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第二十届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答、评分标准
一、参考解答
令表示质子的质量，和分别表示质子的初速度和到达a球球面处的速度，表示元电荷，由能量守恒可知
（1）
因为a不动，可取其球心为原点，由于质子所受的a球对它的静电库仑力总是通过a球的球心，所以此力对原点的力矩始终为零，质子对点的角动量守恒。所求的最大值对应于质子到达a球表面处时其速度方向刚好与该处球面相切（见复解20-1-1）。以表示的最大值，由角动量守恒有
（2）
由式（1）、（2）可得
（3）
代入数据，可得
（4）
若把质子换成电子，则如图复解20-1-2所示，此时式（1）中改为。同理可求得
（5）
评分标准：本题15分。
式（1）、（2）各4分，式（4）2分，式（5）5分。
二、参考解答
在温度为时，气柱中的空气的压强和体积分别为
， （1）
（2）
当气柱中空气的温度升高时，气柱两侧的水银将被缓慢压入A管和B管。设温度升高到时，气柱右侧水银刚好全部压到B管中，使管中水银高度增大
（3）
由此造成气柱中空气体积的增大量为
（4）
与此同时，气柱左侧的水银也有一部分进入A管，进入A管的水银使A管中的水银高度也应增大，使两支管的压强平衡，由此造成气柱空气体积增大量为
（5）
所以，当温度为时空气的体积和压强分别为
（6）
（7）
由状态方程知
（8）
由以上各式，代入数据可得
K （9）
此值小于题给的最终温度K，所以温度将继续升高。从这时起，气柱中的空气作等压变化。当温度到达时，气柱体积为
（10）
代入数据可得
（11）
评分标准：本题15分。
求得式（6）给6分，式（7）1分，式（9）2分，式（10）5分，式（11）1分。
三、参考解答
位于通道内、质量为的物体距地心为时（见图复解20-3），它受到地球的引力可以表示为
， （1）
式中是以地心为球心、以为半径的球体所对应的那部分地球的质量，若以表示地球的密度，此质量可以表示为
（2）
于是，质量为的物体所受地球的引力可以改写为
（3）
作用于质量为的物体的引力在通道方向的分力的大小为
（4）
（5）
为与通道的中垂线间的夹角，为物体位置到通道中
点的距离，力的方向指向通道的中点。在地面上物体的重力可以表示为
（6）
式中是地球的质量。由上式可以得到
（7）
由以上各式可以求得
（8）
可见，与弹簧的弹力有同样的性质，相应的“劲度系数”为
（9）
物体将以为平衡位置作简谐振动，振动周期为。取处为“弹性势能”的零点，设位于通道出口处的质量为的静止物体到达处的速度为，则根据能量守恒，有
（10）
式中表示地心到通道的距离。解以上有关各式，得
（11）
可见，到达通道中点的速度与物体的质量无关。
设想让质量为的物体静止于出口处，质量为的物体静止于出口处，现将它们同时释放，因为它们的振动周期相同，故它们将同时到达通道中点处，并发生弹性碰撞。碰撞前，两物体速度的大小都是，方向相反，刚碰撞后，质量为的物体的速度为，质量为的物体的速度为，若规定速度方向由向为正，则有
， （12）
（13）
解式（12）和式（13），得
（14）
质量为的物体是待发射的卫星，令它回到通道出口处时的速度为，则有
（15）
由式（14）、（15）、（16）和式（9）解得
（16）
的方向沿着通道。根据题意，卫星上的装置可使的方向改变成沿地球处的切线方向，如果的大小恰能使小卫星绕地球作圆周运动，则有
（17）
由式（16）、（17）并注意到式（6），可以得到
（18）
已知m，则得
（19）
评分标准：本题20分。
求得式（11）给7分，求得式（16）给6分，式（17）2分，式（18）3分，式（19）2分。
四、参考解答
图复解20-4-1中画出的是进入玻璃半球的任一光线的光路（图中阴影处是无光线进入的区域），光线在球面上的入射角和折射角分别为和，折射光线与坐标轴的交点在。令轴上的距离为，的距离为，根据折射定律，有
（1）
在中
（2）
（3）
由式（1）和式（2）得
再由式（3）得
设点到的距离为，有
得
（4）
解式（4）可得
（5）
为排除上式中应舍弃的解，令，则处应为玻璃半球在光轴上的傍轴焦点，由上式
由图可知，应有，故式（5）中应排除±号中的负号，所以应表示为
（6）
上式给出随变化的关系。
因为半球平表面中心有涂黑的面积，所以进入玻璃半球的光线都有，其中折射光线与轴交点最远处的坐标为
（7）
在轴上处，无光线通过。
随增大，球面上入射角增大，当大于临界角时，即会发生全反射，没有折射光线。与临界角相应的光线有
这光线的折射线与轴线的交点处于
（8）
在轴上处没有折射光线通过。
由以上分析可知，在轴上玻璃半球以右
（9）
的一段为有光线段，其它各点属于无光线段。与就是所要求的分界点，如图复解20-4-2所示
评分标准：本题20分。
求得式（7）并指出在轴上处无光线通过，给10分；求得式（8）并指出在轴上处无光线通过，给6分；得到式（9）并指出上有光线段的位置，给4分。
五、参考解答
放上圆柱B后，圆柱B有向下运动的倾向，对圆柱A和墙面有压力。圆柱A倾向于向左运动，对墙面没有压力。平衡是靠各接触点的摩擦力维持的。现设系统处于平衡状态，取圆柱A受地面的正压力为，水平摩擦力为；圆柱B受墙面的正压力为，竖直摩擦力为，圆柱A受圆柱B的正压力为，切向摩擦力为；圆柱B受圆柱A的正压力为，切向摩擦力为，如图复解20-5所示。各力以图示方向为正方向。
已知圆柱A与地面的摩擦系数＝0.20，两圆柱间的摩擦系数＝0.30。设圆柱B与墙面的摩擦系数为，过两圆柱中轴的平面与地面的交角为。
设两圆柱的质量均为，为了求出、、以及为保持平衡所需的、、之值，下面列出两圆柱所受力和力矩的平衡方程：
圆柱A： （1）
（2）
（3）
圆柱B： （4）
（5）
（6）
由于，所以得
（7）
式中代表，，和的大小。又因，于是式（1）、（2）、（4）和（5）四式成为：
（8）
（9）
（10）
（11）
以上四式是，，和的联立方程，解这联立方程可得
（12）
（13）
（14）
（15）
式（12）、（13）、（14）和（15）是平衡时所需要的力，，，没有问题，但，，三个力能不能达到所需要的数值，即式（12）、（14）要受那里的摩擦系数的制约。三个力中只要有一个不能达到所需的值，在那一点就要发生滑动而不能保持平衡。
首先讨论圆柱B与墙面的接触点。接触点不发生滑动要求
由式（12），得
所以
（16）
再讨论圆柱A与地面的接触点的情形。按题设此处的摩擦系数为＝0.20，根据摩擦定律，若上面求得的接地点维持平衡所需的水平力满足，则圆柱在地面上不滑动；若，这一点将要发生滑动。
圆柱A在地面上不发生滑动的条件是
（17）
由图复解20-5可知
（18）
（19）
由式（17）、（18）和式（19）以及＝0.20，可以求得
（20）
即只有当时，圆柱A在地面上才能不滑动。
最后讨论两圆柱的接触点。接触点不发生滑动要求
（21）
由式（18）、（19）以及＝0.30，可解得
（22）
显然，在平衡时，的上限为。总结式（20）和式（22），得到满足的条件为
（23）
评分标准：本题22分。
求得式（7）、（12）、（13）、（14）、（15）各2分，式（16）3分，求得式（23）9分。
六、参考解答
在点电荷形成的电场中一点的电势与离开该点电荷的距离成反比。因为取无限远处为电势的零点，故正电荷在空间各点的电势为正；负电荷在空间各点的电势为负。现已知处的电势为零，故可知这两个点电荷必定是一正一负。根据所提供的电势的曲线，当考察点离坐标原点很近时，电势为正，且随的减小而很快趋向无限大，故正的点电荷必定位于原点处，以表示该点电荷的电量。当从0增大时，电势没有出现负无限大，即没有经过负的点电荷，这表明负的点电荷必定在原点的左侧。设它到原点的距离为，当很大时，电势一定为负，且趋向于零，这表明负的点电荷的电量的数值应大于。即产生题目所给的电势的两个点电荷，一个是位于原点的正电荷，电量为；另一个是位于负轴上离原点距离处的负电荷，电量的大小为，且＞。按题目所给的条件有
（1）
（2）
因时，电势为极小值，故任一电量为的正检测电荷位于处的电势能也为极小值，这表明该点是检测电荷的平衡位置，位于该点的检测电荷受到的电场力等于零，因而有
（3）
由式（1）、（2）和（3）可解得
（4）
（5）
（6）
式中为静电力常量。
评分标准：本题23分。
式（1）、（2）各4分，式（3）6分，式（4）、（5）、（6）各3分。
七、参考解答
设物块在点第一次与地面碰撞，碰撞前水平速度仍为，竖直速度为
（1）
碰撞后物块的竖直速度变为，根据题意，有
（2）
设物块的质量为，碰撞时间为，因为碰撞时间极短，物块与地面间沿竖直方向的作用力比重力大得多，可忽略重力的作用，这样，物块对地面的正压力的大小为
（3）
水平方向动量的变化是水平摩擦力的冲量作用的结果，设水平方向速度变为，则有
（4）
由以上各式得
（5）
同理，在落地点，，…，其碰撞后的竖直分速度分别为
…………
（6）
其水平速度分别为
…………
（7）
由式（6）可知，只有当碰撞次数时，碰地后竖直方向的分速度才趋向于零，但物块对地面的正压力的最小值不小于。地面作用于物块的摩擦力的最小值不小于，因次，物块沿水平方向的分速度一定经历有限次数碰撞后即变为零，且不会反向。
设经过次碰撞，物块沿水平方向的分速度已经足够小，再经过一次碰撞，即在次碰撞结束后，水平方向的分速度恰好变为零。因，由式（7）
两边取对数
（8）
令
（9）
若恰为整数，这表示这次碰撞中，经过整个碰撞时间，水平速度变为零，则碰撞次数
有 （10）
若不是整数，此种情况对应于在次碰撞结束前，即在小于碰撞时间内，水平速度变为零。则碰撞次数
有
（11）
表示的整数部分。
由于经过次碰撞，物块沿水平方向的分速度已为零，但竖直方向的分速度尚未为零，故物块将在处作上下跳跃，直到，即，最后停止在处。物块运动的最远水平距离。下面分别计算每次跳跃的距离。
（12）
…………
（13）
所求距离为上述所有量的总和，为
（14）
分别求级数的和：
（15）
（16）
将以上两个关系式和代入式（14），得
（17）
式中由式（10）或式（11）决定。
评分标准：本题25分。
式（6）3分，式（7）6分，式（8）4分，式（10）2分，式（11）2分，式（14）5分，求得式（17）并说明的取值，给3分。
第10页第二十届全国中学生物理竞赛复赛试卷
题号 一 二 三 四 五 六 七 总计
得分
复核人
全卷共七题，总分为140分。
一、（15分）图中a为一固定放置的半径为R的均匀带电球体，O为其球心．己知取无限远处的电势为零时，球表面处的电势为U=1000 V．在离球心O很远的O′点附近有一质子b，它以 Ek＝2000 eV 的动能沿与OO平行的方向射向a．以l表示b与OO线之间的垂直距离，要使质子b能够与带电球体a的表面相碰，试求l的最大值．把质子换成电子，再求l的最大值．
二、（15分）U形管的两支管 A、B和水平管C都是由内径均匀的细玻璃管做成的，它们的内径与管长相比都可忽略不计．己知三部分的截面积分别为 cm2，cm2，cm2，在 C管中有一段空气柱，两侧被水银封闭．当温度为℃时，空气柱长为＝30 cm（如图所示），C中气柱两侧的水银柱长分别为 ＝2.0cm，＝3.0cm，A、B两支管都很长，其中的水银柱高均为＝12 cm．大气压强保持为 ＝76 cmHg不变．不考虑温度变化时管和水银的热膨胀．试求气柱中空气温度缓慢升高到 ＝97℃时空气的体积．
三、（20分）有人提出了一种不用火箭发射人造地球卫星的设想．其设想如下：沿地球的一条弦挖一通道，如图所示．在通道的两个出口处和，分别将质量为的物体和质量为的待发射卫星同时自由释放，只要比足够大，碰撞后，质量为的物体，即待发射的卫星就会从通道口冲出通道；设待发卫星上有一种装置，在待发卫星刚离开出口时，立即把待发卫星的速度方向变为沿该处地球切线的方向，但不改变速度的大小．这样待发卫星便有可能绕地心运动，成为一个人造卫星．若人造卫星正好沿地球表面绕地心做圆周运动，则地心到该通道的距离为多少？己知＝20，地球半径＝6400 km．假定地球是质量均匀分布的球体，通道是光滑的，两物体间的碰撞是弹性的．
四、(20分)如图所示，一半径为、折射率为的玻璃半球，放在空气中，平表面中央半径为的区域被涂黑．一平行光束垂直入射到此平面上，正好覆盖整个表面．为以球心为原点，与平而垂直的坐标轴．通过计算，求出坐标轴上玻璃半球右边有光线通过的各点（有光线段）和无光线通过的各点（无光线段）的分界点的坐标．
五、(22分)有一半径为的圆柱A，静止在水平地面上，并与竖直墙面相接触．现有另一质量与A相同，半径为的较细圆柱B，用手扶着圆柱A，将B放在A的上面，并使之与墙面相接触，如图所示，然后放手．
己知圆柱A与地面的静摩擦系数为0.20，两圆柱之间的静摩擦系数为0.30．若放手后，两圆柱体能保持图示的平衡，问圆柱B与墙面间的静摩擦系数和圆柱B的半径的值各应满足什么条件？
六、(23分)两个点电荷位于轴上，在它们形成的电场中，若取无限远处的电势为零，则在正轴上各点的电势如图中曲线所示，当时，电势：当时，电势；电势为零的点的坐标, 电势为极小值的点的坐标为 （＞2）。试根据图线提供的信息，确定这两个点电荷所带电荷的符号、电量的大小以及它们在轴上的位置．
七、(25分)如图所示，将一铁饼状小物块在离地面高为处沿水平方向以初速抛出．己知物块碰地弹起时沿竖直方向的分速度的大小与碰前沿竖直方向的分速度的大小之比为（＜1）．又知沿水平方向物块与地面之间的滑动摩擦系数为（≠0）：每次碰撞过程的时间都非常短，而且都是“饼面”着地．求物块沿水平方向运动的最远距离．
2003年9月20日
第2页参考答案：
1:R>sqrt(25b2+50ab-23a2)+a 2:ΔE={(GmEm[2a+sqrt(a2-b2)]}/{2a[a+sqrt(a2-b2)]}
3:I0=2M/l2B Ω0=4MR/l4B2 Ω-1 ----------- I-A Ω-5 ----------- I-B Ω-6 ----------- I-C
4:Δt=0.0802πm/qB0 xp=-0.968mv0/qB0 yp=-4.25mv0/qB0
5: D'=(b/a)D D0 =0.54×10-3m
6: Ek=1.74×10-9J m1=46.4×10-27kg
第20届全国中学生物理竞赛决赛理论试题
一、5个质量相等的匀质球，其中4个半径均为《的球，静止放在半径为R的半球形碗内，它
们的球心在同一水平面内，另1个半径为b的球放在4球之上.设接触面都是光滑的，试求碗的半
径R的值满足什么条件时下面的球将相互分离.
二、一人造地球卫星绕地球做椭圆运动，地心是椭圆的一个焦点，在直角坐标系中，椭圆的
轨迹方程为
2
《和b分别是椭圆的长半轴和短半轴，为已知常数.当该人造卫星在轨道的远地点时，突然以很大的能量沿卫
星运行方向从卫星上发射出一个质量为的太空探测器，这探测器在地球引力作用下做双曲线运动，此双曲
线的焦点位于地心，实半轴的长度正好等于原来椭圆远地点到地心的距离.试问在发射时，给探测器的能量
为多大？设地球的质量？、万有引力常量G为已知，不计地球以外星体的影响.
三、如图决20-3所示，金属飞轮具有2条辐条，每条辐条长1，可绕转轴O0'旋转.飞轮处在匀强
磁场中，磁场方向与转轴平行，磁感强度为B.转轴与飞轮边缘通过电刷与电阻R、电感连成闭合回
路.飞轮及转轴的电阻和转动过程的摩擦均不计·
图决20-3
1.现用一恒定的外力矩作用于飞轮，使它由静止开始转动，求当飞轮转动达到稳定时，转动角
速度，和通过电阻R的电流，
2.在飞轮转速达到稳定后，突然撤去外力矩M,则飞轮的角速度和通过电阻R的电流I都将随
时间变化.当R取不同值时，角速度随时间变化的图线)和电流随时间变化的图线I()将不同.
现给出了()图线各6条〔附本题后)，各图中都把刚撤去外力矩M的时刻作为起始时刻，即t=0
的时刻，此时刻的角速度A=,电流1=1，.角速度各图的纵坐标单位相同，电流1各图的纵坐标单
位相同，各图的时间轴横坐标的单位均相同.试从这些图线中选出可能正确表示飞轮的角速度⌒随时间
变化的图线)，以及与所选图线对应的最接近正确的电流I随时间变化的图线).把你选出的图线
①()与对应的I(t)图线在下面的图线符号之间用直的实线连接起来.
注意：只有全部连接正确的才能得全分，连对但不全的可得部分分，有连错的得零分.第二十届全国中学生物理竞赛预赛题参考答案、评分标准
一、参考解答
（1） 右 f 实 倒 1 。
（2） 左 2f 实 倒 1 。
评分标准：本题20分，每空2分。
二、参考解答
波长与频率的关系为 ， （1）
光子的能量为 ， （2）
由式（1）、（2）可求得产生波长m谱线的光子的能量
J （3）
氢原子的能级能量为负值并与量子数的平方成反比：
，1，2，3，… （4）
式中为正的比例常数。氢原子基态的量子数1，基态能量已知，由式（4）可得出
（5）
把式（5）代入式（4），便可求得氢原子的2，3，4，5，… 各能级的能量，它们是
J，
J，
J，
J。
比较以上数据，发现
J。 （6）
所以，这条谱线是电子从的能级跃迁到的能级时发出的。
评分标准：本题20分。
式（3）4分，式（4）4分，式（5）4分，式（6）及结论共8分。
三、参考解答
1. 操作方案：将保温瓶中℃的热水分若干次倒出来。第一次先倒出一部分，与温度为℃的构件充分接触，并达到热平衡，构件温度已升高到，将这部分温度为的水倒掉。再从保温瓶倒出一部分热水，再次与温度为的构件充分接触，并达到热平衡，此时构件温度已升高到，再将这些温度为的水倒掉。然后再从保温瓶中倒出一部分热水来使温度为的构件升温……直到最后一次，将剩余的热水全部倒出来与构件接触，达到热平衡。只要每部分水的质量足够小，最终就可使构件的温度达到所要求的值。
2. 验证计算：例如，将1.200kg热水分5次倒出来，每次倒出＝0.240kg，在第一次使热水与构件达到热平衡的过程中，水放热为
（1）
构件吸热为
（2）
由及题给的数据，可得
＝27.1℃ （3）
同理，第二次倒出0.240kg热水后，可使构件升温到
＝40.6℃ （4）
依次计算出～的数值，分别列在下表中。
倒水次数/次 1 2 3 4 5
平衡温度/℃ 27.1 40.6 51.2 59.5 66.0
可见＝66.0℃时，符合要求。
附：若将1.200kg热水分4次倒，每次倒出0.300kg，依次算出～的值，如下表中的数据：
倒水次数/次 1 2 3 4
平衡温度/℃ 30.3 45.50 56.8 65.2
由于＝65.2℃＜66.0℃，所以如果将热水等分后倒到构件上，则倒出次数不能少于5次。
评分标准：本题20分。
设计操作方案10分。操作方案应包含两个要点：①将保温瓶中的水分若干次倒到构件上。②倒在构件上的水与构件达到热平衡后，把与构件接触的水倒掉。
验证方案10分。使用的验证计算方案可以与参考解答不同，但必需满足两条：①通过计算求出的构件的最终温度不低于66.0℃。②使用的热水总量不超过1.200kg。这两条中任一条不满足都不给这10分。例如，把1.200kg热水分4次倒，每次倒出0.300kg，尽管验算过程中的计算正确，但因构件最终温度低于66.0℃，不能得分。
四、参考解答
设计的磁场为沿轴方向的匀强磁场，点和点都处于这个磁场中。下面我们根据题意求出这种磁场的磁感应强度的大小。粒子由点射出就进入了磁场，可将与轴成角的速度分解成沿磁场方向的分速度和垂直于磁场方向的分速度（见图预解20-4-1），注意到很小，得
（1）
（2）
粒子因具有垂直磁场方向的分速度，在洛仑兹力作用下作圆周运动，以表示圆周的半径，有
圆周运动的周期
由此得
（3）
可见周期与速度分量无关。
粒子因具有沿磁场方向的分速度，将沿磁场方向作匀速直线运动。由于两种分速度同时存在，粒子将沿磁场方向作螺旋运动，螺旋运动螺距为
（4）
由于它们具有相同的，因而也就具有相同的螺距；又由于这些粒子是从同一点射出的，所以经过整数个螺距（最小是一个螺距）又必定会聚于同一点。只要使等于一个螺距或一个螺距的（整数）倍，由点射出的粒子绕磁场方向旋转一周（或若干周后）必定会聚于点，如图20-4-2所示。所以
， ＝1，2，3，… （5）
由式（3）、（4）、（5）解得
， ＝1，2，3，… （6）
这就是所要求磁场的磁感应强度的大小，最小值应取＝1，所以磁感应强度的最小值为
。 （7）
评分标准：本题20分。
磁场方向2分，式（3）、（4）各3分，式（5）5分，求得式（6）给5分，求得式（7）再给2分。
五、参考解答
摆线受阻后在一段时间内摆球作圆周运动，若摆球的质量为，则摆球受重力和摆线拉力的作用，设在这段时间内任一时刻的速度为，如图预解20-5所示。用表示此时摆线与重力方向之间的夹角，则有方程式
（1）
运动过程中机械能守恒，令表示摆线在起始位置时与竖直方向的夹角，取点为势能零点，则有关系
（2）
摆受阻后，如果后来摆球能击中钉子，则必定在某位置时摆线开始松弛，此时＝0，此后摆球仅在重力作用下作斜抛运动。设在该位置时摆球速度，摆线与竖直线的夹角，由式（1）得
， （3）
代入（2）式，求出
（4）
要求作斜抛运动的摆球击中点，则应满足下列关系式：
， （5）
（6）
利用式（5）和式（6）消去，得到
（7）
由式（3）、（7）得到
（8）
代入式（4），求出
（9）
越大，越小，越小，最大值为，由此可求得的最小值：
，
所以
（10）
评分标准：本题20分。
式（1）1分，式（2）3分，式（3）2分，式（5）、（6）各3分，式（8）3分，式（9）1分，式（10）4分。
六、参考解答
（1）规定运动员起跳的时刻为，设运动员在点（见图预解20-6）抛出物块，以表示运动员到达点的时刻，则运动员在点的坐标、和抛物前的速度的分量、分别为
， （1）
（2）
， （3）
（4）
设在刚抛出物块后的瞬间，运动员的速度的分量大小分别为、，物块相对运动员的速度的分量大小分别为、，方向分别沿、负方向。由动量守恒定律可知
， （5）
（6）
因的方向与轴负方向的夹角为，故有
（7）
（8）
解式（1）、（2）、（5）、（6）和式（7）、（8），得
（9）
（10）
抛出物块后，运动员从点开始沿新的抛物线运动，其初速度为、。在时刻（）运动员的速度和位置为
， （11）
， （12）
， （13）
（14）
由式（3）、（4）、（9）、（10）、（13）、（14）可得
（15）
（16）
运动员落地时，
由式（16）得
， （17）
方程的根为
（18）
式（18）给出的两个根中，只有当“”取“＋”时才符合题意，因为从式（12）和式（10），可求出运动员从点到最高点的时间为式
而从起跳到落地所经历的时间应比上面给出的时间大，故从起跳到落地所经历的时间为
（19）
（2）由式（15）可以看出，越大，越小，跳的距离越大，由式（19）可以看出，当
＝0
时，的值最大，由式（3）和式（4）可知，抛出物块处的坐标为
， （20）
即应在原点亦即在刚起跳时把物块抛出，运动员可跳得远一点。由式（19）可以得到运动员自起跳至落地所经历的时间为
把和代入式（15），可求得跳远的距离，为
（21）
可见，若
，
即 ， （22）
时，有最大值，即沿与轴成45方向跳起，且跳起后立即沿与负轴成45方向抛出物块，则有最大值，此最大值为
（23）
评分标准：本题20分。
第一小问13分：求得式（15）、（16）各3分，式（17）2分，求得式（19）并说明“”取“＋”的理由给5分。第二小问7分：式（20）2分，式（22）2分，式（23）3分。
七、参考解答
在电压为时，微粒所受电场力为，此时微粒的加速度为。将此式代入题中所给的等式，可将该等式变为
（1）
现在分析从0到时间内，何时产生的微粒在电场力的作用下能到达A板，然后计算这些微粒的数目。
在时产生的微粒，将以加速度向A板运动，经后，移动的距离与式（1）相比，可知
（2）
即时产生的微粒，在不到时就可以到达A板。在的情况下，设刚能到达A板的微粒是产生在时刻，则此微粒必然是先被电压加速一段时间，然后再被电压减速一段时间，到A板时刚好速度为零。用和分别表示此两段时间内的位移，表示微粒在内的末速，也等于后一段时间的初速，由匀变速运动公式应有
（3）
（4）
又因
， （5）
， （6）
， （7）
由式（3）到式（7）及式（1），可解得
， （8）
这就是说，在的情况下，从到这段时间内产生的微粒都可到达A板（确切地说，应当是）。
为了讨论在这段时间内产生的微粒的运动情况，先设想有一静止粒子在A板附近，在电场作用下，由A板向B板运动，若到达B板经历的时间为，则有
根据式（1）可求得
由此可知，凡位于到A板这一区域中的静止微粒，如果它受的电场作用时间大于，则这些微粒都将到达B板。
在发出的微粒，在的电场作用下，向A板加速运动，加速的时间为，接着在的电场作用下减速，由于减速时的加速度为加速时的两倍，故经过微粒速度减为零。由此可知微粒可继续在的电场作用下向B板运动的时间为
由于，故在时产生的微粒最终将到达B板（确切地说，应当是），不会再回到A板。
在大于但小于时间内产生的微粒，被的电场加速的时间小于，在的电场作用下速度减到零的时间小于，故可在的电场作用下向B板运动时间为
所以这些微粒最终都将打到B板上，不可能再回到A板。
由以上分析可知，在到时间内产生的微粒中，只有在到时间内产生的微粒能到达A板，因为各个时刻产生带电微粒的机会均等，所以到达A板的微粒数为
（9）
评分标准：本题20分。
论证在到时间内产生的微粒可能到达A板给10分；论证到时间内产生的微粒不能到达A板给6分。求得最后结果式（9）再给4分。
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第8页第二十届全国中学生物理竞赛预赛试卷
题 号 一 二 三 四 五 六 七 总计
得 分
复核人
全卷共七题，总分为140分．
一、（20分）两个薄透镜L1和L2共轴放置，如图所示．已知L1的焦距f1=f , L2的焦距f2=—f，两透镜间距离也是f．小物体位于物面P上，物距u1 ＝3f．
（1）小物体经这两个透镜所成的像在L2的__________边，到L2的距离为_________，是__________倍（虚或实）、____________像（正或倒），放大率为_________________。
（2）现在把两透镜位置调换，若还要给定的原物体在原像处成像，两透镜作为整体应沿光轴向____________边移动距离_______________．这个新的像是____________像（虚或实）、______________像（正或倒）放大率为________________。
二、(20分)一个氢放电管发光，在其光谱中测得一条谱线的波长为4.86×10-7m．试计算这是氢原子中电子从哪一个能级向哪一个能级（用量子数n表示）跃迁时发出的？已知氢原子基态（n＝1）的能量为El=一13.6eV＝－2.18×10-18J，普朗克常量为 h=6.63×10－34J·s。
三、(20分)在野外施工中，需要使质量 m＝4.20 kg的铝合金构件升温。除了保温瓶中尚存有温度 t＝ 90.0℃的1.200 kg的热水外，无其他热源．试提出一个操作方案，能利用这些热水使构件从温度 t0=10℃升温到 66.0℃以上（含66.0℃），并通过计算验证你的方案．已知铝合金的比热容 c＝0.880×l03J·(Kg·℃)-1，水的比热容c0 =4.20×103J·(Kg·℃)-1，不计向周围环境散失的热量。
四、 (20分）从 z轴上的 O点发射一束电量为q（＞0）、质量为m的带电粒子，它们速度统方向分布在以O点为顶点、z轴为对称轴的一个顶角很小的锥体内（如图所示），速度的大小都等于v．试设计一种匀强磁场，能使这束带电粒子会聚于z轴上的另一点M，M点离开O点的经离为d．要求给出该磁场的方向、磁感应强度的大小和最小值．不计粒子间的相互作用和重力的作用．
五、(20分)有一个摆长为l的摆（摆球可视为质点，摆线的质量不计），在过悬挂点的竖直线上距悬挂点O的距离为x处（x＜l）的C点有一固定的钉子，如图所示，当摆摆动时，摆线会受到钉子的阻挡．当l一定而x取不同值时，阻挡后摆球的运动情况将不同．现将摆拉到位于竖直线的左方（摆球的高度不超过O点），然后放手，令其自由摆动，如果摆线被钉子阻挡后，摆球恰巧能够击中钉子，试求x的最小值．
六、(20分)质量为M的运动员手持一质量为m的物块，以速率v0沿与水平面成a角的方向向前跳跃（如图）．为了能跳得更远一点，运动员可在跳远全过程中的某一位置处，沿某一方向把物块抛出．物块抛出时相对运动员的速度的大小u是给定的，物块抛出后，物块和运动员都在同一竖直平面内运动．
(1)若运动员在跳远的全过程中的某时刻to把物块沿与x轴负方向成某θ角的方向抛出，求运动员从起跳到落地所经历的时间．
(2)在跳远的全过程中，运动员在何处把物块沿与x轴负方向成θ角的方向抛出，能使自己跳得更远？若v0和u一定，在什么条件下可跳得最远？并求出运动员跳的最大距离．
七、（20分）图预20-7-1中 A和B是真空中的两块面积很大的平行金属板、加上周期为T的交流电压，在两板间产生交变的匀强电场．己知B板电势为零，A板电势UA随时间变化的规律如图预20-7-2所示，其中UA的最大值为的U0，最小值为一2U0．在图预20-7-1中，虚线MN表示与A、B扳平行等距的一个较小的面，此面到A和B的距离皆为l．在此面所在处，不断地产生电量为q、质量为m的带负电的微粒，各个时刻产生带电微粒的机会均等．这种微粒产生后，从静止出发在电场力的作用下运动．设微粒一旦碰到金属板，它就附在板上不再运动，且其电量同时消失，不影响A、B板的电压．己知上述的T、U0、l，q和m等各量的值正好满足等式
若在交流电压变化的每个周期T内，平均产主320个上述微粒，试论证在t＝0到t＝T／2这段时间内产主的微粒中，有多少微粒可到达A板（不计重力，不考虑微粒之间的相互作用）。
2003年9月
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