a=，b=，c=，则下列结论正确的是（ ）
A b＜a＜c B a＜b＜c C c＜b＜a D b＜c＜a
2、已知0 ＜＜，则a，b 的关系是（ ）
A 0＜a＜b＜1 B 0＜b＜a＜1 C 1＜a＜b D 1＜b＜a
3、设a、b、c均为正数，且=a，=b，=c，则（ ）
A a＜b＜c B c＜b＜a C c＜a＜b D b＜a＜c
4、函数y=x在［1,2］上的值域是（ ）
A R B ［0,+ ） C （-,1］ D ［0,1］
5、设a=，b=，c=(x＞1)，则a，b，c的大小关系是（ ）
A a＜b＜c B b＜a＜c C c＜b＜a D b＜c＜a
6、已知函数f(x)与函数g(x)=互为反函数，则（ ）
A f(x)=lgx(xR) B f(x)=lgx(x＞0) C f(x)=lnx(xR) D f(x)=lnx(x＞0)
7、若函数f(x)= （-ax）（a＞0且a≠1）在区间（-，0）内单调递增，则a的取值范围是（ ）
A ［,1） B ［,1） C （，+） D （1, ）
8、已知x，y为正实数，则（ ）
A =+ B =.
C =+ D =.
9、如果函数f(x)= x，x 1，那么f(x)的值域为 ；
，x＜1，
10、已知函数f(x)= +x（a＞0且a≠1）在［1,2］上的最大值与最小值之和为2+6，则a的值为 ；
11、求函数f(x)= (2-5x+3)的单调区间；
12、已知函数f(x)= 〔3-〕，求函数f(x)的值域及单调区间；
13、已知函数f(x)= (-ax+1-a)在区间（-∞，1-〕上是单调递减函数，求实数a的取值范围。
14、已知函数f(x)= （a+2x+3）。
（1）若f(1)=1，求函数f(x)的单调区间；
（2）是否存在实数a，使函数f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由。
『思考问题4』
（1）【典例4】是对数函数的性质及应用问题，解答这类问题需要理解并掌握对数函数的性质，同时注意数形结合数学思想的灵活运用；
（2）解答比较对数函数值大小问题的基本方法是：①底数相同时，直接运用对数函数的性质得出结果；②底数不相同时，可借助于某一个常量作为比较标准，再得出结果；
（3）解答对数函数的应用问题的基本方法是：①分辨清楚问题的类型，建立相应的对数函数模型；②借助于对数函数的图像并结合对数函数的性质解答问题；③综合实际应用问题的实际意义得出结果。
（4）解答指数函数与对数函数综合问题的基本方法是：①图像法，在同一直角坐标系中分别作出问题涉及的所有函数的图像，借助于图像寻找结论；②代数法，分别运用指数函数，对数函数的性质求出问题中涉及的所有元素的取值范围，再根据结果得出结论。
〔练习4〕解答下列问题：
已知0＜x＜y＜a＜1，则有（ ）
A (xy)＜0 B0＜ (xy)＜1 C1＜(xy)＜2 D(xy)＞2
设a=2，b=3，c=，则（ ）
A a＜b＜c B a＜c＜b C b＜c＜a D b＜a＜c
求函数f(x)= （ax-3）在［1,3］上单调递增，则实数a的取值范围是（）
A （1，+） B （0,1） C （0, ） D （3,+ ）
4、若函数f(x)=lg(-2ax+1+a)在区间（- ，1］上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A ［ 1，2） B ［ 1，2］ C ［ 1，+ ） D ［2,+ ）
5、设函数f(x)= ，x1，则满足f(x) 2的x的取值范围是（ ）
A ［-1，2］ 1-x，x＞1， B ［ 0，2］ C ［1，+ ） D ［0,+ ）
6、如果x＞0成立，则x的取值范围是（ ）
A x＞ B ＜x＜1 C x＜1 D 0＜x＜1
7、若定义在（-1,0）内的函数f(x)= (x+1)＞0,则a的取值范围是（）
A (0，) B 〔0，〕 C (，+∞) D (0，+∞)
函数f(x)= (+x-6)的单调递减区间是 ；
9、已知函数f(x)=1+3，g(x)=22，试比较f(x)与g(x)的大小；
10、已知函数f(x)= 〔+2-+1〕(a、b∈)，如果f(x)＜0，求x的取值范围。
11、函数y=x，y=x，y=lgx的图像如图所示。
（1）试说明哪个函数对应于哪个图像，并说明理由； y ③ ②
（2）以已有图像为基础，在同一直角坐标系中画出 ①
y=x,y=x，y=x的图像； 0 1 x
从（2）的图中你发现了什么问题？
【典例5】解答下列问题：
1、函数f(x)的定义域为D，若满足：（1）函数f(x)在D内是单调函数；（2）存在〔m,n〕D，使f(x)在〔m,n〕上的值域为〔,〕，那么就称y=f(x)为“成功函数”，若函数f(x)= (+t) (a＞0,且a≠1)是“成功函数”，则t的取值范围为（ ）
A （0,+∞) B （-∞，) C （0, 〕 D （0, ）
2、设a＞1, 函数f(x)= x在区间［ a，2a］上的最大值与最小值之差为，则实数a等于（ ）
A B 2 C 2 D 4
3、已知函数f(x)= x，其中a∈｛a|20＜12a-｝.
（1）判断函数f(x)= x的增减性；
（2）若命题p：|f()|＜1-|f(2)|为真命题，求实数x的取值范围。
4、已知函数f(x)= 是奇函数（a＞0,且a≠1）。
（1）求m的值；
（2）判断f(x)在区间（1， +∞)上的单调性，并加以证明；
（3）当a＞1,x∈(r,a-2)时，f(x)的值域是（1， +∞)，求a与r的值。
5、已知函数f(x)= (-2ax+3)。
（1）若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；
（2）若f(-1)=-3，求函数f(x)的单调区间；
（3）是否存在实数a，使f(x)在（-∞，2）上为增函数？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由。
6、已知函数f(x)= ，h(x)= x，且h（18）=a+2，g(x)= -的定义域是〔0,1）。
（1）求g(x)的解析式；
（2）求g(x)的单调区间；
（3）求g(x)的值域；
7、已知函数f(x)=lg(m+4mx+3)。
（1）若函数f(x)的定义域为R，求实数m的取值范围；
（2）若函数f(x)的值域为R，求实数m的取值范围。
8、已知函数f(x)= （a＞0,且a≠1）。
（1）求函数f(x)的定义域；
（2）证明函数f(x)是奇函数；
（3）求使f(x)＞0成立的x的取值范围。
『思考问题5』
（1）【典例5】是对数函数的综合问题，解答对数函数的综合问题的基本方法是：①分辨清楚问题是由哪几个基本问题组合的；②对每一个基本问题进行逐一解答；③把各个基本问题综合起来得出问题的结果；
（2）【典例5】中的5题，8题涉及到对数函数的值域问题，解答这类问题的基本方法是：①确定对数底数取值，直接运用对数函数的性质得出结果，②底数不确定时，必须分两种情况分别求解，再综合得出结果；
（3）【典例5】中的5题，6题，8题，9题是复合函数问题，解答这类问题的基本方法是：①设出中间函数g(x)，在直角坐标系中作出函数g(x)的图像；②运用判断函数单调性的基本方法确定函数的单调区间；③利用复合函数单调性判断法则和基本方法，结合问题条件得到关于a的不等式组，求解不等式组就可得出问题的结果；
〔练习5〕解答下列问题：
1、如果x＞0成立，则x的取值范围是（ ）
A x＞ B ＜x＜1 C x＜1 D 0＜x＜1
函数f(x)= (+x-6)的单调递减区间是 ；
3、已知函数f(x)= - x+5，x［ 2，4］，当x= 时，f(x)有最大值 ；
当x= 时，f(x)有最小值 ；
4、已知函数f(x)= （0＜a＜1）。
（1）试判断f(x)的奇偶性；
（2）解不等式f(x) 3x。
5、已知f(x)= (a-)(a＞1).
（1）求f(x)的定义域，值域；
（2）判断函数f(x)的单调性，并证明；
（3）解不等式（-2）＞f(x)。
【典例6】解答下列问题：
1、若不等式-x＜0对x（0，）恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A ｛a|0＜a＜1｝ B｛a|≤a＜1｝ C ｛a|a＞1｝ D｛a|0＜a≤｝
2、不等式＞恰有三个整数解，则a的取值范围为（ ）
A〔，〕 B 〔，） C （1，〕 D （1，〕
3、若＜1，则实数a的取值范围是 ；
4、已知函数f(x)= x，x＞0，则不等式f(x)＞1的解集为 ；
，x≤0，
5、解关于x的方程lg(+2)=lgx+lg3；
6、解关于x的方程2lgx-lg(x-1)=lga；
7、解方程（x+4）-=0
8、设a＞0,且a≠1，若2＜a，求实数a的取值范围；
9、设a＞1，求不等式（x+1）≥0的解集；
『思考问题6』
（1）【典例6】是有关对数函数方程或不等式的问题，解答这类问题需要理解并掌握的是函数的性质，掌握解方程或不等式的基本方法；
（2）解答的是函数方程问题的基本方法是：①运用对数函数的性质把原方程转化为熟知的普通方程；②求解普通方程；③结合对数的定义得出结果；
（3）解答对数函数不等式问题的基本方法是：①运用对数函数的性质把原不等式转化为熟知的普通不等式；②求解普通不等式；③结合对数的定义得出结果；
（4）如果问题中涉及到二次函数或指数函数的方程或不等式时，解答的基本方法是：①把原方程转化为对数函数与二次函数(或指数函数)的等式（或不等式）；②在同一直角坐标系中分别作出对数函数，二次函数（或指数函数）的图像；③根据图像求出结果。
〔练习6〕解答下列问题：
已知方程x+lgx=3的解是，方程x+=3的解是，则+=（ ）
A 6 B 3 C 2 D 1
2、若A={xZ|2＜8},B={xR||x|＞1}，则A（B）的元素个数为（ ）
A 0 B 1 C 2 D 3
3、方程lg-lg（x+2）=0的解集是 ；
4、解关于x的方程（1-2）=2x+1；
5、解不等式（1-）＞1；
6、若函数y=（2x+1）在（-，0）上总有f(x) ＞0，求实数a的取值范围。
【典例7】解答下列问题：
1、已知a=2，b=3，c=，则下列判断正确的是（ ）（2021全国高考新高考II）
A c2、（理）已知函数f(x)= ，若a= f(ln2),b= f(-ln3),c= f(e),则a，b，c的大小关系为（ ）
A b>c>a B b>a>c C a>b>c D a>c>b
（文）已知函数f(x)=- +2|x|+3，若a= f(ln2),b= f(-ln3),c= f(e),则a，b，c的大小关系为（ ）(2021成都市高三零诊)
A b>a>c B b>c>a C a>b>c D a>c>b
3、已知实数a，b满足2>2>1，则（ ）（成都市2019级高三一诊）
A 14、在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v（单位：km/s）与燃料的质量M（单位：kg），火箭(除燃料外)的质量m（单位：kg）的函数关系是v=2000ln(1+)，当燃料质量与火箭质量的比值为时，火箭的最大速度可达到km/s，若要使火箭的最大速度达到2km/s，则燃料质量与火箭质量的比值应为（ ）（成都市2019级高三二诊）
A 2 B + C 2 D +2
5、（理）若函数f(x)= + 的零点为，则（-1）=（ ）
A B 1 C D 2
（文）若函数f(x)= x-x-lnx-1的零点个数为（ ）（成都市2019级高三三珍）
A 0 B 1 C 2 D 3
6、设a=ln，b= ，c =3，则a，b，c的大小关系为（ ）（成都市2020级高三零诊）
A b7、设a=0.1，b=，c=-ln0.9，则（ ）（2022全国高考新高考I卷）
A a8、若a=，b=2，c=lln2，则a，b，c的大小关系为（ ）（成都市高2021级2020
—2021学年度上期期末调研考试）
A a9、求lg + -ln的值（成都市高2021级2020—2021学年度上期期末调研考试）
10、计算210+0.25的值为（ ）（成都市高2020级2019—2020学年度上期期末调研考试）
A 5 B 3 C 2 D 0
11、设a=，b=0.5，c=cos3，则a，b，c的大小关系是（ ）（成都市高2020级2019—2020学年度上期期末调研考试）
A a>b>c B a>c>b C b>c>a D c>a>b
『思考问题7』
【典例7】是近几年考试试卷中对数与对数函数相关的问题，归结起来对数与对数函数问题主要包括：①对数的运算；②对数函数概念及运用；③对数函数图像及运用；④对数函数性质及运用；⑤对数函数的综合问题；⑥对数方程或不等式的解法等几种类型；
解答这类问题的基本方法是：①根据问题的结构特征，分辨清楚问题属于哪一种类型；
②运用该种类型问题的解答思路和方法实施解答；③得出问题的解答结果。
〔练习7〕解答下列问题：
设a=，b=ln，c=，则a，b，c的大小关系是（ ）(2021成都市高三一诊)
A a＞b＞c B a＞c＞b C c＞a＞b D c＞b＞a
计算+ - 3的值为 （2021成都市高三三诊）
3、已知函数f(x)= （a. - ）是偶函数，则a= （2021全国高考新高考I）
4、某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量p（mg/L）与时间t(h)之间的关系为p=,如果前2小时消除了20%的污染物，则污染物减少50%大约需要的时间为（ ）（参考数据：ln20.69,ln31.10,ln51.61）（2021成都市高三二诊）
A 4h B 6h C 8h D 10h
5、（理）已知定义在R上的函数f(x)满足f(2-x)= f(x+2)，当x 2时，函数f(x)=（x-1）-1，若关于x的方程f(x)-kx+2k-e+1=0有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A（- 2，0） （2，+）B（- 2，0） （0，2）C（- e，0） （e，+）D（- e，0） （0，e）（文）已知定义在R上的函数f(x)满足f(2-x)= f(x+2)，当x 2时，函数f(x)=x，若关于x的方程f(x)=k（x-2）+2有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）（2020成都市高三一诊）
A（- 1，0）（0，1）B（- 1，0）（1，+）C（- e，0）（0，e）D（- e，0）（e，
+）
6、a=，b=，c=0.4，则a，b，c的大小关系是（ ）（成都市高2019级2018—2019学年度上期期末调研考试）
A a7、已知函数f(x)= |lnx|，x>0，和g(x)=a（aR且为常数），有以下结论：①当a=4时，存
-+mx，x0，在实数m，使得关于x的方程f(x)=g(x)有四个不同的
实数根；②存在m[3，4]，使得关于x的方程f(x)=g(x)有三个不同的实数根；③当x>0时，若函数h(x)= (x)+bf(x)+c恰有三个不同的零点，，，则=1；④当m=-4时，关于x的方程f(x)=g(x)有四个不同的实数根，，，，且<<<，
若函数f(x)在[，]上的最大值为ln4，则sin(3+3+5+4)=1，其中正确结论的个数是（ ）（成都市高2019级2018—2019学年度上期期末调研考试）
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
计算：2lg5+lg+ （成都市高2019级2018—2019学年度上期期末调研考试）
对数与对数函数
【考纲解读】
理解对数和对数函数的定义；
掌握对数的性质，运算法则和基本方法；
掌握对数函数的图像和性质，能够运用对数函数图像和性质熟练解答相关的数学问题。
【知识精讲】
一、对数的概念：
1、对数的定义：
（1）对数的定义：如果=N（a＞0,且a≠1）,则称数x是以a为底N的对数；
（2）对数的表示：对数x可表示为x，这里的a是对数的底数，N是对数的真数；
（3）特殊对数：①以10为底的对数称为常用对数，它可表示为lgx；②以e为底的对数称为自然对数，它可表示为lnx。
2、对数的性质：
（1）负数和零没有对数；（2）1的对数等于0；（3）底的对数等于1。
3、理解对数定义应该注意的问题：
注意指数式=N与对数式N的关系，掌握两种式子相互转化的方法。
二、对数的运算：
1、对数的运算法则：
（1）MN=M+N； （2）=M-N；
（3）=nM(其中a＞0,且a≠1，M＞0，N ＞0)。
2、对数的换底公式：
M=(其中a＞0,且a≠1，b＞0,且b≠1，M＞0)；
3、对数问题中常用的关系式：
（1）bc=c； （2）b=； （3）=b；
（4）=N； （5）=N(其中a＞0,且a≠1，b＞0,且b≠1，c，N＞0)。
4、进行对数运算应该注意的问题：
（1）使用运算性质=nM时需要注意条件M＞0，如果问题中没有M＞0的条件，则=n|M|。
（2）注意对数恒等式=N，换底公式N=和=N在解答相关问题时的灵活运用。
三、对数函数：
1、对数函数的概念：
（1）对数函数的定义：形如y=x（a＞0,且a≠1）的函数，叫做对数函数；
（2）对数函数与指数函数的关系：①对数函数与指数函数互为反函数；②对数函数的图像与指数函数的图像关于直线y=x对称。
2、对数函数的图像：
（1）作出函数y=x的图像； （2）作出函数y= x的图像。
y y
0 1 x 0 1 x
『思考问题』
（1）作对数函数图像的三个关键点是：①（，-1），② （1，0），③ （a，1）；
（2）函数y=x(a＞1)的图像与函数x的图像类似，这是因为2>1；
（3）出函数y=x(0＜a＜1)的图像与函数 x的图像类似，这是因为0<<1；
（4）函数y=x与函数y=（a＞0且a≠1）的图像关于x轴对称；函数y=x与函数y= （a＞0且a≠1）的图像关于直线y=x对称。
3、对数函数的性质：
函 数 y=x（a＞1） y=x（0＜a＜1）
定义域 （0，+） （0，+）
值 域 R R
图像必过点 （1，0） （1，0）
函数的单调性 在区间（0，+）上单调递增 在区间（0，+）上单调递减
x(0,1) y （-，0） y（0，+）
x〔1,+∞) y 〔0，+） y（-，0］
【探导考点】
考点1对数的定义和运算：热点①对数定义及性质；热点②对数运算性质，对数换底公式和对数恒等式及运用；热点③ 对数运算的基本方法；
考点2对数函数的定义，图像和性质：热点①对数函数定义及运用；热点②对数函数图像及运用；热点③ 对数函数性质及运用；热点④对数函数图像和性质的综合运用；
考点3对数方程和不等式：热点①对数方程解答的基本方法；热点②对数不等式解答的基本方法。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、若a＞0，a1，x＞0，y＞0，x＞y，则下列式子中正确的个数是（ ）①x.y=（x+y）；②x-y=（x- y）；③ =x÷y；④（xy）=x.y。
A 0 B 1 C 2 D 3
【解析】
【知识点】①对数定义与性质；②对数运算性质及运用。
【解题思路】根据对数的性质，运用对数运算性质，结合问题条件对各等式的正确或错误进行判断就可得出选项。
【详细解答】对①，x.y（x+y），①错误；对②，=x
-y（x- y） ，②错误；对③，=x-yx÷y，③错误；对④，（xy）=x+yx.y，④错误，4个式子都是错误的，没有一个正确，A正确，选A。
2、计算25. 2. 9的结果为（ ）
A 3 B 4 C 5 D 6
【解析】
【知识点】①对数定义与性质；②对数换底公式及运用。
【解题思路】根据对数性质，运用对数换底公式，结合问题条件通过运算求出25. 2. 9的值就可得出选项。
【详细解答】25.= =，2==， 9=
=，25. 2. 9==6，D正确，选D。
3、22-+8的值为（ ）
A B 2 C 3 D
【解析】
【知识点】①对数定义与性质；②对数运算性质及运用。
【解题思路】根据对数的性质，运用对数运算性质，结合问题条件通过运算求出22
-+8的值就可得出选项。
【详细解答】=32-9=52-2，8=32，22-
+8=22-52+2+32=2，B正确，选B。
4、若lg2=a，lg3=b，则lg0.18= ；
【解析】
【知识点】①对数定义与性质；②对数运算性质及运用。
【解题思路】根据对数性质，运用对数运算性质，结合问题条件通过运算就可求出lg0.18的值。
【详细解答】0.18==，lg2=a，lg3=b， lg0.18= lg= lg= lg2+ lg9- lg100= lg2+2 lg3-2=a+2b-2。
5、已知2=m，3=n，则= ；
【解析】
【知识点】①对数定义与性质；②指数定义与性质；③指数与对数互化的基本方法；④指数运算的法则和基本方法。
【解题思路】根据指数和对数的性质，运用指数与对数互化的基本方法把已知的对数化为指数，利用指数运算法则和基本方法，通过运算就可求出的值。
【详细解答】2=m，3=n，=2，=3，=.=.
=3=43=12。
6、计算：= ；
【解析】
【知识点】①对数定义与性质；②对数运算性质及运用。
【解题思路】根据对数的性质，运用对数运算性质，结合问题条件通过运算就可求出式子的值。
【详细解答】===，18=3+
6=3+1，==（2+3+1）=（6+1）=2=1。
7、求下列各式的值：
（1）； （2）lg。
（3）计算2+lg5+；
（4）计算；
（5）已知3=a，7=b，求；
，x≥4，
（6）已知函数f(x)= f(x+1)， x＜4，求f(2+3)的值；
【解析】
【知识点】①对数定义与性质；②对数运算性质及运用；③换底公式及运用；④分段函数定义与性质；⑤求分段函数函数值的基本方法。
【解题思路】根据对数和分段函数的性质，运用对数运算性质，换底公式和求分段函数函数值的基本方法，结合问题条件通过运算就可分别求出各小题的值。
【详细解答】（1）====，=
=202=201=20；（2）=， lg= lg= lg10=1=；（3）
=lg=lg2，2+lg5+=2+lg2.lg5
+=lg2(2lg2+.lg5)+ =lg2(lg2+.lg5)+
=lg2. lg25+|lg2-1|=lg2+1-lg2=1；（4）=
=，==，=（2
++）=4==22=221=4；（5）3==
=，2===，3=a，7=b，=
=====；
（6）2<3<4，1<3<2，3<2+3<4，4<3+3<5， f(2+3)= f(1+2+3)
= f(3+3)= = = = = = 。
8、利用对数的换底公式化简下列各式：
（1）9. 8. 25. 4； （2）b. a；
（3）（5+5）（2+2）。
【解析】
【知识点】①对数定义与性质；②对数运算性质及运用；③换底公式及运用。
【解题思路】根据对数的性质，运用对数运算性质和换底公式，结合问题条件通过运算就可分别化简各小题。
【详细解答】（1）9==，8==，25==，
4==，9. 8. 25. 4==12；
（2）b.= ，a=，b. a==1；（3）5+5
=+=+==，2+2=+=+
==，（5+5）（2+2）==。
『思考问题1』
（1）【典例1】是与对数运算相关的问题，解答这类问题应该掌握对数运算的基本性质，对数的换底公式和对数恒等式；
（2）运用对数的基本运算性质解答问题时应该注意：①对数运算性质成立的条件；②灵活运用公式，作为一个公式既要能够从左边用到右边，也要能够从右边用到左边；
（3）对数的换底公式主要用来解决底数不同的对数运算问题，对数的恒等式通常用于指数和对数的混合式子的运算；
（4）面对实际问题，到底是从左边用到右边还是从右边用到左边，必须依据问题给定的条件和需要解决的问题结合起来综合考虑。
〔练习2〕解答下列各题：
1、.=（ ） （答案：D）
A B C 2 D 4
2、已知2=a，=5，则用a，b表示为（ ）（答案：A）
A (a+b+1) B （a+b）+1 C (a+b+1) D +b+1
3、设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（）（答案：B）
A b. b=a B b. a=b
C bc=b. c D (b+c)= b+c
4、若a=3，则+= ；（答案：+=。）
5、若4. 8. m=16，则m等于 ；（答案m=9。）
6、lg+lg的值是 ；（答案：、lg+lg的值是1。）
7、利用对数的换底公式化简下列各式：
（1）3. 4. 5. 2；（2）（3+3）（2+2）；（3）c. a。
（答案：（1）1；（2）；（3）1。）
8、计算下列各式的值：
（1）+lg50lg2； （2）（2+2）.( 3+3)；
（3）； （4）22-+8-125；
（5）+12-42-1； （6）+lg2.lg50+lg25。
（7）.（lg32-lg2）。（答案：（1）1；（2）；（3）；（4）-1；（5）-；（6）2；（7）1+5。）
【典例2】解答下列问题：
1、下列函数是对数函数的是（ ）
A y=2x B y=(2x) （a＞0,且a≠1）C y=2x（a＞0,且a≠1）Dy=lnx
【解析】
【知识点】①对数函数定义与性质；②对数函数的结构特征。
【解题思路】根据对数函数的性质，运用对数函数的结构特征，结合问题条件，对各选项进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A， y=2x=，不符合对数函数的结构特征，A错误；对B， y=（2x），不符合对数函数的结构特征，B错误；对C， y=2x=，不符合对数函数的结构特征，C错误；对D， y=lnx是以e为底的自然对数，D是对数函数，D正确，选D。
2、函数y= 的定义域是（ ）
A （-，2） B （2，+） C （2，3） （3，+）D （2，4） （4，+）
【解析】
【知识点】①对数函数定义与性质；②求函数定义域的基本方法。
【解题思路】根据对数函数的性质，运用求函数定义域的基本方法，结合问题条件，得到关于x的不等式组，求解不等式组求出函数y= 的定义域就可得出选项。
【详细解答】函数y= 有意义，必有x-2>0①，且x-21②，联立①②解得：
x>2，且x3，函数y= 的定义域为（2，3） （3，+），C正确，选C。
3、设f(x)=lg ，则f()+ f()的定义域为（ ）
A （-4，0）（0，4） B （-4，-1）（1，4）
C （-2，-1）（1，2） D （-4，-2）（2，4）
【解析】
【知识点】①对数函数定义与性质；②求函数定义域的基本方法；③已知函数f(x)的定义域，求函数f（g(x)）定义域的基本方法。
【解题思路】根据对数函数的性质，运用求函数定义域的基本方法，结合问题条件得到关于x的不等式组，求解不等式组求出函数f(x)=lg 的定义域，利用已知函数f(x)的定义域，求函数f（g(x)）定义域的基本方法求出函数f()+ f()的定义域就可得出选项。
【详细解答】函数f(x)=lg 有意义，必有>0①，且2-x0②，联立①②解得：
-24、已知对数函数f(x)的图像过点（8，-3），则f(2)= 。
【解析】
【知识点】①对数函数定义与性质；②求函数解析式的基本方法；③已知函数解析式，求函数值的基本方法。
【解题思路】根据对数函数的性质，运用求函数解析式的基本方法，结合问题条件求出函数f(x)的解析式，利用已知函数解析式，求函数值的基本方法就可求出f(2)的值。
【详细解答】设对数函数f(x)= x（a＞0,且a≠1），对数函数f(x)的图像过点（8，-3），-3=8，a=，对数函数f(x)= x， f(2)=2=
===-=-。
『思考问题2』
（1）【典例2】是对数函数概念及运用的问题，解答这类问题需要理解对数函数的定义，注意对数函数的底数和真数的条件限制，在对数的定义中，底数a必须满足两个条件：①大于0，②不等于1；真数N必须满足大于0的条件限制；
（2）【典例2】中2，3，两题是求对数函数定义域的问题，解答时需要理解函数定义域的定义，掌握求函数定义域的基本求法；
（3）【典例2】中1，4两题可直接运用对数函数的定义求解，在理解对数函数的定义时一定要注意定义中函数解析式的结构特征。
〔练习2〕解答下列各题：
1、已知函数f(x)= 的定义域为M，g(x)=ln(1+x)的定义域为N，则M N=（ ）
A {x|x＞1} B {x|x＜1} C {x|-1＜x＜1} D （答案：C）
2、若定义在（-1,0）内的函数f(x)= (x+1)＞0,则a的取值范围是（ ）（答案：A）
A (0，) B 〔0，〕 C (, +∞) D (0, +∞)
3、求下列函数的定义域：
（1）y= (-2x-3)； （2）y=； （3）y=（1-x）；
（答案：（1）（-，-1） （3，+）；（2）（-，0） （0，+）；（3）（-，1）。）
y=； （5）y= （6）y=。
（答案：（4）（-，）；（5）（0，1） （1，+）；（6）当a>1时，（-，2]；当0【典例3】解答下列问题：
1、函数y=(x+2) +1（a＞0,且a≠1）的图像过定点（ ）
A （1，2） B （2，1） C （-2，1） D （-1，1）
【解析】
【知识点】①对数函数定义与性质；②对数函数图像及运用。
【解题思路】根据对数函数的性质，运用对数函数图像，结合问题条件求出函数y图像所过的定点就能得出选项。
【详细解答】函数y=x（a＞0,且a≠1）的图像必过点（1，0），当x=-1，即x+2=-1+2=1时，函数y=(x+2) +1=0+1=1，函数y=(x+2) +1（a＞0,且a≠1）的图像必过点（-1，1），D正确，选D。
2、函数y=lg(x+1)的图像大致是（ ）
【解析】
【知识点】①对数函数定义与性质；②对数函数的图像及运用。
【解题思路】根据对数函数的性质，运用对数函数图像，结合问题条件可直接排除A，B，由函数y=lg(x+1)的图像是函数y=lgx的图像向左平移1个单位而得到，确定出函数y=lg(x+1)的大致图像就能得出选项。
【详细解答】10>1，A，B都不正确，可以排除，函数y=lg(x+1)的图像是函数y=lgx的图像向左平移1个单位而得到，函数y=lg(x+1)的大致图像为C，C正确，选C。
3、在同一坐标系中，函数y=x与y=x的图像之间的关系是（ ）
A 关于Y轴对称 B 关于X轴对称 C 关于原点对称 D 关于直线y=x对称
【解析】
【知识点】①对数函数定义与性质；②对数函数的图像及运用。
【解题思路】根据对数函数的性质，运用对数函数的图像，结合问题条件确定函数y=x与y=x的图像的对称关系就能得出选项。
【详细解答】=，函数y=x与y=x的图像关于x轴对称，B正确，选B。
如图是对数函数y=x的图像，已知a的值为，，，，则图像，，
，相应的a值依次是（ ）
A ，，， B，，， C ，，，D ，，，
【解析】
【知识点】①对数函数定义与性质；②对数函数的图像及运用。
【解题思路】如图，作直线y=1与图像，，，分别交于点A，B，C，D，根据对数函数的性质，运用对数函数的图像，确定出图像，，，相应的a的值，就能得出选项。
【详细解答】如图，作直线y=1与图像，，，分别交于点A，B，C，D， 由图知，图像，，，相应的a的大小关系为：图像的底数>的底数>的底数>的底数，图像相应的a=，相应的a=， 相应的a=，相应的a=，A正确，选A。
5、函数f(x)= 的图像大致是（ ）
【解析】
【知识点】①对数函数定义与性质；②对数函数的图像及运用。
【解题思路】根据对数函数的性质，运用对数函数的图像，结合问题条件求出函数f(x)的定义域为（-，0） （0，+），可排除A，B，由2>1得到函数f(x)在（0，+ ）上单调递增，从而得到函数f(x)大致图像就能得出选项。
【详细解答】函数f(x)的定义域为（- ，0）（0，+ ），图像A，B不正确，可以排除A，B，2>1，函数f(x)在（0，+ ）单调递增，函数f(x)大致图像是D，D正确，选D。 y
6、已知函数y=(x+c)（a，c为常数，其中a＞0,a≠1）
的图像如图所示，则下列结论成立的是（ ） 0 1 x
A a＞1，c＞1 B a＞1，0＜c＜1 C 0＜a＜1，c＞1 D 0＜a＜1，0＜c＜1
【解析】
【知识点】①对数函数定义与性质；②对数函数的图像及运用。
【解题思路】根据对数函数的性质，运用对数函数图像，结合问题条件可知00，得到0【详细解答】由图像可知00，07、当0＜x时，＜x，则实数a的取值范围是（ ）
A （0，） B （，1） C （1，） D （，2）
【解析】
【知识点】①对数函数定义与性质；②对数函数的图像及运用；③指数函数定义与性质；④指数函数的图像及运用。
【解题思路】在同一直角坐标系中作出函数y=，函数y=x的图像，根据对数函数和指数函数的性质，运用对数函数河指数函数的图像，结合问题条件得到关于a的不等式组，求解不等式组求出a的取值范围就可得出选项。
【详细解答】在同一直角坐标系中作出函数y=，函数y=x的图像，当0＜x时，＜x，0=2②，联立①②解得：8、已知函数f(x)= |lgx|，0＜a＜b,且f(a)= f(b)，则a+2b的取值范围是（ ）
A （2，+） B ［2，+） C （3，+） D ［3，+）
【解析】
【知识点】①对数函数定义与性质；②对数函数的图像及运用；③基本不等式及运用。
【解题思路】作出函数f(x)= |lgx|的图像如图所示，根据对数函数的性质，运用对数函数的图像，结合问题条件可知01，从而得出ab=1，利用基本不等式求出a+2b的取值范围就可得出选项。
【详细解答】作出函数f(x)= |lgx|的图像如图所示，0＜a＜b,且f(a)= f(b)，01， f(a)= -lga，f(b)=lgb, -lga=lgb, lga+lgb=lgab=0，ab=1，a=，>0，2b>0，a+2b=+2b22，B正确，选B。
9、已知函数g(x)的图像沿x轴方向向左平移一个单位后，与函数f(x)= 的图像关于直线y=x对称，且g(19)=a+2，则函数y=(0＜x≤1)的值域为 ；
【解析】
【知识点】①对数函数定义与性质；②对数函数的图像及运用；③指数函数定义与性质；④指数函数的图像及运用；⑤求函数解析式的基本方法；⑥求函数值域的基本方法。
【解题思路】根据对数函数和指数函数的性质，运用对数函数河指数函数的图像，结合问题条件求出函数g(x)的解析式，从而求出a的值得到函数y=的解析式，利用求函数值域的基本方法就可求出函数y=当0＜x≤1的值域。
【详细解答】函数g(x)的图像沿x轴方向向左平移一个单位后，与函数f(x)= 的图像关于直线y=x对称， g(x+1)= x， g(x)= （x-1）， g(19)= （19-1）=18=2+2=a+2，a=2，函数y== = ，0＜x≤1，1<≤2，当0＜x≤1时，函数y=的值域为（1，2]。
10、函数f(x)= （x+3）-1（a＞0且a≠1），的图像恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0,则+的最小值为 。
【解析】
【知识点】①对数函数定义与性质；②对数函数的图像及运用；③基本不等式及运用。
【解题思路】根据对数函数的性质，运用对数函数的图像，结合问题条件求出点A的坐标，由点A在直线mx+ny+1=0上，得到关于m，n的等式，利用基本不等式就可求出+的最小值。
【详细解答】函数f(x)= （x+3）-1（a＞0且a≠1），的图像恒过定点A，点A
（-2，-1），点A在直线mx+ny+1=0上，mn＞0, -2m-n+1=0，2m+n=1，且m＞0,
n＞0, +=（+）（2m+n）=2+++2=4++4+28，+的最小值为8。
『思考问题3』
（1）【典例3】是对数函数的图像及运用的问题，解答这类问题需要熟悉对数函数的图像，注意底数a的不同取值对对数函数图像的影响；
（2）对数函数与指数函数互为反函数，其图像关于直线y=x对称；解答相关问题时注意分辨底数a的取值，确定问题涉及对数函数（或指数函数）图像两种基本类型的哪一种，再根据相关基本类型的特征去解答问题。
〔练习3〕解答下列问题：
若2＜0，（a＞0,且a≠1），则函数f(x)= （x+1）的图像大致是（ ）（答案：B）
2、函数f(x)=|lg x|，若 a≠b,且f(a)=f(b)，则a+b的取值范围是（ ）（答案：C）
A （1，+ ） B ［1，+ ） C （2，+ ） D ［2，+ ）
3、已知f(x)= ，g(x)= x，其中a＞0,且a≠1，若f(3).g(3)＜0，则f(x)，g(x)在同一直角坐标系内的图像可能是（ ）（答案：C）
y y y y
2 2 2 2
1 1 1 1
-1 0 1 2 x -1 0 1 2 x -1 0 1 2 x -1 0 1 2 x
A -x+6，x＞10, B C D
4、已知函数f(x)= |lgx|，0＜x≤10，若a，b，c互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，则abc
的取值范围是（ ）（答案：C）
A （1，10） B （5，6） C （10，12） y D（20，24）
5、若函数f(x)= x（a＞0,且a≠1）的图像如图 1----------|
所示，则下列函数图像正确的是（ ）（答案：B） 0 3 x
y3 ------| y= y y= y y= y y=(-x)
2 | 2 2 2
1 | 1 ----| 1 --| 1
-1 0 1 2 x -1 0 1 2 x -1 0 1 2 x -3 | ---0 1 2 x
A B C | -1 D
【典例4】解答下列问题：
1、若a=，b=，c=，则下列结论正确的是（ ）
A b＜a＜c B a＜b＜c C c＜b＜a D b＜c＜a
【解析】
【知识点】①对数函数的图像及运用；②对数函数性质及运用；③比较实数大小的基本方法。
【解题思路】根据对数函数的性质，运用对数函数的图像和比较实数大小的基本方法，结合问题确定出a，b，c的大小关系就可得出选项。
【详细解答】 c==6=，2<<3，1< c=< a=，
0< b=<1， b＜c＜a,，D正确，选D。
2、已知0 ＜＜，则a，b 的关系是（ ）
A 0＜a＜b＜1 B 0＜b＜a＜1 C 1＜a＜b D 1＜b＜a
【解析】
【知识点】①对数函数的图像及运用；②对数函数性质及运用；③比较实数大小的基本方法。
【解题思路】根据对数函数的性质，运用对数函数的图像和比较实数大小的基本方法，结合问题条件确定出a，b的大小关系就可得出选项。
【详细解答】0 ＜＜，13、设a、b、c均为正数，且=a，=b，=c，则（ ）
A a＜b＜c B c＜b＜a C c＜a＜b D b＜a＜c
【解析】
【知识点】①对数函数的图像及运用；②对数函数的性质及运用；③指数函数的图像及运用；④指数函数的性质及运用；⑤比较实数大小的基本方法。
【解题思路】在同一直角坐标系中作出函数y=，y= ，y=x，y=x的图像，四个函数图像的交点分别为A，B，C，根据对数函数和指数函数的性质，运用对数函数和指数函数的图像，利用比较实数大小的基本方法，确定出a，b，c的大小关系就可得出选项。
【详细解答】在同一直角坐标系中作出函数y=，y= ，y=x，y=x的图像，四个函数图像的交点分别为A，B，C，=a，=b，=c，点A，B，C的横坐标分别为a，b，c，由图知a4、函数y=x在［1,2］上的值域是（ ）
A R B ［0,+ ） C （-,1］ D ［0,1］
【解析】
【知识点】①对数函数的图像及运用；②对数函数性质及运用；③求函数值域的基本方法。
【解题思路】根据对数函数的性质，运用对数函数的图像和求函数值域的基本方法，结合问题条件求出函数y=x在［1,2］上的值域就可得出选项。
【详细解答】2>1，x［1,2］0≤x≤1，D正确，选D。
5、设a=，b=，c=(x＞1)，则a，b，c的大小关系是（ ）
A a＜b＜c B b＜a＜c C c＜b＜a D b＜c＜a
【解析】
【知识点】①对数函数的图像及运用；②对数函数性质及运用；③指数函数的图像及运用；④指数函数性质及运用；⑤比较实数大小的基本方法。
【解题思路】根据对数函数和指数函数的性质，运用对数函数和指数函数的图像，利用比较实数大小的基本方法，结合问题条件确定a，b，c的大小关系就可得出选项。
【详细解答】1< a==<，0 (x＞1)
=2， b＜a＜c，B正确，选B。
6、已知函数f(x)与函数g(x)=互为反函数，则（ ）
A f(x)=lgx(xR) B f(x)=lgx(x＞0) C f(x)=lnx(xR) D f(x)=lnx(x＞0)
【解析】
【知识点】①对数函数性质及运用；②指数函数性质及运用；③指数函数与对数函数的关系。
【解题思路】根据对数函数和指数函数的性质，运用指数函数与对数函数互为反函数的关系，结合问题条件求出函数f(x)的解析式就可得出选项。
【详细解答】函数f(x)与函数g(x)= 互为反函数，函数f(x)= lnx(x＞0)，D正
确，选D。
7、若函数f(x)= （-ax）（a＞0且a≠1）在区间（-，0）内单调递增，则a的取值范围是（ ）
A ［,1） B ［,1） C （，+） D （1, ）
【解析】
【知识点】①对数函数性质及运用；②复合函数定义与性质；③判断复合函数单调性的法则和基本方法；④导函数定义与性质；⑤运用导函数判断函数单调性的基本方法。
【解题思路】根据对数函数和复合函数的性质，运用判断复合函数单调性的法则和基本方法，利用导函数判断函数单调性的基本方法，结合问题条件，由函数f(x) 在区间（-，0）内单调递增得到关于a的不等式组，求解不等式组求出实数a的取值范围就可得出选项。
【详细解答】设g(x)= -ax ，①当a>1时，=3-a，函数f(x)= （-ax）（a＞0且a≠1）在区间（-，0）内单调递增， g(x)>0，0在区间（-，0）上恒成立， g(x)>0，且a3在区间（-，0）上恒成立，a0，与题设不符合；②当00，0在区间（-，0）上恒成立， g(x)>0，且a3在区间（-，0）上恒成立，a<1，综上所述，若函数f(x)= （-ax）（a＞0且a≠1）在区间（-，0）内单调递增，则a的取值范围是［,1），B正确，选B。
8、已知x，y为正实数，则（ ）
A =+ B =.
C =+ D =.
【解析】
【知识点】①对数定义与性质；②指数定义与性质；③指数的运算法则和基本方法；④对数的运算法则和基本方法。
【解题思路】根据对数和指数的性质，运用指数与对数的运算法则和基本方法，结合问题条件对各选项式子的正确货错误进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A，=.+，A错误；对B，lg(x+y) lgx+lgy，
=.， B错误；对C，=+，C错误；对D， ==.，D正确，选D。
9、如果函数f(x)= x，x 1，那么f(x)的值域为 ；
【解析】 ，x＜1，
【知识点】①对数函数定义与性质；②指数函数定义与性质；③分段函数定义与性质；④求分段函数值域的基本方法。
【解题思路】根据对数函数，指数函数和分段函数的性质，运用求分段函数值域的基本方法就可求出函数f(x)的值域。
【详细解答】当x 1时，函数f(x)= x的值域为（- ，0]，当x＜1时，函数f(x)=的值域为（0，1），函数f(x)的值域（- ，1）。
10、已知函数f(x)= +x（a＞0且a≠1）在［1,2］上的最大值与最小值之和为2+6，则a的值为 ；
【解析】
【知识点】①对数函数性质及运用；②指数函数性质及运用；③函数最值定义与性质；④求函数最值的基本方法。
【解题思路】根据对数函数和指数函数的性质，运用求函数最值的基本方法，结合问题条件得到关于a的方程，求解方程就可求出实数a的值。
【详细解答】①当a>1时，函数f(x)= +x（a＞0且a≠1）在［1,2］上单调递增，
= f(2)= +2，= f(1)=a+1=a，+= +
2+a=2+6，+a-6=0，a=2；②当011、求函数f(x)= (2-5x+3)的单调区间；
【解析】
【知识点】①对数函数性质及运用；②复合函数定义与性质；③判断复合函数单调性的法则和基本方法。
【解题思路】运用对数函数的性质，判断复合函数单调性的法则与基本方法，结合问题条件就可求出函数f(x)= (2-5x+3)的单调区间。
【详细解答】设g(x)= 2-5x+3，作出函数g(x)的图像如图所示，由图知函数f(x)的定义域为（- ，-）（3，+ ），函数g(x)在（- ，-）上单调递减，在（3，+ ）上单调递增，①当a>1时，函数f(g(x))在（- ，-），（3，+ ）上单调递增，函数f(x) 在（- ，-）上单调递减，在（3，+ ）上单调递增；②当01时，函数f(x) 在（- ，-）上单调递减，在（3，+ ）上单调递增；当012、已知函数f(x)= 〔3-〕，求函数f(x)的值域及单调区间；
【解析】
【知识点】①对数函数性质及运用；②复合函数的定义与性质；③判断复合函数单调性的法则与基本方法；④求函数值域的基本方法。
【解题思路】根据对数函数和复合函数的性质，运用判断复合函数单调性的法则河基本方法，结合问题条件就可求出函数f(x)= (2-5x+3)的单调区间；利用对数函数的性质和求函数值域的基本方法就可求出函数f(x)的值域。
【详细解答】设g(x)= 3- ，作出函数g(x)的图像如图所示，由图知函数f(x)的定义为（1-，1+），函数g(x)在（1-，1）上单调递增，在（1，1+）上单调递减，函数f(g(x))在（1-，1+）上单调递减，函数f(x) 在（1-，1）上单调递减，在（1，1+）上单调递增；函数g(x)的值域为（0，3]，函数f(x)= 〔3-的值域为[-1，+）。
13、已知函数f(x)= (-ax+1-a)在区间（-∞，1-〕上是单调递减函数，求实数a的取值范围。
【解析】
【知识点】①对数函数性质及运用；②复合函数定义与性质；③判断复合函数单调性的法则和基本方法。
【解题思路】根据对数函数和复合函数的性质，运用判断复合函数单调性的法则和基本方法，结合问题条件得到关于a的不等式组，求解不等式组就可求出实数a的取值范围。
【详细解答】设g(x)= -ax-1-a，函数f(x)= (-ax+1-a)在区间（-∞，1-〕上是单调递减函数，1-①，且-a（1-）+1-a>0②，联立①②解得：
2-2a<4+，若函数f(x)= (-ax+1-a)在区间（-∞，1-〕上是单调递减函数，则实数a的取值范围是[2-2，4+）。
14、已知函数f(x)= （a+2x+3）。
（1）若f(1)=1，求函数f(x)的单调区间；
（2）是否存在实数a，使函数f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由。
【解析】
【知识点】①对数函数性质及运用；②复合函数定义与性质；③判断复合函数单调性的法则和基本方法；④求探索性问题的基本方法；⑤求函数最值的基本方法。
【解题思路】（1）根据f(1)=1得到关于a的方程，求解方程求出a的值，运用对数函数和复合函数的性质，利用判断复合函数单调性的法则和基本方法，结合问题条件就可求出函数f(x)的单调区间；（2）根据求解探索性问题的基本方法，得到关于a的不等式与方程，联立求解不等式与方程就可得出结论。
【详细解答】（1） f(1)=1，a+21+3=4，a=-1，设g(x)= -+2x+3，作出函数g(x)的图像如图所示，由图知函数f(x)的定义域为（-1，3），函数g(x)在（-1，1）是单调递增，在（1，3）上单调递减，函数f(g(x))在（-1，3）上单调递增，函数f(x) 在（-1，1）是单调递增，在（1，3）上单调递减；（2）设存在实数a，使函数f(x)的最小值为0，h(x)=a+2x+3，函数f(x)的最小值为0，函数h(x)的最小值为1，a>0①，且
=1②，联立①②解得：a=，存在实数a=，使函数f(x)的最小值为0。
『思考问题4』
（1）【典例4】是对数函数的性质及应用问题，解答这类问题需要理解并掌握对数函数的性质，同时注意数形结合数学思想的灵活运用；
（2）解答比较对数函数值大小问题的基本方法是：①底数相同时，直接运用对数函数的性质得出结果；②底数不相同时，可借助于某一个常量作为比较标准，再得出结果；
（3）解答对数函数的应用问题的基本方法是：①分辨清楚问题的类型，建立相应的对数函数模型；②借助于对数函数的图像并结合对数函数的性质解答问题；③综合实际应用问题的实际意义得出结果。
（4）解答指数函数与对数函数综合问题的基本方法是：①图像法，在同一直角坐标系中分别作出问题涉及的所有函数的图像，借助于图像寻找结论；②代数法，分别运用指数函数，对数函数的性质求出问题中涉及的所有元素的取值范围，再根据结果得出结论。
〔练习4〕解答下列问题：
1、已知0＜x＜y＜a＜1，则有（ ）（答案：D）
A (xy)＜0 B0＜ (xy)＜1 C1＜(xy)＜2 D(xy)＞2
2、设a=2，b=3，c=，则（ ）（答案：B）
A a＜b＜c B a＜c＜b C b＜c＜a D b＜a＜c
3、求函数f(x)= （ax-3）在［1,3］上单调递增，则实数a的取值范围是（）（答案：A）
A （1，+） B （0,1） C （0, ） D （3,+ ）
4、若函数f(x)=lg(-2ax+1+a)在区间（- ，1］上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A ［ 1，2） B ［ 1，2］ C ［ 1，+ ） D ［2,+ ）（答案：A）
5、设函数f(x)= ，x1，则满足f(x) 2的x的取值范围是（ ）（答案：D）
A ［-1，2］ 1-x，x＞1， B ［ 0，2］ C ［1，+ ） D ［0,+ ）
6、如果x＞0成立，则x的取值范围是（ ）（答案：D）
A x＞ B ＜x＜1 C x＜1 D 0＜x＜1
7、若定义在（-1,0）内的函数f(x)= (x+1)＞0,则a的取值范围是（）（答案：A）
A (0，) B 〔0，〕 C (，+∞) D (0，+∞)
8、函数f(x)= (+x-6)的单调递减区间是 ；（答案：函数f(x)的单调递减区间是（2,+ ）。）
9、已知函数f(x)=1+3，g(x)=22，试比较f(x)与g(x)的大小；（答案：当0时，f(x)>g(x)；当x=时，f(x)=g(x)；当110、已知函数f(x)= 〔+2-+1〕(a、b∈)，如果f(x)＜0，求x的取值范围。（答案：当a>b>0时，若f(x)＜0，则x的取值范围是 (（-1），+∞)；当a=b>0时，若f(x)＜0，则x的取值范围是R；当b>a>0时，若f(x)＜0，则x的取值范围是 (-∞，（-1）)。）
11、函数y=x，y=x，y=lgx的图像如图所示。
（1）试说明哪个函数对应于哪个图像，并说明理由； y ③ ②
（2）以已有图像为基础，在同一直角坐标系中画出 ①
y=x,y=x，y=x的图像； 0 1 x
（3）从（2）的图中你发现了什么问题？（答案：（1）函数y=x对应图像 ③ ，函数y=x对应图像②，函数y=lgx对应图像①；（2）作出函数y=x,y=x，y=x的图像如图所示；（3）当底数大于零小于一时，对数函数的底数越小，图像越靠近y轴。）
【典例5】解答下列问题：
1、函数f(x)的定义域为D，若满足：（1）函数f(x)在D内是单调函数；（2）存在〔m,n〕D，使f(x)在〔m,n〕上的值域为〔,〕，那么就称y=f(x)为“成功函数”，若函数f(x)= (+t) (a＞0,且a≠1)是“成功函数”，则t的取值范围为（ ）
A （0,+∞) B （-∞，) C （0, 〕 D （0, ）
【解析】
【知识点】①“成功函数”定义与性质；②对数函数性质及运用；③指数函数性质及运用；④求函数值域的基本方法。
【解题思路】根据“成功函数”和对数函数的性质，结合问题条件得到t关于x的函数，运用求函数值域的基本方法求出该函数的值域，从而得出t的取值范围就可得出选项。
【详细解答】函数f(x)= (+t) (a＞0,且a≠1)是“成功函数”， 对任意的x[m，n]，都有f(x)= (+t)= ，方程+t= 有两个不同的实数根，设g(x)= -，u=（u>0），方程t= g(u)= u- 有两个不同的正实数根，=-=-
=，作出函数g(u)的图像如图所示，由图知，02、设a＞1, 函数f(x)= x在区间［ a，2a］上的最大值与最小值之差为，则实数a等于（ ）
A B 2 C 2 D 4
【解析】
【知识点】①对数函数性质及运用；②求函数最值的基本方法。
【解题思路】根据对数函数的性质，运用求函数最值的基本方法，结合问题条件得到关于a的方程，求解方程求出实数a的值就可得出选项。
【详细解答】 a＞1, 函数f(x)= x在区间［ a，2a］上单调递增，
=f(2a)= (2a)= 2+1，= f(a)= a=1，-=2+1-1
=2=，a==4，D正确，选D。
3、已知函数f(x)= x，其中a∈｛a|20＜12a-｝.
（1）判断函数f(x)= x的增减性；
（2）若命题p：|f()|＜1-|f(2)|为真命题，求实数x的取值范围。
【解析】
【知识点】①对数函数性质及运用；②求解不等式的基本方法；③绝对值定义与性质；④判断命题真假的基本方法。
【解题思路】根据绝对值和对数函数的性质，运用求解不等式的基本方法，求出a的取值范围，从而就可判断函数f(x)= x的单调性；（2）根据绝对值和对数函数的性质，结合问题条件得到关于x的不等式，求解不等式就可求出实数x的取值范围。
【详细解答】（1） a∈｛a|20＜12a-｝=｛a|2＜a<10｝，函数f(x)= x在定义域上单调递增；（2）|f()|＜1-|f(2)||f()|+|f(2)|＜1，①当0|f(2)|＜1，（2x）>-1，（2x）>，2x>， x> ；②
≤x<1时，|f()|+|f(2)|=-+2=2，|f()|+|f(2)|
＜1，2<1，2=+2=2+2=x+2=（2x），|f()|+|f(2)|
＜1，（2x）<1，（2x）4、已知函数f(x)= 是奇函数（a＞0,且a≠1）。
（1）求m的值；
（2）判断f(x)在区间（1， +∞)上的单调性，并加以证明；
（3）当a＞1,x∈(r,a-2)时，f(x)的值域是（1， +∞)，求a与r的值。
【解析】
【知识点】①对数函数性质及运用；②奇函数的性质及运用；③判断复合函数单调性的法则与基本方法；④求函数值域的基本方法。
【解题思路】（1）根据奇函数和对数函数的性质，结合问题条件得到关于m的方程，求解方程就可求出m的值；( 2）根据判断复合函数单调性的法则和基本方法，就可判断函数f(x)在区间（1， +∞)上的单调性；（3）由（2）可知，当a＞1时,函数f(x)在区间(r,a-2)上单调递减，根据求函数值域的基本方法，结合问题条件得到关于r，a的方程组，求解方程组就可求出a与r的值。
【详细解答】（1）函数f(x)= 是奇函数， f(-x)= =-
=，=，==0在定义域上恒成立，m=1或m=-1，当m=1时，==-1<0不符合题意，m=-1；（2）由（1）得f(x)= ，设g(x)= ，函数g(x)= =1+在区间（1， +∞)上的单调递减，①当a＞1时,函数f(g(x)) 在区间（1， +∞)上的单调递增，函数f(x)在区间（1， +∞)上的单调递减；②当0＜a＜1时，函数f(g(x)) 在区间（1， +∞)上的单调递减，函数f(x)在区间（1， +∞)上的单调递增，综上所述，当a＞1时, 函数f(x)在区间（1， +∞)上的单调递减；当0＜a＜1时，函数f(x)在区间（1， +∞)上的单调递增；（2）当a＞1,x∈(r,a-2)时，f(x)的值域是（1， +∞)， f(x)= >1，
>a，即>0，<0①， f(x)= = f(x)= （1+ ），①当x>1时，1+>1， f(x)>0；②当x<1时，0<1+<1， f(x)<0，
函数f(x)的值域是（1， +∞)， x>1，由①解得：15、已知函数f(x)= (-2ax+3)。
（1）若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；
（2）若f(-1)=-3，求函数f(x)的单调区间；
（3）是否存在实数a，使f(x)在（-∞，2）上为增函数？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由。
【解析】
【知识点】①对数函数性质及运用；②求函数定义域的基本方法；③一元二次函数定义与性质；④判断复合函数单调性的基本方法；⑤求解探索性问题的基本方法。
【解题思路】（1）运用求函数定义域的基本方法和对数函数的性质得到关于a的不等式，求解不等式就可求出实数a的取值范围；（2）由f(-1)=-3求出实数a的值，运用判断复合函数单调性的法则与基本方法就可求出函数f(x)的单调区间；（3）利用求解探索性问题的基本方法得到关于实数a的不等式组，求解不等式组就可得出结论。
【详细解答】（1）函数f(x)的定义域为R，-2ax+3>0在R上恒成立，=4-12<0，
-f(-1)= (1+2a+3)= (4+2a)=-3，4+2a=8，a=2， f(x)= (-4x+3)，设
g(x)= -4x+3，作出函数g(x)的图像如图所示，由图知，函数f(x)的定义域为（-∞，1) （3， +∞)，函数g(x)在（-∞，1)上单调递减，在（3， +∞)上单调递增，函数f(g(x))在（-∞，1)，（3， +∞)上单调递减，函数f(x)在（-∞，1)上单调递增，在（3， +∞)上单调递减；（3）设存在实数a，使f(x)在（-∞，2）上为增函数，g(x)= -2ax+3，函数f(x)在（-∞，2）上为增函数，函数f(g(x))在（-∞，2)上单调递减，函数g(x)在（-∞，2)上单调递减，a2①，且g(2)= 4-4a+30②，联立①②解得：a，不存在实数a，使f(x)在（-∞，2）上为增函数。
6、已知函数f(x)= ，h(x)= x，且h（18）=a+2，g(x)= -的定义域是〔0,1）。
（1）求g(x)的解析式；
（2）求g(x)的单调区间；
（3）求g(x)的值域；
【解析】
【知识点】①对数函数性质及运用；②求函数解析式的基本方法；③指数函数性质及运用；④判断函数单调性的基本方法；⑤数学换元法及运用；⑥求函数值域的基本方法。
【解题思路】（1）根据h（18）=a+2，得到关于a的方程，求解方程求出a的值，把a的值代入函数g(x)的解析式就可求出函数g(x)的解析式；（2）根据判断函数单调性的基本方法就可求出函数g(x)单调区间；（3）利用求函数值域的基本方法就可求出函数g(x)的值域。
【详细解答】（1） h（18）==18=2+2=a+2，a=2， ==，
函数g(x)= -=-；（2）设t=，t（0， +∞)， g(t)=t- ，作出函数g(t)的图像如图所示，由图知函数g(t)在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减； x（-∞，-1)时，t（0，），x（-1，+∞)时，t（，+∞），函数g(x)在（-∞，-1)上单调递增，在（-1，+∞)上单调递减；（3）由（2）知g(t)=t- =-+，
= g()=0+=，函数g(x)的值域为（-∞，]。
7、已知函数f(x)=lg(m+4mx+3)。
（1）若函数f(x)的定义域为R，求实数m的取值范围；
（2）若函数f(x)的值域为R，求实数m的取值范围。
【解析】
【知识点】①对数函数性质及运用；②求函数定义域的基本方法；③一元二次函数函数性质及运用；④求函数值域的基本方法。
【解题思路】（1）根据对数函数的性质，运用求函数定义域的基本方法得到关于m的不等式组，求解不等式组就可求出实数m的取值范围；（2）根据求函数值域的基本方法得到函数g(x)的值域，运用一元二次函数的性质得到关于m的不等式组，求解不等式组就可求出实数m的取值范围。
【详细解答】（1）函数f(x)的定义域为R， m+4mx+3>0在R上恒成立，m>0①，且=16-12m<0②，联立①②解得：00③，且=16-12m0④，联立③④解得：m，若函数f(x)的值域为R，则实数m的取值范围[，+∞)。
8、已知函数f(x)= （a＞0,且a≠1）。
（1）求函数f(x)的定义域；
（2）证明函数f(x)是奇函数；
（3）求使f(x)＞0成立的x的取值范围。
【解析】
【知识点】①对数函数性质及运用；②求函数定义域的基本方法；③判断函数奇偶性的基本方法；④求解不等式的基本方法。
【解题思路】（1）根据对数函数的性质，运用求函数定义域的基本方法得到关于x的不等式，求解不等式就可求出函数f(x)的定义域；（2）根据判断函数奇偶性的基本方法对函数f(x)的奇偶性进行判断就可证明结论；（3）根据底数a的不同取值和对数函数的性质，得到关于x的不等式，求解不等式就可求出使f(x)＞0成立的x的取值范围。
【详细解答】（1）函数f(x)有意义，必有>0，即-11时， f(x)＞0，>1，01时，使f(x)＞0成立的x的取值范围是（0，1）；当0『思考问题5』
（1）【典例5】是对数函数的综合问题，解答对数函数的综合问题的基本方法是：①分辨清楚问题是由哪几个基本问题组合的；②对每一个基本问题进行逐一解答；③把各个基本问题综合起来得出问题的结果；
（2）【典例5】中的5题，8题涉及到对数函数的值域问题，解答这类问题的基本方法是：①确定对数底数取值，直接运用对数函数的性质得出结果，②底数不确定时，必须分两种情况分别求解，再综合得出结果；
（3）【典例5】中的5题，6题，8题，9题是复合函数问题，解答这类问题的基本方法是：①设出中间函数g(x)，在直角坐标系中作出函数g(x)的图像；②运用判断函数单调性的基本方法确定函数的单调区间；③利用复合函数单调性判断法则和基本方法，结合问题条件得到关于a的不等式组，求解不等式组就可得出问题的结果；
〔练习5〕解答下列问题：
1、如果x＞0成立，则x的取值范围是（ ）（答案：D）
A x＞ B ＜x＜1 C x＜1 D 0＜x＜1
2、函数f(x)= (+x-6)的单调递减区间是 ； （答案：函数f(x)在（-∞，-3）上单调递增，在（2， +∞)上单调递减。）
3、已知函数f(x)= - x+5，x［ 2，4］，当x= 时，f(x)有最大值 ；
当x= 时，f(x)有最小值 ；（答案：当x=4时，f(x)有最大值7；当x=2时，f(x)有最小值。）
4、已知函数f(x)= （0＜a＜1）。
（1）试判断f(x)的奇偶性；（答案：函数f(x)是奇函数；）
（2）解不等式f(x) 3x。
（答案：不等式f(x) 3x的解集为[，1]。）
5、已知f(x)= (a-)(a＞1).
（1）求f(x)的定义域，值域； （答案：函数f(x)的定义域为（-∞，1））， 值域为 （-∞，1）。）
（2）判断函数f(x)的单调性，并证明；（答案：函数f(x)在（-∞，1））上单调递减。）
（3）解不等式（-2）＞f(x)。（答案：不等式（-2）＞f(x)的解集为（-1，2）。）
【典例6】解答下列问题：
1、若不等式-x＜0对x（0，）恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A ｛a|0＜a＜1｝ B｛a|≤a＜1｝ C ｛a|a＞1｝ D｛a|0＜a≤｝
【解析】
【知识点】①对数函数性质及运用；②对数函数的图像及运用；③一元二次函数的性质及运用；④一元二次函数的图像及运用；⑤求解不等式的基本方法。
【解题思路】设f(x)= x，g(x)= ，根据对数函数和一元二次函数的性质，运用函数f(x)，g(x)的图像，结合问题条件得到关于实数a的不等式组，求解不等式组求出实数a的取值范围就可确定选项。
【详细解答】设f(x)= x，g(x)= ，根据题意可知0解得：≤a＜1，B正确，选B。
2、不等式＞恰有三个整数解，则a的取值范围为（ ）
A〔，〕 B 〔，） C （1，〕 D （1，〕
【解析】
【知识点】①对数函数性质及运用；②对数函数的图像及运用；③一元二次函数性质及运用；④一元二次函数的图像及运用；⑤求解不等式的基本方法。
【解题思路】设f(x)= x，g(x)= ，根据对数函数和一元二次函数的性质，运用函数f(x)，g(x)的图像，结合问题条件得到关于实数a的不等式组，求解不等式组求出实数a的取值范围就可得出选项。
【详细解答】设f(x)= x，g(x)= ，根据题意可知a>1，在同一直角坐标系中作出函数f(x)，g(x) 的图像如图所示，不等式＞恰有三个整数解，由图得：a>1①，f(4)= 4> g(4)= =9②，f(5)= 5≤g(5)= =16③，联立①②③解得：≤a<，B正确，选B。
3、若＜1，则实数a的取值范围是 ；
【解析】
【知识点】①对数函数性质及运用；②求解不等式的基本方法。
【解题思路】根据对数函数的性质，结合问题条件得到关于a的不等式，运用求解不等式的基本方法就可求出实数a的取值范围。
【详细解答】＜1＜a，①当a>1时，显然不等式 ＜a，成立；②当04、已知函数f(x)= x，x＞0，则不等式f(x)＞1的解集为 ；
，x≤0，
【解析】
【知识点】①对数函数性质及运用；②分段函数定义与性质；③求解不等式的基本方法。
【解题思路】根据对数函数和分段函数的性质，结合问题条件分别得到关于x的不等式，运用求解不等式的基本方法就可求出不等式f(x)＞1的解集。
【详细解答】①当x＞0时，不等式f(x)＞1，x>，0时，不等式f(x)＞1，>，x+1>0，-15、解关于x的方程lg(+2)=lgx+lg3；
【解析】
【知识点】①对数函数性质及运用；②求解方程的基本方法。
【解题思路】根据对数函数的性质，结合问题条件得到关于x的方程，运用求解方程的基本方法就可求出方程lg(+2)=lgx+lg3的解。
【详细解答】方程lg(+2)=lgx+lg3=lg3x，+2=3x，x=1或x=2，方程lg(+2)=lgx+lg3的解是x=1或x=2。
6、解关于x的方程2lgx-lg(x-1)=lga；
【解析】
【知识点】①对数函数性质及运用；②求解方程的基本方法。
【解题思路】根据对数函数的性质，结合问题条件得到关于x的方程，运用求解方程的基本方法就可求出方程2lgx-lg(x-1)=lga的解。
【详细解答】方程2lgx-lg(x-1)=lg-lg(x-1)=lg=lga，a>0①，且x-1>0②，且
=a③，联立①②③解得：当01；当a>4，即=-4a,>0时，x= 或x= ，综上所述，当a=4时，方程2lgx-lg(x-1)=lga的解为x=2，当a>4时，方程2lgx-lg(x-1)=lga的解为x= 或x= 。
7、解方程（x+4）-=0
【解析】
【知识点】①对数函数性质及运用；②指数函数性质及运用；③求解方程的基本方法。
【解题思路】根据对数函数和指数函数的性质，结合问题条件在同一直角坐标系中分别作出函数f(x)= （x+4），函数g(x)= 的图像，根据图像就可求出方程（x+4）-=0的解。
【详细解答】方程（x+4）-=0，方程（x+4）=，设函数f(x)= （x+4），函数g(x)= ，在同一直角坐标系中分别作出函数f(x)，g(x)的图像如图所示，由图知方程（x+4）-=0有两解，-3< <-2，0< <1。
8、设a＞0,且a≠1，若2＜a，求实数a的取值范围；
【解析】
【知识点】①对数函数性质及运用；②求解不等式的基本方法。
【解题思路】根据对数函数的性质，结合问题条件得到关于x的不等式，运用求解不等式的基本方法就可求出不等式2＜a的解。
【详细解答】①当11，02时，0<2<1，a>1，2＜a成立；③当0-1，2＜a不成立；④当9、设a＞1，求不等式（x+1）≥0的解集；
【解析】
【知识点】①对数函数性质及运用；②求解不等式的基本方法。
【解题思路】根据对数函数的性质，结合问题条件得到关于x的不等式，运用求解不等式的基本方法就可求出不等式式（x+1）≥0的解。
【详细解答】 a＞1，不等式（x+1）≥0，（x+1）≥1， x+1≥1， x≥0，不等式（x+1）≥0的解集为[0，+∞）。
『思考问题6』
（1）【典例6】是有关对数函数方程或不等式的问题，解答这类问题需要理解并掌握的是函数的性质，掌握解方程或不等式的基本方法；
（2）解答的是函数方程问题的基本方法是：①运用对数函数的性质把原方程转化为熟知的普通方程；②求解普通方程；③结合对数的定义得出结果；
（3）解答对数函数不等式问题的基本方法是：①运用对数函数的性质把原不等式转化为熟知的普通不等式；②求解普通不等式；③结合对数的定义得出结果；
（4）如果问题中涉及到二次函数或指数函数的方程或不等式时，解答的基本方法是：①把原方程转化为对数函数与二次函数(或指数函数)的等式（或不等式）；②在同一直角坐标系中分别作出对数函数，二次函数（或指数函数）的图像；③根据图像求出结果。
〔练习6〕解答下列问题：
1、已知方程x+lgx=3的解是，方程x+=3的解是，则+=（ ）（答案：B）
A 6 B 3 C 2 D 1
2、若A={xZ|2＜8},B={xR||x|＞1}，则A（B）的元素个数为（ ）
A 0 B 1 C 2 D 3 （答案：D）
3、方程lg-lg（x+2）=0的解集是 ；（答案：{-1，2}。）
4、解关于x的方程（1-2）=2x+1；（答案：x=-1.）
5、解不等式（1-）＞1；（答案：当a>1时，不等式（1-）＞1的解集为（，0）；当06、若函数y=（2x+1）在（-，0）上总有f(x) ＞0，求实数a的取值范围。（答案：
实数a的取值范围是（-，-1）（1，）。）
【典例7】解答下列问题：
1、已知a=2，b=3，c=，则下列判断正确的是（ ）（2021全国高考新高考II）
A c【解析】
【考点】①对数定义与性质；②求对数值的基本方法；③实数比较大小的基本方法。
【解题思路】根据对数的性质和求对数值的基本方法，分别求出a，b的近似值，运用实数比较大小的基本方法，得到a，b，c的大小关系就可得出选项。
【详细解答】 1<2<，0< a=2<，3>， b=3> =， c=， a2、（理）已知函数f(x)= ，若a= f(ln2),b= f(-ln3),c= f(e),则a，b，c的大小关系为（ ）
A b>c>a B b>a>c C a>b>c D a>c>b
（文）已知函数f(x)=- +2|x|+3，若a= f(ln2),b= f(-ln3),c= f(e),则a，b，c的大小关系为（ ）(2021成都市高三零诊)
A b>a>c B b>c>a C a>b>c D a>c>b
【解析】
【考点】①函数求值的基本方法；②对数定义与性质；③实数大小比较的基本方法。
【解答思路】（理）根据函数求值的基本方法和对数的性质，结合问题条件分别求出a，b，c的值，运用实数大小比较的基本方法得出a，b，c的大小关系就可得出选项。（文）根据函数求值的基本方法和对数的性质，结合问题条件分别求出a，b，c的值，运用实数大小比较的基本方法得出a，b，c的大小关系就可得出选项。
【详细解答】（理） a= f(ln2)= <0，b= f(-ln3)= >0，a0，，c>a，可以排除B，A正确，选A。（文）b- a= f(-ln3)- f(ln2)= -(-ln3) +2ln3+3 +( ln2) -2ln2-3=（ ln2+ ln3）（ln2- ln3）-2（ln2- ln3）=（ln2- ln3）（ ln2+ ln3-2）>0， b>a，可以排除C，D，a- c= f(ln2)- f(e)= -( ln2) +2ln2+3 +-2e-3=（e+ ln2）(e- ln2)-2(e- ln2)= (e- ln2) （e+ ln2-2）>0，，a>c，可以排除B，A正确，选A。
3、已知实数a，b满足2>2>1，则（ ）（成都市2019级高三一诊）
A 1【解析】
【考点】①对数定义与性质；②实数比较大小的基本方法。
【解题思路】根据对数的性质，运用实数比较大小的基本方法，得出1，a，b，2的大小关系就可得出选项。
【详细解答】实数a，b满足2>2>1， 2>b>a＞1，B正确，选B。
4、在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v（单位：km/s）与燃料的质量M（单位：kg），火箭(除燃料外)的质量m（单位：kg）的函数关系是v=2000ln(1+)，当燃料质量与火箭质量的比值为时，火箭的最大速度可达到km/s，若要使火箭的最大速度达到2km/s，则燃料质量与火箭质量的比值应为（ ）（成都市2019级高三二诊）
A 2 B + C 2 D +2
【解析】
【考点】①对数定义与性质；②函数解析式定义与性质；④已知函数解析式与函数值，确定自变量值的基本方法。
【解题思路】根据对数和函数解析式的性质，运用函数解析式和已知函数解析式，函数值，确定自变量值的基本方法得到关于的方程，求解方程求出的值就可得出选项。
【详细解答】当燃料质量与火箭质量的比值为时，火箭的最大速度可达到km/s， =2000ln(1+)，v=2000ln(1+)=2=22000ln(1+), ln(1+)=2ln(1+)
=ln， 1+=，=+2,D正确，选D。
5、（理）若函数f(x)= + 的零点为，则（-1）=（ ）
A B 1 C D 2
（文）若函数f(x)= x-x-lnx-1的零点个数为（ ）（成都市2019级高三三珍）
A 0 B 1 C 2

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